Как найти произведение интегралов

Метод интегрирования по частям.

        Продолжаем осваивать базовые приёмы интегрирования. В предыдущих уроках мы рассмотрели три таких приёма – непосредственное интегрирование (то бишь, по таблице), метод подведения функции под знак дифференциала и метод замены переменной. Три ножки для стула. Сидеть уже можно, но… как-то неудобно.)

        Сегодняшний наш урок будет началом изучения ещё одной обширной темы интегрального исчисления. Последней, четвёртой ножки для нашего стула.) А именно – метода интегрирования по частям. Великого и могучего. Фраза “интегрируем по частям” вселяет уверенность и так же обнадёживает студентов, как и фраза “решаем через дискриминант” у школьников. 🙂

        В чём же заключается столь сильная мощь данного метода и почему именно он так популярен при вычислении львиной доли неопределённых интегралов? А дело вот в чём.

        Ключевой момент №1

        Как мы уже знаем, в отличие от производных, в матанализе не существует стандартных правил для интегралов от произведения, частного и сложной функции. Но в процессе интегрирования такие операции с функциями встречаются сплошь и рядом. И очень часто именно метод интегрирования по частям позволяет свести вычисление интеграла от навороченной функции к совсем простенькому выражению, проинтегрировать которое не составит труда. Если таблицу знать, конечно.

        Ключевой момент №2

        Нередко под интегралом могут стоять всякие нехорошие трансцендентные конструкции — логарифмы, арксинусы, арктангенсы и прочие ужасы. Таблица интегралов не катит: нету в ней ни логарифмов, ни арков. И замена не годится тоже.

        И в таких случаях тоже надо уметь как-то выкручиваться, да…

        Какие же именно интегралы берутся по частям?

        Вот типовые схемы подынтегральных функций:

        

        Например, что-то в таком духе:

        

        Что общего во всех таких интегралах? А общее то, что подынтегральная функция представляет собой произведение (а в ряде случаев и частное) “разнородных” функций. Многочлена и логарифма, синуса и экспоненты и так далее… Или же под интегралом тусуются всякие там арксинусы, арктангенсы и прочая жесть.

        Под последним шестым пунктом стоит слово “прочие”. Это такие функции, которые не относятся к предыдущим пяти типам, но которые также вполне можно проинтегрировать по частям (а иногда и только по частям). Как правило, сочетая в себе и другие способы интегрирования — замену переменной, подведение под дифференциал и т.п. Это всякие сложные экзотические функции, а также некоторые дроби и функции с корнями.

        Например:

        

        И тому подобные примеры. Их разберём в соответствующем уроке.

        Ну вот. Про таинственный метод упомянули, какие именно интегралы с его помощью вычисляются — тоже. Пора бы уже начать более близкое знакомство. Знакомимся? Поехали!

Формула интегрирования по частям — вывод и смысл.

        Итак, прошу любить и жаловать:

        Это и есть формула интегрирования по частям собственной персоной.)

        Откуда же она берётся и почему так называется? Она берётся из обычного правила дифференцирования произведения.

        Все вы (надеюсь) его хорошо помните ещё со школы:

        

        Или почти то же самое, только по-взрослому, через дифференциалы:

       

        Все формулы в матанализе, если слева и справа стоят функции или их производные (или дифференциалы), можно почленно интегрировать. Вот и проинтегрируем левую и правую части нашего правила. Имеем полное право!

        Подвешиваем на крючки левую и правую части и получаем:

        

        Осталось сообразить, что значок интеграла всегда “съедает” значок дифференциала (согласно соответствующему свойству). Стало быть, слева останется просто произведение u∙v. А справа приведём первый интеграл к приличному виду и отправим его влево к u·v (со сменой знака, разумеется). Получим:

        

        И, наконец, финальный бросок. Меняем местами левую и правую части и получаем:

        

        Всё! Больше никаких научных хитростей.)

        Собственно, формула производной произведения и формула интегрирования по частям — это две взаимно обратных формулы. 🙂 Так же, как и операции дифференцирования сложной функции и подведения функции под знак дифференциала. Вот и вся суть.

        Запоминается формула на удивление легко и просто. Чаще всего, в виде секретного заклинания:

        Интеграл у-дэ-вэ равен у на вэ минус интеграл вэ-дэ-у. 🙂

        Итак, будем считать, что с происхождением формулы разобрались. Теперь разбираемся с названием – что ещё там за части какие-то. 🙂

        Смотрим на формулу ещё разок:

        В чём основная суть? Исходное подынтегральное выражение (то, что слева) разбивается на два кусочка. Или две части.) Причём только с помощью умножения! Именно поэтому в общей формуле я отдельно и выделяю знаки умножения.

        Первая часть (первый множитель) — это некоторая функция u. Функция как функция. Выражаемая какой-то формулой.

        Вторая часть (второй множитель) — это не функция, а дифференциал некоторой другой функции v. То есть, dv.

        Что это за таинственные u и v? Об этом дальше подробненько будет. Никаких тайн.)

        Что же происходит при применении формулы? С точки зрения математики ничего особенного не происходит:

        1. Первый множитель — u — дифференцируется. Было u, а становится du.

        2. Второй множитель – dv – наоборот, интегрируется. Было dv, а после интегрирования стало просто v.

        Зато с точки зрения наших хотелок происходит оч-чень много полезного! Исходный интеграл:

        

        который, по каким-то причинам, нам не очень нравится, заменяется на другой интеграл

       

        вычисление которого должно оказаться проще исходного.

