Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требуют 37 правок.
У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.
Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел 
, 
, 
, 
(члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число 
(знаменатель прогрессии). При этом 
[1].
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.
Произведением первых 
членов геометрической прогрессии 
называется произведение от до 
, то есть выражение вида 
Обозначение: 
.
Описание[править | править код]
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле
Если 
и 
, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 
, — убывающей последовательностью, а при 
— знакочередующейся[3], при 
— стационарной (постоянной).
Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:
то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов[4].
Примеры[править | править код]
Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов
- Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[5]:8—9.
- Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
- 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
- 4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
, , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).- 3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
- 1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.
Свойства[править | править код]
Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]
Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:
Доказательство
По определению геометрической прогрессии.
![{displaystyle q={sqrt[{n-k}]{dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb495b3245f5a775c4432d11c0f5008f819b5d72)
Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]
- Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:
Доказательство
По определению геометрической прогрессии.
- Формула общего (-го) члена:
- Обобщённая формула общего члена:
Доказательство
- Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
Доказательство
Формула общего члена арифметической прогрессии:
.
В нашем случае
,
.
Доказательство
- Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
Доказательство
- Сумма всех членов убывающей прогрессии:
-
- , то при , и
- при .
Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]
где 
— сумма обратных величин, т. е. 
.
Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]
См. также[править | править код]
- Арифметическая прогрессия
- Арифметико-геометрическая прогрессия
- Числа Фибоначчи
- Показательная функция
- Сумма ряда
Примечания[править | править код]
- ↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
- ↑ Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей, только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны.
- ↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
- ↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
- ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивная копия от 19 мая 2017 на Wayback Machine
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой, начиная со второго числа, каждое последующее равняется предыдущему, умноженному на постоянный множитель.
- Общий вид геометрической прогрессии
- Свойства и формулы геометрической прогрессии
Общий вид геометрической прогрессии
b1, b1q, b2q, …, bn-1q
- q – знаменатель прогрессии; это и есть постоянный множитель.
- b ≠ 0, q ≠ 0
Члены прогрессии:
- b1
- b2 = b1q
- b3 = b2q = b1q2
- и т.д.
Цифры 1,2,3… – это их порядковые номера, т.е. место, которое они занимают в последовательности.
Виды прогрессии:
- возрастающая: b1 > 0 и q1 > 0;
- убывающая: 0 < q < 1;
- знакочередующаяся: q < 0;
- стационарная: q = 1.
Свойства и формулы геометрической прогрессии
1. Нахождение n-ого члена (bn)
- bn = bn-1q
- bn = b1qn-1
2. Знаменатель прогрессии
3. Характеристическое свойство
Последовательность чисел b1, b2, b3 … является геометрической прогрессией, если для любого ее члена справедливо следующее выражение:
При условии: 1 < i < n
Также данное свойство можно представить в таком виде:
4. Сумма первых членов прогрессии
Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии можно, используя формулу ниже (если q ≠ 1):
Если q = 1, то Sn = nb1
5. Произведение первых членов прогрессии
6. Произведение членов прогрессии с k по n
7. Сумма всех членов убывающей прогрессии
При условии: |q| < 1, а значит, bn → 0 при n → + ∞.
Числовые последовательности (основные понятия)
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Числовые последовательности (основные понятия)
Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:
a1, a2, a3, . . . , an, . . . .
Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.
Число a1 называют первым членом последовательности, число a2 — вторым членом последовательности, число a3 — третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число n — его номером.
Из двух соседних членов an и an+1 последовательности член an+1 называют последующим (по отношению к an), а an — предыдущим (по отношению к an+1).
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.
Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.
► Например,
последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой
an = 2n –1,
а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой
bn = (–1)n+1. ◄
Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.
► Например,
если a1 = 1, а an+1 = an + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a1 = 1,
a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Если а1 = 1, а2 = 1, an+2 = an + an+1, то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:
a1 = 1,
a2 = 1,
a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2,
a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3,
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5,
a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8,
a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последовательности могут быть конечными и бесконечными.
Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.
► Например,
последовательность двузначных натуральных чисел:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
конечная.
Последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
бесконечная. ◄
Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.
Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.
► Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;
1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность. ◄
Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью.
Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.
Иначе,
a1, a2, a3, . . . , an, . . .
является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
an+1 = an + d,
где d — некоторое число.
Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:
а2 – a1 = а3 – a2 = . . . = an+1 – an = d.
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.
► Например,
если a1 = 3, d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
a1 =3,
a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7,
a3 = a2 + d = 7 + 4 = 11,
a4 = a3 + d = 11 + 4 = 15,
a5 = a4 + d = 15 + 4 = 19. ◄
Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:
an = a1 + (n – 1)d.
