Как найти произведение первых n чисел

Как найти произведение первых n чисел

Извиняюсь, но первых скольки чисел произведение и каков предел n(если есть)?








andrfk_zn


15 Март, 18



0

В школе дали задание так, n видимо взять как за переменную, в общем я не поняла просто






оставил комментарий

Polina39_zn


15 Март, 18



0

Но написала в точности как и задали






оставил комментарий

Polina39_zn


15 Март, 18



0

Var

N,m,I:integer;

Begin

Read(n);

For I:= 2 to n do

Begin

M:=m*i;

I:=I+1;

End;

Writeln(m);

End.






оставил комментарий

andrfk_zn


15 Март, 18



0

а вы написали для четных, или мне кажеться?






оставил комментарий

Polina39_zn


15 Март, 18



0

кажется






оставил комментарий

Polina39_zn


15 Март, 18



0

Ой, точно, забыл поменять.






оставил комментарий

andrfk_zn


15 Март, 18



0

А нет, все верно, умножение на 1 бессмысленно.






оставил комментарий

andrfk_zn


15 Март, 18



0

высмысле умножение на 1?






оставил комментарий

Polina39_zn


15 Март, 18



0

Ну если бы было написанно фор и:=1 ту эн, то он бы еще и на 1 умножим бы.






оставил комментарий

andrfk_zn


15 Март, 18



0

лол, куда решение делось7






оставил комментарий

Polina39_zn


15 Март, 18


Источник

Голосование за лучший ответ

Krab Bark

Искусственный Интеллект

(191500)


11 лет назад

var i,n:integer; r:real; begin readln(n); r:=1; for i:=1 to n do r:=r*i; writeln(r:0:0); readln end.

fallen down

Мудрец

(19655)


11 лет назад

proizvedenie = 1;
for i := 1 to n do
proizvedenie = proizvedenie * i ;

Дмитрий Макаров

Гуру

(2920)


11 лет назад

var k,n,proiz:integer;
begin
readln(n);
proiz:=1;
for i:=1 to n do proiz:=proiz*i;
writeln(proiz);
end.

Источник: В знак благодарности признай ответ лучшим)))

Источник
var
i,pr,n:integer;
begin
writeln('Vvedite chislo');
readln(n);
pr:=1;
for i:=2 to n do
pr:=pr*i;
writeln(pr);
end.

Похожие записи/страницы:

  • Найти произведение натуральных чисел на диапазоне [17, 41] – Pascal(Паскаль)
  • Вычислить сумму S первых N натуральных чисел – Pascal(Паскаль) -CF
  • Дано 3 числа. Если они все отрицательные, то вычислить и напечатать куб 2-го числа, в противном случае-произведение 2-ух…
  • Даны массив, упорядоченный по возрастанию, и число А, о котором известно следующее: оно не равно ни одному из элементов…
  • Составить программу выводящую на экран все натуральные делители числа (введите пользователем с клавиатуры)-…
  • Написать программу с рекурсивной функцией, вычисляющей произведение цифр заданного натурального числа n -…
  • Дано целое число N >0. Используя один цикл, найти сумму 1! +2! + 3! + …+N! (выражение N! — N-факториал — обозначает…
  • В простую переменную последовательно вводится N чисел, отличных от нуля. Положительные или отрицательные числа завершают…
Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

{displaystyle a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, ldots , a_{1}+(n-1)d, ldots ,}

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага, или разности прогрессии):

{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d.}[1]

Любой член арифметической прогрессии равен первому её члену, сложенному с произведением разности прогрессии на число членов, предшествующих определяемому, т. е. он выражается формулой[2]:

{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения a_{n+1}-a_n=d для членов арифметической прогрессии.

Свойства[править | править код]

Общий член арифметической прогрессии[править | править код]

Член арифметической прогрессии с номером n может быть найден по формулам

a_n=a_1+(n-1)d
{displaystyle a_{n}=a_{m}-(m-n)d}

где a_{1} — первый член прогрессии, d — её разность, a_m — член арифметической прогрессии с номером m.

