Как найти произведение отображений

Умножение
отображений

Пусть
имеются два отображения вида f:Х7;g:YZ.
Выберем произвольный элемент х ϵ X
и применим к нему отображение f.
Под действием f
элемент х перейдет в элемент у = f{x)
из множества Y.
Если теперь к элементу у применить
отображение g”,
то у перейдет в элемент z
= g(y)
из множества Z.
В результате каждому хХ
ставится в соответствие вполне
определенный элементz
= g(f(x))
множества Z
(рис. 3.7).

Таким
образом, последовательное применение
отображений fug
приводит к отображению множества X
в множество Z,
которое называется произведением (или
композицией) отображений g
и f.
Так как произведение

отображений
g
и f
переводит элемент хϵX
в элемент g(f(x)),
то это произведение естественно
обозначать символом g
о f
или просто gf.
По определению (g
o
f)
(х) = g(f(x))
для любого х→Х. Отметим, что произведение
отображений g:X’
→Y’
и f
: X
→ Y

определено
лишь в случае, когда X’
= Y.
В частности, может случиться, что gof
определено, a
fog
не определено. Очевидно, если f
u
g
— преобразования множества X,
то определены оба произведения g
o
f
и fog.
Они также являются преобразованиями
X.

Важнейшее
свойство умножения отображений — его
ассоциативность. Теорема 31. Пусть f,
g,
h
— три таких отображения, что одно из
произведений

(h°g)of,
ho
(gof)

определено.
Тогда определено и другое произведение,
причем

(hog)of
= ho(gof).

Пусть,
например, определено h
o
(gof).
Если f:X→Y,
то g
должно быть отображением вида g:Y→Z.
Но тогда gof:X→Z
и, значит, h
:Z→U.

Проверим,
что (hog)o
f
тоже определено. Действительно, hog
определено и ho
g:Y→U
Следовательно, определено и (hоg)
о причем (hоg)
о f
: X→U.

Покажем
теперь, что отображения (hog)
o
f
и h
о (gоf)
равны,

т.
е. для каждого хϵX
Имеем

((hog)
о
f) (X) =(hog) (f(X)) = h(g(f(X))),

(ho
(go f))(x) = h((g о f)(x)) = h(g(f(x))).

Опираясь
на понятие произведения двух отображений,
можно определить композицию трех,
четырех и более отображений. Пусть,
например,
,,
…,—преобразования
множестваX.

Их
произведение
o
…o
определим индуктивно:
o
уже определено,
°°= /з ° (°)
и, вообще, еслиi
< k
и
о
…ооуже определено, то положим •

Пользуясь
ассоциативностью умножения отображений,
нетрудно доказать,что справедливо.

Предложение
3.1.
° … °°°…= (°…°)
° (° …°)

для
любого 1 ≤ i
< k.

Укажем
еще несколько важных свойств композиции
отображений.

Теорема
3.2. Пусть f:X→Y,
g:Y→Z,
h→g
о f.
Тогда:

1)
если f
u
g
инъективны, то и h
инъективно;

2)
если f
u
g
сюръективны, то и h
сюръективно;

3)
если f
u
g
биективны, то и h
биективно.

Очевидно,
третье свойство есть прямое следствие
первых двух.

Пусть
f
и g
— инъекции. При любых
ϵХ,≠f(),

f
()
ϵY
и f
()
≠f
(х2) в силу инъективности f.
Но тогда g
(f())
≠ =g(f(x2))
из-за инъективности g.
Это доказывает инъективность h,
так как и, следовательно

()
≠().

Пусть
теперь f
u
g
сюръективны. Надо доказать, что и h:X→Z
сюръективно, т.е. h(X)=Z.
Обозначим буквой z
произвольный элемент множества Z.
Так как g:Y→
Z
сюръективно, то существует хотя бы один
элемент yϵY,
такой, что g(y)
= z.
В свою очередь, из сюръективности f:X→Y
вытекает существование такого элемента
х ϵ X,
что f(x)
= y.
Но тогда h(x)=g
(f(x))
=g(y)=
z,
т. е. h(X)
= Z.

Особую
роль при умножении отображений играет
тождественное отображение. Именно: если
f:X→F,
то f
°
—f
и
°f
= f.
Проверим, например, справедливость
первого равенства. Для любого хϵХ

(f°)(x)=f((x))
= f(x),
т. е. f
о
=f.
В случае, когда f
— преобразование множества X,
имеем

f
о
=оf
= f.

Обратное
отображение

Пустьf:Х→У
— биективное отображение. Тогда для
любого элемента у ϵ У существует
единственный элемент х ϵ X,
такой, что f(x)=y.
Отображение
:У→Х,
которое ставит в соответствие каждому
у ϵУ его прообраз х ϵX
при отображении f,
называется обратным к f.
Таким образом, если f
переводит х в у, то
переводит у в х. Инъективность и
сюръективность отображенияочевидны,
и, следовательно, для любого биективного
отображения обратное к нему тоже
биективно. При этом=f,
т. е. обратное отображение к
совпадает
сf.Очевидно,
определены композиции
°f
и f
o
,
причем

Действительно,
o
f:X→X
и для любого х ϵ Х

Аналогично
проверяется второе из равенств A.
Следующая теорема показывает, что
равенства A
можно использовать в качестве определения
обратного отображения.

Теорема
3.3. Если для отображения f:
X→Y
существует

отображение
g:Y→X,
такое, что g
о f
=
иf
о g
=
,
тоf
биективно и g
=
.

Пусть
,ϵХ
таковы, чтоf(xx)
= f().
Тогда иg
o
(f())
=g
o
(f()),
или

g
о f
()
=g
о f
(). (2)

Но
go
f
=
,
так что из (2) следует=.
Это доказывает инъективностьf,
так как из
=вытекаетf()=f().

Переходя
к доказательству сюръективности f,
рассмотрим

произвольный
элемент у ϵ У:

У
=
(у) =fog(y)
= f
(g(y)),

т.
е. у имеет по меньшей мере один прообраз
g(y).
Итак, f
сюръективно, а поэтому и биективно.

Проверим,
наконец, что g
=
.
Действительно, композиции

g°(f
°)
и (g°f)°
определены и в силу ассоциативности
умножения отображенийg
° (f
°= (g
° f)
°.Но
g°(f °
)
= g o= g, a (gof)o=o=

Итак,
мы видим, что обратное отображение к
отображению

f:XY
можно определить, как отображение g:Y→X,
для которого g
о f
=иf
о g
=. При этомg
существует тогда и только тогда, когда
f
биективно.

Предложение
3.2. Если f:X→Y
и g:Y→Z
— биекции, то

=°.gof:X→Z.
Так как
:Z→Y,
:Y→X,
то
o
:

:Z→X.

Пусть
хϵХ, f(x)=y,
g(y)=z.
Тогда (gof)(x)
= z,
zϵZ,
(о)
(z)
=
(z))
=
(У) =x.

