Как найти произведение рациональных выражений - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Рациональные выражения

Деление степеней и одночленов

В курсе алгебры 7 класса вы ознакомились с целыми выражениями, научились складывать и вычитать их, умножать и возводить в степень. Теперь рассмотрим, как можно делить выражения. Разделить выражение A на выражение В —означает найти такое выражение X₁ при котором X•В = А.

Примеры:

, поскольку.

Следовательно, если а — отличное от нуля число, — натуральные числа, причём , то

Ведь по правилу умножения степеней, . Из тождества следует правило:

при делении степеней с одинаковыми основание оставляют без изменения, а из показателя степени делимого вычитают показатель а степени делителя.

Пользуясь этим правилом, можно записать:

Если , то всегда . Чтобы тождество а было верно и для данного случая, в математике принято считать, что при каждом значении а, отличном от нуля, . Запись 0° не имеет смысла.

Примеры:

Рассмотрим, как можно делить одночлены.

, поскольку ,;

,поскольку ; , поскольку – .

Чтобы разделить одночлен на одночлен, необходимо:

разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя
к найденному частному приписать множителями каждую переменную делимого с показателем, равным разности показателя этой переменной в делимом и делителе.

Пример:

Надо разделить одночлен .

Решение:

Делим 8 на 4, — на а, — и — на . Имеем, соответственно, 2, , 1 и . Итак, Но, например, одночлен с на пс таким способом разделить нельзя. Их частное тождественно не равно некоторому одночлену. Говорят, что во множестве одночленов деление не всегда возможно. Если необходимо разделить и такие одночлены, частное которых не является одночленом, его записывают в виде дроби. Об этом вы узнаете в следующем параграфе.

Хотите знать ещё больше?

Рассмотрим, как можно делить не только одночлены, но и выражения, содержащие степени многочленов. Например,

, .

Иногда перед делением надо преобразовать многочлены. Разделим, например, :

Известны и другие способы деления многочленов. В частности, многочлены можно делить «углом», подобно тому, как делят числа. Сравните, например, деление чисел 7488 и 234 и деление многочленов

, .

Частное от деления многочленов не всегда является многочленом, как и частное от деления двух целых чисел не всегда число целое. То есть во множестве многочленов деление не всегда возможно.

Выполним вместе!

Пример:

Разделите: а) на ; б) на –.

Решение:

а) ; 6) .

Ответ. а) ; б) .

Пример:

Проверьте, правильно ли выполнено деление: .

Решение:

Произведение частного и делителя тождественно равно делимому, следовательно, деление выполнено верно.

Ответ. Правильно.

Пример:

Упростите выражение: .

Решение:

Ответ:

Деление и дроби

Деление двух целых выражений не всегда можно выполнить без остатка. Например, частные нельзя записать в виде целых выражений. Деление одночленов нельзя выполнить без остатка, если делитель содержит переменную, которой нет в делимом, либо если показатель степени любой переменной в делителе больше показателя степени этой же переменной в делимом.

Если частное от деления одного выражения на другое не является целым выражением, то его записывают в виде дроби. Например:

Дробью называют частное от деления двух выражений, записанное с помощью черты дроби.

Какими бы не были выражения А и В, их частное – дробь . Выражения А и B – члены этой дроби. А – числитель, B – знаменатель.

Подобно другим выражениям дроби бывают числовые и содержащие переменные.

Например, дроби , , – числовые выражения, –

выражения, содержащие переменные.

Обыкновенная дробь – отдельный вид дроби. Это дробь, члены которой — натуральные числа. Если члены дроби — многочлены, её называют алгебраической дробью. Дроби, содержащие переменные, имеют смысл не при всех значениях переменных. Например, если а = 5, то

Запись — не число, поскольку на 0 делить нельзя. Следовательно, дробь

при а = 5 не имеет смысла. При всех других значениях а она имеет смысл. Говорят, что для данной дроби допустимы все значения переменной а, кроме а = 5.

Для переменных, входящих в знаменатель дроби, допустимы только те значения, которые не превращают этот знаменатель в нуль.

Рассмотрим две дроби:

Составим таблицу их значений для таких а: —4, -3, —2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Как видно из таблицы, при указанных значениях а, равных -4, -3, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 6, 7, обе дроби имеют равные значения. Равны они и при других значениях переменной а, кроме 0 и 3. Значение а = 0 недопустимо для обеих рассматриваемых дробей, а значение а = 3 – для второй дроби. При всех допустимых значениях переменной а все соответствующие значения этих дробей равны.

Два выражения, соответствующие значения которых равны при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными, или тождественными.

Это определение отличается от аналогичного определения для целых выражений только словом «допустимых». Говоря только о целых выражениях, это слово ранее мы исключали, поскольку для них все значения переменных допустимы.

Два тождественных выражения, соединённых знаком равенства, образуют тождество. Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Хотите знать ещё больше?

Соотношение дробей разных видов можно проиллюстрировать следующей диаграммой (рис. 3). Здесь каждое более узкое понятие является частью более широкого. Обыкновенные дроби – это составляющая числовых дробей, которые, в свою очередь, являются частью алгебраических дробей, и т. д.

Примеры обыкновенных дробей:

;

Числовых

;

алгебраических

Общее понятие дроби довольно широкое. Кроме алгебраических бывают неалгебраические дроби, вам ещё неизвестные, например.

Выполним вместе:

Пример:

Какие значения переменных допустимы для дроби: а) ; б) ?

Решение:

а) х+7= 0, если х = -7. Это значение х недопустимо для данной дроби. Все другие значения допустимы;

б) х²-а²=0, если (х -а)(х + а) = 0, отсюда либо х = а, либо х = -а.

Ответ. а) Для данной дроби допустимы все значения, кроме х = -7;

6) допустимы все значения, кроме х =а и х = -а.

Пример:

Докажите, что дробь , имеет смысл при всех значениях .

Доказательство:

При каждом рациональном значении число неотрицательное, а + 1 — положительное. Знаменатель данной дроби при каждом значении не равен 0.

Следовательно, при каждом значении данная дробь имеет смысл, что и требовалось доказать.

Пример:

Тождественны ли выражения:

а) б)?

Решение:

а) Представим дробь в виде частного двух одночленов и выполним деление:

. При всех допустимых значениях переменных () первое выражение равно второму, поэтому их соответствующие значения равны. Следовательно, выражения и тождественны.

б) Выполним действия в каждом выражении, используя свойства степеней: .

При всех допустимых значениях переменных () выражения принимают противоположные значения. Следовательно, они нетождественны.

Ответ. а) Выражения тождественны; 6) выражения нетождественны.

Основное свойство дроби

Вспомните основное свойство обыкновенной дроби. Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим равную ему дробь. Иными словами, при любых натуральных a, b и

. Это равенство — тождество. Докажем его для любых рациональных a, b и если б и .

Пусть , где — некоторое рациональное число. По определению действия деления,. Умножив обе части этого равенства на отличное от нуля число , получим равенство , отсюда . Следовательно, если и , то .

Доказанное тождество справедливо для любых дробей и является основным свойством дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, то получим дробь, которая тождественно равна данной.

Здесь под «выражением» понимают выражение с переменными, которое тождественно не равно нулю, либо число, отличное от нуля.

Основное свойство дроби даёт возможность заменить дробь вида

тождественно равной ему дробью в. Такое преобразование называют сокращением дроби. Например,

Первую из этих дробей сократили на , вторую — на .

Исходя из основного свойства дроби, приходим к следующим выводам.

Значение дроби не изменится, если знаки числителя и знаменателя изменить на противоположные.
Значение дроби не изменится, если изменить знаки одного из членов дроби и перед самой дробью.

Если члены дроби — многочлены, то перед сокращением дроби их часто необходимо разложить на множители. Иногда перед сокращением дроби изменяют знак числителя или знаменателя, изменив соответственно и знак перед дробью.

Примеры:

;

Примечание. Последнее преобразование и равенство справедливы только для . Чтобы не усложнять решение упражнений, такие условия можно не указывать. Каждую дробь будем рассматривать только при допустимых значениях её переменных.

Хотите знать ещё больше ?

Сократить дробь можно делением числителя и знаменателя на их общий делитель, выраженный не только целым выражением, но и дробным. Например, можно записать

Это равенство — тождество, верное при условии и . Кроме того, имеются дроби, члены которых содержат выражения с модулями, например:

Такие дроби не относятся к алгебраическим дробям. Подробнее с ними вы ознакомитесь в старших классах. А теперь рассмотрим наиболее простые случаи. Первую дробь можно сократить на с. Равенство верно при любых значениях а и .

Равенство верно, если а > 0. Если а < 0, то .

Выполним вместе!

Пример:

Сократите дробь .

Решение:

Пример:

Представьте дробь знаменателем: а) 4х³; б) 6х (х – 1).

Решение:

а) Чтобы получить знаменатель 4х³, нужно 2х умножить на 2х². Следовательно, ;

б) чтобы получить знаменатель 6х(х – 1), нужно 2х умножить на 3(х – 1). Следовательно,

Ответ. а) ; б)

Пример:

Приведите к общему знаменателю дроби .

Решение:

Общий знаменатель — ..

Ответ. .

Рациональные выражения

Выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень, называется рациональным.

Примеры рациональных выражений:

Целые выражения — это рациональные выражения, не содержащие действия деления на переменную.

Дробные выражения это рациональные выражения, содержащие действие деления на переменную.

Целые выражения и дроби — простейшие виды рациональных выражений. Другие виды этих выражений связаны между собой, как показано на схеме (рис. 9).

Рис. 9

Словом «другие» здесь обозначены дробные рапиональные выражения, которые не являются дробями, например:

Уравнение называется рациональным, если его левая и правая части — рациональные выражения.

Рациональное уравнение называется дробным, если его правая или левая части — выражения дробные.

Примеры дробных уравнений:

Для того чтобы решать такие уравнения, необходимо знать, как выполняют действия с дробными выражениями. Поэтому в следующих параграфах будем рассматривать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение дробей в степень.

Простейшие дробные уравнения, то есть уравнения, в которых левая часть — это дробь, а правая — нуль, решают пользуясь условием равенства дроби нулю.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Например, чтобы решить уравнение , нужно приравнять к нулю числитель и решить полученное уравнение:

Кроме того, проверить, не равен ли нулю при таком значении х знаменатель:

Следовательно, – корень данного уравнения.

Обратите внимание! Условие равенства дроби нулю состоит из двух частей:

числитель равен нулю;
знаменатель отличный от нуля.

Каждая из этих частей условия является одинаково важной.

Хотите знать ещё больше!

В представленной выше схеме словом «дроби» называют только рациональные дроби (часть рациональных выражений). Но дроби бывают не только рациональные, например,

Это также дроби, но нерациональные. Поэтому, забегая немного вперёд, соотношение между разными видами выражений можно представить в виде диаграммы (рис. 10).

Рис. 10

Если выражение содержит переменные под знаком модуля, его не считают рациональным При этом многие такие выражения можно заменить двумя, тремя либо большим количеством рациональных выражений. Например, рассмотрим дробь .

Если, то; если , то . Поэтому

Выполним вместе!

Пример:

При каких значениях переменной х значение дроби равно нулю?

Решение:

Значение дроби равно нулю лишь тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля. Приравняем числитель к нулю: 5х -1=0, 5х =1, х= 0,2.

Если х = 0,2, то знаменатель 4 – Зх не равен нулю. Следовательно, если х = 0,2, то дробь 4_зх Равна нулю.

Ответ. х = 0,2.

Пример:

Имеет ли корни уравнение ?

Решение:

Значение дроби равно нулю лишь тогда, когда нулю равен его числитель. Числитель дроби в данном уравнении равен нулю только тогда, когда х = 3. Но при таком значении х знаменатель равен нулю. Но на нуль делить нельзя. Символ — не число .