Доказательство формулы общего члена арифметической прогрессии

Пользуясь соотношением a_{n+1}=a_n+d выписываем последовательно несколько членов прогрессии, а именно:

a_2=a_1+d

a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d

a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d

a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d

Заметив закономерность, делаем предположение, что a_n=a_1+(n-1)d. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех n in mathbb N:

База индукции (n=1) :

a_1=a_1+(1-1)d=a_1 — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k, то есть a_k=a_1+(k-1)d. Докажем истинность утверждения при n=k+1:

a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd

Итак, утверждение верно и при n=k+1. Это значит, что a_n=a_1+(n-1)d для всех n in mathbb N.■

Отметим, что в формулах общего члена n-й член прогрессии есть линейная функция. Об этом говорит следующая теорема.

Для того чтобы последовательность {displaystyle left{a_{n}right}} являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы a_n являлась линейной функцией (от n)[3].

Доказательство

Необходимость. Пусть {displaystyle left{a_{n}right}} арифметическая прогрессия. Тогда, как было уже показано, a_n=a_1+(n-1)d, то есть {displaystyle a_{n}=nd+a_{1}-d}. Так как {displaystyle fleft(xright)=ax+b} есть линейная функция и {displaystyle xin mathbb {N} }, это значит, что {displaystyle a=d} и {displaystyle b=a_{1}-d}, т. е. a_n — линейная функция, где {displaystyle fleft(nright)=nd+a_{1}-d}.

Достаточность. Пусть a_n есть линейная функция, т. е. {displaystyle a_{n}=acdot x+b}. Так как {displaystyle xin mathbb {N} } и {displaystyle x=n}, то {displaystyle a_{n}=acdot n+b}, тогда {displaystyle a_{n+1}=acdot left(n+1right)+b}.
Рассмотрим {displaystyle a_{n+1}-a_{n}=left(acdot left(n+1right)+bright)-left(an+bright)}.
Отсюда следует, что {displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a}, где a — величина постоянная. Тогда {displaystyle a_{n+1}=a_{n}+a}, а это значит по определению, что {displaystyle left{a_{n}right}} — арифметическая прогрессия.■

Суммы членов арифметической прогрессии с равными суммами номеров равны, т. е. {displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}Longleftrightarrow n+m=k+lquad vert ;forall left(n,,m,,k,,lin mathbb {N} right)}.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии[править | править код]

Последовательность a_1, a_2, a_3, ldots есть арифметическая прогрессия Longleftrightarrow для любого её элемента выполняется условие

{displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},ngeqslant 2.}

Доказательство характеристического свойства арифметической прогрессии

Необходимость.

Поскольку a_1, a_2, a_3, ldots — арифметическая прогрессия, то для n geqslant 2 выполняются соотношения:

a_n=a_{n-1}+d

a_n=a_{n+1}-d.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим {displaystyle a_{n}={dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}.

Достаточность.

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}. Поскольку соотношения верны при всех n geqslant 2, с помощью математической индукции покажем, что a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n.

База индукции (n=2) :

a_2-a_1=a_3-a_2 — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k, то есть a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k. Докажем истинность утверждения при n=k+1:

a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}

Но по предположению индукции следует, что a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k. Получаем, что a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}

Итак, утверждение верно и при n=k+1. Это значит, что a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n geqslant 2 Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n.

Обозначим эти разности через d. Итак, a_2-a_1=a_3-a_2=ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d, а отсюда имеем a_{n+1}=a_n+d для n in mathbb N. Поскольку для членов последовательности a_1, a_2, a_3, ldots выполняется соотношение a_{n+1}=a_n+d, то это есть арифметическая прогрессия.■

Тождество арифметической прогрессии[править | править код]

Пусть {displaystyle a_{k},a_{l},a_{m}} — соответственно k-й, l-й, m-й члены арифметической прогрессии, где {displaystyle k,,l,,min mathbb {N} }. Тогда для всякой такой тройки выполняется комплементарное свойство арифметической прогрессии[нет в источнике], называемое тождеством арифметической прогрессии:

{displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}

Доказательство тождества арифметической прогрессии

С помощью формулы общего члена выразим k-й, l-й, m-й члены:

{displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d,quad a_{l}=a_{1}+(l-1)d,quad a_{m}=a_{1}+(m-1)d.}

Вычитая почленно из первого равенства второе, а из второго третьего, получим:

{displaystyle a_{k}-a_{l}=(k-l)d,quad a_{l}-a_{m}=(l-m)d.}

Выражая из этих равенств d и приравнивая полученные выражения, получим:

{displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}

По основному свойству пропорции:

{displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}

Откуда следует доказываемое тождество:

{displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0.}

■

Следствие 1. Всякий член арифметической прогрессии вырази́м[5] через любую пару других членов.

