Над случайными
величинами можно производить арифметические
действия,
а также образовывать
функции.
Рассмотрим
случайную дискретную величину, закон
распределения которой задается таблицей
Таблица 1.
-
…
…
4.1. Умножение случайной величины на число.
Определение.
Произведением
случайной величины
на число
называется случайная величина
,
которая принимает значения
с вероятностями
.
Таким
образом, закон распределения случайной
величины
запишется в виде
Таблица 2.
-
…
…
Пример.
Закон
распределения случайной величины
задан
таблицей 3:
Таблица 3.
-
1
2
3
0,1
0,3
0,6
Найти
закон распределения случайной величины
.
Решение.
4.2. Возведение случайной величины в степень.
Определение.
Квадратом
случайной величины
называется случайная величина
,
которая принимает значения
с вероятностями
.
Закон
распределения случайной величины
запишется в виде таблицы 5:
Таблица 5.
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Заметим,
что для случайных величин
.
Пример.
Закон распределения случайной величины
задан
таблицей 3.
Найти
закон распределения случайной величины
.
Решение.
Аналогично можно
определить возведение случайной величины
в любую степень.
Определение.
ой
степенью случайной величины
называется случайная величина
,
которая принимает значения
с вероятностями
.
Если
закон распределения случайной величины
задан таблицей 1, то закон распределения
случайной величины
имеет вид:
Таблица 7.
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
4.3. Функции одной случайной величины
Определение.
Функцией
одной случайной величины
называется случайная величина
,
которая принимает значения
с вероятностями
.
Если
закон распределения случайной величины
задан таблицей 1, то закон распределения
случайной величины
можно
записать в виде:
Таблица 8.
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Пример
3. Закон
распределения случайной величины
задан
таблицей 9:
Таблица 9.
-
0,2
0,7
0,1
Найти
закон распределения случайной величины
.
Решение.
Возможными значениями случайной
величины
являются
;
;
.
Так
как случайной величины
принимает значение
,
если случайная величина
примет значения
или
,
причем события
и
несовместны, то по теореме сложения
находим
=
.
Вероятность
события
совпадает с вероятностью события
.
Поэтому
закон распределения случайной величины
можно записать в виде таблицы 10
Таблица
10.
-
0,5
1
0,9
0,1
4.4. Сумма, разность, произведение случайных величин.
Пусть
заданы законы распределения двух
дискретных случайных величин: случайная
величина
принимает значения
с вероятностями
,
а
случайная
величина
принимает значения
с вероятностями
.
Определение.
Две случайных
величины
и
называютсянезависимыми,
если закон распределения любой из них
не зависит от того, какое возможное
значение приняла другая величина. В
противном случае случайные величины
называются зависимыми.
Если
случайные величины
и
независимы, то независимы любые события
и
,
а поэтому
,
если
случайные величины
и
зависимы, то
.
Примером
двух независимых величин могут служить
– размер выигрыша
в
одной лотерее, а
– размер выигрыша в другой.
Аналогично
определяется независимость событий
,
,…,
.
Определение.
Случайные
величины
,
,…,
называются
взаимно
независимыми,
если закон распределения любой из них
не изменяется в зависимости от того,
какие возможные значения приняли другие
случайные величины.
Будем
в дальнейшем рассматривать только
независимые случайные величины
и
.
Определение.
Суммой двух
случайных величин
и
называется случайная величина
,
возможными значениями которой являются
допустимые суммы
,
а вероятности этих значений находятся
по формуле
.
Аналогично
определяются такие действия как разность
и произведение двух случайных величин.
Определение.
Разностью
(произведением) двух случайных величин
и
называется случайная величина
,
возможными значениями которой являются
допустимые разности
(произведения
),
а вероятности этих значений находятся
по формуле
.
Введенные операции
над случайными величинами можно обобщить
на любое конечное количество случайных
величин.
Пример.
Заданы
законы распределения двух дискретных
случайных величин.
Таблица 11.
Таблица 12.
|
|
1 |
3 |
5 |
|
0 |
3 |
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
|
0,2 |
0,8 |
Найти
закон распределения случайной величины
.
59
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Формулировка задачи:
Задание: сгенерировать 20 случайных чисел. Найти произведение чисел, кратных 3.
Вот что у меня получилось
using System;
namespace ConsoleApplication1
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int[] numbers = new int[20];
Random rnd = new Random();
for (int i = 0; i < 20; i++)
{
numbers[i] = rnd.Next(0, 200);
Console.Write("{0} ", numbers[i]);
}
int proizv = 0;
for (int i = 0; i < 20; i++)
if (numbers[i] % 3 == 0)
{
proizv *= numbers[i];
Console.WriteLine("nПроизведение чисел, кратных 3: " + proizv);
}
Console.ReadKey();
}
}
}
Код к задаче: «Сгенерировать 20 случайных чисел. Найти произведение чисел, кратных 3»
textual
long proizv = 1; proizv *= numbers[i];
Полезно ли:
6 голосов , оценка 4.500 из 5
Программу, значит, написать… – Это можно. Только вот на каком языке программирования это нужно сделать? – Нет, программе-то, конечно, без разницы, на каком языке программирования (а их (языков программирования) существует порядка 40) она написана, а вот учитель/преподаватель может спросить, с чего это программа была написана на этом языке программирования, а не на том, который он(а) преподает.