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Сложение и вычитание дробей

Для натуральных чисел а, b, с справедливо равенство

Выполняется оно и для произвольных рациональных значений а, b, с , кроме с = 0. Докажем это. Пусть а, b и — произвольные рациональные числа. Тогда и также рациональные числа. Если и то, по определению действия деления,

и . Сложив левые и правые части этих равенств, получим .

По определению действия деления, из полученного равенства следует, что, то есть .

Аналогично можно доказать и тождество

Из этих двух тождеств следуют правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.

На основании этих правил выполняют сложение и вычитание любых дробей с одинаковыми знаменателями:

Примеры:

; .

Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, сначала их нужно привести к общему знаменателю, как при сложении и вычитании обыкновенных дробей.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, знаменатель каждой дроби нужно разложить на множители. Если знаменатели дробей не имеют общих множителей, то сложение и вычитание выполняют по формуле:

Примеры:

;

Иногда нужно найти сумму или разность дроби и целого выражения. Их можно складывать или вычитать, как дроби, записав целое выражение в виде дроби со знаменателем 1.

Пример:

Аналогично упрощают выражения, состоящие из трёх или более дробей, соединённых знаками плюс» или «минус». Например,

Хотите знать ещё больше?

Если рассматривать каждое тождество только при его допустимых значениях переменных, то ость при условии, что левая и правая части имеют смысл, то мы сознательно упрощаем задачу. Доказательство, подтверждаем лишь то. что оно верно на всей области допустимых значений, но не указываем, какая это область.

Чтобы получить исчерпывающее решение такой задачи, необходимс не только убедиться, что тождество правильное для всей области допустимых значений, но и показать, какова эта область. Либо чётко указать, какие из действительных чисел не относятся к этой области. Например, показав, что , желательно указать, что доказанное равенство верно, если и . В ответственных случаях, например в экзаменационных работах, такие уточнения целесообразны.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите разность дробей.

Решение:

Ответ: -1.

Пример:

Найдите сумму дробей .

Решение:

Общий знаменатель дробей а(а² — с). Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, надо умножить первую дробь на а²— с, а вторую — на а.

Ответ. .

Пример:

Выполните действия: .

Решение:

Используем формулу

Ответ: 2а+ b

Умножение дробей

Правило умножения обыкновенных дробей вы уже знаете. Для любых натуральных чисел а, b, с и d справедливо равенство

Докажем, что это равенство — тождество, то есть оно выполняется для всех допустимых значений а, b, с , d ( и ) . Пусть и . По определению действия деления, и , отсюда

. Поскольку , то из равенства , по определению действия деления, имеем: , или . Из доказанного тождества следует правило умножения дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и отдельно — знаменатели, затем первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

На основании этого правила выполняют умножение любых дробей:

Примеры:

;

Поскольку целое выражение можно считать дробью со знаменателем 1, то, по сформулированному правилу, можно перемножать дроби и целые выражения.

Примеры:

;

Правило умножения дробей распространяется на произведение трёх множителей и более, например:

. Возвести дробь в n-ную степень означает перемножить n таких дробей:.

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель, затем первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби. .

Пример:

Возведём дробь в пятую степень:

Хотите знать ещё больше?

Вы уже знаете, что для умножения многочленов возможно обратное преобразование: разложение многочленов на множители. Существует ли преобразование, обратное умножению дробей?

Любую дробь можно представить как произведение двух, трёх или произвольного количества других дробей, Например,

Преобразование, обратное умножению дробей, неоднозначно, неопределенно. Упростим задачу. Представьте дробь ввиде произведения двух дробей, одна из которых равна . В данном случае ответ подобрать несложно:

Решение таких задач в более сложных случаях, как и операций, обратных возведению дробей в степень, рассмотрим позднее.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите произведение добей: и .

Решение:

Ответ.

Пример:

Найдите значение выражения .

Решение:

Ответ. При каждом значении х, кроме х= 5, значение данного выражения равно 1.

Пример:

Представьте в виде степени дроби выражение .

Решение:

Ответ. .

Деление дробей

Действие деления дробей — обратное умножению:

, поскольку .

Аналогично , поскольку . Выражение — произведение дробей и . Следовательно,

Дробь называют обратной дроби . Поэтому при делении дробей можно воспользоваться следующим правилом.

Чтобы разделить две дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Примеры:

;

Поскольку целое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то, согласно сформулированному правилу, дробь можно делить на целое выражение и целое выражение — на дробь:

;

Хотите знать ещё больше?

Проанализируем, при каких значениях переменных а, b, с, d значение частного существует.

Знаменатели дробей не равны нулю, поэтому и . Не равно нулю и значение с, поскольку при этом условии значение второй дроби равно О, а на нуль делить нельзя.

Следовательно, данное частное имеет значение только в том случае, если выполняются все три следующих условия: , и .

Рассмотрим, при каких значениях х имеет смысл выражение .

Если , то ; в этом случае знаменатель первой дроби равен О, и частного не существует.

Если , то ; в этом случае значение второй дроби равно О, а на нуль

Выполним вместе!

Пример:

Упростите выражение .

Решение:

Ответ. 1— с.

Пример:

Найдите частное от деления дроби на и укажите, при каких значениях переменных частное существует.

Решение:

Первая из данных дробей не имеет смысла, если а²-1=0, то есть при а = 1 или а = -1.

Вторая дробь не имеет смысла, если а² (а-1)=0, то есть при а = 0 или а = 1.

При с = 0 значение второй дроби равно 0, а на нуль делить нельзя.

Следовательно, частное этих дробей существует, если , , и . Ответ. частное существует при , , и

Преобразование рациональных выражений

Вы уже знаете, что любое числовое выражение после выполнения всех действий принимает конкретное значение, выраженное некоторым числом. Преобразования рациональных выражений выполняют так же, как находят значение числового выражения. Заданное выражение заменяют другим, тождественным ему. Такие преобразования называются тождественными преобразованиями.

Тождественные преобразования рациональных выражений выполняют частями или «цепочкой», используя известные вам из предыдущих параграфов правила действий с дробями и целыми выражениями. Если выражение содержит несколько действий разных ступеней, то их выполняют в такой же последовательности, что и преобразования числовых выражений:

действия в скобках;
действия третьей ступени (возведение в степень);
действия второй ступени (умножение, деление);
действия первой ступени (сложение, вычитание).

Любое рациональное дробное выражение можно представить в виде дроби, а некоторые — даже в виде целого выражения. Рассмотрим, например, выражения:

Первое из них можно преобразовать таким образом:

1) ; 2) ;

3) .

Следовательно, .

Аналогичным способом (последовательно) можно упростить и второе выражение. А можно преобразовать и «цепочкой»:

Хотите знать больше?

В математике часто приходится не только упрощать выражения, например сумму нескольких дробей записать одним выражением, но и осуществлять обратные операции.

Задача (О. Коши):

Разложите дробь на сумму двух дробей со знаменателями х – 1 и х + 1.

Решение. Пусть .

Преобразуем правую часть равенства в дробь:

Подставляем это выражение в правую часть (1):

, отсюда .

Правая часть последнего равенства не содержит переменной х. Это возможно только при условии, если А + В = 0, то есть В=-А. Вэтом случае А – (-А) = 2, отсюда 2А =2, А=1, В=-1.

Следовательно, .

Ответ. .

Рациональные уравнения

Умение преобразовывать дробные выражения необходимо, в частности, для решения дробных уравнений.

Вы уже знаете, что уравнение ‚ называется рациональным, если его левая и правая части — рациональные выражения. Рациональное уравнение называют дробным, если его правая, левая либо правая и левая части — дробные выражения.

Примеры дробных уравнений:

При решении целого уравнения его часто стараются заменить равносильным. С дробными уравнениями это возможно лишь в некоторых случаях. Их преимущественно заменяют уравнениями-следствиями.

Уравнения называют следствием данного, если все решения данного уравнения удовлетворяют полученное уравнение.

Уравнение-следствие удовлетворяют все корни данного уравнения, но кроме них оно может иметь и посторонние корни.

Дробные рациональные уравнения можно решать разными способами. В частности:

заменить данное уравнение равносильным уравнением, левая часть которого — дробь, а правая — нуль;
заменить данное уравнение целым, которое является следствием данного.

Рассмотрим на конкретных примерах каждый способ.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Заменим данное уравнение равносильным, в котором правая часть — нуль, а левая — дробь. Для этого дробь перенесём из правой части в левую, изменив знак перед ней на противоположный, и упростим полученное дробное выражение:

Полученное уравнение равносильно данному. Решить его просто, поскольку дробь равна нулю лишь тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.

Приравняем числитель к нулю: , если х = 0 или х=2.

Если х = 0, то знаменатель (х + 3) (х – 2) не равен 0. Следовательно, х = 0 — корень данного уравнения. Если х =2, то (х + 3)(х-2)=0.

Следовательно, х = 2 не удовлетворяет данное уравнение.

Ответ. х = 0.

Чтобы решить дробное уравнение с использованием уравнения-следствия, обе его части нужно умножить на общий знаменатель — целое выражение. Получаем целое уравнение. Находим его корни и проверяем, какие из них не удовлетворяют данному уравнению. То есть проверка корней – неотъемлемая составляющая решения.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Умножим обе части уравнения на а(а – 1) — общий знаменатель дробей.

Имеем:

Проверка. .

Ответ. х = 0,2.

Если дробное уравнение имеет вид пропорции либо его можно представить в виде пропорции, то используется основное свойство пропорции. В этом случае также получаем уравнение-следствие.

Хотите знать еще больше ?

Известные вам линейные уравнения — это отдельный вид рациональных уравнений. Как именно связаны между собой рациональные уравнения, иллюстрирует рисунок 18. Рациональные уравнения, которые не являются целыми, называют дробно-рациональными. Только некоторые из них сводятся к линейным. Большая часть дробнорациональных уравнений сводится к таким, решать которые вы ещё не умеете. Решение некоторых из них рассмотрим позднее.

Рис. 18

Дробно-рациональными бывают не только уравнения с одной, но и с двумя, тремя и большим количеством переменных, а также системы таких уравнений. Например, решим систему уравнений:

Суммируем левые и правые части этих уравнений и получим:

, или 4х – 4 = 8, отсюда х = 3.

Подставляем это значение х в первое уравнение: , отсюда у=3. Ответ: х = 3, у= 3.

Выполним вместе!

Пример:

Решите уравнение .

Решение:

Согласно основному свойству пропорции: х² -9=6х– 18; х²-6х+9=0; (х-3)² =0, отсюда х = 3. При таком значении х знаменатели дробей данного уравнения равны нулю. Поэтому это значение х не является корнем уравнения.

Ответ. Уравнение решений не имеет.

Пример:

Какое число нужно прибавить к членам дроби , чтобы получить дробь, равную ?

Решение:

Обозначим искомое число буквой х. Тогда по условию задачи:

‚ 18 + 6х = 25 – 5х, отсюда х =7.

Поверка. .

Ответ. Искомое число равно 7.

Степени с целыми показателями

Некоторые дроби часто записывают в виде степеней с отрицательными показателями. Например, вместо

пишут .

Вспомните, как делят степени с одинаковыми основаниями:

Рассматривая степени только с положительными показателями, отмечают, что последнее равенство верно только при . Если это ограничение снять, то получим: .

Поэтому условились, что .

Следовательно, желательно условиться, что

Итак, можно рассматривать степени с произвольными целыми показателями. Объясним кратко смысл этого понятия:

Свойства степеней с целыми показателями такие же, как и степеней с натуральными показателями:

Докажем первое из этих тождеств (его называют основным свойством степеней) для случая, когда и — целые отрицательные числа. При этом условии и , где — натуральные числа. Поэтому

Аналогично можно доказать равенство для случая, когда один из показателей и отрицательный, а другой — положительный или равен нулю.

Обратите внимание на степени, в которых основание или показатель равны нулю.

Если а и n не равны нулю, то

Выражение 0° не имеет смысла, это не число, как и выражение . Выражения, содержащие степени с целыми показателями, можно преобразовать двумя способами: заменить их дробями либо использовать свойства степеней. Например, упростим выражение .

Первый способ.