Итак,
если g
о f
переводит х в z,
то
эпереводитz
в х, т. e.o
— обратное отображение кg
o
f.

Пусть
f
: Х→ Y
— произвольное отображение. Если у ϵ
F,
то полный прообраз элемента у при
отображении f
обозначается символом
(у). В случае, когдаf
биективно, символимеет уже самостоятельное значение и(у) можно понимать как образ элемента у
при отображении.
Никакой путаницы, однако, по этой причине
не происходит, так как в данном случае
полный прообраз элемента у при отображенииf
состоит из одного элемента

образа
у при отображении

Перестановки
и подстановки

В
дальнейшем нам понадобятся некоторые
дополнительные сведения о подстановках
конечных множеств.

Пусть
X
— конечное множество, состоящее из n
элементов. Эти элементы можно
перенумеровать с помощью первых n
натуральных чисел. Так как природа
элементов множества X
для нас не важно, то будем считать, что
Х = {1, 2, …,n}.
Всякое преобразование f
множества
X
будем записывать так:

Если
f
— подстановка, т. е. биективное
преобразование, то в строке f(1),
f(2),
…, f(n)
выписаны все числа 1, 2, …, n
без повторений, только, может быть, в
другом порядке. Строки такого вида
называются перестановками из n
чисел. Таким образом, перестановка из
n
чисел — это расположение чисел 1, 2, …,
n
в некотором определенном порядке. Две
перестановки из n
чисел различаются порядком элементов,
но не элементами. Итак, если f
— подстановка множества X, то нижняя
строка (1) есть некоторая перестановке
из n
чисел. Обратно, если

,
…,— произвольная перестановка из п чисел,
то преобразование

множества
X является, очевидно, подстановкой. При
этом различным перестановкам соответствуют
различные подстановки.

Теорема
З.4. Количество различных перестановок
из n
чисел равно n!.

Доказательство
проведем индукцией по п. При n
= 1 утверждение теоремы очевидно. Будем
считать, что n
> 1 и число различных перестановок из
n—1
чисел равно (n—
1)!.

Разобьем
множество всех перестановок из n
чисел на классы, состоящие из перестановок
с одинаковым последним числом.

Таких
классов будет ровно n.
Перестановок, лежащих в одном классе с

перестановкой
,,
…,,
будет столько, сколько существует
различных перестановок из чисел,,
…,—и
т. е. (n—1)!!
Так что каждый класс содержит ровно
(n—1)!
перестановок. Но тогда число всех
перестановок из n
чисел равно n(n—1)!
= n
f.

Следствие
3.1. Число всех подстановок множества X
из n
элементов равно n
f

Определение
3.4. Пусть

,
…,
(1)

есть
перестановка из n
чисел. Подмножество {i,j}(={j,
i})
множества {1, 2, …, n}
называется инверсией в перестановке
A),
если большее из этих двух чисел стоит
в перестановке (1) перед меньшим. Если
же большее из чисел i,
j
стоит в (1) после меньшего, то подмножество
{i,
j}
называется порядком в перестановке
(1).

Пример
3.16. В перестановке 3, 5, 4, 1, 2 {3, 4}—порядок,
а {3, 1} —

инверсия.

Определение
3.5. Перестановка называется четной, если
она содержит четное число инверсий. В
противном случае перестановку называют
нечетной.

Пусть

и

есть
две перестановки из n
чисел, а f
— подстановка множества X.
Будем говорить, что подстановка f
переводит перестановку (3) в перестановку
(4), если f()
=i=
l,
2, …, n.

Таким
образом, фраза «применить к перестановке
(3) подстановку f»
будет означать «заменить перестановку
(3) перестановкой f(),f(),
…,f
()».
Особый интерес для нас будут представлять
подстановки одного специального вида.
Подстановкаf
множества X
называется транспозицией, если для
некоторой пары чисел i,
jϵX,
i≠j,
f(i)=j,
f(j)
= i,
а всякое другое число из X
f
оставляет на месте. Такую транспозицию
удобно обозначать символом (i,
j)
(не путайте с элементом множества
!).
Очевидно, (i,
j)
= (j,
i)
— равенство отображений.

Если
транспозицию (i,
j)
применить к перестановке

…,i
,…,j,…

то,
очевидно, получится перестановка где
многоточия указывают числа, остающиеся
без изменения. Таким образом, после
применения к перестановке транспозиции
(i,
j)

элементы
i,
j
меняются местами.

Теорема
3.5. Если к перестановке один раз применить
транспозицию, то характер четности ее
изменится на противоположный. Рассмотрим
сначала случай, когда транспозиция (i,
j)
применяется к перестановке в которой
числа i,
j
стоят рядом. В результате получается
перестановка

…,
i,
j,
…,

Число
инверсий в перестановке (6) на единицу
больше или меньше, чем в (5). Действительно,
взаимное расположение чисел i,
j
с остальными числами, входящими в
перестановки(5), (6), не изменилось. В то
же время, если {i,
j}
— инверсия в (5), то {i,
j}
— порядок в (5), если же {i,j}
— порядок в (6), то{i,j}
— инверсия в (5).

Пусть
теперь транспозиция (i,
j)
применяется к перестановке

….,i,
,…,,j,
… (6)

Эта
транспозиция переводит (7) в перестановку

…,
j,
…,,i,
… (8)

С
другой стороны, перестановку (8) можно
получить из перестановки (7), применяя
последовательно транспозиции (i,
),
(i,),
…, (i,
),
(i,
j),
(j,
),
(j,
),
…, (j,
).
Всегоs+
1 + 5 = 2s
+ 1 транспозиций. Так как на каждом шаге
меняются местами соседние числа, то,
согласно уже доказанному, всякий раз
мы теряем или приобретаем точно одну
инверсию, т. е. изменяем характер четности
перестановки на противоположный. Теперь
ясно, что характеры четности перестановок
(7) и (8) различны.

Следствие
3.2. Если n
> 1, то количество всех четных перестановок
из n
чисел равно количеству всех нечетных
перестановок из n
чисел и, следовательно, равно n!/2.
Обозначим буквой а количество всех
четных перестановок из n
чисел, а буквой b
— количество всех нечетных перестановок
из n
чисел. К каждой из четных перестановок
применим одну и т уже транспозицию.
Все полученные в результате этого
перестановки нечетны и различны, их
число равно а. Следовательно, а ≤b

Аналогично
доказывается, что b
≤ а. В результате а—b
и, так как

различных
перестановок из n
чисел ровно n!,
получаем

а
=b
= n!/2.

Предложение
3-3. Пусть n
> 1. От любой перестановки из n
чисел можно перейти к любой другой
перестановке из n
чисел, последовательно применив несколько
подходящих транспозиций.