        Вот и всё. Вот и вся ключевая идея применения формулы!

        Что брать за u, а что за dv?  

        Вопрос хороший! Этот момент – стратегически самый важный при применении формулы. Давайте разбираться. В самых общих чертах.) Выпишем ещё раз формулу:

        Как видно из формулы, нам надо интегрировать новое выражение v∙du. И оно должно оказаться проще старого подынтегрального выражения u∙dv. Вот такая ключевая идея — упростить исходное подынтегральное выражение!

        Поскольку в новом подынтегральном выражении стоит дифференциал du, то за функцию u всегда принимается функция, упрощающаяся при дифференцировании.

        И какие же функции упрощаются при дифференцировании? Как правило, это всякие ужасы типа логарифмов или “арков”. Почему же они упрощаются при дифференцировании? А потому, что их производные — гораздо более простые функции! Рациональные дроби или, в худшем случае, выражения с корнями (для арксинуса/арккосинуса). Вспоминаем нашу старую добрую таблицу производных:

        

        И так далее. С дробью 1/х всяко проще работать в процессе интегрирования, чем с логарифмом, правда?  И с арками та же история.

        Точно так же упрощаются при дифференцировании и многочлены, степень которых после каждого дифференцирования понижается на единичку:

        

        В общем, принцип выбора функции u предельно ясен — упрощение после дифференцирования. А что же со вторым множителем dv?

        Поскольку множитель dv нам придётся интегрировать, то за dv всегда берётся конструкция, не усложняющаяся при интегрировании!

        Например, это вполне может быть экспонента. Или же тригонометрическая функция — синус там или косинус… Или степенная функция или многочлен. Эти функции никак не усложняются при интегрировании! Почему? Вспоминаем теперь уже таблицу интегралов (первообразных): экспонента при интегрировании превращается сама в себя, синус/косинус — друг в друга (с точностью до знака), а любой многочлен степени n — также в многочлен, но степени n+1.

        Запоминаем:

        За функцию u всегда принимаем выражение, упрощающееся при дифференцировании.

        За dv принимаем выражение, не усложняющееся при интегрировании.

        Разумеется, сразу увидеть и сообразить в уме, что упростится/усложнится после дифференцирования/интегрирования, не всегда возможно. Всё от конкретного примера и от опыта зависит. Не всегда с первого раза получается. Бывает.)

        Но для некоторых типовых схем я всё же приведу небольшую сводную табличку. Пользуйтесь на здоровье! 🙂

        Что ж, думаю, хватит грузной теории, давайте перейдём к конкретным примерам — всё станет куда понятнее.) В этом уроке рассмотрим интегралы из группы №1.

Произведение многочлена и показательной/тригонометрической функции.

        Это интегралы из первой группы нашей сводной таблички.

        Общий рецепт здесь следующий:

        Если под интегралом стоит произведение многочлена и показательной/тригонометрической функции, то за функцию u всегда берётся МНОГОЧЛЕН.

        А что берётся за dv?  А за dv всегда берётся оставшаяся часть подынтегрального выражения вместе с dx! Что уж там осталось, то и берётся, так уж формула интегрирования по частям устроена: всё подынтегральное выражение надо по кусочкам распределить между u и dv.

        Вот так:

        

        Ну что, посмотрим на формулу интегрирования по частям в действии?)

        Например, пусть надо найти вот такой интересный интеграл:

Пример 1

        Казалось бы, всё просто. Под знаком интеграла стоит произведение знакомых табличных функций — икса и e^x. Вроде, всё хорошо. Но есть одна проблемка: общей стандартной формулы для интеграла от произведения не существует! По отдельности каждая функция интегрируется без проблем, а вот произведение — уже проблема, да…) Как быть?

        Как-как… Надо разделить разные типы функций!

        Вот и разбиваем наше подынтегральное выражение на кусочки! Наша задача представить конструкцию

        xe^xdx

        в виде произведения функции u и дифференциала другой функции dv.

        Определяемся, что выбираем за u и за dv!

        Работаем прямо по правилу для группы №1. В роли показательной функции у нас, очевидно, e^x. А множитель х служит как раз тем самым многочленом, который целесообразно брать в качестве функции u. Не так очевидно, что это многочлен, но это именно он.) Состоящий всего из одного члена — икса. Бывает.)

        А вот к dv мы должны отнести то, что осталось — выражение e^xdx.

        Так и пишем:

        

        Да-да, именно так и выделяем, прямо в тетрадке!

        Итак, выбор u и dv сделан. Вот он:

        

        Теперь следующим шагом мы начинаем операцию, которую я условно называю “миграция дифференциала”: функцию u мы будем дифференцировать и превращать в du, а dv — наоборот интегрировать и превращать в v. Таким образом, под дифференциалом вместо функции v окажется функция u. Вспоминаем нашу картинку с пляшущими человечками.)

        Поехали!

        Дифференцируем функцию u, считаем du:

        

        Интегрируем множитель dv и ищем функцию v:

        

        Внимание! Не прибавляем константу С после отыскания функции v! Ведь в качестве функции v нам нужна только какая-то одна конкретная первообразная! А не всё бесконечное множество, да…) Самая простая такая первообразная — очевидно, с константой С, равной нулю (С=0). Именно поэтому я и пишу

        v = e^x,

        а не

        v = e^x + C.

        А теперь берём формулу интегрирования по частям

        

        и аккуратно подставляем все исходные данные на свои места:

        

        И считаем:

        

        Вот и все дела.)