Второй способ.

Хотите знать ещё больше ?

Обратите внимание на то, как расширяется понятие степень. Сначала вам были известны только квадрат числа и куб числа. Далее узнали о степенях чисел и переменных с произвольным натуральным показателем. Теперь вы ознакомитесь со степенями с произвольными целыми показателями. Со временем узнаете о степенях, показатели которых – произвольные рациональные и даже нерациональные числа.

Выполним вместе!

Пример:

Вычислите: а) 100^.2^-2; 6) 81^.(-3) ^-4.

Решение:

а) ; b).

Ответ. а) 25; b) 1.

Пример:

Запишите без знаменателя выражение .

Решение:

Ответ. .

Пример:

Упростите выражение: .

Решение:

Ответ: .

Стандартный вид числа

Если имеют дело с очень большими или очень малыми числами, то такие числа удобно записывать в стандартном виде, то есть в виде , где и число n – целое. Показатель степени n называют порядком числа a^.10ⁿ. Массу земли, которая равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, в стандартном виде записывают так: 6^.10²¹ т. А массу атома Гидрогена 0,0000000000000000000017 г в стандартном виде записывают так: 1,7^.10²¹ т. Порядок массы Земли равен 21, а порядок массы атома Гидрогена составляет —21.

Над числами, записанными в стандартном виде, математические действия можно выполнять так же, как над одночленами. Но для этого надо научиться преобразовывать произведения вида а ^. 10ⁿ в равные им произведения с другими показателями степеней. Чтобы значение такого произведения не изменилось при увеличении показателя степени n на 1, 2, 3, значение а необходимо уменьшить соответственно в 10, 100, 1000 раз. Напротив, уменьшая n на 1, 2, 3, значение а надо увеличить соответственно в 10, 100, 100 раз.

Например,

35^.10⁵=3,5^. 10⁶; 0,23^. 10⁸ =2,3^.10⁷; 227^.10^-4=2,27^.10^-2; 0.024^.0¹⁴=2,4^.10¹².

Как выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде, покажем на примерах.

Если а= 1,5. 10⁸, b=2,4. 10⁷, то:

а^.b= (1,5^.10⁸) ^.(2,4^. 10⁷)=1,5^.2,4. 10^8.10⁷=3,6^.10¹⁵; а:6 = (1,5^.10⁸) : (2,4. 10⁷) = (15^.10⁷): (2,4^.10⁷) = 6,25; а+6=1,5^.10⁸+0,24^.10⁸ = (1,5 + 0,24)^.10⁸ = 1,74^.10⁸; а-6=1,5^.10⁸– 0,24^.10⁸ = (1,5- 0,24)^.10⁸ =1,26^.10⁸.

Обратите внимание!

Числа, записанные в стандартном виде, выражают преимущественно приближённые значения величин. Это объясняется тем, что так часто записывают значения расстояний, площадей, масс, объёмов, скоростей, температур, которые почти всегда приближённые.

Например, масса Луны равна 7,35 ^. 10²² кг. то есть 73 500 000 000 000 000 000 000 кг. Является ли это значение точным? Нет, это приближённое значение. Все нули в этом числе — цифры не точные, а округлённые. Значащими являются только три первые цифры: 7, 3 и 5. А все нули заменяют неизвестные нам точные цифры.

Вообще, если значение величин записывают в стандарт ном виде, то есть а ^. 10ⁿ, то число а — точное, все его цифры являются значащими. А все нули, полученные при умножении а на 10ⁿ, — это результат округления.

Хотите знать ещё больше?

Как следует понимать выражение число х больше, чем у, на порядок? Это означает, что число х больше у приблизительно в 10 раз.

Например,

2^.10⁷ и 9 ^.10⁷– числа одного порядка;
2^.10⁷ больше, чем 9 ^.10⁶, на порядок, поскольку 7 – 6 = 1;
2 ^_.10⁷ меньше, чем 8^.10¹⁰ , на три порядка, поскольку 10-7 = 3.

Выполним вместе! Пример:

Запишите в стандартном виде число: а) 320; б) 0,4; в) 1000 000; г) 0,00000027.

Решение:

а) 320 = 3,2 ^.10²; б) 0,4=4^.10^-1 в) 1 000 000- 1 ^.10⁶; г) 0,00000027 = 2,7^.10⁷.

Пример:

Найдите произведение, частное, сумму, разность чисел х =4,5^.10^-7и y=1,5 ^.10^-6

Решение:

ху = (4,5^. 1,5) ^.10^-7.10^-6= 6,75 ^.10^-13;

х : y = (4.5:1,5) (10^-7: 10^-6) =3 ^.10^{-7 (-6)}=3^.10^-1; х + y = 4,5 ^.10^-7+ 15 ^.10^-7 = 19,5 ^.10^-7=1,95 ^.10^-6; х- у =4,5 ^.10^-7– 1,5 ^.10^-6= 0,45 ^.10^-6– 1,5 ^.10^-6 =-1,05 ^.10^-6.

Функция y=k/x

Функция

Вы уже знаете, что функция – это соответствие между двумя переменными, при котором каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной.

Вспомните, что такое аргумент функции, её область определения, множество значении, как задают функции

Далее мы рассмотрим функцию, заданную формулой , где k — произвольное действительное число, отличное от нуля; аргумент х может принимать не только положительные, но и отрицательные значения.

Например, дана функция . Область её определения множество всех действительных чисел, кроме х = О (поскольку на нуль делить нельзя). Составим таблицу значений этой функции для нескольких значений аргумента:

х	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
y	-1	-1.2	-1.5	-2	-3	-6	–	6	3	2	1.5	1.2	1

Обозначим точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 23, а). Если бы на этой же координатной плоскости было нанесено больше точек, координаты которых удовлетворяют равенство , то они разместились бы так, как показано на рисунке 23, б. Если для каждого действительного значения х, кроме х = 0, по формуле — вычислить соответствующее значение у и нанести все точки с полученными координатами на координатную плоскость, то получим график данной функции (рис. 23, в). Такую линию называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.

График функции — гипербола, симметричная относительно начала координат. Её ветви располагаются в I и III координатных углах. (Оси координат делят координатную плоскость на четыре координатных угла, их также называют координатными четвертями, или квадрантами, и нумеруют, как показано на рисунке 24.).

Если таким способом построить график функции , то получим также гиперболу, только её ветви будут располагаться в II и IV координатных углах (рис. 25).

График каждой функции , где k — отличное от нуля данное число, — это гипербола, симметричная относительно начала координат. Если k > 0, то ветви такой гиперболы расположены в I и III координатных углах, если k < 0, — то во II и IV.

Рис. 23

Рис. 24 Рис. 25

Свойства функции для разных значений k можно определить по графикам, представленным, например, на рисунках 23, в и 25. Приводим их в виде таблицы.

Выполним вместе!

Пример:

Функция задана формулой ; . Найдите значение n, если график функции проходит через точку А (5; 2).

Решение:

Подставим значения х = 5 и у = 2 в формулу, которой задана функция. Получим . Следовательно, n = 10.

Пример:

Решите графическое уравнение

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 27). Графики пересекаются в точках P и Q, абсциссы которых равны приблизительно 1 и -3. Проверяем, точное это значение или приближенное: 1+2=3; -3+2=-1.

Ответ. х₁=1, х₂=-3.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Обыкновенные дроби в древних Вавилоне и Египте были известны ещё 4 тыс. лет тому назад. Греческие математики умели выполнять с обыкновенными дробями все арифметические действия. В «Арифметике» Диофанта (III в.) также было мното дробей с переменными. Например, в книге показано, что

В то время дробные выражения записывали не так, как в наши дни. Черту дроби впервые применил итальянский математик Л. Фибоначчи (1180—1240). Дроби с переменными стали широко использовать после появления «Общей арифметики» известного английского учёного И. Ньютона (1643—1727). В этой книге, в частности, говорилось: «+… — это величина, образующаяся при делении а на b …. означает величину, образующая при делении ab-bb на а+х и т.д. Величины такого рода называют дробями». Тогда вместо b²ещё писали bb.

Степени с целыми показателями вводили в математику постепенно. Около 4 тыс. лет тому назад учёные Вавилона рассматривали квадрат и куб числа при вычислении площади квадрата и объёма куба. Донаших дней сохранились глиняные плитки с таблицами квадратов и кубов натуральных чисел, изготовленные древними вавилонянами. Со временем учёные стали рассматривать четвёртую, пятую степени и выше, называя их сначала квадрато-квадратом, кубо-квадратом и т. д.

Степень с нулевым показателем ввели в V в. независимо друг от друга самаркандец ал-Каши и француз Ф. Н. Шюке. Степени с отрицательными показателями Ф. Н. Шюке также использовал. Теорию степеней с отрицательными показателями разработал в ХVII в. английский математик Д. Валлис. Он отождествлял последовательности

Стандартный вид числа ввели в науку только в ХХ в. с началом использования электронных вычислительных машин (ЭВМ).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Частное от деления выражения А на выражение В можно записать в виде дроби . Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Алгебраической дробью называют дробь, числитель и знаменатель которой — много-члены. Выражение, представленное переменными и числами с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень с целым показателем, называется рациональным. При любых значениях а, b и с (основное свойство дроби). На основании этого свойства дроби можно сокращать или приводить к общему знаменателю.

Действия с любыми дробями можно выполнять так же, как с обыкновенными дробями. Если знаменатели не равны нулю, то всегда

Дробное выражение записывают также в виде аⁿ. Степень с целым показателем

Свойства степеней с целыми показателями аналогичны свойствам степеней с натуральными показателями. Если числа m и n — целые, а и b — отличные от нуля, то всегда:

Если число х записано в виде а^. 10ⁿ, где n – целое число, , то говорят, что оно записано в стандартном виде, а n — порядок числа х.

Функция определена на множестве всех действительных чисел, за исключением х = 0. Если > 0, то она убывающая.

Функция у = х²

Рассмотрим функцию, заданную формулой у = х². Область её определения — множество всех чисел. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента х:

х	-3	-2,5	-2	-1,5	-1	0	1	1,5	2	2,5	3
y	9	6,25	4	2,25	1	0	1	2,25	4	6,25	9

Нанесём точки, координаты которых приведены в этой таблице (рис. 32, а). Если на координатной плоскости нанести больше точек с координатами х и у, удовлетворяющих формулу у = х², то они разместились бы так, как показано на рисунке 32, б. Если для каждого действительного значения х по формуле у = х2 вычислить соответствующее значение у и обозначить точки с такими координатами на координатной плоскости, то получим непрерывную кривую линию, которую называют параболой (рис. 32, в). Парабола имеет две бесконечных ветви, плавно сходящиеся в одной точке — вершине параболы. Для функции у = х² вершиной параболы является точка (0; 0). То есть график функции у = х² проходит через начало координат. Поскольку противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции, то её график симметричен относительно оси у.

Рис. 32

Построенный график даёт возможность наглядно выразить свойства функции у = х².

Свойства функции у = х², определённые по графику, можно представить в виде таблицы.

Свойства функции

Вид функции у = х²

Область определения

Область значения

Положительные значения Отрицательные значения Промежутки убывания Промежутки возрастания

Все числа (R) Все неотрицательные числа

х0

– х<0 х>0

Для чего надо знать, каков график функции? Подробнее об этом вы узнаете в старших классах. А сейчас обратите внимание на то, что с помощью графиков функций можно решать уравнения, которые иными способами решить сложно либо невозможно.

Сколько решений имеет уравнение х² = 4? Прямая (её уравнение у = 4) пересекает график функции у = х² в двух точках (рис. 33). Их абсциссы х = 2 и х = -2 — решения уравнения.

А сколько решений имеет уравнение х2 — 2? Попытайтесь ответить на этим вопрос самостоятельно.

Хотите знать ещё больше?