Пусть

,
,
…,(9)

и

,
,
…,(10)

есть
произвольные перестановки из n
чисел. Если
то,
применив к перестановке (9) транспозицию
(),
получим перестановку изn
чисел вида

,
…,
.
(11)

Если
≠,
то применим к перестановке (11) транспозицию
(,).
В результате получим перестановку вида,,,
…,.
Продолжая этот процесс, получаем
требуемое. Вернемся к изучению подстановок
конечного множества.

Для
любых двух подстановок f
u
g
множества X
определено произведение g
o
f,
которое снова есть подстановка X.
Договоримся вместо g
o
f
писать в дальнейшем g
f.

Так
как всякая транспозиция множества X
есть подстановка этого множества, то
транспозиции можно перемножать. При
этом произведение транспозиций есть
некоторая подстановка множества X,
но, как правило, не транспозиция. Теорема
3-6. Всякую подстановку конечного множества
X, содержащего не менее двух элементов,
можно представить в виде произведения
транспозиций этого множества.

Если
е — тождественная подстановка множества
X, то

е = (i,
j)
(i,
j),
где (i,j)
— любая транспозиция X.

Пусть

есть
произвольная нетождественная подстановка
X. Рассмотрим перестановки

1,
2,…,n
(12)

,
,
…,.
(13)

Согласно
предложению 3.3, существует последовательность
транспозицийпереводящая перестановку (12) в
перестановку (13). Это означает, что для
любогоi=1,
2,…,n

…
(i)
=

Но
тогда

т.
е. f
=

Разложение
подстановки в произведение транспозиций
определено не однозначно. Так, например,
к любому такому разложению всегда можно
приписать произведение (i,
j)
(i,
j)
= е. Однако верна

Теорема
3.7. Характер четности числа сомножителей
в разложении подстановки в произведение
транспозиций не зависит от выбора
разложения.

Пусть

и
f
=…—
произвольное разложениеf
в произведение транспозиций. Покажем,
что k
имеет тот же характер четности, что и
перестановка
,
,
…,.

В
самом деле, так как f
=…,
то для любогоt
= 1,2,…, n

…
(i)=Это
означает, что последовательность
транспозиций
переводит перестановку 1, 2, …,n
в перестановку
,
,
…,.
Но перестановка 1, 2, …,n
четная, а каждое применение транспозиции
меняет характер четности перестановки.
Поэтому число k
является четным тогда и только тогда,
когда перестановка
,
,
…,четная. Это доказывает теорему.

Определение
3.6. Подстановка называется четной, если
она разлагается в произведение четного
числа транспозиций, и не четной в
противном случае. Из доказательства
теоремы 3. 7. следует

Предложение
3.4. Подстановка

является
четной тогда и только тогда, когда
,
,
…,—четная
перестановка. Следовательно, количество
четных подстановок изn
чисел равно n/12.

Предложение
35. Подстановки f
и
имеют один характер четности. Достаточно
проверить, что еслиf
=
…— произведение транспозиций, то=.

В
заключение сделаем одно полезное
замечание. Подстановку

иногда
удобно записывать в виде

,
,
…,— некоторая перестановка из п чисел.
Так, если

то

При
необходимости всегда можно перейти от
записи (14) к обычной записи.

Список
литературы

1. Милованов
   М. В. и др. Алгебра и аналитическая
   геометрия: [Учеб. Пособие для мат. спец.
   ун-тов и пед. ин-тов]/М. В. Милованов, Р.
   И. Тышкевич, А. С. Феденко.— Мн.: Выш. шк.,
   1984.—302 с, ил.

2. Александров
   П. С. Курс аналитической геометрии и
   линейной алгебры.—М: Наука, 1979.—512 с.

3. Бурдун
   А. А., Мурашко Е. А., Феденко А. С. Сборник
   задач по алгебре и геометрии.— Мн.:
   Изд-во БГУ, 1979.— 200 с.

4. Ильин
   В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия.—
   М.Наука, 1982. 232с.

5. Кострикин
   А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука,
   1977.— 496с.

6. Моденов
   77. С, Пархоменко А. С. Сборник задач по
   аналитической

геометрии.—
М.: Наука, 1976.— 384 с.

1. Постников
   М. М. Аналитическая геометрия.— М.:
   Наука, 1979.— 336 с.

2. Фаддеев
   Д. /С, Соминский Н. С. Сборник задач по
   высшей алгебре.— М.:
   Наука, 1977.—288 с.

33

1. Определение.

   Начать изучение
   

3. Произведение отображений.

   Начать изучение
   

4. Координатная запись отображений.

   Начать изучение
   

Определение.

Под отображением плоскости (P) в плоскость (R) понимают закон или правило, по которому каждой точке плоскости (P) сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости (R). Мы будем пользоваться обозначением (f: P rightarrow R). Если потребуется указать, что точке (A) на плоскости (P) соответствует точка (B) на плоскости (R), мы будем писать (B=f(A)). В этом случае точка (B) называется образом точки (A), а точка (A) — прообразом точки (B).

Впрочем совсем не обязательно каждая точка плоскости (R) является образом какой-либо точки. Вполне может оказаться, что множество всех образов не совпадает с (R).

Если для некоторого отображения плоскости (P) и (R) совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости. Этот вид отображений целесообразно выделить, так как преобразования обладают некоторыми свойствами, которыми не обладают отображения в общем случае.

Можно говорить об отображениях произвольных множеств, но здесь, в основном, будут рассматриваться отображением плоскостей.

Примеры.

Мы уже пользовались сжатием к прямой, когда изучали форму эллипса. Аналогичное преобразование пространства — сжатие к плоскости — применялось в для описания формы поверхностей второго порядка.

Произведение отображений.

Результат последовательного выполнения двух отображений называется их произведением или композицией.

Для того, чтобы существовало произведение двух отображений, нужно, чтобы плоскость, в которую отображает первое из них, совпадала с плоскостью, которая отображается при втором. Для двух преобразований одной плоскости это условие выполнено.

Разумеется, произведение отображений зависит от порядка сомножителей, то есть (gf) не совпадает с (fg). Оба произведения определены только тогда, когда (f: P rightarrow R), a (g: R rightarrow P). При этом (gf) — преобразование плоскости (P), a (fg) — преобразование плоскости (R). Зависит от порядка сомножителей и произведение преобразований, хотя оба произведения являются преобразованиями той же плоскости.

Действительно, пусть (f) — параллельный перенос плоскости на вектор (boldsymbol{a}), а (g) — гомотетия с центром в точке (O). Из рис. 11.2 видно, что (f(g(A))) отлично от (g(f(A))).

Рассмотрим свойства умножения для преобразований плоскости. Эти свойства с соответствующими изменениями могут быть перенесены на отображения, но мы займемся только преобразованиями.

Умножение преобразований ассоциативно. Это значит, что для любых трех преобразований (f), (g) и (h) выполняется равенство
$$
(fg)h=f(gh).nonumber
$$

Действительно, для любой точки (A) преобразование (fg) переводит точку (h(A)) в точку (f(g(h(A)))), а преобразование (f) переводит точку (g(h(A))) в ту же точку (f(g(h(A)))).