Доказательство

Преобразовав тождество арифметической прогрессии

{displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}

к виду

{displaystyle a_{m}={dfrac {(l-m)a_{k}+(m-k)a_{l}}{l-k}},}

можно заметить, что m-й член есть линейная комбинация двух других членов (a_{{k}} и {displaystyle a_{l}}), поскольку оно равносильно

{displaystyle a_{m}={dfrac {l-m}{l-k}}a_{k}+{dfrac {m-k}{l-k}}a_{l}.}

■

Следствие 2. Для того, чтобы число {displaystyle a_{m}} являлось членом данной арифметической прогрессии с членами a_{{k}} и {displaystyle a_{l}}, необходимо и достаточно, чтобы было натуральным число

{displaystyle m={dfrac {(a_{l}-a_{m})k+(a_{m}-a_{k})l}{a_{l}-a_{k}}}.}

Формулировка ещё одного признака арифметической прогрессии.

Следствие 3 [критерий]. Числовая последовательность является арифметической прогрессией в том и только в том случае, если выполняется тождество арифметической прогрессии для всех членов данной последовательности. Другими словами, чтобы каждый член был вырази́м через любую пару остальных членов последовательности.

{displaystyle left{a_{n}right}~-~div Longleftrightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}

Доказательство

Необходимость. Утверждение

{displaystyle left{a_{n}right}~-~div Rightarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} }

очевидно (см. доказательство тождества арифметической прогрессии).

Достаточность. Докажем, что

{displaystyle left{a_{n}right}~-~div Leftarrow left(k-lright)a_{m}+left(m-kright)a_{l}+left(l-mright)a_{k}=0mid forall k,forall l,forall min mathbb {N} .}

Равенство

{displaystyle (k-l)a_{m}+(m-k)a_{l}+(l-m)a_{k}=0}

можно преобразовать к виду

{displaystyle (l-m)(a_{k}-a_{l})=(k-l)(a_{l}-a_{m}).}

Если все три номера различны, тогда

{displaystyle {dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}.}

Обозначим выражение, например, в левой части равенства за d, то есть

{displaystyle d={dfrac {a_{k}-a_{l}}{k-l}}.}

Откуда можно прийти к следующему предложению:

{displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d.}

Наконец, методом математической индукции, например, по l нетрудно убедиться, что данное соотношение описывает именно арифметическую прогрессию.

Действительно, при l=1 (база индукции) получаем формулу общего члена арифметической прогрессии:

{displaystyle a_{k}=a_{1}+{left(k-1right)}d.}

Предположим истинность утверждения (для l): формула {displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d} характеризует арифметическую прогрессию. Тогда покажем, что и при l+1 формула верна для арифметической прогрессии (переход, или шаг, индукции). Рассмотрим левую часть формулы

{displaystyle a_{k}=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}

По предположению индукции ({displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d}) заменим a_{k} на выражение {displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d}. Итак, получим следующее:

{displaystyle a_{l}+{left(k-lright)}d=a_{l+1}+{left(k-left(l+1right)right)}d.}

Методом тождественных преобразований имеем равносильное предложение

{displaystyle a_{l+1}=a_{l}+d.}

А это, в свою очередь, рекуррентное соотношение для арифметической прогрессии.

Значит, по принципу математической индукции можно утвердать, что для всякого l соотношение {displaystyle a_{k}=a_{l}+{left(k-lright)}d} верно только и только для членов арифметической прогрессии.

Аналогичные рассуждения проводятся для формулы {displaystyle d={dfrac {a_{l}-a_{m}}{l-m}}}.