► Например,
найдём тридцатый член арифметической прогрессии
1, 4, 7, 10, . . .
Имеем,
a1 =1, d = 3,
a30 = a1 + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88. ◄
Так как
an–1 = a1 + (n – 2)d,
an = a1 + (n – 1)d,
an+1 = a1 + nd,
то, очевидно,
то есть,
каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.
Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.
► Например,
докажем, что последовательность, которая задаётся формулой an = 2n – 7, является арифметической прогрессией.
Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
an = 2n – 7,
an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2n – 9,
an+1 = 2(n + 1) – 7 = 2n – 5.
Следовательно,
| an+1 + an–1 |
= |
2n – 5 + 2n – 9 |
= 2n – 7 = an, |
| 2 |
2 |
что и доказывает нужное утверждение. ◄
Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой
an = ak + (n – k)d.
► Например,
для a5 можно записать
a5 = a1 + 4d,
a5 = a2 + 3d,
a5 = a3 + 2d,
a5 = a4 + d. ◄
Так как
an = an–k + kd,
an = an+k – kd,
то, очевидно,
то есть,
любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.
Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:
am + an = ak + al,
если
m + n = k + l.
► Например,
в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
1) a10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a9 + a11)/2;
2) 28 = a10 = a3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;
3) a10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a7 + a13)/2;
4) a2 + a12 = a5 + a9, так как
a2 + a12 = 4 + 34 = 38,
a5 + a9 = 13 + 25 = 38. ◄
Сумма
Sn = a1 + a2+ a3 + . . .+an,
первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:
Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены
ak, ak+1, . . . , an,
то предыдущая формула сохраняет свою структуру:
| Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + an = | ak + an |
· (n – k + 1) . |
| 2 |
► Например,
в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S3 = (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133. ◄
Если дана арифметическая прогрессия, то величины a1, an, d, n и Sn связаны двумя формулами:
| an = a1 + (n – 1)d и Sn = | a1 + an |
· n . |
| 2 |
Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:
- если d > 0, то она является возрастающей;
- если d < 0, то она является убывающей;
- если d = 0, то последовательность будет стационарной.
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.
Иначе,
b1, b2, b3, . . . , bn, . . .
является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:
bn+1 = bn · q,
где q ≠ 0 — некоторое число.
Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:
b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn+1/bn = q.
Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.
► Например,
если b1 = 1, q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:
b1 = 1,
b2 = b1 ·
q = 1 · (–3) = –3,
b3 = b2 ·
q = –3 · (–3) = 9,
b4 = b3 ·
q = 9 · (–3) = –27,
b5 = b4 ·
q = –27 · (–3) = 81. ◄
Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:
bn = b1 ·
qn–1.
► Например,
найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .
Имеем,
b1 = 1, q = 2,
b7 = b1 · q6
= 1 · 26 = 64. ◄
Так как
bn–1 = b1 ·
qn–2,
bn = b1 ·
qn–1,
bn+1 = b1 ·
qn,
то, очевидно,
bn2 = bn–1 · bn+1,
то есть,
каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.
Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:
числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.
► Например,
докажем, что последовательность, которая задаётся формулой bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:
bn = –3 · 2n,
bn–1 = –3 · 2n–1,
bn+1 = –3 · 2n+1.
Следовательно,
bn2 = (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n+1) = bn–1 · bn+1,
что и доказывает нужное утверждение. ◄
Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой
bn = bk ·
qn–k.
► Например,
для b5 можно записать
b5 = b1 ·
q4,
b5 = b2 ·
q3,
b5 = b3 ·
q2,
b5 = b4 ·
q. ◄
Так как
bn = bk ·
qn–k,
bn = bn–k ·
qk,
то, очевидно,
bn2 = bn–k · bn+k
то есть,
квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.
Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:
bm · bn = bk · bl,
если
m + n = k + l.
► Например,
в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
1) b62 = 322 = 1024 = 16 · 64 = b5 · b7;
2) 1024 = b11 = b6 ·
q5 = 32 · 25 = 1024;
3) b62 = 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;
4) b2 · b7 = b4 · b5, так как
b2 · b7 = 2 · 64 = 128,
b4 · b5 = 8 · 16 = 128. ◄
Сумма
Sn = b1 + b2 + b3 + . . . + bn
первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:
А при q = 1 — по формуле
Sn = nb1
Заметим, что если нужно просуммировать члены
bk, bk+1, . . . ,bn,
то используется формула:
| Sn – Sk–1 = bk + bk+1 + . . . + bn = bk · | 1 – qn–k+1 |
. |
| 1 – q |
► Например,
в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S10 – S6 = 64 · (1 – 210–7+1) / (1 – 2) = 960. ◄
Если дана геометрическая прогрессия, то величины b1, bn, q, n и Sn связаны двумя формулами:
| bn = b1 · qn–1 и Sn = b1 · | 1 – qn |
. |
| 1 – q |
Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:
- прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:
b1 > 0 и q > 1;
b1 < 0 и 0 < q < 1;
- прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:
b1 > 0 и 0 < q < 1;
b1 < 0 и q > 1.