        Ответ:

        

        Как всегда, для пущей уверенности, дифференцируем результат:

        

        Ура! Совпало! 🙂

        Что у нас произошло после применения формулы интегрирования по частям? А произошло то, что мешающий нам множитель х исчез из примера, и исходный интеграл от нехорошего произведения

       

        свёлся к табличному (!) интегралу от безобидной экспоненты

       

        Берущемуся в уме. Если таблицу знать.) Здорово, правда?

        Именно так и работает формула интегрирования по частям. Разделяет разнотипные функции и превращает ужасный на вид интеграл в белый и пушистый. Вот и вся суть метода интегрирования по частям.)

        А что будет, если поступить наоборот –  за u принять e^x, а за dv — xdx?

        Не вопрос, давайте посмотрим:

        

        Тогда, подставляя всё в формулу, получим:

        

        Хм… И что нам с таким интегралом делать?! Даже ещё хуже стало, чем было…

        Да! При таком выборе u и dv новый интеграл не упрощается, а, наоборот, усложняется! Экспоненте-то всё равно, что с ней делают — дифференцируют/интегрируют. У неё ко всем воздействиям врождённый иммунитет.) В отличие от многочлена, который при таком раскладе не понижает свою степень, а повышает. Что никак не делает пример проще, да…)

        Собственно в этом-то и кроется причина выбора именно многочлена в качестве функции u для интегралов первой группы — понизить его степень.

        А для общего развития запоминаем:

        Если после применения формулы новый интеграл получился сложнее исходного, то, скорее всего, неудачно сделан выбор u и dv. Не падаем духом и пробуем другую комбинацию.

        Эта рекомендация относится не только к этому уроку, на примеры из первой группы, а ко всему интегрированию по частям вообще.

        Но самое надёжное — не бездумно расчленять подынтегральное выражение и комбинировать кусочки, задумчиво глядя на пример, а понимать общий смысл формулы и принцип выбора u и dv для конкретного типа интеграла. Уметь заранее просчитывать ситуацию и оценивать последствия того или иного выбора. Такой опыт только с практикой приходит. Прорешаете хотя бы 20-30 примеров — и проблема выбора u и dv отпадёт сама собой.)

        Ну вот. Первый пример разобран по косточкам. Разумеется, так подробно расписывать следующие примеры я уже не буду. Это чисто для знакомства сделано. Чтобы общую идею уловить.)

        А теперь можно записать и общий алгоритм вычисления неопределённых интегралов по частям.

        Алгоритм вычисления неопределённых интегралов по частям.

        1. Внимательно осматриваем подынтегральную функцию и определяем, к какой группе относится данный интеграл.

        2. Разбиваем подынтегральное выражение на две части (u и dv), согласно правилу именно для данной группы.

        3. Дифференцируем функцию u и считаем дифференциал du.

        4. Интегрируем дифференциал dv и ищем саму функцию v.

        5. Подставляем исходные данные (u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям.

        6. Срабатываем по формуле, берём новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставляем результат, упрощаем (если надо) и записываем окончательный ответ примера.

        Ну что, потренируемся в применении алгоритма?)

        Пример 2

       

        И опять под интегралом стоит произведение функций разной природы — икса и косинуса. Значит, разделяем разнородные функции и интегрируем по частям: у нас просто нет других вариантов!

        Работаем строго по пунктам.

        1. Внимательно осматриваем подынтегральную функцию и определяем, к какой группе относится данный интеграл.

        Очевидно, это интеграл из первой группы — типа “многочлен на синус/косинус”. Переходим к пункту 2.

        2. Разбиваем подынтегральное выражение на две части (u и dv), согласно правилу именно для данной группы.

        Наше правило для первой группы гласит, что за функцию u следует принимать многочлен — то есть, просто множитель x.

        Ну, а за dv, ясен перец, принимаем то что осталось, т.е. cos x dx.

        Вот так:

        

        Итак, выбор сделан. Переходим к пунктам 3 и 4. Тут всё просто, без фокусов:

        3. Дифференцируем функцию u и считаем дифференциал du.

       

        4. Интегрируем дифференциал dv и ищем саму функцию v.

       

        5. Подставляем исходные данные (u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям.

        Итак, все исходные данные для применения формулы подготовлены. Подставляем:

        

        6. Срабатываем по формуле, берём новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставляем результат, упрощаем (если надо) и записываем окончательный ответ примера.

Вперёд!

Ответ:

        Готово дело.)

        Проверяем ответ дифференцированием:

        

        Всё путём.)

        Мы видим, что новый интеграл опять оказался табличным и берущимся в уме! От синуса. Халява! 🙂 Но далеко не всегда выпадает такое счастье. Иногда при поиске функции v надо дополнительно потрудиться. Поэтому теперь решим что-нибудь посложнее. Чтобы в ступор не впасть, в случае чего…

        Пример 3

       

        Чем-то похоже на предыдущий пример, правда? Только синус ещё затесался, в качестве третьего множителя. Поскольку перед нами снова произведение разнородных функций — икса и тригонометрии, то такой интеграл можно попробовать взять только по частям. Но под интегралом произведение трёх функций, а не двух, как обычно! Что делать?

        Что-что… Не бояться, вот что! Ибо из трёх множителей всегда можно сделать два. Нас спасут… скобочки! Вот так:

        

        А дальше опять по алгоритму. Поехали!

        1. Внимательно осматриваем подынтегральную функцию и определяем, к какой группе относится данный интеграл.