Кривые в виде парабол используют физики, астрономы, архитекторы и другие специалисты. Графическое изображение траектории струи воды или брошенного (не вертикально) предмета — это параболы (рис. 34). Арки мостов и сооружений нередко имеют форму параболы. У многих прожекторов и различных приёмников радиоволн осевые сечения также параболической формы. Функция у = х² — простейшая из квадратичных функций. Примеры других квадратичных функций: y = х² + 1, у = х²-3, у = -х².

Каждое значение функции у = х² + 1 на единицу больше, чем соответствующее значение функции у = х². Поэтому её график — такая же парабола, только смещённая вверх на единицу (рис. 35).

Попытайтесь построить графики функций: у = х²-1,у=х², у=2х².

Рис. 33 Рис. 34

Выполним вместе!

Пример:

Постройте график зависимости площади квадрата S от длины его стороны а.

Решение:

Если сторона квадрата а, то его площадь S = а². Это одна и та же функция у = х², лишь обозначенная буквами а и S. Поэтому такими же буквами обозначают и координатные оси. Поскольку длина стороны квадрата может иметь только положительные значения, то область определения рассматриваемой функции — множество положительных чисел. Её график – на рисунке 36.

Пример:

Решите графически уравнение х² + 2х – 3 = 0.

Решение:

Запишем уравнение в виде х² = 3 – 2х. В одной системе координат построим графики функций у = х² и у = 3 – 2х (рис. 37). Пересекаются они в точках, абсциссы которых равны (возможно, приближённо) 1 и -3. Проверка подтверждает, что корни верны. О т в е т. х₁ = 1, х₂ = -3.

Рис. 36

Рис. 37

Функция y= √x

Функция

Вы уже знаете, что площадь квадрата является функцией длины его стороны: S = а². А как зависит длина стороны квадрата от изменения его площади? Решим уравнение а² = S (S > 0, а > 0). Используя определение арифметического корня, имеем,

На основании этой формулы каждому значению S соответствует единственное значение а, то есть а является функцией S. Существуют и другие задачи, решение которых приводит к функциям, где аргумент находится под знаком квадратного корня. Приведём примеры.

Площадь круга (S) находят по формуле , где R — радиус круга, = 3,14. Отсюда . Путь, пройденный телом при свободном падении, определяем по формуле , где t — время, g — постоянное число. Отсюда Рассмотрим свойства функции .

Область её определения — множество неотрицательных действительных чисел, поскольку только из неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень. Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента х:

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	0	1	1,41	1,73	2	2,24	2,45	2,65	2,83	3

Дробные значения здесь приближённые. Точки с координатами, указанными в этой таблице, нанесём на рисунке 49, а. Если на координатной плоскости отметить точки с координатами х и у при условии, что переменная х принимает все неотрицательные действительные значения, то получим график функции (рис. 49,б). Этот график — одна ветвь параболы. Она выходит из начала координат и располагается в первом координатном углу. Функция возрастает на всей области определения.

Рис. 49

Свойства функции можно установить по графику, изображённому, например, на рисунке 49, б. Представляем их в виде таблицы.

Свойства функции	Вид функции

Область определения	Все неотрицательные числа
Область значений	Все неотрицательные числа
Положительные значения	Все числа, кроме х = 0
Отрицательные значения	–
Промежутки убывания	–
Промежутки возрастания	х>0

В современной математике графики функций используют довольно часто. Остановимся на графическом решении уравнений. Пусть надо решить уравнение .

Заменим данное уравнение равносильным и построим в одной системе координат графики функций и (рис. 50)

Рис. 50

Эти графики пересекаются в точке с абсциссой х = 4. При таком значении х выражения и принимают равные значения, то есть число 4 — корень (возможно, приближённый) уравнения . Подставляем х = 4 в данное уравнение и убеждаемся, что 4 точный корень. Построенные графики других общих точек не имеют, следовательно, данное уравнение имеет только один корень: х = 4.

Хотите знать ещё больше?

График функции не обязательно строить по точкам. Этот график для х > О симметричен графику функции у = x² относительно биссектрисы первого координатного угла. Ведь равенства и при положительном х выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у. Если во втором из этих равенств поменять х на у, а у на х, то это равнозначно замене оси х осью у и наоборот. Такие функции, как и называются обратными. Постройте их графики в одной системе координат и убедитесь, что они симметричны относительно прямой у = х.

Выполним вместе!

Пример:

В одной системе координат постройте графики функции

Решение:

Составим таблицу соответствующих значений х и у.

x	0,5	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,7	1	1,4	1,7	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3
	1,4	2	2,8	3,4	4	4,4	4,8	5,2	5,6	6
	-1,4	-2	-2,8	-3,4	-4	-4,4	-4,8	-5,2	-5,6	-6

Дробные значения здесь приближённые. Построим в системе координат точки, координаты которых приведены в таблице. Получим графики соответствующих функций(рис. 51).

Рис. 51

Действительные числа

Известные вам числа — целые и дробные, положительные и отрицательные — представляют собой множество рациональных чисел. Рациональными их на зывают потому, что каждое можно записать в виде частного, отношения двух целых чисел, а слово «отношение» на латинском языке — ratio.

Попытаемся записать рациональные числа виде десятичных дробей. Для этого их числители разделим на знаменатели. Итак, В двух последних примерах деление можно продолжать бесконечно (почему?). Полученные доли частного — это бесконечные десятичные дроби, цифры которых периодически повторяются. Это бесконечные периодические десятичные дроби.

Бесконечные периодические десятичные дроби записывают короче:

0,363636… = (0,36); 1,166666… = 1,1(6).

Цифру или группу повторяющихся цифр называют периодом периодической десятичной дроби. Любую десятичную дробь и даже целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, если к её дробной части дописать множество нулей:

1,125 = 1,125000… . 18 = 18,000… , -3,7 =-3,7000… .

Можно доказать, что: । каждое рациональное число можно представить в виде в бесконечной периодической десятичной дроби; любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число.

Существуют ли числа, отличные от рациональных? Да, существуют. Например, вычисляя значения , , , получаем бесконечные непериодические десятичные дроби:

Эти числа — нерациональные. Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называют иррациональными. Иррациональный — означает нерациональный (латинское ir соответствует отрицательной частице не). Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел.

Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q и R. Каждое из этих множеств является подмножеством (частью) следующего множества (рис. 41). Любое натуральное число является одновременно и целым, и рациональным, и действительным. Любое целое число – – также рациональное и действительное. Например, все числа 12, -3, , — действительные, три первых — рациональные, два первых — целые и только число 12 — натуральное.

Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тому же правилу, что и десятичные дроби. Например, число 3,131313… меньше, чем 4,0111…. 3,25 и , но больше, чем 3,1222…, -2, 0.

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения этих чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы. Например,

Все правила действий над выражениями с переменными, доказанные ранее для рациональных значений переменных, справедливы и для произвольных действительных значений этих переменных. В частности, для любых действительных чисел верны известные вам свойства пропорций, дробей, степеней.

При решении прикладных задач иррациональные числа обычно округляют, отбрасывая бесконечные «хвосты» десятичных знаков. Например, если нужно найти значение суммы чисел и с точностью до тысячных, пишут:

Хотите знать ещё больше? Иррациональность числа можна доказать таким образом. Предположим, что число рациональное, то есть равно некоторой несократимой обыкновенной дроби . Тогда, , то есть число m², следовательно, и m – чётное:, . Подставив в равенство, получим , , число n — тоже чётное. Значит, дробь можно сократить на 2. А предполагалось, что эта дробь — несократимая. То есть сделанное предположение приводит к противоречию, поэтому число не является рациональным. Докажите таким способом, что числа и — иррациональные.

Выполним вместе!

Пример:

Представьте в виде десятичной дроби: а) : б) ; в) .

Решение:

а) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель данной дроби разделить на её знаменатель. Имеем:

Ответ: а) 0,375; б) 0,(45); в) 2,1(6).

Пример:

Сравните числа:

Решение:

а) Разделив числитель дроби на знаменатель, получим 1,333… . Число 1,333… больше, чем 1,33. Поэтому 1,333… <-1,33, или –<-1,33; б) 1,333… < 1,34, следовательно, –> -1,34; в) = 1,333… , следовательно, = – 1,333… .

Рациональные выражения

В этом параграфе вы ознакомитесь с дробями, числитель и знаменатель которых — выражения с переменными; научитесь складывать, вычитать, умножать и делить такие дроби; ознакомитесь с уравнениями, составленными с помощью этих дробей.
Вы узнаете, с помощью каких правил можно заменить данное уравнение более простым.
Вы расширите свои представления о понятии «степень», научитесь возводить числа в степень с целым отрицательным показателем.
Вы научитесь строить математические модели процессов, в которых увеличение (уменьшение) одной величины в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) другой величины в такое же количество раз.

Рациональные дроби

В курсе алгебры 7 класса были рассмотрены целые выражения, то есть выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на отличное от нуля число.

Вот примеры целых выражений:

В курсе алгебры 8 класса мы рассмотрим дробные выражения.

Дробные выражения отличаются от целых тем, что они содержат деление на выражение с переменными.

Приведем примеры дробных выражений:

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Если в рациональном выражении заменить переменные числами, то получим числовое выражение. Однако эта замена возможна только тогда, когда она не приводит к делению на нуль.

Например, выражение при не имеет смысла, то есть числового значения этого выражения при не существует. При всех других значениях это выражение имеет смысл.

Определение: Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

Например, в рассмотренном выше выражении допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 1.

Допустимыми значениями переменных, входящих в целое выражение, являются все числа.

Отдельным видом рационального выражения является рациональная дробь. Это дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Так, рациональные выражения являются примерами рациональных дробей.

Отметим, что рациональная дробь может быть как целым выражением, так и дробным.

Знаменатель рациональной дроби не может быть нулевым многочленом, то есть многочленом, тождественно равным нулю.

Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональную дробь, являются все те значения переменных, при которых значение знаменателя дроби не равно нулю.

Схема на рисунке 1 иллюстрирует связь между понятиями, которые рассматриваются в этом пункте.

Напомним, что числа и одночлены считают отдельными видами многочленов.

Пример:

Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение

Решение:

Дробь имеет смысл при всех значениях кроме а дробь имеет смысл при всех значениях кроме

Следовательно, искомыми допустимыми значениями переменной являются все числа, отличные от 0 и 5.

Основное свойство рациональной дроби

Равенство является тождеством, так как оно выполняется при любых значениях

Равенство также естественно считать тождеством. Но оно выполняется не при любых значениях При рациональные дроби, входящие в данное равенство, не имеют смысла.

Уточним принятые в 7 классе определение тождественно равных выражений и определение тождества.

Определение: Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Определение: Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Например, равенство является тождеством, поскольку оно выполняется при всех допустимых значениях то есть при всех кроме

В 7 классе мы рассматривали тождественные преобразования целых выражений. Теперь рассмотрим тождественные преобразования дробных выражений.

Как вы знаете, основное свойство отношения выражается следующим равенством:

где и — некоторые числа, причем и

Рациональные дроби обладают свойством, аналогичным основному свойству отношения:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.

Это свойство называют основным свойством рациональной дроби и записывают:

где и — многочлены, причем многочлены и ненулевые.

В соответствии с этим свойством выражение можно заменить на тождественно равную ему дробь Такое тождественное преобразование называют сокращением дроби на множитель

Пример:

Сократите дробь:

Решение:

1) Одночлены и имеют общий множитель Тогда

можно записать:

2) Разложим числитель данной дроби на множители:

Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби имеют общий множитель 3, сократив на который получаем:

3) Разложив предварительно числитель и знаменатель данной дроби на множители и сократив на общий множитель получаем:

Из основного свойства дроби следует, что

Каждую из дробей и можно записать в виде выражения

то есть

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Имеем:

Пример:

Приведите дробь:

1) к знаменателю

2) к знаменателю

3) к знаменателю

Решение:

1) Поскольку то новый знаменатель отличается от знаменателя данной дроби множителем Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби надо умножить на дополнительный множитель Имеем:

2) Запишем:

3) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на число —1, получаем:

Пример:

Приведите к общему знаменателю дроби:

Решение:

1) Можно принять за общий знаменатель данных дробей произведение их знаменателей, равное Однако удобнее в качестве общего знаменателя взять одночлен сконструированный таким образом: его коэффициент 18 является наименьшим общим кратным коэффициентов 9 и 6 знаменателей данных дробей, а каждая из переменных и взята в степени с наибольшим показателем степени из тех, с которыми она входит в знаменатели данных дробей.

