Как найти произведение синуса на косинус

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β. Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α+β и α-β.

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α-β и косинуса угла α+β.
3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α-β и синуса угла α+β.

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

cosα+β=cos α·cos β-sin α·sin βcosα-β=cos α·cos β+sin α·sin β

Сложим эти равенства и получим:

cosα+β+cosα-β=cos α·cos β-sin α·sin β+cos α·cos β+sin α·sin βcosα+β+cosα-β=2·cos α·cos β

Отсюда

cos α·cos β=12cosα+β+cosα-β

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

-cos(α+β)=-cos α·cosβ+sin α·sinβ

Добавим к равенству формулу cosα-β=cos α·cos β+sin α·sinβ.

Получим:

-cos(α+β)+cosα-β=-cos α·cosβ+sin α·sinβ+cos α·cos β+sin α·sinβ-cos(α+β)+cosα-β=2·sin α·sinβsin α·sinβ=12(cosα-β-cos(α+β))

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

sinα+β=sin α·cos β+cos α·sin βsinα-β=sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=sin α·cos β+cos α·sin β+sin α·cos β-cos α·sin βsinα+β+sinα-β=2sin α·cos βsin α·cos β=12(sinα+β+sinα-β)

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач. 

Пусть α=60°, β=30°. Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

sin α·sin β=12(cosα-β-cosα+β)sin 60°·sin 30° =12(cos60°-30°-cos60°+30°)sin 60°·sin 30°=12(cos30°-cos90°)sin 60°·sin 30°=12(32-0)=34

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

sin60°·sin30°=32·12=34.

 Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Формула произведения косинуса, синуса используется в школьной алгебре для обучения школьников, а также в математическом анализе в расчетах. 

В этой статье разберем важные формулы для понятия тригонометрии: умножение косинусов и синусов, другие формулы, связанные с произведением двух алгебраических функций.

Рассмотрим и выведем формулы синуса на синус, произведение синусов и косинусов. Также ниже разберем примерные задания с использованием формул.

Тригонометрические формулы произведения

Рассмотрим формулировки, формулы произведений. В независимости какими значениями обладают углы α и β или какие греческие буквы используются вместо обозначений α и β, применяются данные формулы и вычисляют с помощью них.

Произведение синусов формула

Произведение sin угла α и sin угла β будет равно половине разности косинуса угла (α−β) и (α+β).

[sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))]

Произведение косинусов формула

Произведение cos угла α и cos угла β равно половине сумме косинуса угла (α-β) и (α+β).

[cos alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)+cos (alpha+beta))]

Произведение синусов и косинусов формулы

Произведение синуса угла α на косинус угла β равно половине сумме синуса угла (α-β) и синуса угла (α+β).

[sin alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(sin (alpha-beta)+sin (alpha+beta))]

Выведение тригонометрических формул

Для выведения формул, которые расположены выше, используется формулы сложения функций cos и sin, а также свойства равенства. В свойстве подразумевается, что если просуммировать правую и левую часть правильного равенства с другим таким же верным равенством, образуется новое правильное равенство.

Произведение косинусов

Приведем подробный вывод изучаемых формул

Для этого возьмем формулы косинуса разности и суммы:

[cos (alpha+beta)=cos alpha cdot cos beta-sin alpha cdot sin beta]

[cos (alpha-beta)=cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta]

Далее, с каждой стороны проведем сложение двух формул. Получается следующее:

[cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=cos alpha cdot cos beta-sin alpha cdot sin beta+cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta]

Одинаковые слагаемые складываем: [cos alpha cdot cos beta+cos alpha cdot cos beta=2 cdot cos alpha cdot cos beta]

Разноименные слагаемые отнимаем: [-sin alpha cdot sin beta+sin alpha cdot sin beta=0]

Следовательно, [cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=2 cdot cos alpha cdot cos beta]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

Получается следующее выражение [cos alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta))]

Мы доказали формулу умножения cos одного угла на cos другого угла.

