Как найти произведение приближенных чисел

При умножении приближенных чисел нас должен интересовать прежде всего вопрос о том, сколько знаков следует сохранить в сомножителях, чтобы получить произведение с заданной точностью. Знать это важно для того, чтобы не делать бесполезных вычислений с лишними цифрами.
Рассмотрим сперва случай умножения приближенного числа па точное.
Существует правило: произведение приближенного числа на точное содержит столько верных знаков, сколько их имеется во множимом. Например, в произведении 7,54 X 3,2 = 24,128, где множимое представляет собой приближенное число, а множитель — точное, будет три верных знака — 24,1.

Возьмем другой пример. Произведение приближенного числа 7,3561247 на точное 25 равно 183,9031175. Последнее число содержит восемь верных знаков.
Будем умножать на точный множитель 25 сперва три цифры данного числа, затем четыре, пять и т. д. до последней цифры с округлением там, где это нужно.
Результат получим такой:
7,36   X 25 = 184,00
7,356   X 25 = 183,900
7,3561   X 25 = 183,9025
7,35612   X 25 = 183,90300
7,356125   X 25 = 183,903125 7,3561247 X 25 = 183,9031175.
Данный пример показывает, что для получения, скажем, четырех верных знаков достаточно сохранить во множимом только четыре цифры, остальные должны быть отброшены. Оставление в нем большего количества знаков совершенно нецелесообразно, так как это приводит лишь к напрасной потере времени и труда для бесполезных вычислений.
При отбрасывании лишних цифр применяется округ ление последней сохраняемой цифры.
Если оба сомножителя заданы приближенно, то число верных знаков в произведении будет такое же, как у сомножителя с меньшим количеством точных цифр.
Из этого свойства произведения приближенных чисел вытекает следующее правило: при перемножении приближенных чисел с различным числом верных цифр следует сохранять в каждом из сомножителей столько знаков, сколько их содержится в сомножителе с наименьшим количеством верных цифр. Например, при перемножении двух приближенных чисел 5,48 X 0,24 следует в первом из них сохранить только две цифры, а третью отбросить с округлением смежного с нею знака, т. е. произвести умножение 5,5 X 0,24 = 13,2.
Если приближенные сомножители даны с большим количеством знаков, то на практике с целью уточнения приближенного произведения создают дополнительный запас точности таким образом: если в произведении двух приближенных чисел желают сохранить п верных знаков, то в одном из сомножителей оставляют п + 1 знаков. Например, желая получить три верных знака в произведении 3,53758 X 4,51682 (которое равно 15,9786120956), следует умножить либо 3,54 на 4,517, либо 3,538 на 4,52; в первом случае получим 15,99018 я^ 16,0, во втором — 15,99176 ^ 16,0.
Продолжая тот же прием для получения четырех знаков, найдем:
3,538 X 4,5168 = 15,9804384 ^ 15,98
или
3,5376 X 4,517 = 15,9793392 ^ 15,98; для получения пяти верных знаков:
3,5376 X 4,51682 = 15,978702432 ^ 15,979
или
3,53758 X 4,5168 = 15,978541344 ^ 15,979.
Как видно из приведенного примера, для нахождения четырех знаков произведения достаточно было бы закончить умножение после получения пятой цифры; для определения пяти точных цифр произведения вовсе ненужными оказываются цифры, стоящие правее шестого знака. Поэтому на практике часто применяют способ сокращенного умножения, дающий большую экономию времени при вычислениях в тех случаях, когда можно ограничиться тремя пятью верными цифрами. Способ сокращенного умножения состоит в следующем.
Допустим, требуется найти четыре верных цифры произведения 37,54 X 2,652 (полное произведение 37,54 X 2,652 = 99,55608). Умножение можно выполнить так:

Подписываем под множимым цифры множителя в обратном порядке и умножаем множимое, как обычно, на крайнюю правую цифру множителя; результат подписываем под чертой; затем отбрасываем крайнюю правую .цифру множимого и оставшуюся часть умножаем на вторую цифру множителя, причем второй результат подписываем под первым, не сдвигая на один разряд влево; потом отбрасываем еще одну цифру множимого и оставшуюся часть умножаем на следующую цифру множителя и т. д. до конца. При отбрасывании цифр множимого соблюдается правило округления. Подписанные одно под другим в виде слагаемых произведения складываются и лишний знак отбрасывается также с округлением.
Действие располагается в таком виде:
3754 Х_2562_
7508 2250 190 8
3754 X 2 375 X 6 38 X 5 4X2
99,56
Для сравнения приводим тот же пример умножения, выполненного обычным способом:
3754 х 2652
7508 18770 22524 7508
99,55608
Оба сомножителя мы рассматривали как целые числа, т. е. десятичные знаки от целых запятыми при умножении не отделялись. Вопрос о том, где следует поставить запятую в произведении, на практике решается приблизительным подсчетом.
Подписывание цифр множителя под множимым в обратном порядке делается лишь для удобства вычислений. Можно, разумеется, подписывать множитель под множимым и в обычном порядке расположения цифр, но тогда умножение придется производить начиная с крайней левой цифры множителя, а во множимом по- прежнему отбрасывать при -каждом перемножении по одному знаку справа. Результат получится тот же.
Приближенное умножение описанным способом легко и достаточно быстро выполняется на счетах. При этом умножение множимого на первую цифру множителя производится по правилу умножения на однозначное число. К полученному результату прибавляются все последующие произведения, предварительно выполненные в уме (что не вызывает больших затруднений, так как ка-ждый раз умножение производится на однозначное число).
Упражнение 48. Найти произведения:
3,854 X 2,222 с точностью до 3-го знака;
0,7826 X 3,762 » » » 4-го знака;
0,0753 X 0,0358 » » » 5-го знака.

Добавить комментарий

Авторизоваться

Просмотр содержимого документа

«Умножение и деление приближенных значений чисел»

Источник

Макеты страниц

Положим, требуется найти произведение двух чисел

Не желая иметь дело с обыкновенными дробями, переходим к десятичным, ограничиваясь точностью до десятых. Так как — то выполняем умножение десятичных чисел 124,3 и 2,1, и получаем произведение 261,03.

Сомножители были взяты с точностью до десятых. Считая, что с такой же точностью получен и результат, пишем окончательно:

Так ли это?

Производя умножение без предварительного обращения сомножителей в десятичные дроби, мы найдем, что. произведение равно или Следовательно, в полученном выше результате, вопреки нашему ожиданию, неверна не только цифра десятых долей, но и цифра целых единиц.

Для того чтобы попять, почему так получилось, запишем приближенные сомножители в виде и заменяя знаками вопроса неизвестные цифры сотых долей, и выполним умножение так, как будто эти цифры сотых были нам известны. Умножая неизвестные цифры, в частных произведениях ставим в соответствующих местах тоже знаки вопроса:

Все цифры произведения направо от вертикальной пунктирной черты получены от сложения неизвестных цифр с известными или одних неизвестных цифр друг с другом, а потому никакого доверия не заслуживают. Отбрасывая эти цифры результата, записываем произведение в виде 260 или, еще лучше: в виде уменьшенный размер нуля целых указывает, что этот пуль поставлен вместо неизвестной нам цифры единиц.

При умножении приближенных чисел следует руководствоваться правилом: в произведении двух приближенных чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет тот сомножитель, у которого значащих цифр меньше. Под значащими цифрами числа разумеют все его цифры, т. е. цифры как целой, так и дробной его части, за исключением нулей, которые стоят левее первой отличной от нуля цифры, и тех нулей, которые могут быть у числа справа, если эти нули поставлены взамен неизвестных цифр (например, числа 20,6, 206, 0,00206 имеют по три значащие цифры каждое).