Поскольку то дополнительным множителем для дроби является одночлен Учитывая, что получаем, что дополнительным множителем для дроби является одночлен

Следовательно, получаем:

2) Здесь общий знаменатель данных дробей равен произведению их знаменателей. Имеем:

3) Чтобы найти общий знаменатель рациональных дробей, бывает полезным предварительно разложить их знаменатели на множители:

Следовательно, общим знаменателем данных дробей может служить выражение

Тогда

Пример:

Постройте график функции

Решение:

Данная функция определена при всех значениях кроме 1. Имеем:

то есть

Следовательно, искомым графиком являются все точки прямой за исключением одной точки, абсцисса которой равна 1 (рис. 2).

Пример:

Для каждого значения решите уравнение

Решение:

Запишем данное уравнение в виде и рассмотрим три случая.

Тогда получаем уравнение которое не имеет корней.

В этом случае получаем уравнение корнем которого является любое число.

Тогда

Ответ: если то уравнение не имеет корней; если то корнем является любое число; если и то

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Вы знаете правила сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Их можно выразить такими равенствами:

По таким же правилам складывают и вычитают рациональные дроби с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Чтобы вычесть рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же.

Пример:

Выполните вычитание:

Решение:

Пример:

Известно, что Найдите значение выражения

Решение:

Представим данную дробь в виде суммы целого и дробного выражений:

Если то Следовательно,

Пример:

Найдите все натуральные значения при которых значение выражения является целым числом.

Решение:

Представим данную дробь в виде разности целого и дробного выражений:

Выражение принимает натуральные значения при любом натуральном Поэтому выражение принимает целые значения, если значения выражения являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях

Ответ: или или или

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Применяя основное свойство рациональной дроби, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями можно свести к сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть нужно сложить две рациональные дроби и

Можно записать:

Тогда

Здесь в качестве общего знаменателя выбрано выражение, равное произведению знаменателей данных дробей.

Отметим, что произведение знаменателей данных дробей не всегда является наиболее удобным общим знаменателем.

Напомним: чтобы найти общий знаменатель обыкновенных дробей, мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, раскладывая их на простые множители. Аналогично, чтобы найти общий знаменатель рациональных дробей, может оказаться удобным предварительно разложить знаменатели на множители.

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Общим знаменателем данных дробей является одночлен

Следовательно,

2) Разложив предварительно знаменатели данных дробей на множители, получаем:

3) Имеем:

5) В этом случае общий знаменатель данных дробей равен произведению их знаменателей. Тогда

Пример:

Представьте в виде дроби выражение

Решение:

Представив выражение в виде дроби со знаменателем 1, получаем:

Заметим, что сумма и разность двух рациональных дробей являются рациональными дробями.

Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

Вы знаете правила умножения и деления обыкновенных дробей. Их можно выразить следующими равенствами:

По аналогичным правилам выполняют умножение и деление рациональных дробей.

Произведением двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Частным двух рациональных дробей является рациональная дробь, числитель которой равен произведению числителя делимого и знаменателя делителя, а знаменатель — произведению знаменателя делимого и числителя делителя.

Пример:

Выполните действия:

Решение:

1) Имеем:

2) Представив многочлен в виде дроби со знаменателем 1, получаем:

Правило умножения двух дробей можно обобщить для случая, когда требуется найти произведение трех и более рациональных дробей. Например, для трех дробей имеем:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Имеем:

Применяя правило умножения дробей, можно получить правило возведения рациональных дробей в степень. Для натурального имеем:

Для договорились, что

Следовательно,

где — натуральное число.

Чтобы возвести рациональную дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель. Первый результат записать как числитель, а второй — как знаменатель дроби.

Пример:

Представьте в виде дроби выражение

Решение:

Тождественные преобразования рациональных выражений

Правила действий с рациональными дробями позволяют любое рациональное выражение преобразовать в рациональную дробь. Рассмотрим примеры.

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Данное выражение можно упростить аналогично тому, как мы делали это, когда находили значение числового выражения, содержащего несколько арифметических действий. Выполним действия в соответствии с порядком выполнения арифметических действий: сначала — вычитание выражений, стоящих в скобках, затем — деление и наконец — вычитание:

Ответ:

Преобразование рационального выражения можно выполнять не отдельными действиями, а «цепочкой». Проиллюстрируем этот прием на примере.

Пример:

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения

Решение:

Упростим данное выражение:

Следовательно, при всех допустимых значениях значение данного выражения равно 3.

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Преобразуем левую часть доказываемого равенства.

Здесь целесообразно раскрыть скобки, применяя распределительное

свойство умножения:

Тождество доказано.

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Записав данное выражение в виде частного от деления числителя на знаменатель, получим:

Данное выражение можно упростить иным способом, используя основное свойство дроби, а именно: умножить ее числитель и знаменатель на одночлен

Ответ:

Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Рассмотрим два уравнения: и Очевидно, что каждое из них имеет одни и те же корни: Говорят, что уравнения и равносильны. Приведем еще примеры пар равносильных уравнений:

Рассмотрим уравнения и Каждое из этих уравнений не имеет корней. Такие уравнения также принято считать равносильными.

Определение: Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

Число 2 является корнем каждого из уравнений и Однако эти уравнения не являются равносильными, так как первое уравнение имеет еще один корень, равный —1, который не является корнем второго уравнения.

В 7 классе вы изучили свойства уравнений с одной переменной. Теперь, используя понятие «равносильные уравнения», эти свойства можно сформулировать следующим образом.

Если к обеим частям дачного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.
Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим такую задачу. Автомобиль, проехав 180 км пути, увеличил скорость на 10 км/ч и оставшиеся 210 км проехал за то же время, что и первую часть пути. Найдите начальную скорость автомобиля.

Решение:

Пусть км/ч — искомая скорость. Тогда скорость автомобиля на второй части пути равна км/ч. Автомобиль преодолел первую часть пути за ч, а вторую — за ч.

Уравнение является математической моделью рассмотренной реальной ситуации. Обе части полученного уравнения являются рациональными выражениями.

Определение: Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным.

Из определения следует, что, решая задачу, мы получили рациональное уравнение.

Отметим, что линейное уравнение с одной переменной, то есть уравнение вида является рациональным.

Рассмотрим рациональное уравнение вида где и — многочлены.

Вы знаете, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, и знаменатель отличен от нуля. Поэтому, чтобы решить уравнение вида нужно потребовать одновременного выполнения двух условий: и Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким алгоритмом:

решить уравнение
проверить, какие из найденных корней удовлетворяют условию
корни, удовлетворяющие условию включить в ответ.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Приравняем числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, к нулю. Имеем: Корнями этого уравнения являются числа —1 и 1.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию При получаем, что При получаем, что

Следовательно, число —1 является корнем заданного уравнения, а число 1 — нет.

Ответ: —1 .

Как мы уже отмечали выше, решение уравнения вида сводится к решению уравнения и проверке условия

Говорят, что уравнение равносильно системе

Например, уравнение равносильно системе

Как мы выяснили, решением этой системы является число —1.

Завершим решение задачи об автомобиле. Имеем:

Переходим к равносильному уравнению

Отсюда

Последнее уравнение равносильно системе

Корнем уравнения, входящего в систему, является число 60; очевидно, что оно удовлетворяет условию

Ответ: 60 км/ч.

Как известно, любое рациональное выражение можно представить в виде дроби. Поэтому любое рациональное уравнение можно свести к уравнению вида Именно так мы и поступили, решая уравнение

Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем: Представив левую часть этого уравнения в виде рациональной дроби, получим:

Полученное уравнение равносильно системе

Перепишем эту систему так:

Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Представим левую часть уравнения в виде дроби:

Полученное уравнение равносильно системе

откуда получаем:

Ответ: —4.

Рассмотрим задачу, в которой рациональное уравнение является математической моделью реальной ситуации.

Пример:

Турист проплыл на лодке 3 км по течению реки и 2 км против течения за 30 млн. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна км/ч. Тогда ее скорость по течению реки составляет км/ч, а против течения км/ч. Турист проплыл 3 км по течению за а 2 км против течения — Поскольку весь путь был пройден за то

Решим полученное уравнение:

или

Корень не соответствует смыслу задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

Степень с целым отрицательным показателем

Часто для записи больших чисел в компактном виде используют степень с натуральным показателем. Например,

В науке и практике для краткой записи больших значений величин используют степень числа 10.

Например, расстояние от Земли до Полярной звезды приблизительно равно 4 470 000 000 000 000 км, или км. Масса Солнца равна 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, или кг.

Это были примеры из макромира, то есть мира очень больших физических величин. Приведем примеры из микромира, то есть мира очень маленьких физических величин. Масса атома Гидрогена равна 0,000000000000000000000000001661 кг.

Радиус атома Оксигена равен 0,0000000066 см. Для записи этих величин точно так же можно использовать степень числа 10. Имеем:

Однако если договориться обозначить и соответственно и , то для рассмотренных величин получим «одноэтажную» форму записи:

Аналогично можно договориться, что, например,

Определение: Для любого числа не равного нулю, и натурального числа

Из определения следует, что, например,

Итак, мы можем возводить число в любую целую степень, кроме нуля. Заполним этот пробел.

Определение: Для любого числа не равного нулю,

Например,

Выражение при целых меньших или равных нулю, не имеет смысла.

Из данных определений следует, что при любом и делом числа и являются взаимно обратными. Поэтому равенство выполняется при любом целом

Например, при имеем:

В справочной литературе вы можете найти следующую информацию: «Масса Венеры равна кг. Масса Марса равна кг. Площадь поверхности Луны равна » Числа, выражающие эти величины, записаны в так называемом стандартном виде.

Определение: Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения где и — целое число.

Число называют порядком числа, записанного в стандартном виде. Например, порядок числа, выражающего массу Солнца в килограммах, равен 30, а порядок числа, выражающего массу атома Гидрогена в килограммах, равен -27.

В стандартном виде можно записать любое положительное число. Например, Однако на практике стандартный вид числа используют для записи больших и малых значений величин. При этом порядок числа дает представление о величине. Например, если порядок числа равен 3, то есть то с учетом того, что получаем:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

И вообще, если и то

Пример:

Представьте выражение в виде рациональной дроби.

Решение:

Пример:

Запишите в стандартном виде число: 1) 564 000 000; 2) 0,0036.

Решение:

Свойства степени с целым показателем

В 7 классе вы изучали свойства степени с натуральным показателем. Они справедливы и для степени с любым целым показателем.

Теорема: Для любого и любых целых и выполняются равенства:

(1)

(2)

Теорема: Для любых и любого целого выполняется равенство

(3)

Равенство (1) выражает основное свойство степени. Докажем его.

Для натуральных и это равенство уже было доказано в курсе алгебры 7 класса.

Рассмотрим теперь случай, когда и — целые отрицательные числа.

Если и — целые отрицательные числа, то и — натуральные числа. Тогда

Имеем:

Для завершения доказательства основного свойства степени следует также рассмотреть следующие случаи: один из показателей степени или отрицательный, а другой — положительный; один или оба показателя равны нулю. Рассмотрите эти случаи самостоятельно.

Равенства (2) и (3) можно доказать аналогично.

С помощью свойства (1) докажем следующую теорему.

Теорема: Для любого и любых целых и выполняется равенство

(4)

Доказательство: Имеем:

С помощью свойств (2) и (3) докажем следующую теорему.

Теорема: Для любых и любого целого выполняется равенство

(5)

Доказательство: Имеем:

Свойства (1)-(5) называют свойствами степени с целым показателем.