        Всё ясно. Это первая группа, т.к. под интегралом произведение многочлена (икса) и тригонометрии (sinx∙cosx).

        2. Разбиваем подынтегральное выражение на две части (u и dv), согласно правилу именно для данной группы.

        И здесь вопросов нет. Икс — это u. То, что осталось (т.е. sinx∙cosxdx) — это dv.

        Итого имеем следующее:

        

        3. Дифференцируем функцию u и считаем дифференциал du.

       

        4. Интегрируем дифференциал dv и ищем саму функцию v.

        А вот здесь начинается самое интересное.) Для поиска v нам надо проинтегрировать выражение sinx∙cosxdx.

        Вот так:

        

        Вот тут уже с ходу, в уме, этот интеграл не возьмёшь. В одно действие. Подумать надо.)

        Варианта два. Можно внести косинус (или синус) под знак дифференциала и старым добрым способом, но в данном случае гораздо выгоднее искусственно выделить под интегралом синус двойного угла:

        

        А проинтегрировать синус двойного угла уже никакого труда не составляет. В уме интегрируется. Как это делается, смотрим этот урок. Самое главное — не забываем про дополнительные коэффициенты и про знаки.

        

        Всё. Функцию v мы нашли. Идём дальше по алгоритму.

        5. Подставляем исходные данные (u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям.

        

        6. Срабатываем по формуле, берём новый, более простой, интеграл ∫vdu, подставляем результат, упрощаем (если надо) и записываем окончательный ответ примера.

        

        И снова мы видим, что новый интеграл, от косинуса двойного угла, много проще старого интеграла от сборной солянки x∙sinx∙cosx. Интегрируем косинус двойного угла, “причёсываем” ответ и добиваем наш злой пример.

        Пишу подробно, со всеми знаками и коэффициентами, поскольку именно в них народ и косячит на 99%:

        

        Ответ:

        

        Вот и все дела.) Кому не нравятся двойные углы, те могут перейти обратно к одинарным по соответствующим формулам, но в таком виде ответ выглядит гораздо компактнее.

        Что, сомнения нахлынули? Не ленимся, дифференцируем:

        

        Нет, всё честно.)

        Всё бы ничего, но… могут случаться и такие сюрпризы, когда по частям приходится интегрировать несколько раз. Разберём ещё один пример.

        Пример 4

        

        Надеюсь, общий алгоритм интегрирования по частям уже запомнился? Можно не расписывать подробно в четвёртый раз?)

        В этот раз на экспоненту умножается не одинокий икс, а вполне себе полноценный многочлен. Но схема выбора u и dv та же самая.

        

        Действуем в соответствии с алгоритмом:

        

        Отлично. Функции u и v, а также их дифференциалы du и dv найдены. Пора приступать к интегрированию по частям. Снова прямо по формуле вставляем все исходные данные, упрощаем что упрощается и получаем:

        

        А вот и обещанный сюрприз! Что делать с новым интегралом

       

        В таблице такого и близко нет, обычными преобразованиями с подынтегральной функцией тоже ничего не сделаешь… Но! Можно заметить, что под новым интегралом у нас опять произведение многочлена и экспоненты! Поэтому… снова интегрируем по частям (да-да!). Утешает то, что новый многочлен (2х+1) стал уже линейным (а не квадратичным, как был изначально)! Казалось бы, мелочь, но очень существенная: новый интеграл в целом проще старого! Как и должно быть.)

        Если мы сейчас отдельно возьмём этот интеграл по частям и упростим до упора, то получим такой результат:

        

        Что, у вас не так получилось? А за знаками следили? А за коэффициентами? Не забываем, что е^-2х — сложная функция! Со всеми вытекающими.)

        Вот практически и всё. Возвращаемся к исходному примеру, вставляем результат промежуточного интегрирования по частям на своё место и константу не забываем.)

        Получим:

        

        В принципе, интеграл мы уже нашли. Если требуются дальнейшие упрощения и наведение марафета, то, раскрыв скобки и приведя подобные, окончательно получим:

        Ответ:

        

        Вот такой ответ. Проверочное обратное дифференцирование предлагаю провести самостоятельно.)

        Чем поучителен этот пример? Как видите, здесь нам пришлось интегрировать по частям два раза! Почему? Всему виной является вторая степень нашего многочлена x²+x+1. Проблема в том, что после каждого применения формулы (т.е. взятии дифференциала du) степень многочлена понижается лишь на единичку. Как и при любом дифференцировании, да.

        Например, если бы под интегралом стоял многочлен 10-й степени (да даже хотя бы простое произведение x¹⁰e^x), то последовательно интегрировать по частям пришлось бы (о, ужас!) десять раз! Это огорчает. Но зато при каждом новом интегрировании степень многочлена будет становиться всё ниже. Пускай на единичку, но — ниже. Это радует.)

        Запоминаем:

        Интегрировать по частям требуется столько раз, какова степень многочлена.

        Между прочим, в качестве показательной функции совершенно не обязательно должна стоять именно экспонента (e^x, е^2х и тому подобные конструкции). Запросто может оказаться вообще не “е”, а что-то типа 2^3х и т. п. Не надо пугаться. Принцип интегрирования тот же самый. Отличие состоит лишь в том, что при вычислении функции v будут всплывать дополнительные коэффициенты с логарифмами, которые ни в коем случае нельзя терять.