Данное следствие целиком и полностью считается доказанным.■

Сумма первых n членов арифметической прогрессии[править | править код]

Сумма первых n членов арифметической прогрессии {displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+ldots +a_{n}} может быть найдена по формулам

{displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n} , где a_{1} — первый член прогрессии, a_n — член с номером n, n — количество суммируемых членов.
{displaystyle S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot ({dfrac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)} — где a_{1} — первый член прогрессии, a_{2} — второй член прогрессии {displaystyle ,a_{n}} — член с номером n.
{displaystyle S_{n}={dfrac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}cdot n} , где a_{1} — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество суммируемых членов.
{displaystyle S_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot n}, если n — нечётное натуральное число.
Доказательство
Запишем сумму двумя способами:

S_n=a_1+a_2+a_3+ ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n

S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ ldots +a_3+a_2+a_1 — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,ldots,n. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,ldots,n

Получили, что каждое слагаемое не зависит от i и равно 2a_1+(n-1)d. В частности, a_1+a_n=2a_1+(n-1)d. Поскольку таких слагаемых n, то

{displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})cdot nRightarrow S_{n}={dfrac {a_{1}+a_{n}}{2}}cdot n}

Третья формула для суммы получается подстановкой 2a_1+(n-1)d вместо a_1+a_n. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a_1+a_n в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,ldots,n, так как они все равны между собой.

Формулировка ещё одного факта: для всякой арифметической прогрессии при любом n выполняется равенство:

{displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n}.}

Примечание: S_{k} — сумма k первых членов арифметической прогрессии.

Доказательство

1. Очевидно, что {displaystyle {dfrac {S_{2n}}{2n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{1}+a_{2n}-left(a_{1}+a_{n}right)}{2}}={dfrac {a_{2n}-a_{n}}{2}},} или {displaystyle S_{2n}-2S_{n}=ncdot (a_{2n}-a_{n}).}

Прибавим к обеим частям S_{n} и получим, что {displaystyle S_{2n}-S_{n}=S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n}).}

2. Покажем, что {displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}

Это так, поскольку можно написать верное равенство:

{displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3n}}-{dfrac {S_{n}}{n}}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.} Из него следует, что {displaystyle {dfrac {S_{3n}}{3}}=S_{n}+{dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}cdot n.}

3. Теперь докажем, что {displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}
Перепишем последнее как {displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{3n}+a_{n}}{2}}.}

Но гораздо лучше представить это равенство в виде {displaystyle a_{2n}={dfrac {a_{2n+1}+a_{2n-1}}{2}}.} Видно, что это характеристическое свойство арифметической прогрессии.
Значит, действительно {displaystyle a_{2n}-a_{n}={dfrac {a_{3n}-a_{n}}{2}}.}

4. А следовательно, {displaystyle S_{n}+ncdot (a_{2n}-a_{n})={dfrac {1}{3}}S_{3n}.}

5. Тем самым, {displaystyle S_{2n}=S_{n}+{dfrac {1}{3}}S_{3n},} что и требовалось доказать.

Предыдущее свойство имеет обобщение.

Для любых натуральных k, l, m выполняется комплементарное свойство сумм:

{displaystyle {dfrac {l-m}{k}}cdot S_{k}+{dfrac {m-k}{l}}cdot S_{l}+{dfrac {k-l}{m}}cdot S_{m}=0.}

Ещё один признак арифметической прогрессии.

Для того чтобы последовательность {displaystyle left{a_{n}right}} являлась арифметической прогрессией, необходимо и достаточно, чтобы сумма первых n членов последовательности была функцией не выше второй степени относительно n[6].

Сумма членов арифметической прогрессии от n-го до m-го[править | править код]

Сумма членов арифметической прогрессии с номерами от n до m {displaystyle S_{m,n}=sum _{i=n}^{m}a_{i}=a_{n}+a_{n+1}+ldots +a_{m}} может быть найдена по формулам

{displaystyle S_{m,n}={dfrac {a_{m}+a_{n}}{2}}cdot (m-n+1)} , где a_m — член с номером m, a_n — член с номером n, {displaystyle (m-n+1)} — количество суммируемых членов.

{displaystyle S_{m,n}={dfrac {2a_{n}+dleft(m-nright)}{2}}cdot left(m-n+1right),}

где a_n — член с номером n, d — разность прогрессии, {displaystyle (m-n+1)} — количество суммируемых членов.