Если мы обозначим через (e) тождественное преобразование плоскости, то для любого преобразования (f) выполнено
$$
fe=ef=f.nonumber
$$
Таким образом, тождественное преобразование играет ту же роль по отношению к умножению преобразований, как число 1 по отношению к умножению чисел.

По определению при любом отображении (f: P rightarrow R) каждая точка плоскости (P) имеет только один образ. Примеры 4 и 6показывают, что точка плоскости (R) может иметь много прообразов, а в примерах 5, 6 и 7 не каждая точка плоскости (R) имеет прообраз, то есть служит образом какой-либо точки.

Разумеется, это определение распространяется на преобразования. Отображения, рассмотренные в примерах 2 и 3, взаимно однозначны, а в примерах 4-7 — нет.

Пусть дано преобразование (f) плоскости (P). Каждой точке (A) из (P) оно сопоставляет ее образ (f(A)). Теперь попробуем, наоборот, точке (f(A)) сопоставить точку (A). Такое соответствие удовлетворяет определению преобразования в том и только том случае, когда каждая точка плоскости является образом некоторой точки, и притом только одной. Это равносильно взаимной однозначности (f).

Очевидно, что определение обратного преобразования равносильно соотношению (f^{-1}F=e), где (e) — тождественное преобразование.

Совпадающие точки должны иметь совпадающие образы, поэтому (f(f^{-1}(f(A)))=f(A)) или (f(f^{-1}(B))=B) для любой точки (B) на плоскости. Это может быть записано как (f^{-1}=e). Отсюда, в частности, следует, что преобразование (f^{-1}) имеет обратное (и потому взаимно однозначно), и этим обратным является (f).

Координатная запись отображений.

Пусть нам задано некоторое отображение (f: P rightarrow R). Следовательно, каждой точке (A) на плоскости (P) сопоставлен ее образ (A^{*}=f(A)) на плоскости (R). Если мы выберем на плоскости (P) систему координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}), а на плоскости (R) систему координат (Q, boldsymbol{p}_{1}, boldsymbol{p}_{2}), то точка (A) будет определена парой чисел ((x, y)), а точка (A^{*}) — парой чисел ((x^{*}, y^{*})). Следовательно, при выбранных системах координат на плоскостях (P) и (R) отображение сопоставляет паре чисел ((x, y)) пару чисел ((x^{*}, y^{*})). Таким образом, задать отображение при выбранных системах координат все равно, что задать две функции, каждая из которых зависит от двух независимых переменных:
$$
x^{*}=varphi(x, y), y^{*}=psi(x, y).label{ref1}
$$
Координатной записью мы пользовались в примере 4.

Подчеркнем, что системы координат на плоскостях (P) и (R) никак не связаны между собой: точка (Q) может не совпадать с образом точки (O), а векторы (boldsymbol{p}_{1}), (boldsymbol{p}_{2}) с образами векторов (boldsymbol{e}_{1}), (boldsymbol{e}_{2}).

При координатной записи преобразования достаточно выбрать одну систему координат, так как и точка, и ее образ находятся на одной плоскости.

Обратно, рассмотрим две функции, зависящие от двух независимых переменных каждая. Если они определены для любых пар чисел, то по формулам eqref{ref1} при выбранных системах координат на плоскостях (P) и (R) они определяют отображение (P) в (R).

Композиция

Определение

Если %%f: X to Y%% и %%g: Y to Z%%, то отображение %%varphi: X to Z%%, заданное для каждого %%x in X%% формулой %%varphi(x) = gbig(f(x)big)%%, называется композицией (суперпозицией, %%varphi%% читается как фи греч.) отображений %%f%% и %%g%%, или сложной функцией, и обозначают %%g circ f%%.

$$
(g circ f)(x) = gbig(f(x)big)
$$

Таким образом, сложная функция %%g circ f%% реализует правило: «Применяй сначала %%f%%, затем %%g%%», то есть в композиции %%g circ f%% надо начинать с операции %%f%%, расположенной справа.

Пример

Пусть %%X = Y = Z = mathbb R%%. Отображения %%f : X to Y%% и %%g: Y to Z%% заданы формулами %%f(x) = x + 1%% и %%g(x) = x^2%%. Указать формулу для отображения %%g circ f%%

По правилу получаем

$$
(g circ f)(x) = gbig(f(x)big) = g(x + 1) = (x + 1)^2.
$$

Пример

Пусть даны функции %%f(x), g(x)%% и %%h(x)%%, тогда значение композиции %%h circ g circ f%% в точке %%x = x_0%% будет вычисляться следующим образом:

1. Вычисляется значение %%f_0%% равное значению функции %%f%% в точке %%x_0%%. Вычислено %%f(x_0)%%
2. Вычисляется значение %%g_0%% равное значению функции %%g%% в точке %%f_0%%. Вычислено %%(g circ f)(x_0)%%.
3. Вычисляется значение %%h_0%% равное значению функции %%h%% в точке %%g_0%%. Вычислено %%(h circ g circ f)(x_0)%%.

Или же
$$
begin{array}{rl}
(h circ g circ f)(x_0) =& hBig(gbig(f(x_0)big)Big)\
=& hbig(g(f_0)big) \
=& h(g_0)\
=& h_0
end{array}
$$

Свойства произведения отображнений

1. Произведение отображения ассоциативно, то есть для всех отображений %%f: X to Y, g: Y to Z, h: Z to H%% справедливо равенство %%(h circ g) circ f = h circ (g circ f)%%.

   Проверим это следующим образом:

   $$
   begin{array}{c}
   big((h circ g) circ fbig) (x) = (h circ g)big(f(x)big) = h Big(gbig(f(x)big)Big),\
   big(h circ (g circ f)big) (x) = Big(h circ gbig(f(x)big)Big) = h Big(gbig(f(x)big)Big).
   end{array}
   $$

2. Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в %%X%%, %%I_X%% — тождественнное отображение множества %%X%%. Тогда
   $$
   I_X circ f = f circ I_X = f.
   $$

Пусть ¦: Х®Y, и пусть ХÎХ. Отображение ¦ переводит Х в некоторый элемент . При этом элемент Y под действием отображения G переходит в некоторый элемент Z Из Z. Таким образом, в результате последовательного выполнения сначала ¦ а потом G, каждый элемент ХÎХ отображается в элемент и мы получаем отображение .

Определение 7. Произведением отображений ¦:Х®Y и называется отображение определяемое равенством .

Например, пусть , . Тогда .

Отметим, что не всегда Gf и Fg определены одновременно. Для этого необходимо, чтобы . В частности, если , , то Gf И Fg определены. Но даже в этом случае равенство Fg = Gf, вообще говоря, не выполняется (это видно из рассмотренного примера), Таким образом, умножение отображений не коммутативно. Однако оно ассоциативно.