Пример:

Представьте в виде степени с основанием выражение:

Решение:

1) Применив основное свойство степени, получаем:

2) Используя равенство получаем:

3) Применив последовательно правила возведения степени в степень (свойство (2)), умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями (свойства (1) и (4)), получаем:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Имеем:

2) Представив числа 16 и 8 в виде степеней с основанием 2, получаем:

3) Используя правило возведения дроби в степень (свойство (5)),

получаем:

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

Пример:

Выполните умножение и результат запишите в стандартном виде.

Решение:

Функция y=k/x и ее график

Функция и ее график

В курсе математики 6 класса вы ознакомились с функциональной зависимостью, при которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Такую зависимость называют обратной пропорциональностью. Рассмотрим два примера.

Пример:

Пусть имеется 500 грн. Обозначим через грн цену 1 кг товара, а через кг — количество этого товара, которое можно приобрести за 500 грн.

Зависимость переменной от переменной является обратной пропорциональностью: увеличение цены в несколько раз приводит к уменьшению количества товара во столько же раз и, наоборот, уменьшение цены приводит к увеличению количества купленного товара.

Этой функциональной зависимости соответствует функция, заданная формулой

Пример:

Рассмотрим прямоугольник, площадь которого равна , а стороны — см и см. Тогда

Увеличение (уменьшение) знаменателя в несколько раз приводит к уменьшению (увеличению) величины у во столько же раз, то есть зависимость переменной от переменной является обратной пропорциональностью.

В рассмотренных примерах математической моделью реальных ситуаций является функция, которую можно задать формулой вида

Определение: Функцию, которую можно задать формулой вида где называют обратной пропорциональностью.

Поскольку в выражении допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме 0, то областью определения функции — также являются все числа, кроме 0.

Рассмотрим функцию В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 3).

Чем больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению нам удастся отметить, тем меньше полученная фигура (рис. 4) будет отличаться от графика функции

Среди отмеченных точек не может быть точки, абсцисса которой равна нулю, поскольку число 0 не принадлежит области определения данной функции. Поэтому график функции не имеет общих точек с осью ординат.

Кроме того, этот график не имеет общих точек и с осью абсцисс, то есть точек, ординаты которых равны нулю. Действительно, уравнение не имеет решений. Следовательно, число 0 не принадлежит области значений данной

функции.

Если то то есть если то Следовательно, точки графика данной функции могут находиться только в I и III координатных четвертях.

Заметим, что с увеличением модуля абсциссы расстояния от точек графика функции до оси абсцисс уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равны нулю. Действительно, чем больше модуль аргумента, тем меньше модуль соответствующего значения функции.

Аналогично можно установить, что с уменьшением модуля абсциссы расстояния от точек графика до оси ординат уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равны нулю.

Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению то мы получили бы фигуру, изображенную на рисунке 5.

Фигуру, являющуюся графиком функции , где называют гиперболой. Гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы.

Заметим, что если верно равенство то также верно равенство Тогда можно сделать следующий вывод: если точка принадлежит гиперболе то точка также принадлежит этой гиперболе.

На рисунке 5 изображена гипербола

Если то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, а если — то во II и IV четвертях.

На рисунке 6 изображен график функции . Ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.

Заметим, что областью значений функции где являются все числа, кроме 0.

В таблице приведены свойства функции изученные в этом пункте.

Область определения Все числа, кроме 0

Область значений Все числа, кроме 0

График Гипербола

Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Не существует

Свойство графика

Если точка принадлежит гиперболе то точка также принадлежит этой гиперболе.

Покажем, как график функции можно использовать при решении уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и Построим в одной системе координат графики этих функций (рис. 7). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 1 и —4. В каждой из точек пересечения графиков значение функции равно значению функции Следовательно, при найденных абсциссах значения выражении и равны, то есть числа 1 и —4 являются корнями уравнения Проверка это подтверждает. Действительно, и

Описанный метод решения уравнений называют графическим. В 7 классе вы ознакомились с графическим методом решения систем уравнений и знаете, что этот метод не всегда дает точные результаты. Поэтому проверка найденных корней является обязательным этапом решения уравнения.

В дальнейшем (п. 22) вы научитесь решать такие уравнения, не используя графический метод.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 1

Рациональное выражение

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Допустимые значения переменных

Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл.

Тождественно равные выражения

Выражения, соответствующие значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.

Тождество

Равенство, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством.

Основное свойство рациональной дроби

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получим дробь, тождественно равную данной.

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Умножение рациональных дробей

Деление рациональных дробей

Возведение рациональной дроби в степень

Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или каждое из уравнений не имеет корней.

Свойства уравнений

Бели к обеим частям данного уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Рациональное уравнение

Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называют рациональным.

Степень с целым отрицательным показателем

Для любого числа не равного нулю, и натурального числа

Степень с показателем, равным нулю

Для любого числа не равного нулю,

Стандартный вид числа

Стандартным видом числа называют его запись в виде произведения где и — целое число.

Свойства степени с целым показателем

Для любых и и любых целых и выполняются равенства:

(основное свойство степени);

Функция обратная пропорциональность

Функцию, которую можно задать формулой вида , где называют обратной пропорциональностью.

Свойства функции

Область определения: все числа, кроме 0.

Область значений: все числа, кроме 0.

График: гипербола.

Нуль функции: не существует.

Свойство графика: если точка принадлежит гиперболе то точка также принадлежит этой гиперболе.

Функция y=x² и ее график

Обозначим через площадь квадрата со стороной Тогда

С изменением стороны квадрата соответственно будет изменяться и его площадь .

Понятно, что каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной . Следовательно, зависимость переменной от переменной является функциональной, а формула задает функцию.

Рассмотрим функцию , областью определения которой являются все числа. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых возьмем из таблицы (рис. 11).

Чем больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению будет отмечено, тем меньше полученная фигура (рис. 12) будет отличаться от графика функции

Пара чисел (0; 0) является решением уравнения Следовательно, график данной функции проходит через начало координат. Поскольку то то есть среди отмеченных точек не может быть точек с отрицательными ординатами.

Область значений функции — все неотрицательные числа.

Если бы удалось отметить на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению то получилась бы фигура — график функции которую называют параболой (рис. 13).

Точка с координатами (0; 0) делит параболу на две равные части, каждую из которых называют ветвью параболы, а саму точку — вершиной параболы.

Заметим, что если верно равенство то верно и равенство Тогда можно сделать такой вывод: если точка принадлежит параболе то точка также принадлежит этой параболе.

В таблице приведены свойства функции изученные в этом пункте. Область определения Все числа

Область значений Все неотрицательные числа

График Парабола

Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Свойство графика Если точка принадлежит параболе то точка также принадлежит этой параболе.

Пример:

Решите графически уравнение

Решение:

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 14). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 2 и —1. Следовательно, как при так и при значения выражений и равны, то есть числа 2 и —1 являются корнями уравнения Проверка это подтверждает. Действительно, и

Функция y=√x и ее график

Функция и ее график

Если площадь квадрата равна то его сторону можно найти по формуле Изменение площади квадрата приводит и к изменению его стороны .

Каждому значению переменной соответствует единственное значение переменной . Следовательно, зависимость переменной от переменной является функциональной, а формула задает функцию.

Поскольку в выражении допустимыми значениями переменной являются все неотрицательные числа, то областью определения функции является множество неотрицательных чисел.

Выражение не может принимать отрицательные значения, то есть ни одно отрицательное число не может принадлежать области значений рассматриваемой функции. Покажем, что функция может принимать любые неотрицательные значения, например 7,2. Действительно, существует такое значение аргумента что Это значение равно На этом примере мы видим, что для любого неотрицательного числа всегда найдется такое значение что Таким значением аргумента является число

Следовательно, областью значений функции является множество неотрицательных чисел.

Заметим, что если то

Учитывая область определения и область значений функции можно сделать вывод, что ее график расположен только в первой координатной четверти.

В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции

Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 29).

Чем больше отметить точек, координаты которых удовлетворяют уравнению тем меньше полученная фигура будет отличаться от графика функции (рис. 30).

Если бы удалось отметить на координатной плоскости все такие точки, то получили бы фигуру, изображенную на рисунке 31. В старших классах будет доказано, что графиком функции является фигура, равная ветви параболы

Пусть и — два произвольных значения аргумента функции таких, что Тогда из свойства арифметического квадратного корня следует, что

Это означает, что большему значению аргумента функции соответствует большее значение функции. Верно и обратное утверждение: большему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть если то (рис. 32).

В таблице приведены свойства функции изученные в этом пункте. Область определения Множество неотрицательных чисел

Область значений Множество неотрицательных чисел

График Ветвь параболы

Нуль функции (значение аргумента, при котором значение функции равно 0)

Сравнение значений функции

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Пример:

Решите графически уравнение

Решение:

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 33). Эти графики пересекаются в точке, абсцисса которой равна 4. Проверка подтверждает, что число 4 является корнем данного уравнения.

Пример:

Сравните числа: и 2) и

Решение:

1) Поскольку и то то есть

2) Имеем:

Следовательно,

Пример:

При каких значениях выполняется неравенство

Решение. Запишем данное неравенство так: Поскольку большее значение функции соответствует большему значению аргумента, то можно сделать вывод, что Учитывая, что выражение имеет смысл только при получаем, что данное неравенство выполняется при всех удовлетворяющих неравенству

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Поскольку и то и

Отсюда получаем:

Ответ: 1.

——-

Рациональные выражения

В этом разделе вы научитесь:

упрощать рациональные выражения;
выполнять действия над рациональными выражениями;
решать задачи, которые требуют составления рациональных выражений;
классифицировать четырёхугольники;
проводить классификацию параллелограммов;
исследовать общие и различные свойства параллелограммов;
решать задачи, применяя свойства четырёхугольника. Рациональные выражения широко используются для решения проблем в различных областях, таких как экономика, медицина, транспорт, космические исследования, энергетика, акустика и т.д.

Знания о четырёхугольниках, наряду с применением в повседневной жизни, широко применяются в строительстве, в дизайне, при производстве мебели и т.д.

Это интересно!

Бельгиец Марсель Толковский в 21 год придумал точную математическую модель для огранки бриллиантов. В ней он определил такие пропорции, при которых камень был прозрачен, имел идеальную круглую форму и при этом свет, входящий в бриллиант, отражался максимально.

Благодаря математической модели Марселя Толковского процесс огранки бриллиантов был автоматизирован. На сегодняшний день Бельгия является ведущей страной по обработке бриллиантов.

Исследование.

Опишите общие и различные свойства выражений. 1) Площадь прямоугольника со сторонами

2) Ширина прямоугольника с площадью и длиной

Рациональные выражения Сумма, разность и произведение многочленов, также является многочленом. Отношение многочленов не всегда является многочленом. Например, отношение многочлена является многочленом, т.к. существует такой многочлен, произведение которого с многочленом равно

Однако отношение многочленов не является многочленом, т.к. нет такого многочлена, произведение которого с

Отношение двух многочленов называется рациональным выражением.

Например:

Любой многочлен можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, Таким образом, многочлен также является рациональным выражением. Сумма, разность, произведение и отношение рациональных выражений также являются рациональными выражениями, то есть их можно преобразовать в дробь, у которой числитель и знаменатель-некоторые многочлены (в частном случае одночлены).

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называются областью допустимых значений переменных (ОДЗ).

Многочлен имеет смысл при всех значениях переменной (то есть,при любом значении переменной можно найти соответствующее значение выражения). Однако, рациональное выражение может не иметь смысла при некоторых значениях переменной.

Например, выражение не имеет смысла при так как при знаменатель превращается в нуль.

На нуль делить нельзя! Поэтому, если знаменатель дроби содержит одну или несколько переменных, то они не могут принимать значения, которые обращают знаменатель в нуль.