        Например:

        

        И так далее…

        Итак, с первой группой интегралов, берущихся по частям, поработали. Переходим ко второй группе — логарифмам, аркам и прочим питомцам нашего зоопарка элементарных функций. В следующей теме.)

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям – метод для решения интегралов от произведения двух элементарных функций. Одна из них легко дифференцируема, а другая интегрируема. Работает техника для неопределенных и определенных интегралов.

Формула для неопределенного интеграла:

$$ int udv = uv – int vdu $$

Формула для определенного интеграла:

$$ int limits_{a}^{b} udv = uv bigg |_{a}^{b} – int limits_{a}^{b} vdu $$

Рассмотрим на практике примеры решения интегрирования по частям, которые часто предлагаются преподавателями на контрольных работах. Обратите внимание ещё раз на то, что под значком интеграла стоит произведение двух функций. Это как признак того, что для решения подойдет данный метод.

Пример 1

Найти интеграл $ int xe^xdx $

Решение

Видим, что подынтегральная функция состоит из двух функций, одна из которых при дифференцировании моментально превращается в единицу, а другая легко интегрируется. Для решения интеграла используем метод интегрирования по частям. Положим, $ u = x rightarrow du=dx $, а $ dv = e^x dx rightarrow v=e^x $ Подставляем найденные значения в первую формулу интегрирования и получаем $$ int xe^x dx = xe^x – int e^x dx = xe^x – e^x + C. $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int xe^x dx = xe^x – e^x + C $$

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 апреля 2020 года; проверки требуют 6 правок.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие равенства

для неопределённого интеграла

или в другой записи

для определённого интеграла

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправдано.

Получение формул[править | править код]

Для неопределённого интеграла[править | править код]

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.

Для определённого интеграла[править | править код]

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Данные формулы справедливы, если каждая из функций и непрерывно дифференцируема на области интегрирования.

Табличное интегрирование по частям[править | править код]

Основной процесс приведённой выше формулы может быть обобщено в таблице.

Например, рассмотрим интеграл

Начнем перечислять в столбце D функцию и ее последующие производные до тех пор, пока не будет получен 0. Затем, перечисляем в столбце I функцию и ее последующие первообразные до тех пор, пока размер столбца I не будет таким же, как и в столбце D. Результат выглядит следующим образом:

# i	Знак	D: производные u(i)	I: интегралы v(n−i)
0	+
1	−
2	+
3	−
4	+

Произведение значений в ряду i столбцов D и I вместе с соответствующим им знаком выдают соответствующие интегралы на шаге i в течение повторяющихся шагов интегрирования по частям. Шаг i = 0 несет в себе исходный интеграл. для полного результата в шаге i > 0 i-й интеграл должен быть добавлен к предыдущим произведениям(0 ≤ j < i) j-го значения столбца D и (j + 1)-го значения столбца I (т.е., умножить 1-ое значение столбца D на 2-ое значение столбца I, 2-ое значение столбца D на 3-е значение столбца I, и т.д. …) не забывая о j-м знаке. Процесс завершается, когда произведение, которое несет в себе интеграл, принимает значение 0 (i = 4 в нашем примере). Конечный результат следующий: (включая разные знаки в каждом сегменте):

В итоге:

Примеры[править | править код]

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

Таким образом один интеграл выражается через другой:

Решив полученную систему, получаем:

Многомерный случай[править | править код]

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество , а вместо производной − частная производная.

Пусть открытое ограниченное подмножество с кусочно-гладкой границей . Если и гладкие функции на замыкании , то

где − внешняя нормаль к , а − её i-ая координата, i от 1 до n, – мера на .

См. также[править | править код]

• Интеграл
• Интеграл Римана
• Преобразование Лежандра
• Методы интегрирования
• Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.

Литература[править | править код]

• Маслов А. П., Белоус Е. А. Тема 5.2 // Математика для инженеров (2 курс).
• Тимофеев А. Ф. Интегрирование функций. — М.—Лен.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — С. 37—42.

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки[править | править код]

• Математика для заочников и не только. Дата обращения: 11 мая 2011.
• Канал СЗТУ на сайте youtube.com. Дата обращения: 11 мая 2011.

Пусть
и– непрерывно дифференцируемые функции.
На основании формулы дифференциала
произведения имеем

.

Отсюда

.

Интегрируя,
получим:

или окончательно

.

(4)

Формула (4) называется формулой
интегрирования по частям.

Выведенная формула показывает, что
интеграл
приводится к интегралу,
который может оказаться более простым,
чем исходный, или даже табличным. Сущность
метода интегрирования по частям вполне
соответствует его названию. Дело в том,
что при вычислении интеграла этим
методом подынтегральное выражениепредставляется в виде произведения
множителейuиdv.
При этом dx обязательно входит в
dv. В результате получается, что заданный
интеграл находится по частям: сначала
находим,
а затем.

Пример 1.

.

В представленном примере, как и в
дальнейших, вертикальными черточками
отделены вспомогательные записи. Отметим
также, что в качестве vможно взять любую функцию видаx+C,гдеС– постоянная. Мы взялиv=x,
т.е.С=0.

Пример
2.
.

Пример
3.

.

Пример 4.

.

Иногда для вычисления
интеграла формулу интегрирования по
частям приходится применять несколько
раз.

Пример
5.

.

Таким образом, интеграл
вычислен двукратным интегрированием
по частям.

Пример 6.

.

Если бы выражение
u
и dv
мы выбрали иначе, т.е.
,
то получили бы,
откуда,
и пришли бы к интегралу более сложному,
чем исходный, т.к. степень сомножителя
при тригонометрической функции повысилась
на единицу.