Произведение синусов

Теперь докажем следующую. Распишем формулу суммы косинусов так:

[-cos (alpha+beta)=-cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta]

Прибавим к данному равенству [cos (alpha-beta)=cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

[-cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=-cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta+cos alpha cdot cos beta+sin alpha cdot sin beta-cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)=2 cdot sin alpha cdot sin beta]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2, меняем местами слагаемые.

[sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))]

Мы вывели формулу умножения синуса одного аргумента на синус другого аргумента.

Произведение синуса на косинус

Сделаем вывод формулы произведения синуса и косинуса разных аргументов. Теперь воспользуемся формулой суммы и разности функций sin. Складываем и правую, и левую часть выражений:

[sin (alpha+beta)=sin alpha cdot cos beta+cos alpha cdot sin beta]

[sin (alpha-beta)=sin alpha cdot cos beta-cos alpha cdot sin beta]

[sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta)=sin alpha cdot cos beta+cos alpha cdot sin beta+sin alpha cdot cos beta-cos alpha cdot sin beta]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

[sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta)=2 cdot sin alpha cdot cos beta]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

[sin alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta))]

Мы вывели формулу произведения синуса на косинус.

Примеры задач

Рассмотрим и решим задания с применением формул произведения косинусов (cos), синусов (sin), синусов на косинусы (cos и sin). Произведение синуса и косинуса примеры решения рассматриваются для того, чтобы ясно представлять использование данных формул для определенных углов.

Сначала сделаем проверку на справедливость формулы умножение функции sin одного угла на sin другого угла.

---

Пример 1

Пусть углы будут равны: α=60°,β=30°.

Решение:

Используем выведенную формулу синусов, и в нее подставим предоставленные значения из нашего задания:

[sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))]

[sin 60^{circ} cdot sin 30^{circ}=frac{1}{2}left(cos left(60^{circ}-30^{circ}right)-cos left(60^{circ}+30^{circ}right)right)]

Подставим конкретные значения из таблицы тригонометрических функций и вычислим, запишем ответ:

[sin 60^{circ} cdot sin 30^{circ}=frac{1}{2} cdotleft(frac{sqrt{3}}{2}-0right)]

[sin 60^{circ} cdot sin 30^{circ}=frac{sqrt{3}}{4}]

Таким образом, сделали проверку выведенной формулы на практике, а также стало ясно, что она верна.

Пример 2

Нужно синус 75 ° умножить на косинус 15 °, найти конкретное значение произведения.

Решение:

Точными данными таких углов мы не обладаем, но значение можно найти с использованием формулы произведения синуса на косинус, то есть [sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ}]. Поэтому получим:

[sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ}=frac{1}{2}left(sin left(75^{circ}-15^{circ}right)+sin left(75^{circ}+15^{circ}right)right)]

Вычислим, получается следующее:

[sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ}=frac{1}{2}left(sin left(60^{circ}right)+sin left(90^{circ}right)right)]

Подставим известные нам значения из тригонометрической таблицы и вычислим, запишем ответ:

[sin 75^{circ} cdot cos 15^{circ}=frac{1}{2}left(frac{sqrt{3}}{2}+1right)=frac{sqrt{3}}{4}+frac{1}{2}]

Ответ: [frac{sqrt{3}}{4}+frac{1}{2}]

---

Пример 3

Пусть углы обладают значениями: [alpha=frac{Pi}{2}, beta=frac{Pi}{6}]. Найти значение произведение sin этих углов.

Решение:

Воспользуемся произведение синусов формулой:

[sin alpha cdot sin beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)-cos (alpha+beta))]

Подставим данные и получим:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2}left(cos left(frac{pi}{2}-frac{pi}{6}right)-cos left(frac{pi}{2}+frac{pi}{6}right)right)]

Найдем знаменатель для двух дробей:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2}left(cos left(frac{pi}{3}right)-cos left(frac{2 pi}{3}right)right)]

Для этого нам понадобится таблица со значениями функций косинуса и синуса, трансформируем  произведение синусов в сумму чисел:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2} cdotleft(frac{1}{2}-left(-frac{1}{2}right)right)]

Вычислим и запишем ответ:

[sin frac{pi}{2} cdot sin frac{pi}{6}=frac{1}{2}]

Ответ: [frac{1}{2}]

---

Пример 4

Дано следующее значение: [cos cos alpha=0,3].