Теорема 1. Если ¦:Х®Y, , , то H(Gf) и (Hg)F определены и равны.

Доказательство. Так как Gf:X®Z, то H(Gf):X®U. Аналогично, hg:Y®U, поэтому (Hg)F:X®U. Покажем, что ” ХÎХ . Пусть . Имеем: . Поэтому согласно определению произведения отображений и

.

Определение 8. Отображение называется Тождественным, или Единичным, если , ” ХÎХ. Обозначения: eX , 1X, idX.

Теорема 2. Если , то и .

Следствие. Если , то .

Теорема 3. Пусть ¦:Х®Y, . Если ¦ и G инъективны, то Fg — инъективно. Если ¦ и G сюръективны, то Fg – сюръективно.

Доказательство.

1) Имеем. Пусть , т. е.

2) Пусть F, G – сюръективны и . Так как G – сюръективно, то $ . А так как ¦ — сюръективно, то $ . Таким образом, .

Следствие. Произведение биективных отображений – биективно.

< Предыдущая		Следующая >

Содержание:

Основные понятия:

Множество – одно из важнейших понятий математики. Вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия.

Кантор описывает множество следующим образом:

Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов пашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S

Термин «множество» характеризует совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы – элементов множества, которые обладают каким-либо общим для них свойством (признаком). Этот общий признак содержится в самом названии (задании) множества. Множество состоит из элементов и считается заданным, если о каждом из рассматриваемых объектов известно, входит он во множество или нет. Множество может быть задано либо перечислением его элементов, либо описанием свойств его элементов. Символическая запись

Рис. 2.1. Множество А называют подмножеством другого множества U или множество А включено во множество U, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества U. Это обозначается . Выделение подмножеств из множеств можно провести по различным признакам. В результате могут получиться как непересекающиеся подмножества (например, А и В ) так и подмножества, имеющие общие элементы ( В и С). Если множество состоит из конечного числа элементов, оно называется конечным. При этом число элементов множества может быть очень велико или вообще неизвестно. Множество может состоять также из бесконечного количества элементов, тогда оно называется бесконечным.

Свойства включения:

1. Каждое множество есть подмножество самого себя ;
2. Если ;
3. , т.е. множества А и В равны тогда и только тогда, когда эти множества состоят из одних и тех же элементов;
4. Каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества А:

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

1. Любое множество содержит в качестве подмножества.
2. Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных подмножества: .

Множество называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества множества А называются собственными или истинными. В этом случае, когда говорят, что В строго включено в А (обозначается ):

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степеньюмножества А.

Если А не содержит элементов, т.е. , то его единственным подмножеством является .

Если А – одноэлементное множество, т.е. , то его подмножествами являются А и . Число этих подмножеств равно 2.

Если А – двухэлементное множество, т.е. , то его подмножествами являются Число этих подмножеств равно 4.

Несложно убедиться в том, что множество-степень конечного n-элементного множества (А) состоит из 2″ подмножеств.

Основные операции над множествами

Суммой или объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком .

Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком . Если , то множества А и В называются непересекающимися.

Два множества называются непересекающимися (или расчлененными) если . Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются классификацией). Разбиением множества А называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества А, что каждый элемент множества А является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.

Разностью множеств А и В или дополнением В до А называется множество, состоящее только из тех элементов А, которые не входят в В. Эта операция над множествами обозначается знаком .

А В Рис. 2.4.

Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества U. В таком случае разность U А (дополнение А до U) обозначают, как, а операцию называют взятием дополнения.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С: .

Обозначается симметрическая разность: .

Для подмножеств данного множества U выполняются следующие законы:

Закон коммутативности (переместительный закон):

Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств А, В и С:

Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств – операцию умножения, универсальному множеству U – единицу, а пустому множеству – ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции – операции объединения и пересечения.

Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой на , U на и наоборот. Такие выражения называются двойственными друг другу.

Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.

Очевидно, что операция разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.

Большое значение в современной математике имеет множественная операция декартово произведение. Если заданы два множества А и то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем -элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств А и В называется множество С, составленное из упорядоченных пар (а,b). Декартово произведение множеств А и В обозначается.

Очевидно, что и – различные множества, т.е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.

Отображения

Отображение – одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть X и Y – произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества X на множество Y (запись: или ) если каждому элементу х множества поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества .

Элемент называется образом элемента х при отображении , а элемент называется прообразом элемента у при этом отображении. Образом множества X элементов х при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений Y. Множество X всех элементов, образы которых составляют область значений Y называется прообразом множества Y элементов . Множество X называется областью определения отображения .

Отображение называется сюръективным, когда каждый элемент y множества имеет хотя бы один прообраз х множества , т.е. .

Отображение называется инъективным, когда каждый элемент множества является образом лишь одного элемента х множества , т.е. образы любых двух различных элементов множества X различны, т.е. из следует .

Отображение называется биективным или взаимно однозначным, когда оно одновременно ипъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (X = U и Y= V), причем .

Произведение двух отображений и можно определить как отображение , которое каждому элементу х множества ставит в соответствие элемент множества .

Отображение множества X на множество Y иначе называется функцией на множестве X со значениями во множестве Y. Если множества X и Y совпадают, то биективное отображение множества X на себя называется преобразованием множества X. Простейшее преобразование множества X – тождественное – определяется так: . Тождественное отображение , переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования , то преобразование , являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования , а затем и преобразования g, называется произведением преобразований .

Для преобразований одного и того же множества X справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными. Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение А = В), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет большую мощность.

Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными.

Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу а множества А был поставлен в соответствие его порядковый номер „ Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Отношения эквивалентности и упорядоченности

В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар {х,у), где .

Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:

• каждый элемент эквивалентен самому себе;
• высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым;
• два элемента, эквивалентные первому, эквивалентны между собой.

Пусть А – множество, в котором определено отношение эквивалентности. Подмножество элементов, эквивалентных элементу а, называется классом эквивалентности: все элементы этого класса эквивалентны между собой и всякий элемент а из А находится в одном и только в одном классе (если элементов, эквивалентных а, не существует, то а может быть и единственным элементом класса). Отношение эквивалентности в А определяет на А разбиение на классы эквивалентности, т.е. А становится объединением непересекающихся классов.

Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:

Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:

Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.

Способы задания множеств

Как в повседневной, так и в научной жизни часто говорят о чертах какого-либо коллектива, совокупности некоторых объектов. Так, например, можно говорить о студентах группы некоторого института, о совокупности точек внутри некоторого круга и т.д.

Понятие множества в математике выведено из понятия совокупностей, образуемых из предметов, сведенных в одно целое. Предметы, собранные во множество, называются элементами множества. Понятие множество и элемент считаются основным понятиями и не сведены к другим понятиям путем применения формального определения. Таким образом, под множеством, мы будем понимать любое объединение в одно целое М определенных вполне различимых объектов m из нашего восприятия или мысли, которые называются элементами М

Каждое множество считается самостоятельной осмысленной вещыо, как бы осмысленной оболочкой его элементов. Множество

считается известным, если заданы его элементы; множество определяется раз и навсегда заданием его элементов; множества не зависят or времени.