Если q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
Pn = b1 · b2 · b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n/2.
► Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128)8/2 = 1284 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48)5/2 = (1441/2)5 = 125 = 248 832.◄
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть
|q| < 1.
Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю
–1 < q < 0.
При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,
1, –1/2, 1/4, –1/8, . . . .
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой
| S = b1 + b2 + b3 + . . . = | b1 | . |
| 1 – q |
► Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,
10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1/11 . ◄
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.
Если
a1, a2, a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то
ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.
► Например,
1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и
71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72. ◄
Если
b1, b2, b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то
loga b1, loga b2, loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью loga q.
► Например,
2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6. ◄
Смотрите также:
Обозначения и сокращения
Таблицы чисел
Алгебраические тождества
Степени
Арифметический корень n-й степени
Логарифмы
Графики элементарных функций
Построение графиков функций геометрическими методами
Тригонометрия
Таблицы значений тригонометрических функций
Предел и непрерывность функции
Треугольники
Четырёхугольники
Многоугольники
Окружность
Площади геометрических фигур
Прямые и плоскости
Многогранники
Тела вращения
Содержание
Геометрическая прогрессия
q – знаменатель геометрической прогрессии (от лат. qwoti — частное).
$$
b_n = b_{n-1} cdot q\[10pt]
b_n = b_{1} cdot q^{n-1}
$$
Если $ b_{1}>0$ и $ q>1$, прогрессия является возрастающей последовательностью, если $ 0<q<1$, — убывающей последовательностью, а при $q<0$ — знакочередующейся.
Пример 1.
Пример 2.
Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
Пример 3.
The Quadrature of the Parabola – Wikipedia
Пример 4. Фракталы – Кривая Коха (снежинка Коха)
Берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.
Непрерывна, но нигде не дифференцируема.
Koch snowflake – Wikipedia
Площадь снежинки Коха составляет 8/5 площади оригинального треугольника.
Площадь внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников (см. рисунок).
Каждая сторона зеленого треугольника = 1/3 длины стороны большого синего треугольника,
и поэтому площадь зеленого = 1/9 площади синего. Аналогично, каждый желтый треугольник имеет площадь = 1/9 площади зеленого треугольника, и так далее.
Возьмем синий треугольник за единицу площади, общая площадь снежинки равна
$ 1,+,3left({frac {1}{9}}right),+,12left({frac {1}{9}}right)^{2},+,48left({frac {1}{9}}right)^{3},+,cdots .$
The first term of this series represents the area of the blue triangle, the second term the total area of the three green triangles, the third term the total area of the twelve yellow triangles, and so forth. Excluding the initial 1, this series is geometric with constant ratio r = 4/9. The first term of the geometric series is a = 3(1/9) = 1/3, so the sum is
$ 1,+,{frac {a}{1-r}};=;1,+,{frac {frac {1}{3}}{1-{frac {4}{9}}}};=;{frac {8}{5}}.$
Характеристическое свойство
Характеристическое свойство: числовая последовательность ${b_n}$ является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов.
$$
b_n^2 = b_{n-1} cdot b_{n+1} \[10pt]
|b_n| = sqrt{b_{n-1} cdot b_{n+1}}\[20pt]
b_k cdot b_l = b_m cdot b_n ; text{ если } ; k+l = m + n
$$
Свойство:
Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
$ P_{n}=(b_{1}cdot b_{n})^{frac n 2 }$
Сумма геометрической прогрессии
$$
S_n = frac {b_{1} (q^n-1)} {q-1}, quad q ne 1
$$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии, в которой |q| < 1, равна первому члену, деленному на 1 – знаменатель прогрессии.
$$ text{при } |q|<1 : quad S = frac {b_1}{1-q}
$$
Равенство это имеет необычный характер, так как в левой его части мы не можем буквально сложить всё «бесконечное множество» слагаемых. Оно выражает лишь то, что чем больше слагаемых левой части мы сложим, тем меньше наша сумма будет отличаться от $frac {b_1}{1-q}$.