Пример:

найдём возможные значения переменного в рациональном выражении

Чтобы найти при каких значениях знаменатель дроби обращается в нуль, надо решить уравнение Данное уравнение имеет два корня: 0 и 1. Значит допустимыми значениями являются любые числа, кроме 0 и 1. Для рациональной дроби ОДЗ записывается как

Эквивалентные рациональные выражения

Тождественно равные (эквивалентные выражения)

Два выражения называются тождественно равными или эквивалентными, если они имеют одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число отличное от нуля, т.е при справедливо следующее равенство , а это значит, что данная дробь умножается на дробь , т.е. на 1. Аналогичное свойство верно и для рациональных выражений. При умножении или делении числителя и знаменателя рационального выражения на одно и то же отличное от нуля выражение, получается дробь,эквивалентная данному выражению при всех допустимых значениях переменной.

Пример:

Покажем эквивалентность дробей

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Получим

2. Разделим числитель и знаменатель дроби на выражение Получим

Внимание! При определении возможных значений переменных эквивалентных выражений надо учитывать существование каждой из дробей в левых и правых частях равенства.

Упрощение рациональных выражений

Для упрощения рациональных выражений надо:

Разложить числитель и знаменатель на множители (если это возможно);
Определить общий множитель;
Разделить числитель и знаменатель на общий множитель.

Пример:

Внимание! При изменении знака числителя (или знаменателя) дроби и знака перед дробью, получается дробь эквивалентная данной.

Разложение трёхчлена на множители и упрощение рациональных выражений

Если числитель или знаменатель рационального выражения является трёхчленом, то для сокращения дроби применяют различные методы разложения на множители. Если для трёхчлена возможно найти такие числа чтобы их произведение было равно а сумма была равна то в этом случае:

На самом деле, если тогда можно записать, что Понятно что, если являются целыми числами, то числа надо искать среди делителей числа

Пример:

Для сокращения дроби сначала надо разложить числитель и знаменатель на множители.

Для разложения на множители трёхчлена надо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Это числа 2 и 3:

Для разложения на множители трёхчлена надо найти два числа, произведение которых равно -3, а сумма 2. Так как, эти числа 3 и 1, тогда имеем

Для разложения на множители трёхчлена надо найти такие

числа чтобы Тогда

Пример:

Сократим дробь

Для

Умножение, деление и возведение в степень рациональных выражений

Умножение, деление и возведение в степень рациональных выражений выполняется по тем же правилам, что и соответствующие действия с обыкновенными дробями.

Умножение рациональных выражений.

здесь некоторые многочлены

Пример:

Деление рациональных выражений

Чтобы разделить дробь на дробь надо делимое умножить на дробь обратную делителю.

Это правило верно и, если делимое или делитель являются многочленами.

Пример:

Возведение рациональных дробей в степень:

Пример:

Сложение и вычитание рациональных выражений

Для того, чтобы получить точную фотография важно уметь правильно выбрать фокусное расстояние (расстояние от фокуса, точки, в которой сгущаются параллельные лучи света от объекта, до линзы). Это расстояние можно вычислить по формуле.

– фокусное расстояние,

– расстояние от объекта до линзы фотоаппарата,

– расстояние от линзы фотоаппарата до ленты.

Представьте себе, что расстояние от объекта, который вы хотите сфотографировать, до линзы фотоаппарата 50 см, а расстояние от линзы до ленты 8 см. Чему в данном случае будет равно фокусное расстояние?

Сложение и вычитание рациональных выражений

Сложение и вычитание рациональных выражений выполняется по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Сложение и вычитание рациональных выражений с одинаковыми знаменателями: здесь некоторые многочлены

Пример:

Сложение и вычитание рациональных выражений с разными знаменателями: здесь некоторые многочлены

Пример:

Найдем разность.

Числитель и знаменатель первой дроби умножим на а числитель и знаменатель второй дроби на приведём дроби к общему знаменателю, а затем выполним вычитание.

Нахождение простейшего общего знаменателя

Часто удаётся найти более простой общий знаменатель, чем произведение знаменателей. Чтобы найти простейший общий знаменатель для дробей с разными знаменателями, сначала необходимо разложить знаменатель каждой дроби на множители. Простейший общий знаменатель равен произведению, составленному из НОК коэффициентов знаменателей и различных множителей, взятых с большей степенью.

Пример:

Сложим дроби

тогда простейший общий знаменатель будет:

Каждое рациональное выражение запишем в виде эквивалентной дроби со знаменателем и выполним сложение.

Пример:

Найдём разность дробей

Упрощение рациональных выражений

Рассмотрим примеры на различные действия над рациональными выражениями.

Пример:

Выполните действия.

Пример:

Упростите.

Степень с целым показателем

Степень с целым отрицательным показателем

Запишем последовательно 0; 1; 2 и тд. степени числа В этой строке каждое число в 10 раз меньше следующего. Если продолжить запись влево, в соответствии с данным правилом, то получим следующее: перед числом стоит число перед числом число и т.д.

Степень каждого числа в этой строке от числа справа, на единицу меньше степени следующего числа. Примен ив данное правило к числам, стоящим слева от числа получим отрицательные степени числа 10, которые запишем так: вместо запишем вместо запишем и т.д.

Обобщив полученное, примем при

На самом деле, приняв во внимание основное свойство степени при

имеем а отсюда получим,

Пример:

Свойства степени с целым показателем

Для любого и любых целых чисел и справедливы равенства

Для любых и для любого целого числа справедливы равенства

Действия над степенями с целым показателем, выполняются по тем же правилам, что и над степенями с натуральным показателем.

Пример:

К такому же результату можно прийти по определению степени с отрицательным показателем и по свойству степени с натуральным показателем.

Пример:

Стандартный вид числа

В науке и технике наряду с очень большими положительными числами встречаются и очень маленькие положительные числа Например, объём Земли выражается гигантским числом а диаметр молекулы очень маленьким числом Большие и малые числа неудобно записывать в виде обыкновенных или десятичных дробей и выполнять какие-либо действия над ними. В этом случае их представляют в виде

Например, или

Запись числа в виде называется стандартным видом числа, где и целое число, число называется значащей частью, – порядком.

Пример:

1) (порядок равен 6).

2) (порядок равен 7).

Функция y= k/x и ее график

Функция и ее график

Исследуем зависимость между сторонами прямоугольника с площадью Выразив длину через см, а ширину через см, эту зависимость можно записать в виде Так как в данном задании и выражают измерения длины и ширины прямоугольника, то они могут принимать только положительные значения. Составим таблицу, в которой будем задавать значения и находить соответствующие значения . Из таблицы видно, что во сколько раз значение увеличивается, во столько же раз значение уменьшается, т.е. переменные и связаны обратно пропорциональной зависимостью.

На координатной плоскости отметим точки, указанные в таблице, и соединим их плавной линией, как показано на рисунке.

Произведение абсциссы и ординаты (длины и ширины прямоугольника) любой точки на графике остаётся постоянным и в данном случае равно 6-ти (площади прямоугольника).

Если переменные и связаны обратно пропорциональной зависимостью, то по заданным значениям можно определить формулу данной зависимости.

Пример:

Переменные и связаны обратно пропорциональной зависимостью и при Запишите формулу данной зависимости. Так как произведение переменных, связанных обратно пропорциональной зависимостью, всегда остаётся постоянным, то обозначим эту постоянную через тогда В нашем случае Тогда соответствующую зависимость можно записать в виде формулы так:

Рассмотрим функцию, заданную формулой в которой переменная принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Пример:

Составим таблицу значений функции и построим её график.

Определение: функция, заданная формулой называется обратно пропорциональной функцией.

Где – независимая переменная, – число отличное от нуля. Функция определена для всех , кроме нуля

График функции симметричен относительно начала координат. Если точка принадлежит графику функции , то точка также принадлежит графику функции. График функции называется гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей. При ветви гиперболы расположены в I и II1 четверти, а при расположены во II и IV четверти. Чем больше абсолютное значение абсциссы на графике, тем ближе эта точка расположена к оси абсцисс.

Квадратные корни
Квадратные уравнения
Неравенства
Числовые последовательности
Многочлены
Формулы сокращенного умножения
Разложение многочленов на множители
Системы линейных уравнений с двумя переменными

Источник

Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.

Действие сложения рациональных чисел

Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.

Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Определение 1

Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.

Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.

Сложение противоположных рациональных чисел

Определение 2

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).

К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.

Сложение положительных рациональных чисел

В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.

Пример 1

Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.

Решение

Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.

Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:

610+59= 5490+ 5090= 10490=1745

Ответ: 0,6 + 59= 1745.

Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Определение 3

Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Пример 2

Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8,2 и -234 .

Решение

Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: |8,2| = 8,2 и|-234|=234. Проведя сравнение модулей – рациональных чисел, получим: 8,2 > 234 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое – вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8,2-234= 8210- 234= 59 20.

Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Определение 4

Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.

Пример 3

Необходимо произвести сложение чисел: -4,0203 и -12,193.

Решение

Модули заданных чисел соответственно равны: 4,0203 и 12,193. Сложим их:

Полученному результату присваиваем знак минус: -16,2133.

Ответ: (-4,0203)+(-12,193) =-16,2133.

Действие вычитания рациональных чисел

Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b=a следует, что a-b=c и a-c=b. И наоборот: из равенств a-b =c и a-c=b следует, что c+b=a.

Определение 5

При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.

Пример 4

Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4,(36)– 15.

Решение

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +…)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411

Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955

Ответ: 4,(36)-15= 4955

Определение 6

В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a–b=a+(-b).

Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a+(-b) есть разность чисел a и b.

Пример 5

Необходимо из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537

Решение

Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. -537. Тогда: 27-537=27+-537

Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27= -517

Ответ:27+-537=-517

Действие умножения рациональных чисел

Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.

Умножение на нуль

Определение 7

Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.

Т.е. a·0=0.

Используя переместительное свойство умножения, получим: 0·а=0.

К примеру, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0. Перемножив отрицательное рациональное число -718 и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0·0=0.

Умножение на единицу

Определение 8

Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a.

Т.е. a·1=a или 1 · a = a (для любого рационального a). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.

К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46.

Умножение взаимообратных чисел

Определение 9

Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а·а-1=1.

К примеру, результатом произведения чисел 56 и 65 будет единица.

Умножение положительных рациональных чисел

В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

Пример 6

Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.

Решение

Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0,5 = 510= 12.

Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 12 · 625= 650= 325.

Ответ: 0,5 ·625= 325

Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

Пример 7

Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.

Решение

Перемножим десятичные дроби столбиком:

Ответ: 2,121 · 3,4 = 7,2114

В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Определение 10

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.

Пример 8

Необходимо найти произведение чисел: -338и 212

Решение

Согласно вышеуказанному правилу получим: -338·212=-338·212=-338·212

Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338·212=-278·52=-13516=-8716

Ответ: -338·212=-8716

Умножение отрицательных рациональных чисел

Определение 11

Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

Пример 9

Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.

Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3,146 и 56.

Перемножим их столбиком:

Полученный результат и будет являться искомым произведением.

Ответ: (-3,146) · (-56) = 176,176

Деление рациональных чисел

Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b·c =a следует, что a:b =c и a:c=b. И наоборот: из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.

На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.

Определение 12

Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a·b-1.

Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств (a·b-1)· b=a·(b-1·b)=a·1=a, которая и доказывает равенство a : b = a · b-1.

Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.

Пример 10

Необходимо выполнить действие деления 313:-116

Решение

Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.

Число, обратное этой дроби, будет: -67. Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 313-116=313·-67=103·(-67) =-(103·67)=-207= -267

Ответ: 313:-116=-267

Источник

План урока:

Понятие рационального выражения

Сокращение рациональных выражений

Представление дроби в виде суммы дробей

Преобразование рациональных выражений

Понятие рационального выражения

В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.

1ytyiui

Следующие дроби являются числовыми:

2hgjyj

Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:

3hgjh

Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь

4hgfh

бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.

Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь

5hgh

при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.

Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби

6hgfh

Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство

х – у = 0

или равносильное ему равенство

х = у

Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.

Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби

7hgfh

Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:

8hgfh

Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому

Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):

По свойству пропорции имеем:

1•а ≠ 1•b

а ≠b

Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.

Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби

11kjhjk

Решение.

Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:

х² – 25 ≠ 0

Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение

х² – 25 = 0

Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:

х² – 5²= 0

(х – 5)(х + 5) = 0

х = 5 или х = – 5

Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.

Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.

Пример. Докажите тождество

12jhk

Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства

(с³ – 2с² + с – 2) = (с – 2)(с² + 1)

Раскроем скобки в правой части:

(с – 2)(с² + 1) = с³ – 2с² + с – 2

Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.

Теперь сформулируем понятие рационального выражения.

13kjhk

Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.

14gfhgh

15hgfh

Приведем примеры целых рациональных выражений:

А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:

17jhghj

Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:

– это дробь, но целое, а не дробное выражение;
(х + 7):t – это дробное выражение, но не дробь.

Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.

Пример. Найдите все корни уравнения

Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:

(х – 1)(х + 2) = 0

х – 1 = 0 или х + 2 = 0

х = 1 или х = – 2

Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель

2•1⁴ – 3•1³ + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0

поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:

2•(– 2)⁴ – 3•( – 2)³ + 5•( – 2) – 4 =

= 32 + 24 – 10 – 4 = 42

Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).

Ответ: – 2

Сокращение рациональных выражений

Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:

20gfhgh

Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:

21hgj

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.

22juyui

Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:

24gfhgh

Например, пусть надо привести дробь

25hghj

к знаменателю 6а²b².

На что именно надо умножитель знаменатель, что получился одночлен 6а²b²? Очевидно, что

6а²b² = 2а²b•3b

Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:

26hjghj

Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.

Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:

Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:

28jhgj

Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:

29jhjk

В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.

Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции

30dsdf

В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:

31gfdg

Казалось бы, мы получили линейную функцию

y = x + 2

чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:

32hghh

Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)

33mnbhj

Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.

Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:

34gfdg

Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:

(а – b) = – (b– а)

Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:

35hgj

Более сложный пример:

36hgfh

Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.

37jhgj

Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:

3х⁴ (у единственной переменной степень равна 4);
8х³у (степень у х равна 3, а степень у равна 1, 3 + 1 = 4);
5х²у² (степени у обеих переменных равны 2, 2 + 2 = 4);
10у⁴ (в буквенной части только переменная у, чья степень равна 4).

Соответственно, многочлен 3х⁴ + 8х³у + 5х²у² + 10у⁴, составленный из всех этих мономов, будет однородным. Примерами однородных полиномов также являются:

z⁶ + v⁶ – 2z²v⁴ (здесь степени мономов равны 6);
a² – ab (степень одночленов равна 2).

В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения

38oiuo

если известно другое отношение:

39rtyy

В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y³ (можно было делить и на х³). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:

40dsdf

Получили выражение, которое зависит только от отношения

41dsdf

Попытаемся найти эту величину из условия

42gfdfg

Отсюда следует, что

43gffdg

Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):

44hgj

До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.

Например, дана дробь

45fdfgf

Коэффициенты при у и у² дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:

46ggfgh

Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:

47fgdfg

49jhgj

Сложим две величины:

50fdfg

В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:

Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.

Теперь вычтем из выражения

52fghgh

дробь

53ghfh

У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:

54hgfgh

Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.

Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.

Рассмотрим следующий пример:

Знаменатели дробей разные, однако, обе дроби можно привести к знаменателю 24х²у³. Почему именно к нему? Дело в том, у коэффициентов мономов 6х²у и 8ху³ наименьшим общим кратным (НОК) является число 24 (о НОК можно узнать из этого урока). Добавим к этому коэффициенту переменные из одночленов с наибольшими показателями (х² и у³) и получим моном 24х²у³. Итак,домножим первую дробь на 4у², а вторую – на 3х:

56jjkk

Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:

57jkhjk

В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:

58sdfdf

Видно, что конечный результат операции не изменился.

Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.

Пусть надо сложить выражения

59dfdg

Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:

60hgh

В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:

61fghgh

Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):

62hgnb

Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:

63dfg

Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.

Продемонстрируем эту операцию на примере

64fgfg

Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:

65fdfg

И в знаменателе, и в числителе есть сумма х² + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:

66bngh

В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:

67bvbg

Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу

68gfdg

Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:

70gfgd

Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х²) на разность (– х² – 2х²), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:

71fdfg

Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму

72nbgh

Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:

73nhgj

74nghj

Представление дроби в виде суммы дробей

Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:

75hgfh

Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:

То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,

77mjk

можно разложить так:

78gfdg

С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:

79mhjk

Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение

80dsgf

Заметим, что знаменатель х² – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):

81sdf

Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что

82dfg

Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:

83bgfh

Полученная дробь должна равняться исходной дроби:

84nbgh

У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:

(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6

Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:

85nhgj

Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:

а + b = 2

а = 2 – b

Подставим эту формулу во второе уравнение:

2а – 2b = 6

2 (2 – b) – 2b = 6

4 – 4b = 6

– 4b = 10

b = – 2,5

Далее находим a:

а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5

Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:

87dfgg

Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:

89fdfg

90fdfgf

Пусть требуется перемножить величины

Эта операция осуществляется так:

Теперь посмотрим, как выполняется деление:

93bghh

Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:

94bgfhy

Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:

При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:

96gfhgh

Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:

97hgfh

Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь

98nhgj

Выглядеть это будет так:

99jhhjg

Преобразование рациональных выражений

Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.

Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение

Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:

Обратим внимание, что выражение

(2а + 1)² – (2а – 1)²

представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:

(2а + 1)² – (2а – 1)² = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =

= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).

Используя это, продолжим работать с дробью:

Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:

(а + b)с = ас + bc

Пусть требуется упростить произведение:

Сначала раскроем скобки:

Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.

Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения

106ghh

Сначала представим эту дробь как операцию деления:

107nhgj

Теперь в каждой из скобок произведем сложение:

Осталось заменить деление на умножение:

Источник

In product of rational numbers we will learn how to multiply
two or more rational numbers.

For any two rational
numbers a/b and c/d, we get (a/b × c/d) = (a × c)/(b × d)

How to find the product of two rational numbers?

1. Multiply (-25/9) by (-18/15)

Solution:

(-25/9) × (-18/15)

= (-25) × (-18)/9 × 15

= 450/135

= 10/3

2. Simplify: -9/7 × 5/3

Solution:

(-9/7) × 5/3

= (-9) × 5/7 × 3

= -45/21

= -15/7

3. Simplify: 6/11 ×
(-55)/36

Solution:

6/11 × (-55)/36

= 6 × -55/11 × 36

= -330/396

= -5/6

4. Simplify: (-16)/21
by 14/(-5)

Solution:

(-16)/21 × 14/(-5)

= (-16) × (14)/21 × (-5)

= -224/(-105)

= 32/15

5. Simplify: -28/81
by -27/(-14)

Solution:

-28/81 × -27/(-14)

= (-28) × (-27)/81 × (-14)

= 756/(-1134)

= -2/3

6. Find each of the following products:

(i) 2/3 × -5/7

(ii) -7/8 × 3/5

(iii) -15/4 × -3/8

Solution:

(i) 2/3 × -5/7

= (2 × -5)/(3 × 7)

= -10/21

(ii) -7/8 × 3/5

= {(-7) × 3}/(8 × 5)

= -21/40

(iii) -15/4 × -3/8

= {(-15) × (-3)}/(4 × 8)

= 45/32

7. Verify that: 2/3 × (6/7 × (-14)/15) = (2/3 × 6/7)
× (-14)/15

Solution:

LHS = 2/3 × {6/7 × (-14)/15 } = 2/3 × {6 × (-14)}/(7
× 15)

= 2/3 × (-84)/105

= 2/3 × (-4) /5 = {2 × (-4)}/(3 × 5) = -8/15

RHS = (2/3×6/7) × (-14)/15 = (2 × 6)/(3 × 7) × (-14)/15

= 12/21 × (-14)/15

= 4/7 × (-14)/15 = {4 × (-14)}/(7 × 15) = -56/105 = -8/15

Therefore, LHS = RHS.

Hence, 2/3 × {6/7 × (-14)/15} = (2/3 × 6/7) × (-14)/15

● Rational Numbers

Introduction of Rational Numbers

What is Rational Numbers?

Is Every Rational Number a Natural Number?

Is Zero a Rational Number?

Is Every Rational Number an Integer?

Is Every Rational Number a Fraction?

Positive Rational Number

Negative Rational Number

Equivalent Rational Numbers

Equivalent form of Rational Numbers

Rational Number in Different Forms

Properties of Rational Numbers

Lowest form of a Rational Number

Standard form of a Rational Number

Equality of Rational Numbers using Standard Form

Equality of Rational Numbers with Common Denominator

Equality of Rational Numbers using Cross Multiplication

Comparison of Rational Numbers

Rational Numbers in Ascending Order

Rational Numbers in Descending Order

Representation of Rational Numbers
on the Number Line

Rational Numbers on the Number Line

Addition of Rational Number with Same Denominator

Addition of Rational Number with Different Denominator

Addition of Rational Numbers

Properties of Addition of Rational Numbers

Subtraction of Rational Number with Same Denominator

Subtraction of Rational Number with Different Denominator

Subtraction of Rational Numbers

Properties of Subtraction of Rational Numbers

Rational Expressions Involving Addition and Subtraction

Simplify Rational Expressions Involving the Sum or Difference

Multiplication of Rational Numbers

Product of Rational Numbers

Properties of Multiplication of Rational Numbers

Rational Expressions Involving Addition, Subtraction and Multiplication

Reciprocal of a Rational Number

Division of Rational Numbers

Rational Expressions Involving Division

Properties of Division of Rational Numbers

Rational Numbers between Two Rational Numbers

To Find Rational Numbers

8th Grade Math Practice

From Product of Rational Numbers to HOME PAGE

New! Comments

Have your say about what you just read! Leave me a comment in the box below. Ask a Question or Answer a Question.

Didn’t find what you were looking for? Or want to know more information
about Math Only Math.
Use this Google Search to find what you need.

Share this page:
What’s this?

FacebookTwitterPinterestWhatsAppMessenger

Источник

Рациональные выражения

Деление степеней и одночленов

Деление и дроби

Основное свойство дроби

Рациональные выражения

Сложение и вычитание дробей

Умножение дробей

Деление дробей

Преобразование рациональных выражений

Рациональные уравнения

Степени с целыми показателями

Стандартный вид числа

Функция y=k/x

Функция у = х2

Функция y= √x

Действительные числа

Рациональные выражения

Рациональные дроби

Основное свойство рациональной дроби

Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями

Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень

Тождественные преобразования рациональных выражений

Равносильные уравнения. Рациональные уравнения

Степень с целым отрицательным показателем

Свойства степени с целым показателем

Функция y=k/x и ее график

Функция y=x2 и ее график

Функция y=√x и ее график

Рациональные выражения

Эквивалентные рациональные выражения

Тождественно равные (эквивалентные выражения)

Упрощение рациональных выражений

Разложение трёхчлена на множители и упрощение рациональных выражений

Умножение, деление и возведение в степень рациональных выражений

Деление рациональных выражений

Сложение и вычитание рациональных выражений

Нахождение простейшего общего знаменателя

Упрощение рациональных выражений

Степень с целым показателем

Степень с целым отрицательным показателем

Свойства степени с целым показателем

Стандартный вид числа

Функция y= k/x и ее график

Действие сложения рациональных чисел

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Сложение противоположных рациональных чисел

Сложение положительных рациональных чисел

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Сложение отрицательных рациональных чисел

Действие вычитания рациональных чисел

Действие умножения рациональных чисел

Умножение на нуль

Умножение на единицу

Умножение взаимообратных чисел

Умножение положительных рациональных чисел

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Умножение отрицательных рациональных чисел

Деление рациональных чисел

Понятие рационального выражения

Сокращение рациональных выражений

Представление дроби в виде суммы дробей

Преобразование рациональных выражений

New! Comments

Вам также может понравиться

Как составить договор купи продажи на автомобиль

Как найти найдите длину меньшей диагонали ромба

Как найти берлогу в майнкрафте

Добавить комментарий Отменить ответ

Функция у = х²

Функция y=x² и ее график