Произведение членов арифметической прогрессии[править | править код]

Произведением первых n членов арифметической прогрессии {displaystyle left{a_{n}right}} называется произведение от a_{1} до a_n, то есть выражение вида {displaystyle prod limits _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}cdot a_{2}cdot a_{3}cdot ldots cdot a_{n-2}cdot a_{n-1}cdot a_{n}.} Обозначение: P_{n}.

Свойство произведения:

Число множителей-скобок {displaystyle {left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}} равно {displaystyle {dfrac {n-1}{2}}}, а в самом произведении {displaystyle a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}} их составляет {displaystyle {dfrac {n+1}{2}}} «штук».[10]

Сходимость арифметической прогрессии[править | править код]

Арифметическая прогрессия a_1, a_2, a_3, ldots расходится при dne 0 и сходится при d=0. Причём

lim_{nrightarrowinfty} a_n=left{ begin{matrix} +infty, d>0 \ -infty, d<0 \ a_1, d=0 end{matrix} right.

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел lim_{nrightarrowinfty} (a_1+(n-1)d), получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями[править | править код]

Пусть a_1, a_2, a_3, ldots — арифметическая прогрессия с разностью d и число a>0. Тогда последовательность вида a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d.

Доказательство
Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, ngeqslant 2

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

sqrt{a^{a_{n-1}}cdot a^{a_{n+1}}}=sqrt{a^{a_1+(n-2)d}cdot a^{a_1+nd}}=sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, ngeqslant 2

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, ldots — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения q=frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d.

Следствие: если последовательность положительных чисел образует геометрическую прогрессию, то последовательность их логарифмов образует арифметическую прогрессию.

Арифметические прогрессии высших порядков[править | править код]

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11, …

Треугольные числа {displaystyle 1,3,6,10,15,ldots } также образуют арифметическую прогрессию второго порядка, их разности образуют простую арифметическую прогрессию {displaystyle 2,3,4,5,ldots }

Тетраэдральные числа {displaystyle 1,4,10,20,35,ldots } образуют арифметическую прогрессию третьего порядка, их разности являются треугольными числами.

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если left[a_{{i}}right]_{{1}}^{{n}} — арифметическая прогрессия порядка m, то существует многочлен P_{{m}}(i)=c_{{m}}i^{{m}}+...+c_{{1}}i+c_{{0}}, такой, что для всех iin left{1,....nright} выполняется равенство a_{{i}}=P_{{m}}(i)[11]

Примеры[править | править код]

{displaystyle T_{n}=sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+ldots +n={frac {n(n+1)}{2}}}

Формула для разности[править | править код]

Если известны два члена арифметической прогрессии, а также их номера в ней, то можно найти разность как

{displaystyle {mathit {d={frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}}}.

Сумма чисел от 1 до 100[править | править код]

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050.
Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

frac{n(n+1)}2

то есть к формуле суммы первых n чисел натурального ряда.

См. также[править | править код]