В учебнике Виленкина упоминается «Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии выражается формулой…» – это неверно, так как при отрицательных q, |q|<1, получаем знакочередующуюся последовательность, которая не может быть убывающей
Первоначальная формулировка: если $|q|<1$, то при неограниченном возрастании числа $n$ сумма $S_n$ стремится к числу $frac{b_1}{1-q}$. Это число называется суммой бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1.
Cумма геометрической прогрессии со знаменателем q, b=1 :
$$S=1 + q +q^2+cdots=1+q(1+q+cdots) = 1+qcdot S$$
Отсюда выразить S.
Эта же техника может быть использована при вычислении любых самоподобных выражений.
Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера.
$$ S = frac {b_{n+1}-b_1}{q-1}
$$
Периодические дроби
Обращение бесконечных периодических дробей в обыкновенные дроби:
$0,(7) = 0,7+0,07+0,007+ldots = 0,7 / (1-0.1) = 7/10 / (9/10) = 7/9$
$0.9999ldots ;=;{frac {9}{9}};=;1.$
см. также 0.999… – Wikipedia
Геометрическая интерпретация
q=1/2, S=1:
q=1/4, S=1/3:
Сходимость геометрической прогрессии при q=1/2, b=1/2:
Шутка
В магазин заходит бесконечное число математиков. Первый просит килограмм картошки, второй – полкило, третий – четверть… «Понял», – говорит продавец и кладет на прилавок два килограмма.
Легенда о шахматной доске
Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.
Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки.
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – сказал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…
–Довольно, – с раздражением прервал его царь.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.
Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…
– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана…
– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.
– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.
– Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
S = 18 446 744 073 709 551 615.
Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008 – 2009 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.
Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.
В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода. И осталось бы отсчитать ещё 1 499 999 999 999 м3. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.
Экспоненциальный рост
Стремительное возрастание значений величины, подобное тому, которое мы наблюдали, в математике называется экспоненциальным ростом.
Экспоненциальный рост – возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. В случае дискретной области определения с равными интервалами его еще называют геометрическим ростом (значения функции образуют геометрическую прогрессию).
Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны.
Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.
Экспоненциальный рост противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной или степенной зависимостям.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия бывает убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы.
число $q^n$ при достаточно больших n может стать сколь угодно малым.
И с ростом n сумма n членов геометрической прогрессии $S_n = b_1 (1 – q^n) / (1 – q)$ становится ближе к числу $S = b_1 / (1 – q)$. (Так рассуждал, например, Ф. Виет). Число S называется суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Тем не менее, долгие века вопрос о том, какой смысл имеет суммирование ВСЕЙ геометрической прогрессии, с ее бесконечным числом членов, не был достаточно ясен математикам.
Убывающую геометрическую прогрессию можно видеть, например, в апориях Зенона «Деление пополам» и «Ахиллес и черепаха». В первом случае наглядно показывается, что вся дорога (предположим, длины 1) является суммой бесконечного числа отрезков 1/2, 1/4, 1/8 и т. д. Так оно, конечно, и есть с точки зрения представлений о конечной сумме бесконечной геометрической прогрессии. И все же – как такое может быть?
Прогрессия с коэффициентом 1/2
В апории про Ахиллеса ситуация чуть более сложная, т. к. здесь знаменатель прогрессии равен не 1/2, а какому-то другому числу. Пусть, например, Ахиллес бежит со скоростью v, черепаха движется со скоростью u, а первоначальное расстояние между ними равно l. Это расстояние Ахиллес пробежит за время l/v, черепаха за это время сдвинется на расстояние lu/v. Когда Ахиллес пробежит и этот отрезок, дистанция между ним и черепахой станет равной $l (u/v)^2$, и т. д. Получается, что догнать черепаху – значит найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом l и знаменателем u/v. Эта сумма – отрезок, который в итоге пробежит Ахиллес до места встречи с черепахой – равен $l / (1 – u/v) = lv / (v – u)$. Но, опять-таки, как надо интерпретировать этот результат и почему он вообще имеет какой-то смысл, долгое время было не очень ясно.
От апорий Зенона один шаг до понятий предела, предельного перехода, производной и интеграла – но на этот шаг человечеству понадобилось 2000 лет. Через 300 лет после того, как это шаг сделан и подробно изложен в учебниках для средней школы, […] смотрят на апории как баран на новые ворота.
Предел складывания бумаги
Предел складывания бумаги пополам — физический феномен, суть которого состоит в том, что лист обычной бумаги размера А4 можно сложить пополам не более 7 раз. Он происходит из-за быстроты роста показательной функции.