В применении к рассмотренному выше примеру

умножения приближенных чисел это правило рекомендует сохранить в произведении лишь две первые значащие цифры, так как приближенное множимое (124,3) имеет 4 значащие цифры, приближенный же множитель (2,1) – только 2. Но мы убедились, что точько эти две первые цифры произведения в нем и верны. Взяв множитель в виде десятичной дроби не с 2, а с 3 значащими цифрами (2,14), мы получили бы произведение 266,002, в котором следовало бы, согласно правилу, сохранить уже 3 первые значащие цифры, и мы имели бы 124-12-266, т. е. как раз то, что получается, если точное произведение округлить до 3 значащих цифр. Взяв множитель с 4 значащими цифрами (2,137), мы получили бы произведение 265,6291, в котором согласно правилу надо бы было сохранить 4 первые значащие цифры. И, действительно, расхождение между этим приближенным произведением и точным его значением начинается лишь после четвертой значащей цифры.

Пользоваться этим очень удобным правилом округления произведения приближенных чисел можно и тогда, когда один из сомножителей — число точное. Надо только считать, что в этом сомножителе бесконечно много значащих цифр, и сохранять в произведении столько значащих цифр, сколько их имеет второй (приближенный) сомножитель. Например, если взять и находить длину окружности с диаметром ровно в 2,6 см, то в произведении следует сохранить 3 первые значащие цифры, которые и являются единственными верными цифрами этого произведения (взяв мы получили бы

Следует заметить, что могут быть случаи, когда произведение двух чисел имеет больше верных цифр, чем можно ожидать на основании этого правила, так как один приближенный сомножитель может быть меньше соответствующего точного значения, а другой — больше. Точно также может случиться, что последняя цифра, которую мы сохраняем в произведении согласно правилу, будет не вполне точной; теория указывает, что в этой последней цифре может быть неточность, приближающаяся в исключительных случаях к 6 единицам этого разряда, но никогда не превосходящая этого предельного значения.

Подобные же правила надо соблюдать и при выполнении других действий над приближенными числами: в частном Двух приближенных чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет то из данных чисел (делимее и делитель), в котором меньше значащих цифр; при возведении в квадрат и куб в результате надо сохранять сюлько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число; квадратный и кубический корни из приближенного числа надо извлекать со столькими значащими цифрами, сколько их имеет подкоренное число.