  • Геометрическая прогрессия
  • Арифметико-геометрическая прогрессия

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Такое соотношение называют рекуррентным соотношением первого порядка. Поэтому арифметическая прогрессия есть множество последовательностей, задающихся именно таким образом.
  2. ↑ Фильчаков П. Ф. Глава II. Алгебра и элементарные функции. Функции натурального аргумента (§ 75. Арифметическая прогрессия) // Справочник по элементарной математике: для поступающих в вузы : книга / под ред. чл.-кор. АН УССР П. Ф. Фильчакова. — Киев : «Наукова думка», 1972. — С. 303. — 528 с. — 400 000 экз. — УДК 51 (08)(G).
  3. ↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 135. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
  4. ↑ Соотношение между любыми тремя членами арифметической прогрессии и их номерами (Мусинов В. А.) // Материалы студенческой научной сессии Института математики и информатики МПГУ. 2021–2022 учебный год : сборник статей / под общ. ред. Е. С. Крупицына. — М.: МПГУ, 2022. — С. 91—93. — 156 с. — ISBN 978-5-4263-1109-1, ББК 22.1я431+32.81я431+22.1р30я431+74.262.21я431+74.263.2я431.
  5. ↑ Это означает, что выражаемый член есть комбинация любых двух других членов данной последовательности, причём эта комбинация составлена с помощью арифметических операций и конечного набора символов. Для арифметической последовательности такая комбинация будет линейной.
  6. ↑ Шахмейстер А. Х. Прогрессии. Арифметическая прогрессия // Множества. Функции. Последовательности. Прогрессии : книга / А. Х. Шахмейстер, под общ. ред. Б. Г. Зива. — 2-е изд., испр. и доп. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2008. — С. 141. — 296 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 3000 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-94057-423-1. — ISBN 978-5-98712-027-9. — ISBN 978-5-91673-006-7.
  7. ↑ Из доказательства необходимости следует, что {displaystyle S_{n}=an^{2}+bn}, поэтому, если {displaystyle S_{n}=an^{2}+bn+c}, то необходимо сделать проверку. Например, если {displaystyle S_{n}=2n^{2}-n-6} — сумма первых n членов последовательности, то такая последовательность НЕ является арифметической прогрессией. А последовательность, заданная суммой {displaystyle S_{n}=2n^{2}-n} первых n членов, будет арифметической прогрессией.
  8. ↑ При n=1 произведение P_{n} равно {displaystyle a_{frac {1+1}{2}}=a_{1}}, что безусловно верно.
  9. ↑ Эту формулу удобно использовать для выполнения итераций в программном коде, так как результат зависит от значения только двух величин: постоянного числа — разности, и члена, стоящего ровно по середине между первым и n-м членом.
  10. ↑ Пример применения формулы.
    Пусть {displaystyle div left{a_{n}right}:quad underbrace {27} _{a_{1}},;underbrace {20} _{a_{2}},;underbrace {13} _{a_{3}},;underbrace {6} _{a_{4}},;underbrace {-1} _{a_{5}}}, где {displaystyle d=-7}.

    По формуле {displaystyle P_{n}=a_{frac {n+1}{2}}cdot prod limits _{i=1}^{frac {n-1}{2}}{left(a_{frac {n+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}} найдём произведение пяти первых членов. Количество сомножителей должно равняться {displaystyle {dfrac {5+1}{2}}=3}. Причём первым сомножителем будет {displaystyle a_{frac {5+1}{2}}=a_{3}=13}.

    Далее {displaystyle prod limits _{i=1}^{frac {5-1}{2}}{left(a_{frac {5+1}{2}}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=prod limits _{i=1}^{2}{left(a_{3}^{2}-{left[idright]}^{2}right)}=}{displaystyle ={left(a_{3}^{2}-{left[dright]}^{2}right)}cdot {left(a_{3}^{2}-{left[2dright]}^{2}right)}={left(169-49right)}cdot {left(169-4cdot 49right)}=}{displaystyle =120cdot {left(-27right)}}.

    Наконец, {displaystyle P_{n}=13cdot 120cdot {left(-27right)}=-42120}.
  11. ↑ Бронштейн, 1986, с. 139.

Литература[править | править код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.

Ссылки[править | править код]

  • Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890. — Т. II. — С. 98.
Источник

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int main()
{
int count;
cout <<“Введите размер массива: “;
cin >>count;
vector<int> v(count);
srand(time(0));
for (int i=0; i<count; i++)
{
v[i]=rand()%100;
cout <<v[i] <<” “;
}
cout <<endl;
int c=0;
int n;
cout <<“Введите максимальный элемент: “;
cin >>n;
for (int i=0; i<v.size(); i++)
if (v[i]>n)
{
v[i]=n;
c++;
}
cout <<“Было произведено ” <<c <<” замен” <<endl;
for (int i=0; i<v.size(); i++)
cout <<v[i] <<” “;
cout <<endl;

return 0;
}

3)14)25)1
не знаю правильно или нет

Сам сохранишь в папку.

Один бит – один разряд в двоичной системе счисления. На запись числа 10110010 требуется 8 бит. 1 байт = 8 бит.Ответ: 1 байт

Var chis,a,b,c: integer;beginreadln(chis);a:= chis div 100;b:= chis mod 100;c:= b div 10;chis:= b mod 10;writeln(chis,c,a);end.

Источник

Добавить комментарий