Следовательно, множество однозначно определяется его элементами.

Множество, у которого ни один предмет не является элементом, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается символом .

Для обозначения множеств обычно применяются заглавные латинские буквы. Выражение обозначает, что объект m является элементом М (читается: «m является элементом М или m принадлежит М»).

Выражение : «m не является элементом М или m не принадлежит М». Элементами множества могут быть и множссгва.

Справедлива следующая

Теорема 1.1.1. Два множества тождественны (равны) тогда и только тогда. если их элементы одинаковы.

Доказательство. Если два множества тождественны (равны), то на основе понятия тождественности элементы обоих множеств одинаковы.

С другой стороны, если о двух множествах нам известно, что их элементы тождественны, то эти два множссгва тождественны, так как множество однозначно определяется его элементами.

В определениях, касающихся геометрических мест, всегда присутствует отождествление множеств, заданных двумя разнымиопределениями.

Например. Перпендикулярная липия, пересекающая отрезок прямой, является геометрическим местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от двух концов озрезка. Это означает следующее: В плоскости множество точек перпендикулярной линии, пересекающей в середине отрезок прямой, тождественно множеству точек, расположенных на одинаковом расстоянии от обоих концов отрезка.

Множество часто задается в следующем виде: элементы множества заключаются внутри фигурных скобок: {…}. Подобной записью может быть конкретное перечисление элементов множества или задание такого определения, которым элементы множества однозначно задаются.

Например:

• а) {гласные звуки слова «МАТЕМАТИКА»} – множество задано путем определения;
• б) {E, О, И, Я, О, Е}, {О, А, Е} – множество задано путем перечисления элементов.

Заметим, что один предмет в одном множестве является элементом только один раз, даже если предмет повторяется несколько раз.

Тождественные множества связываются знаком равенства (=):

{А, А, Е, Е|={А, Е}.

Множество А считается подмножеством В, если каждый элемент А является и элементом В, что обозначается выражением .

Понятие части (подмножества) в теории множеств отличается от обычного понятия части. В обычном понимании часть всегда меньше целого. А по понятию части в теории множеств целое также входит в понятие части, т.е. каждое множество является элементом самого себя, гак как каждый элемент А является элементом А, значит . Пустое множество является частью каждого множества.

Множество А является действительным подмножеством множества B, если А является частью В, но не тождественно с ним, что обозначается .

Примеры:

1. Множество N неотрицательных целых чисел является действительной частью множества Z произвольных целых чисел: .
2. Множество Z действительная часть множества Q рациональных чисел:
3. Множество Q действительная часть множества R вещественных чисел
4. Множество R действительная часть множества С комплексных чисел:

Не существует никакого ограничения в отношении того, насколько много (или мало) элементов может быть в одном множеств: в одном множестве может быть любое, даже бесконечное количество элементов.

Сравнивать множества можно, используя понятие взаимно однозначного соответствия между элементами.

Если каждому элементу множества А по некоторому закону ставится в соответствие определенный элемент множества В и если при этом каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Если между множествами А и В установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются равиомощны-ми. Множество А называется бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его действительных подмножеств, в противном случае А – конечное множество. Бесконечное множество А счётно, если можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел.

Например, множество всех действительных чисел R и множество натуральных чисел N имеют разные мощности. Первое множество имеет мощность континуума, а второе – счетное множество.

Особую роль в теории множеств играет универсальное множество, которое часто называют просчранством. Это некоторое множество, фиксированное в рамках данной математической теории и содержащее в качестве элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории.

Алгебраические операции над множествами

Определим операции, выполняемые над множествами.

а) Пересечением множеств Ми N называется множество, которое будет обозначаться М N, состоящее из элементов, принадлежащих как М, так и N, т.е. М N = .

Эта запись означает, что пересечение MN двух множеств состоит из элементов х, одновременно принадлежащих как М, так и

N. Например, если М = {0,1,2,3}, а N = {1,4,3,6}, то МN = {1,3}. Основные тождества этой операции состоят в следующем:

Если А В = А, то действительны следующие соотношения: ,

,

А В.

Вели , т.е. если А и В не имеют общих элементов, то

А и Б называются посторонними множествами.

Если есть совокупность множеств ,то пересечение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов,

принадлежащих одновременно всем множествам совокупности .

6) Объединением двух множеств А и В называется множество A В, состоящее из элементов, по крайней мере, одного из множеств А и В, т. е.

.

Эта запись означает, что объединение A В двух множеств А и В состоит из элементов х, принадлежащих множеству А или множеству В, или множеством А и В одновременно. Например, если A={0,1,2,3} а B={4,5,6,}, то A B = {0,1,2,3,4,5,6}.

Легко увидеть, что если А и В являются ограниченными множествами без общих элементов, то количество элементов AB = (количество элементов А) + (количество элементов В). На основе этих соотношений операция объединения часто называется суммированием множеств. Для операции объединения справедливы следующие тождества:

1. A В = В А (коммутативность).
2. A А = А (идемпотснция).
3. A = А.
4. (AB)C = A(BC) (ассоциативность).

Так же действительны соотношения: , тогда и только тогда, если A В=В.

В общем случае, когда имеется совокупность множеств ,то объединение всех множеств есть множество , которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств совокупности .

в) Множество элементов Е, не принадлежащих некоторой его части А, называется дополнением (разностью) к А в Е и обозначается через или СА или ЕА, т.е. .

Например. Если областью существования функции является А, а множество ее корней – В, то область существования функции-множество АВ.

Для операции разности справедливы следующие соотношения:

• 1°. .
• 2°. .
• 3°..
• 4°. .
• 5°. .
• 6°..
• 7°..
• 8°. .

Два любых предмета а и b представляют собой упорядоченную пару, если предварительно задано, какой из них считается первым и какой вторым. Упорядоченные пары обозначаются символом (a, b), где а – первый элемент, b – второй {а и b могут быть тождественны).

г) Произведением А х В двух множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар (а, Ь), образованных из элементов а множества А и элементов b множества В, т.е. .

Пары (а, b) и (b, а) с считаются различными. Это особенно важно иметь в виду, когда множества Aw В совпадают.

Пример:

Если А ={a,е,i}, а В={b,с}, то

А х В = {(a,b), (а,с), (e,b), (e,c), (i,b), (i,с)},

.

В координатной геометрии точки плоскости характеризуются парами чисел, а точки пространства – тремя числами. Это означает, что если R обозначает множество точек числовой оси, то R х R -множество точек плоскости, а (RxR)xR- множество точек пространства. Отсюда возникло обозначение для произведения n множеств, идентичных множеству R всех вещественных чисел. Точка из является, следовательно, упорядоченной системой произвольных вещественных чисел .