Вычислить выражение и найти, записать ответ в следующем виде [operatorname{coscos} frac{alpha}{2} cdot operatorname{coscos} frac{3 alpha}{2}]

Решение:

Произведение косинусов формула:

[cos alpha cdot cos beta=frac{1}{2}(cos (alpha-beta)+cos (alpha+beta))]

Поставляем в формулу и получаем выражение:

[operatorname{coscos} frac{alpha}{2} cdot operatorname{coscos} frac{3 alpha}{2}=frac{1}{2}left(operatorname{coscos}left(frac{alpha}{2}+frac{3 alpha}{2}right)+operatorname{coscos}left(frac{alpha}{2}-frac{3 alpha}{2}right)right)]

Стоит заметить, что [operatorname{coscos}(-alpha)=operatorname{coscos}(alpha)], используем формулу двойного аргумента

[cos cos 2 alpha=alpha-alpha=2 alpha-1]

Далее, подставляем данные из задания [operatorname{coscos} alpha=0,3]

Получаем следующее значение:

[operatorname{coscos} 2 alpha=2 cdot 0,3^{2}-1=0,18-1=-0,82]

Воспользуемся значениями в наше выражение, получим и запишем ответ:

[frac{1}{2} cdotleft(frac{1}{2}+sin sin left(2 alpha-frac{pi}{12}right)right) cdot frac{1}{2} cdotleft(frac{1}{2}-1right)=-frac{1}{4}]

Ответ: [-frac{1}{4}]

Замечание. Данные формулы произведения применяются, чтобы преобразовать сложные тригонометрические выражения в наиболее простые.

(1)  Основное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1

(2)  Основное тождество через тангенс и косинус (3)  Основное тождество через котангенс и синус

(4)  Соотношение между тангенсом и котангенсом tg(α)ctg(α) = 1 (5)  Синус двойного угла sin(2α) = 2sin(α)cos(α) (6)  Косинус двойного угла cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α) (7)  Тангенс двойного угла

tg(2α) =

2tg(α) 1 – tg2(α)

(8)  Котангенс двойного угла

ctg(2α) =

ctg2(α) – 1   2ctg(α)

(9)  Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) – sin³(α) (10)  Косинус тройного угла cos(3α) = cos³(α) – 3cos(α)sin²(α) (11)  Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12)  Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

(13)  Тангенс суммы/разности (14)  Котангенс суммы/разности (15)  Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β)) (16)  Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β)) (17)  Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β)) (18)  Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19)  Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β)) (20)  Разность косинусов cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))

(21)  Сумма/разность тангенсов

(22)  Формула понижения степени синуса sin²(α) = ½(1 – cos(2α)) (23)  Формула понижения степени косинуса cos²(α) = ½(1 + cos(2α))

(24)

 Сумма/разность синуса и косинуса (25)  Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26)  Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27)  Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Формулы произведения тригонометрических функций

С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы произведения тригонометрических функций (а также другие тригонометрические формулы). Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, дейсвие. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Формулы произведения тригонометрических функций − теория, доказательство, примеры

Докажем формулы произведения тригонометрических функций. Для этого воспользуется формулами суммы и разности углов тригонометрических функций :

Произведение косинуса на косинус

Сложим равенства (3) и (4):

Отсюда получим доказательство формулы (c):

Произведение синуса на синус

Умножим левую и правую части уравнения (3) на −1:

Сложим уравнения (4) и (5):

Откуда получим доказательство формулы (a):

Произведение синуса на косинус

Выведем формулу (b). Для этого сложим уравнения (1) и (2):

Отсюда получим формулу (b):

Произведение тангенса на тангенс

Выведем формулу произведения тангенса на тангенс (d).

Другую формулу произведения тангенса на тангенс (формула (d’)) получим применяя формулы (a) и (c):

Произведение котангенса на котангенс

Выведем формулу произведения котангенса на котангенс (e).

Другую формулу произведения котангенса на котангенс (формула (e’)) получим применяя формулы (a) и (c):

Произведение тангенса на котангенс

Выведем формулу произведения тангенса на котангенс (f).