Приведенный пример показывает, что при
вычислении интегралов методом
интегрирования по частям главным
является разумное разбиение подынтегрального
выражения на множители uиdv. Общих установок
по этому вопросу не имеется. Однако, для
некоторых типов интегралов сделать это
возможно.

а) В интегралах вида

где
P(х)
– многочлен относительно x,
а –
некоторое число, полагают u=P(x),
а остальные сомножители за
.

Пример 7.
Найти
.


Положим
,,
тогда,.
Следовательно,



б) В интегралах вида

полагают

а
остальные сомножители – заu.

Пример 8.
Найти
.

Следовательно,

.

Вычислим отдельно последний интеграл:

.

Итак,
.

Отметим, что на
практике важно научиться применять
формулу (4), не выписывая по возможности
в стороне выражения для функций u
и v.

Так, решение приведенного примера может
быть представлено в виде:



=.

Возвращение к исходному интегралу

Формула интегрирования
по частям применима и для нахождения
интегралов вида
и,
гдеа
и b
– числа. При
нахождении этих интегралов она применяется
последовательно два раза, причем оба
раза за u
выбирается либо показательная функция,
либо тригонометрическая. После
двукратного интегрирования по частям
получается линейное уравнение относительно
искомого интеграла.

Пример 9.
Найти I
=.


Положим
,.
Тогда,.

Следовательно,
I
=.

Для вычисления
интеграла
снова
применим интегрирование по частям.
Положим,.
Тогда,.

Таким образом,

I==.

Так как в правой части стоит искомый
интеграл, то, перенося его в левую часть,
получим:

.

Отсюда получаем окончательный результат:

=.

Применим изложенный
метод к вычислению еще двух, часто
используемых в приложении, интегралов.

Пример
10. Найти
I
=.


Положим
,.
Тогда,.
Следовательно,

(*)

Так
как
,
то

(см.
лекция 2, п.2б, пример 20).

Подставив
полученное выражение в равенство (*),
будем иметь

.

Таким
образом,
.

Пример
11. Найти

,(а0)


Положим
,,
откуда,.
Следовательно,

,

или

.

Отсюда получаем:
.

Соседние файлы в предмете Высшая математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл представляет собой аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь. Таким образом, пояснение для интеграла заключается в следующем: интеграл является площадью какой-то фигуры, расположенной под линией функции.

Данное понятие относится к определенному интегралу. Он определен на отрезке между точками а и b. В верхней части в качестве ограничения выступает некоторый график функции, как представлено на рисунке:

Математическая запись интеграла:

(int_{a}^{b}{f(x)dx})

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю. Записать это можно с помощью уравнения:

(P=lim_{Delta x_{i}rightarrow 0}sum{y_{i}Delta x_{i}})

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

Свойства, которыми обладает определенный интеграл:

1. Когда функции f и g интегрируются на интервале [a, b], то для любых чисел (alpha) и (beta (alpha in R, beta in R)) функция (varphi(x) = alpha f(x) + beta g(x)) также интегрируема на отрезке [a, b]. Справедливо равенство: (intlimits_a^b (alpha f(x) + beta g(x)) dx = alpha intlimits_a^b f(x) dx + beta intlimits_a^b g(x) dx.label{ref1})
2. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция (varphi(x) = f(x)g(x)) также интегрируема на этом отрезке.
3. В том случае, когда функция f(x) интегрируема на отрезке (Delta = [a, b]) она интегрируема на любом отрезке (Delta_{1} subset Delta.)
4. При функции f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] и a < c  < b, будет работать формула: (intlimits_a^b f(x) dx = intlimits_a^c f(x) dx + intlimits_c^b f(x) dx)
5. При функции f, интегрируемой на отрезке [a, b] и если (c_{1}, c_{2}, c_{3}) являются любыми точками данного интервала, то (intlimits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = intlimits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + intlimits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

1. Константу можно выносить за знак интеграла: (int kf(x) dx = kint f(x) dx)
2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: (int ( f(x) pm g(x) ) dx = int f(x) dx pm int g(x) dx)
3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: (bigg (int f(x) dx bigg )’ = f(x))
4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: (int F'(x) dx = F(x) + C)
5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: (int df(x) dx = f(x) + C)

Таблица интегралов для студентов

Такие формулы позволяют упростить решение многих задач. Основные интегралы:

(int 0dx=C)

(int dx=int 1dx=x+C)

(int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1}+C)

(int frac{dx}{x}=ln |x|+C)

(int a^x dx = frac{a^x}{ln a} + C)

(int e^x dx = e^x + C)

(int sin x dx = -cos x + C)

(int cos x dx = sin x+C)

(int frac{dx}{sin^2 x}=-ctgx + C)

(int frac{dx}{cos^2 x}=tgx+C)

(int frac{dx}{sqrt{a^2-x^2}}=arcsin frac{x}{a}+C)

(int frac{dx}{a^2+x^2}=frac{1}{a}arctgfrac{x}{a}+C)

(int frac{dx}{a^2-x^2}=frac{1}{2a} ln|frac{a+x}{a-x}|+C)

(int frac{dx}{sqrt{x^2pm a^2}}=ln|x+sqrt{x^2pm a^2}|)

Методы решения интегралов

Данные методики позволяют преобразовать сложные уравнения в простые формы, решения которых можно найти в таблице. Также к преобразованным выражениям можно применять свойства интегралов.