Справедливы следующие операции для декартового произведения множеств:

• 1°. .
• 2°. .
• 3°. , т.к. пустое множество не имеет элементов.

Понятие множества широко используется в экономических исследованиях. Так при изучении системы производства одного предприятия или нескольких, которые потребляют продукты: сырьё, энергию и трудовые ресурсы и производят в соответствии с некоторой технологией другие продукты-изделия, составляется математическая модель, где используется множество

, которое характеризует производственный процесс. Элементами этого множества являются векторы описывающие количество любого продукта, находящегося в системе.

• Заказать решение задач по высшей математике

Выпуклые множества. Пересечение выпуклых множеств

В первом пункте мы определили множество, указали способы его задания. Теперь мы укажем некоторые дополнительные свойства множеств. Для этого введем ряд определений.

Окрестностью точки называется множество

точек удовлетворяющих условию: или

Таким образом, окрестность образуют все точки х, удаленные от точки а на расстояние меньшее r.

Точка некоторого множества называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит множеству вместе с некоторой её окрестностью.

Точка пространства называется внешней по отношению к некоторому множеству точек, если она с некоторой окрестностью не принадлежит этому множеству.

Точка пространства называется граничной, если в любой её окрестности имеются точки как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество, содержащее все граничные точки, называется замкнутым.

Например, отрезок является замкнутым множеством.

Множество (тело) называется выпуклым, если оно вместе со своими двумя любыми точками Р и Q содержит все точки отрезка .

Примером выпуклого множества может служить отрезок. Из геометрии известны фигуры: треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, круг, эллипс. Множества точек, ограниченные эти фигурами, являются выпуклыми. В пространстве выпуклыми множествами являются: шар, эллипсоид, конус, цилиндр и другие.

Для выпуклых множеств, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3.1. Пересечение выпуклых множеств (тел) есть выпуклое множество, если оно не пусто.

Доказательство. Пусть имеется не пустое пересечение выпуклых множеств. Возьмём две произвольные точки Р u Q, принадлежащие этому пересечению. По определению пересечения эти точки принадлежат каждому из множеств, а так как эти множества выпуклы, то вместе с точками Р и Q им принадлежат и все точки отрезка PQ. Следовательно, все точки отрезка PQ принадлежат и пересечению, что и доказывает его выпуклость.

Точка множество называется крайней, если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего множеству.

Так у выпуклого многоугольника крайними точками являются его вершины. Их конечное число. В пространстве многогранником называется множество с конечным числом крайних точек. Следовательно. выпуклый многогранник является замкнутым выпуклым множеством.

Высказывание

Математическая логика является современной формой так называемой формальной логики, применяющей математические методы для исследования своего предмета. В формальной логике и, соответственно, математической логике, собраны результаты законов структуры правильных выводов. Вывод является таким мыслительным процессом, в результате которого появляются новые открытия на основании уже имеющихся, без практических исследований. Рассмотрим пример вывода:

Предпосылки: Если будет раздача премии, то мы выполним план.

Будет раздача премии.

Окончательные выводы: Мы выполним план.

Если принять правильность предпосылок, то следует принять и правильность окончательного вывода. Обычно вместо предложений могут быть записаны любые такие изъявительные предложения, значения которых может быть правильно или ложно; следует оставить неизменённым только расположение слов «если» и «то» и расположение предложений, то есть структуру вывода. Структуру вывода можно выразить следующей схемой:

Если А, то В.

Путем изменения условий могут быть построены различные теории логики. Важнейшими главами математической логики является калькуляция высказываний и калькуляция предикатов.

Определение 1.4.1. Под термином высказывания подразумевается такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным.

Высказывание удовлетворяет условиям:

• а) оно не может быть одновременно и правильным и ложным (принцип непротиворечивости);
• б) исключено, чтобы оно было и неправильным и нсложным (принцип исключения третьей возможности).

Следовательно, каждое высказывание имеет значение 1 (истинно) или 0 (ложно).

В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосылок, либо как окончательный вывод), возникшие из одного или нескольких высказываний, путем применения некоторого грамматического метода; они называются сложными высказываниями.

Определение 1.4.2. Под термином калькуляция высказываний подразумевается такой метод, с помощью которого из одного или нескольких высказываний получается такое высказывание, правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложсностью членов.

Операции над высказываниями

Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность

Простейшими примерами операций калькуляции высказываний является отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность и т.д.

Определение 1.5.1. Под отрицанием высказывания А подразумевается высказывание «Неправильно, что А» или некоторая грамматически преобразованая форма данного высказывания.

По значению выражения «неправильно» отрицание А правильно тогда и только тогда, если самоё А неправильно; следовательно, отрицание действительно есть операция калькуляции высказываний.

Например: отрицание предложения «мотор работает» является предложение «мотор не работает».

Отрицание является (унарной) одночленной операцией. Отрицание А обозначается символом (читается «не А»). Таблица истинности для операции отрицания имеет вид: Таблица 1

Закон двойного отрицания: .

Здесь и в дальнейшем свойство высказываний «правильное» и «ложное» называется логическими значениями и обозначается 1 и О (п. и л.). Тогда операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значений вводятся логические переменные; они обозначаются символами .

Следовательно, логические переменные могут принимать два значения 1 или 0. При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операций обозначается скобками.

В общем случае, n-члснной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений 1 и 0 с длиной выражения n, а значением её является одно из двух логических значений 1 и 0.

Определение 1.5.2. Под конъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А и В».

По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогда и только тогда, если оба её члена правильны, т.е. используя логические переменные можно записать:

Таблица значений конъюнкции имеет вид:

Таблица 2

Справедлива следующая

Теорема 1.5.1. Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции.

В области логических операций для контроля любого тождества составляется общая таблица операций, представленных по обеим сторонам знака =. Результат операций указывается в столбцах.

Пример:

.

Решение:

Доказательство данного равенства проведём в табл. 3:

Таблица 3

Определение 7.5.3. Под дизъюнкцией двух высказываний А и В подразумевается высказывание «А или В».

По значению союза «или» дизъюнкция является ложной, если оба её члена ложны, т.е. используя логические переменные можно записать:

.

Дизъюнкция выражается с помощью операции конъюнкции и отрицания б следующей форме:

Таблица значений дизъюнкции имеет следующий вид:

Таблица 4

По аналогии с теоремой 3 можно сформулировать следующую теорему

Теорему 1.5.2. Каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания.

Например, операция конъюнкции выражается с помощью операций дизъюнкции и отрицания в виде: .

Определение 1.5.4. Операция, обозначаемая ,

называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим q).

Иначе её обозначение . Она выражается в следующем виде:

и читается: если р, то q из p следует q.