Выведем другую формулу произведения тангенса на котангенс (формула (f’)). Для этого из формулы (b) получим формулу для :

Тогда получим:

Примеры применения формул произведения тригонометрических функций

Пример 1. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для попробуем использовать формулу (d’):

Ответ: .

Пример 2. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как несуществует точного решения ни для , ни для ,то попробуем использовать формулу (a):

Ответ: .

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β . Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α + β и α – β .

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α – β и косинуса угла α + β .
2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α – β и косинуса угла α + β .
3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α – β и синуса угла α + β .

Формулы произведения

Для любых α и β справедливы формулы

• sin α · sin β = 1 2 cos α – β – cos α + β ;
• cos α · cos β = 1 2 cos α – β + cos α + β ;
• sin α · cos β = 1 2 sin α – β + sin α + β .

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

cos α + β = cos α · cos β – sin α · sin β cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β

Сложим эти равенства и получим:

cos α + β + cos α – β = cos α · cos β – sin α · sin β + cos α · cos β + sin α · sin β cos α + β + cos α – β = 2 · cos α · cos β

cos α · cos β = 1 2 cos α + β + cos α – β

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

– cos ( α + β ) = – cos α · cos β + sin α · sin β

Добавим к равенству формулу cos α – β = cos α · cos β + sin α · sin β .

– cos ( α + β ) + cos α – β = – cos α · cos β + sin α · sin β + cos α · cos β + sin α · sin β – cos ( α + β ) + cos α – β = 2 · sin α · sin β sin α · sin β = 1 2 ( cos α – β – cos ( α + β ) )

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

sin α + β = sin α · cos β + cos α · sin β sin α – β = sin α · cos β – cos α · sin β sin α + β + sin α – β = sin α · cos β + cos α · sin β + sin α · cos β – cos α · sin β sin α + β + sin α – β = 2 sin α · cos β sin α · cos β = 1 2 ( sin α + β + sin α – β )

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.

Пусть α = 60 ° , β = 30 ° . Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

sin α · sin β = 1 2 ( cos α – β – cos α + β ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( cos 60 ° – 30 ° – cos 60 ° + 30 ° ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( cos 30 ° – cos 90 ° ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( 3 2 – 0 ) = 3 4

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

sin 60 ° · sin 30 ° = 3 2 · 1 2 = 3 4 .

Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Пример. Формулы произведения

Нужно sin 75 ° умножить на cos 15 ° и вычислить точное значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75 ° · cos 15 ° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

sin 75 ° · cos 15 ° = 1 2 sin ( 75 ° – 15 ° + sin ( 75 ° + 15 ° ) ) sin 75 ° · cos 15 ° = 1 2 sin 60 ° + sin 90 ° = 1 2 3 2 + 1 = 3 + 2 4

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Решение уравнения sin x – cos x = 1. Урок-семинар

Разделы: Математика

Цели урока:

Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.

Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.

Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.

Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.
4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
8. Графическое решения уравнения.

Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-4 человека) в зависимости от общего количества учащихся и их индивидуальных способностей и желания. Самостоятельно определяют для себя тему для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.

Организационный момент.

Тема урока:

“Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1

Форма проведения: урок – семинар.

Эпиграф к уроку:

“Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия. Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы”

Задачи урока:

а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;
б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;
в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).

План семинара

1. Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.
4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
5. Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.
6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7. Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка).
8. Графическое решения уравнения.

Содержание.

1. Слово предоставляется первому участнику.

Приведение уравнения sin x – cos x = 1 к однородному относительно синуса и косинуса.
Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей, используя основное тригонометрическое тождество:

2 sin cos – cos + sin = sin + cos ;

2 sin cos – cos =0 ;
cos = 0;
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует

cos =0 ; =

= 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin – 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1).

Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:
2. Слово предоставляется второму участнику.

Разложение левой части уравнения sin x – cos x = 1 на множители.

sin x – (1+ cos x ) = 1; используем формулы 1+ cos x = 2 , получим ;
далее аналогично:

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла, поэтому следует

cos =0 ; =
= 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos . (cos 0, так как если cos = 0 , то sin – 0 = 0 sin = 0, а это противоречит тригонометрическому тождеству sin + cos = 1)

Получим tg -1 = 0 ; tg = 1 ; =
Ответ:

3. Слово предоставляется третьему участнику.