Непосредственное интегрирование

Данный метод целесообразно применять, когда в интеграле имеются табличные простейшие функции, либо функции, которые можно представит в таком виде по результатам элементарных действий. К примеру, когда требуется вынести константу за знак интеграла, разбить интеграл на слагаемые в виде интегралов, чтобы в подынтегральном выражении присутствовала готовая функция для интегрирования. Можно привести простой пример:

Необходимо определить интеграл непосредственным интегрированием:

(int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx)

Исходя из свойства суммы интегралов, получим:

(int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = int x^3 dx + int frac{3 dx}{2sqrt{x}} + int frac{2 dx}{x})

Первый интеграл записан в табличном виде. В таком случае можно воспользоваться непосредственным интегрированием:

(int x^3 dx = frac{x^{3+1}}{3+1} = frac{x^4}{4} + C)

Второй интеграл обладает константой, которую допустимо вынести за знак. Затем интеграл будет преобразован в табличную форму:

(int frac{3dx}{2sqrt{x}} = 3 int frac{dx}{2sqrt{x}} = 3 sqrt{x} + C)

В третьем интеграле можно вынести константу. Далее необходимо воспользоваться методом непосредственного интегрирования:

(int frac{2dx}{x} = 2int frac{dx}{x} = 2 ln x + C)

Полученные выражения необходимо представить в виде одной записи:

(int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = frac{x^4}{4} + 3sqrt{x} + 2ln x + C)

Ответ: (int bigg ( x^3 + frac{3}{2sqrt{x}} + frac{2}{x} bigg ) dx = frac{x^4}{4} + 3sqrt{x} + 2ln x+ C)

Метод подведения под знак дифференциала

Решить некоторые типы интегралов можно с помощью этого способа. Он заключается в вынесении под знак интеграла. Таким образом получается интеграл табличной формы. Формула имеет следующий вид:

(f'(x) dx = d( f(x) ))

В том случае, когда подынтегральная функция содержит произведение пары функций, одна из которых представляет собой дифференциал другой, нужно внести под знак дифференциала нужную функцию. Данное действие можно записать таким образом:

(int f(varphi(x)) varphi'(x) dx = int f(varphi(x)) d(varphi(x))=int f(u) du)

(u=varphi(x))

Воспользоваться способом подведения основных функций можно при знании таблицы производных и интегрирования. Из них следуют следующие уравнения:

(dx = d(x+c) )

(c=const)

(-sin x dx=d(cos x))

(dx=frac{1}{a} d(ax))

(cos x dx = d(sin x))

(xdx=frac{1}{2} d(x^2+a) )

(frac{dx}{x} = d(ln x))

(-frac{dx}{x^2}= d(frac{1}{x}))

(frac{dx}{cos^2 x} = d(tg x))

(int f(kx+b)dx = frac{1}{k} int f(kx+b)d(kx+b) = frac{1}{k} F(kx+b) + C)

В качестве примера можно решить задачу на нахождение интеграла, обладающего таким видом:

(int sin x cos x dx)

В этом случае допустимо заносить под знак дифференциала любую из указанных функций. Целесообразно занести (cos x) из-за удобства смены знаков. Применяя формулы, получим:

(int sin x cos xdx = int sin x d(sin x) = frac{1}{2} sin^2 x + C)

Ответ: (int sin x cos x dx = frac{1}{2} sin^2 x + C)

Метод интегрирования по частям

Данная методика применима, когда требуется решить интегралы от произведения двух простейших функций. Одна из них достаточно просто дифференцируется, а вторая — интегрируется. В данном случае справедлива методика для неопределенных и определенных интегралов. Неопределенный интеграл характеризуется уравнением:

(int udv = uv – int vdu)

Определенный интеграл соответствует формуле:

(int limits_{a}^{b} udv = uv bigg |_{a}^{b} – int limits_{a}^{b} vdu)

В качестве примера можно определить интеграл:

(int xe^xdx)

Заметим, что в состав подынтегральной функции входит пара функций. Одна из них путем дифференцирования преобразуется в единицу, а вторая достаточно просто интегрируется. Поэтому в данном случае справедлив метод интегрирования по частям. Можно предположить, что:

(u = x rightarrow du=dx)

(dv = e^x dx rightarrow v=e^x)

Далее необходимо подставить полученные значения в первую формулу интегрирования:

(int xe^x dx = xe^x – int e^x dx = xe^x – e^x + C)

Ответ: (int xe^x dx = xe^x – e^x + C)

Метод замены переменной или метод подстановки

Этот способ нахождения интегралов применим в задачах, где одна функция — это производная второй функции. Допустим, что интеграл записан так:

(int f(x) dx)

Можно заменить (x=phi(t)). При этом функция (phi(t)) является дифференцируемой, поэтому можно найти (dx = phi'(t) dt.)

Далее следует подставить (begin{vmatrix} x = phi(t) \ dx = phi'(t) dt end{vmatrix}) в интеграл. Таким образом:

(int f(x) dx = int f(phi(t)) cdot phi'(t) dt)

Полученное выражение является формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

При условиях задачи, которая содержит интеграл (int f(phi(x)) cdot phi'(x) dx), целесообразно заменить переменную на новую:

(t = phi(x))

(dt = phi'(t) dt)

Таким образом, интеграл преобразуется в форму, которую легко рассчитать с помощью основных методов интегрирования:

(int f(phi(x)) cdot phi'(x) dx = int f(t)dt)

Следует помнить, что по итогам расчетов требуется вернуть замененную переменную назад к x.