Таблица значений импликации имеет следующий вид: Таблица 5

И конъюнкция, и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания: ,

Поэтому любая логическая операция может быть выражена ( помощью операций импликации и отрицания.

Выражения вида: «если А, то В», «неправильно, что: А и не В» «В если только А», «только тогда А, если В», «Достаточным условием В является А», «Необходимым условием А является В» соответственно обозначаются А В или А В.

Определение 1.5.5. Операция, обозначаемая,

называется эквивалентностью (читается р эквивалентно q). Выражениями данной операции являются следующие:

Так как высказывание тогда и только тогда, когда

p=q, то данная логическая операция соответствует образованию

сложного предложения вида «А тогда и только тогда, когда В». Таблица значений эквивалентности имеет вид:

Таблица 6

Рассматриваются ещё:

операция Шеффера – отрицание операции конъюнкции , обозначаемая (р штрих q).

1) операция взаимоисключающего или (р или же q): . Например, или ты вылечишься до завтрашнего дня, или мы тебя отвезём в больницу;

2) операция «ни-ни» (обозначается ) «ни А ни В»: .

Предикаты и кванторы

Мри анализе вывода следует отмстить, что применяемые высказывания могут быть приведены из так называемых открытых предложений или предикатов, примерами которых служат: … является неделимым числом; … является столицей; … купил … за … рублей.

Если в эти схемы предложений вставить названия соответственно подобранных предметов (вместо пунктира), то получатся замкнутые предложения, высказывания. Такие предикаты выражаются однозначно в некоторых случаях, если вместо пунктира записываются буквы: x, у,z, … .

Кроме заполнения оставленных свободных мест названиями имеется и другой способ образования высказываний из предикатов: квантификация. Например, из открытого предложения «если х представляет собой дифференцируемую функцию, то функция х-непрерывная функция», подставив перед предложением «Для каждого л», получим следующее: Для каждого х, если х представляет собой дифференцируемую функцию, то x представляет собой непрерывную функцию. Текст «Для каждого x» обозначается символом и называется универсальным квантором.

Существует ещё экзистенциальный квантор, который заменят текст «Имеется такое х» или «Существует такое х» и обозначается .

Для точного анализа вводятся следующие понятия:

Определение 1.6.1. n-мерным предикатом , определённым на непустом множестве H, называется такая функция, областью существования которой является множество упорядоченных n – членных знаков, образованных из элементов множества H, а значениями – логические значения.

Предикаты обозначаются символами и т.д.

Жирными буквами обозначаются предикаты, а строчными буквами- аргументы предиката как функции; количеством последних определяется размерность предиката.

Например. Пусть Н- множество натуральных чисел, тогда предикат неделимого числа Fx определяется следующим образом:

Множества, операции над ними

Понятие множества является одним из основных в математике. Оно принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.

Под множеством будем понимать совокупность объектов, объединенных по какому-либо признаку. Слова «совокупность», «набор», «система», «объединение» и другие являются синонимами слова «множество». Например, можно говорить о множестве студентов в институте, множестве букв в алфавите, множестве целых чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать как конечное, так и бесконечное число объектов некоторой природы. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами или точками. Принадлежность элемента  множеству обозначают следующим образом:  Если не является элементом множества  то пишут: Если – некоторые элементы, то запись означает, что множество  состоит из элементов 

Два множества  и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов (обозначение: ). Множество  называется подмножеством множества  если все элементы множества  являются одновременно и элементами множества (обозначение: («множество содержится в множестве ») или («множество содержит множество »). Например, так как всякое натуральное число  является целым, то где – множество натуральных чисел,  – множество целых чисел.

Множество, не содержащее ни одного элемента, будет называться пустым множеством и обозначаться  Это множество является подмножеством любого множества. Пусть – множество, а  – какое-либо свойство элементов этого множества. Тогда запись означает совокупность тех элементов множества  которые обладают свойством  Например, если и – два числа и  то встречавшиеся в элементарной математике отрезок, интервал и полуинтервалы можно записать в следующем виде: – отрезок; – интервал;

и – полуинтервалы. Здесь – множество действительных (вещественных) чисел.

Множество всех чисел называется также числовой прямой или числовой осью, а любое число – точкой этой прямой.

Пересечением множеств и называется множество  состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих как  так и т.е.

Объединением множеств и называется множество  состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из двух данных множеств, т. е.  или 

Разностью множеств и называется множество  состоящее из тех элементов множества  которые не принадлежат множеству т.е. и

Пусть – некоторое основное множество, тогда дополнением множества называется множество  состоящее из всех элементов и не принадлежащих  т. е.

Таким образом, все элементы, которые не принадлежат множеству  образуют множество  Следовательно, 

Логические символы

Многие математические понятия удобно записывать, пользуясь логической символикой. Так, символ  называемый квантором общности, используется вместо слов «для любого», «для всех», «для каждого», «какого бы ни было» и т. д., символ – квантор существования – вместо слов «существует», «найдется», «имеется» и т. д. 

Часто используются также логические символы следствия  и равносильности

Грани числовых множеств

Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует такое число что  для любого  Число  в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества 

Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным, т. е. существуют два числа и такие, что   Эти неравенства показывают, что множество  ограничено в том и только в том случае, если оно расположено на некотором конечном отрезке числовой прямой. Очевидно, что множество ограничено тогда и только тогда, когда существует положительное число  такое, что

Множество, не ограниченное сверху или снизу, называется неограниченным.

Если число является верхней гранью множества  то и любое число больше тоже является верхней гранью, и, если число -нижняя грань множества  то всякое число, меньше будет нижней гранью

Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) граней называется точной верхней (нижней) гранью множества и обозначается символом  («супремум ) ( «инфимум

Точные верхняя и нижняя грани множества могут принадлежать или не принадлежать этому множеству. Если множество не ограничено сверху (снизу), то иногда используют обозначение 

Теорема 1*. Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Предельные точки числового множества. Открытые и замкнутые множества

Множество вещественных чисел  удовлетворяющих неравенству  т.е. называется окрестностью точки 

Множество вещественных чисел  удовлетворяющих неравенству  называется проколотой  окрестностью точки (точка исключена из своей окрестности).

Геометрически окрестность точки есть интервал длиной серединой которого является точка числовой прямой.

Точка  называется предельной точкой множества  если в любой окрестности точки находятся точки из отличные от . Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать множеству 

Точка называется изолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности нет точек из отличных от

Точка называется внутренней, если существует некоторая окрестность этой точки, целиком содержащаяся в множестве

Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым; множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым. Открытым множеством является, например, интервал  замкнутым множеством – отрезок 

Точка  называется граничной точкой множества  если любая окрестность этой точки содержит точки, как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек множества называется границей этого множества. Например, если то все точки интервала являются внутренними точками множества а граница этого множества состоит из двух точек:  и

Если множество представляет собой область (открытое множество), то множество  полученное присоединением к всех граничных точек этого множества, называется замкнутой областью.