Оглавление

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Глава I. ОБ УПРАЖНЕНИЯХ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ ОШИБОЧНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ И ИХ КЛАССИФИКАЦИИ
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ И ИХ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ.
II. КЛАССИФИКАЦИЯ УПРАЖНЕНИЙ НА ОПРОВЕРЖЕНИЕ ЛОЖНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАССУЖДЕНИЙ.
2. Распространение на исключительные случаи.
3. Приписывание свойств определенного вида всему роду.
4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путем обращения.
5. Подмена точных определений геометрической интуицией.
6. Ошибки построения.
7. Ошибки, являющиеся следствием буквального толкования сокращенной (условной) формулировки некоторых геометрических утверждений.
8. Нарушение смысла условных записей.
9. Уклонение от тезиса.
Глава II. АРИФМЕТИКА.
I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
2. На двух нормальных руках одиннадцать пальцев.
3. Квадратные рубли.
4. 45 – 45 = 45
5. 40 : 8 = 41
6. Дважды два — пять!
7. Есть ли здесь пропорциональность?
8. 100% экономии.
9. Как вычислять средний процент?
10. Что даст ежегодный прирост в 40% за пять лет?
11. Новое правило умножения дробей.
12. Куда делся рубль?
13. Откуда появился лишний гривенник?
14. Завещание отца.
15. 2-3=4.
II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.
Глава III. АЛГЕБРА.
I. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
19. Делимость многочленов и делимость чисел.
20. Произвольно взятое число а равно нулю.
21. 7 = 13.
22. Положительная единица равна отрицательной единице.
23. Другое «доказательство» равенства положительной и отрицательной единиц.
24. Мнимая единица и действительная отрицательная единица равны.
25. i^2 = 1
26. Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.
27. Если a > b, то a > 2b
28. Если а и b положительные числа, то a > b и b > a.
29. Положительное число меньше нуля.
30. Сумма натуральных чисел, каждое из которых превосходит единицу, больше их произведения.
31. Чему равен квадратный корень из числа a^2?
32. Еще одно «доказательство» равенства нулю произвольно взятого числа.
33. Число не изменяется, если в нем переставить любые цифры!
34. Что говорит теорема о существовании корня в алгебре комплексных чисел?
35. Об одном спэсобе получать правильные результаты, применение которого требует большой осторожности.
36. О сумме 1-1+1-1 + …
37. Всегда ли целое больше своей части?
38. Еще одно «доказательство» равенства двух произвольно взятых чисел.
39. Сумма двух произвольных одинаковых чисел равна нулю.
40. Число не изменится, если к нему прибавить 1.
41. Ахиллес и черепаха.
42. О некоторых ученических ошибках.
II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.
Глава IV. ГЕОМЕТРИЯ.
1. ПРИМЕРЫ ЛОЖНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
44. Отрезок прямой равен своей правильной части.
45. Все треугольники равновелики.
46. Сумма оснований любой трапеции равна нулю.
47. Объемлемая и объемлющая.
48. Еще о пропорциональности.
49. Две окружности разного радиуса имеют одну и ту же длину.
50. Сумма катетов равна гипотенузе.
51. Длина полуокружности равна ее диаметру.
52. Боковая поверхность круглого прямого конуса с радиусом основания r и высотой h выражается формулой P=pi*r(r+h).
53. В данной точке на прямой можно восставить два перпендикуляра к этой прямой.
54. Через одну точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой.
55. Окружность имеет два центра.
56. Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.
57. Через две данные точки можно провести две прямые.
58. Любой треугольник — равнобедренный.
59. Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе.
60. Прямой угол равен тупому (планиметрический вариант).
61. 64 кв. см = 65 кв. см.
62. Задача о заплате.
II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.
III. РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ РАССУЖДЕНИЙ.
64. Трисекция угла.
65. Еще о трисекции угла.
66. Квадратура круга.
67. Об одном доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.
68. Как вычислять объем усеченной пирамиды?
Глава V. ТРИГОНОМЕТРИЯ.
70. Синус угла уменьшается, если к углу прибавить 360°.
71. Косинус любого острого угла больше единицы.
72. 1/4 > 1/2
73. 2^2 = 4^2
74. Площадь прямоугольника равна нулю.
75. Существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.
76. Каждый треугольник — прямоугольный.
II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ
Глава VI. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. РАССКАЗЫ-ОБЪЯСНЕНИЯ ПО ПОВОДУ ОШИБОЧНЫХ РАССУЖДЕНИЙ
78. Все большие числа приближенно равны между собой.
79. О точности произведения приближенных чисел.
80. Верна ли формула …
81. Сколько цифр надо знать в подкоренном числе, чтобы получить корень с заданной точностью?
82. Зачем освобождаются от иррациональности в знаменателе?

Источник

Математика

6 класс

Урок № 69

Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел

Перечень рассматриваемых вопросов:

– десятичная дробь, приближённое значение, округление;

– значащая цифра десятичной дроби;

– приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.

Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.

Значащая цифра десятичной дроби – это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зачастую необходимо быстро прикинуть результат, который получается при сложении, вычитании, умножении или делении двух десятичных дробей. Если дроби имеют много знаков после запятой, выполнить эти действия быстро довольно сложно. Для этого используют правила приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближений.

Поясним на примере.

1,45 + 2,32

Округлим данные числа до десятых.

1,45 ≈ 1,5

2,32 ≈ 2,3

Сложим приближённые значения дробей.

1,5 + 2,3 = 3,8

Проверим с исходными числами.

1,45 + 2,32 = 3,77

Округлим сумму до десятых.

3,77 ≈ 3,8

Получили тот же результат.

Итак, чтобы вычислить приближённую сумму или разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, то есть до одного и того же разряда. Затем сложить или вычесть полученные приближения.

Рассмотрим пример.

23,184567 + 4,4486

Округлим эти числа с точностью до одной сотой.