Решение уравнения sin x – cos x = 1 введением вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение sin x – cos x = 1. Умножим и разделим каждое слагаемое левой части
уравнения на . Получим и вынесем в левой части уравнения за скобку. Получим ; Разделим обе части уравнения на и используем табличные значения тригонометрических функций. Получим ; Применим формулу синус разности.
;

Легко установить(с помощью тригонометрического круга), что полученное решение распадается на два случая:

;

Ответ:

4. Слово предоставляется четвертому участнику.

Решение уравнения sin x – cos x = 1 способом преобразования разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде , используя формулу приведения . Применяя формулу разности двух синусов, получим

;

и так далее, аналогично предыдущему способу.

Ответ:

5. Слово предоставляется пятому участнику.

Решение уравнения sin x – cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество , откуда следует
подставим полученное выражение в данное уравнение.
sin x – cos x = 1 ,

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним ее.

Полученные решения эквивалентны объединению трех решений:

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Остается проверить третье решение Подставим.
Левая часть:

Получили: , следовательно, – постороннее решение.

Ответ:

6. Слово предоставляется шестому участнику.

Возведение обеих частей уравнения sin x – cos x = 1 в квадрат.

Рассмотрим уравнение sin x – cos x = 1. Возведем обе части данного уравнения в квадрат.

;

;

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим ; sin 2x = 0 ; .

Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:

(эти решения можно нанести на единичную окружность). Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние.

Ответ:

7. Слово предоставляется седьмому участнику.

Использование универсальной подстановки в решении уравнения sin x – cos x = 1. Выражение всех функций через tg x по формулам:

Запишем данное уравнение с учетом приведенных формул в виде .
,

получим

ОДЗ данного уравнения – все множество R. При переходе к из рассмотрения выпали значения, при которых не имеет смысла, т. е. или .

Следует проверить, не являются ли решениями данного уравнения. Подставим в левую и правую часть уравнения эти решения.

Левая часть: .

Получили 1=1. Значит, – решение данного уравнения.

Ответ:

8. Слово предоставляется восьмому участнику.

Рассмотрим графическое решение уравнения sin x – cos x = 1.

Запишем рассматриваемое уравнение в виде sin x = 1 + cos x.

Построим в системе координат Оxy графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: синусоида.
y = cos x +1 – график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх по оси Oy. Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Ответ:

Итог урока.

• Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида , освоили новый материал.
• На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.
• Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.
• Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литратурой.

Список использованной литературы:

1. Татарченкова С.С. Урок как педагогический феномен – Санкт-Петербург: Каро, 2005
2. Выгодский Н.В. Справочник по элементарной математике.-М.: Наука, 1975.
3. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Книга для учащихся 10-11 класса – М.: Просвещение, 1996.
4. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России – М.: ОГИЗ, 1946.
5. Депман И.Я. и др. За страницами учебника математики – М.: Просвещение, 1999.
6. Дорофеев Г.В. и др. Математика: для поступающих в вузы – М.: Дрофа, 2000.
7. Математика: Большой энциклопедический словарь. – М.: БСЭ, 1998.
8. Мордкович А.Г. и др. Справочник школьника по математике. 10-11кл. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум, 1997.
9. 300 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 2000.
10. 3600 задач по алгебре и началам анализа. – М.: Дрофа, 1999.
11. Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. – М.: Дрофа, 1999.
12. Торосян В.Г. История образования и педагогической мысли: учеб. для студентов вузов. – М.: Изд-во ВЛАДОС-ПРЕСС, 2006.- 351 с.
13. Крылова Н.Б. Педагогическая, психологическая и нравственная поддержка как пространство личностных изменений ребёнка и взрослого.// Классный руководитель.- 2000.- №3. –С.92-103.

Как решить уравнение синус умножить на косинус

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = – 1, y ₂ = – 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь – так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/515874

http://www.sites.google.com/site/trigonometriavneskoly/metody-resenia-trigonometriceskih-uravnenij

[/spoiler]