Например, можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо вычислить неопределенный интеграл с помощью замены переменной:

(int e^{3x} dx)

Замена переменной будет выполнена следующим образом:

(t = 3x)

(dt = 3dx)

Таким образом:

(int e^{3x} dx = int e^t frac{dt}{3} = frac{1}{3} int e^t dt =frac{1}{3} e^t + C = frac{1}{3} e^{3x} + C)

Ответ: (int e^{3x} dx = frac{1}{3} e^{3x} + C)

Примеры решения

Задача 1

Требуется рассчитать определенный интеграл:

(int_0^1 frac{x}{x^4+1} dx)

Решение

Требуется заменить (t = x^2)

Таким образом, (dt = 2xdx)

Далее необходимо пересчитать пределы интегрирования для переменной t. Для этого нужно подставить 0 и 1 в замену (t = x^2)

В данной задаче они остались прежними. После манипуляций с подстановками получим:

(int_0^1 frac{x}{x^4+1}dx = int_0^1 frac{1}{2} frac{dt}{t^2+1})

Можно найти интеграл по таблице:

(int_0^1 frac{1}{2} frac{dt}{t^2+1}=frac{1}{2} arctg t bigg |_0^1)

Используя формулу Ньютона-Лейбница, запишем решение:

(frac{1}{2} arctg t bigg |_0^1 =frac{1}{2} arctg 1 – frac{1}{2} arctg 0 = frac{1}{2} cdot frac{pi}{4} = frac{pi}{8})

Ответ: (int_0^1 frac{x}{x^4+1} dx = frac{pi}{8})

Задача 2

Необходимо решить определенный интеграл:

(int_0^pi (x+5)sin x dx)

Решение

Можно заметить произведение двух функций, которое находится под интегралом. В этом случае целесообразно воспользоваться методом интегрирования по частям:

(int udv = uv – int vdu)

(int_0^pi (x+5) sin x dx = begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \ dv = sin x dx & v = -cos x end{vmatrix})

Нужно подставить в уравнение интегрирования по частям рассчитанные данные из вертикальных скобок:

(-(x+5)cos x bigg |_0^pi&nbsp;+ int_0^pi&nbsp;cos x dx)

С помощью формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла запишем ответ:

(-(x+5)cos x bigg |_0^pi + int_0^pi cos x dx = -(pi+5) cdot (-1) + 5 + sin x bigg |_0^pi = pi + 10 + sin pi – sin 0 = pi + 10)

Ответ:  (int_0^pi (x+5)sin x dx = pi + 10)

Задача 3

Требуется найти определенны интеграл, записанный в виде:

(int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx)

Решение

Используя способ разложения интеграла на простейшие, после получения промежуточного результата необходимо интегрировать каждый интеграл индивидуально:

(int_0^2 (x^3+2x+2) dx = int_0^2 x^3dx + 2int_0^2 xdx + 2int_0^2 dx)

В случае первых двух интегралов целесообразно воспользоваться правилом:

(x^p = frac{x^{p+1}}{p+1})

Третий интеграл содержит константу. Таким образом:

(int_0^2 x^3dx + 2int_0^2 xdx + 2int_0^2 dx = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + 2 frac{x^2}{2} bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + x^2 bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 )

Далее следует подставить пределы интегрирования в каждую функцию и записать ответ:

(int_0^2 x^3dx + 2int_0^2 xdx + 2int_0^2 dx = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + 2 frac{x^2}{2} bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 = frac{x^4}{4} bigg |_0^2 + x^2 bigg |_0^2 + 2x bigg |_0^2 )

Ответ: (int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12)

Задача 4

Необходимо найти решение интеграла:

(int 3cos x dx)

Решение

Требуется вынести константу по первому свойству за знак интеграла и записать ответ:

(int 3cos x dx = 3 int cos x dx = 3 sin x + C)

Ответ: (int 3cos x dx = 3 sin x + C)

Задача 5

Необходимо определить интеграл:

(int (e^x + sin x) dx)

Решение

Исходя из первого свойства неопределенного интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов:

(int (e^x + sin x) dx = int e^x dx + int sin x dx = e^x – cos x)

Ответ: (int (e^x + sin x) dx = e^x – cos x)

Задача 6

Требуется определить производную от интеграла:

( int ln x dx)

Решение

Согласно третьему свойству неопределенного интеграла, производная неопределенного интеграла определяется, как подынтегральная функция:

(bigg (int ln x dx bigg )’ = ln x)

Ответ: (bigg (int ln x dx bigg )’ = ln x)

Задача 7

Требуется доказать следующее выражение:

( int (x^2+x)’ = x^2+x+C)

Решение

В первую очередь необходимо определить производную подынтегральной функции:

( (x^2+x)’ = (x^2)’ + (x)’ = 2x + 1)

Исходя из первого и второго свойства неопределенного интеграла, получим ответ:

(int (2x+1) dx = int 2x dx + int 1 dx = 2 int x dx + int 1 dx =2 cdot frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C)

Ответ: выражение доказано.

Благодаря теоретическим знаниям и практическим навыкам решения задач с интегралами, можно с легкостью осваивать самые сложные темы по физике и математическому анализу. Главное — уметь пользоваться таблицей с основными формулами и свойствами определенного и неопределенного интегралов. Если в процессе изучения материала возникают трудности, то в любое время можно открыть сервис Феникс.Хелп.