23,184567 ≈ 23,18

4,4486 ≈ 4,45

Найдём сумму приближённых значений.

23,18 + 4,45 = 27,63

23,184567 + 4,4486 ≈ 27,63

Теперь рассмотрим умножение и деление.

Чтобы вычислить приближённое произведение или частное двух чисел, надо округлить эти числа с точностью до одной и той же значащей цифры, перемножить или разделить полученные приближения и результат округлить до той же значащей цифры.

Пусть даны числа.

246,76556 и 0,0078653

Найдём их произведение и частное.

Округлим числа до трёх значащих цифр.

246,76556 ≈ 247

0,0078653 ≈ 0,00787

Вычислим произведение их приближений.

247·0,00787 = 1,94389

Округлим результат также до трёх значащих цифр.

1,94389 ≈ 1,94

Получаем, что

246,76556 · 0,0078653 ≈ 1,94

Вычислим частное приближений этих чисел и тоже округлим его до трёх значащих цифр.

247 : 0,00787 = 31385,00635… ≈ 31400

Получаем, что

246,76556 : 0,0078653 ≈ 31400

Точность вычислений находится в противоречии с простотой вычислений. Чем большим количеством цифр мы пользуемся, тем точнее наш результат.

Пример

Вычислить 2,2637².

Для простоты вычислений округлим до одной значащей цифры.

2,2637 ≈ 2

Тогда 2² = 4.

Округлим до двух значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,3

Тогда 2,3² = 5,29

Округлим до трёх значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,26

2,26² = 5,1076

Если же посчитать не приближённый, а реальный результат, то получается

2,2637² = 5,12433769

Видим, что наиболее приближённый к реальному результат дало нам округление до трёх значащих цифр. А самый далёкий от реального результат дало округление до одной значащей цифры.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Вставьте вместо пропусков верные цифры.

Задание. Вычислите приближённое значение произведения, округлив множители до двух значащих цифр.

2,465·1,923 ≈ …

Решение

Округлим множители до двух значащих цифр.

2,465≈ 2,5

1,923≈1,9

Найдём произведение приближённых значений.

2,5·1,9=4,75

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

4,75≈4,8

Ответ:2,465·1,923 ≈4,8.

Тип 2. Подстановка элементов в пропуски в тексте

Нахождение приближённого значения частного десятичных дробей

Задание. Вставьте вместо пропуска цифру, чтобы получилось верное равенство.

3,_781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Решение. При нахождении приближённого значения частного, числа были округлены до двух значащих цифр. В делимом третья значимая цифра 7, значит, при округлении ко второй цифре прибавили единицу. Получилось 6, значит, исходная цифра – это 5.

Ответ: 3,5781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Тип 3. Добавление подписей к изображениям

Нахождение приближённого значения произведения и частного десятичных дробей

Задание. Округлив числа a и b с точностью до двух значащих цифр, найдите и впишите результаты действий.

a = 191,452; b = 0,004868

a : b =

a · b =

Решение

Округлим числа до двух значащих цифр.

191,452 ≈ 190

0,004868 ≈ 0,0049

Найдём частное приближённых значений.

190 : 0,0049 = 38775,5

Округлим до двух значащих цифр.

38775,5… ≈ 39000

Найдём произведение приближённых значений.

190 · 0,0049 = 0,931

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

0,931 ≈ 0,93

Ответ:

a : b = 39000

a · b = 0,93

Источник

Добавить комментарий

Авторизоваться

Рекомендуемые статьи

Просмотр содержимого документа

«Умножение и деление приближенных значений чисел»

Добавить комментарий Отменить ответ

Добавить комментарий

Авторизоваться

Рекомендуемые статьи

Просмотр содержимого документа «Умножение и деление приближенных значений чисел»

Вам также может понравиться

Как найти диаметр колеса автомобиля выходящего завода

Как правильно составить цитатный план по рассказу

Как найти esim в айфоне 11

Добавить комментарий Отменить ответ

Просмотр содержимого документа

«Умножение и деление приближенных значений чисел»