Если бумагу сложили пополам пять раз, то количество слоёв будет два в степени пять, то есть тридцать два.
Если бумагу сложили пополам 7 раз, то количество слоёв будет два в степени 7, то есть 128.
На обычном листе А4 закон подтвердился, тогда исследователи проверили закон на огромном листе бумаги. Лист размером с футбольное поле (51,8×67,1 м) им удалось сложить 8 раз без специальных средств (11 раз с применением катка и погрузчика). По утверждению поклонников телепередачи, калька от упаковки офсетной печатной формы формата 520×380 мм при достаточно небрежном складывании без усилий складывается восемь раз, с усилиями — девять.
Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Вот, например, задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
решение.
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.
Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.
Задача
Найти сумму первых 20 членов:
$$2+22+222+2222+ldots$$
Решение
См. также
Учебники:
Кравчук Алгебра 9 класс, раздел 4 (с. 164)
Виленкин Алгебра 9 класс (угл) 2006, с.251 – вводятся понятия предела последовательности и математической индукции
Арифметическая прогрессия
Содержание
- Определение числовой последовательности
- Арифметическая прогрессия .
- Определение арифметической прогрессии
- Свойства арифметической прогрессии.
- Формула n-го члена арифметической прогрессии
- Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
- Примеры арифметических прогрессий.
- Арифметическая прогрессия, формулы.
- Геометрическая прогрессия.
- Свойства геометрической прогрессии.
- Примеры геометрических прогрессий.
- Геометрическая прогрессия, формулы.
- Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- Связь арифметической и геометрической прогрессий
Определение числовой последовательности
Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.
Последовательности можно задавать разными способами:
- Словесно — когда правило последовательности объясняется словами: «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»
- Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n). Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
- Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.
Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением:
a1 = a, an+1= an + d.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
- Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
1, 2, 3, 4…
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
- Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
- Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
- Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.
Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,…, a10…, an.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
- Формула an = 3n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
- Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…
Арифметическая прогрессия .
Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.
Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:
,т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа 
(шаг либо разность прогрессии):
Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:
Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность . При 
она возрастает, а при 
— убывает. Если 
, то последовательность — стационарная. Это следуют из соотношения 
для членов арифметической прогрессии.
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.
Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.
Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:
Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
- Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
- Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.
Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.
- Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.
Свойства арифметической прогрессии.
- Общий член арифметической прогрессии.
Член арифметической прогрессии с номером 
можно найти с помощью формулы:
,
где 
— 1-й член прогрессии, 
— разность прогрессии.
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Последовательность 
— это арифметическая прогрессия 
для элементов этой прогрессии выполняется условие:
.
- Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.
Сумму 1-х членов арифметической прогрессии 
можно найти с помощью формул:
,где — 1-й член прогрессии, 
— член с номером , — число суммируемых членов.
,где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии, — число суммируемых членов.
- Сходимость арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия является расходящейся при 
и сходящейся при 
. При этом:
- Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.
Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число 
. Тогда последовательность, которая имеет вид 
является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель 
.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:
Поэтому:
и т.д.
Значит, 
Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.
Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.
Пусть дано: 
Нужно доказать:
Как доказываем:
- Формула
верна при n = 1.
Действительно, 
Согласно принципу математической индукции формула
верна для любого натурального числа.
Примеры арифметических прогрессий.
1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой 
и 
.
.
Арифметическая прогрессия, формулы.
Формула n-го члена:
Формулы суммы n первых членов:
Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел 
(членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число 
(знаменатель прогрессии), где 
, 
: 
.
Или другими словами: геометрическая прогрессия — это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.
Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:
Когда 
и 
, значит, прогрессия возрастает , когда 
, значит, прогрессия убывает, а при 
— знакочередуется.
Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:
т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.
Свойства геометрической прогрессии.
- Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:
- Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:
,
- Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:
- Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:
Примеры геометрических прогрессий.
- Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.
- Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
- 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.
- 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.
- — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
— геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).Геометрическая прогрессия, формулы.
- Формула n-го члена:
- Формулы суммы n первых членов:
- Сумма бесконечной прогрессии:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть
|q| < 1.
Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю
–1 < q < 0.
При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,
1, –1/2, 1/4, –1/8, . . . .
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой
| S = b1 + b2 + b3 + . . . = | b1 | . |
| 1 – q |
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,
10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1/11 . ◄
Связь арифметической и геометрической прогрессий
Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.
Если
a1, a2, a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то
ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.
Например,
1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и
71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72. ◄
Если
b1, b2, b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то
loga b1, loga b2, loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью loga q.
Например,
2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6.