И да, а что с массивом? Он вводится вручную с клавиатуры или же генерируется автоматически (заполняется случайными числами)?
Вот, например, на Pascal (массив вводится с клавиатуры):
Program P1;
uses crt;
const n=10;
type mas=array [1..n] of real;
var a: mas;
i, i1, i2, i3: integer;
begin
clrscr;
writeln ('Введите с клавиатуры массив (только числа) (заполните массив). После ввода каждого из чисел нажимайте клавишу Enter. При вводе дробных значений целую часть от дробной отделяйте точкой, а не запятой.');
for i:=1 to n do begin
write ('Введите ', i, '-й элемент массива: ');
readln (a[i]);
end;
randomize;
i1:=random (9)+1;
i2:=random (9)+1;
i3:=random (9)+1;
writeln ('Произведение 3 случайных элементов массива составляет: ', a[i1]*a[i2]*a[i3] :0:2);
write ('Программа завершена. Для выхода нажмите клавишу Enter.');
readkey;
end.
Вот на Python:
import random
a=[]
n=10
print ("Введите с клавиатуры массив (только числа) (заполните массив). После ввода каждого из чисел нажимайте клавишу Enter. При вводе дробных значений целую часть от дробной отделяйте точкой, а не запятой.")
for i in range (n):
a.append (float (input (f"Введите {i+1}-й элемент массива: ")))
i1=random.randint(0, 9)
i2=random.randint(0, 9)
i3=random.randint(0, 9)
print (f"Произведение 3 случайных элементов массива составляет: {a[i1]*a[i2]*a[i3]}")
Вот на C++:
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
setlocale (LC_ALL, "RUS");
double a [10];
int i, i1, i2, i3;
cout<<"Введите с клавиатуры массив (только числа) (заполните массив). После ввода каждого из чисел нажимайте клавишу Enter. При вводе дробных значений целую часть от дробной отделяйте точкой, а не запятой."< for (i>=0; i<10; i++) {
cout<<"Введите "< cin>>a[i];
cout< }
srand (time (0));
i1=rand()%10;
i2=rand()%10;
i3=rand()%10;
cout<<"Произведение 3 случайных элементов массива составляет: "< return 0;
}
BASIC и Fortran я не знаю, а на АЛГОЛе, пожалуй, писать не буду – и так достаточно, как по-мне. Если что – уже в комментариях по просьбам учащихся.
Разберём чуть более сложную задачу. Итак, вам дана последовательность неотрицательных целых чисел $a_1, dots, a_{n}$. Вычислите
$$
maxlimits_{1 le i neq j le n}a_i cdot a_j , .
$$
Обратите внимание, что $i$ и $j$ должны быть разными, хотя в каких-то случаях можно наблюдать, что $a_i=a_j$.
- Формат ввода: Первая строка содержит целое число $n$. Следующая строка содержит $n$ неотрицательных целых чисел $a_1, dotsc, a_{n}$ (разделены пробелами).
- Формат вывода: Максимальное попарное произведение.
- Ограничения: $2 le n le 2cdot10^5$; $0 le a_1, dots, a_{n} le 2cdot 10^5$.
- Примеры
Пример 1
| Ввод | Вывод |
|---|---|
| 3 1 2 3 |
6 |
Пример 2
| Ввод | Вывод |
|---|---|
| 10 7 5 14 2 8 8 10 1 2 3 |
140 |
Наивный подход
Наивный способ решить задачу Максимальное произведение — перебрать все возможные пары вводных элементов $A[1dotsc n]=[a_1,dotsc, a_n]$ и найти пару, которая даёт наибольшее произведение.
MaxPairwiseProductNaive(A[1..n]):
product = 0
for i from 1 to n
for j from 1 to n
if i != j
if product < A[i] * A[j]
product = A[i] * A[j]
return product
Этот код можно оптимизировать и сократить следующим образом.
MaxPairwiseProductNaive(A[1..n]):
product = 0
for i from 1 to n
for j from i+1 to n
product = max(product, A[i] * A[j])
return product
Реализуйте этот алгоритм, используя ваш любимый язык программирования. Если вы используете C++, Java или Python3, вам могут пригодиться начальные заготовки (для всех задач из книги мы предлагаем стартовые заготовки с использованием этих трёх языков в интерфейсе тестирующей системы).
С другими языками вам понадобится сделать работу с нуля.
Стартовые заготовки решений для C++, Java и Python3 представлены ниже.
C++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
int MaxPairwiseProduct(const std::vector<int>& numbers) {
int max_product = 0;
int n = numbers.size();
for (int first = 0; first < n; ++first) {
for (int second = first + 1; second < n; ++second) {
max_product = std::max(max_product,
numbers[first] * numbers[second]);
}
}
return max_product;
}
int main() {
int n;
std::cin >> n;
std::vector<int> numbers(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
std::cin >> numbers[i];
}
std::cout << MaxPairwiseProduct(numbers) << "n";
return 0;
}
Java
import java.util.*;
import java.io.*;
public class MaxPairwiseProduct {
static int getMaxPairwiseProduct(int[] numbers) {
int max_product = 0;
int n = numbers.length;
for (int first = 0; first < n; ++first) {
for (int second = first + 1; second < n; ++second) {
max_product = Math.max(max_product,
numbers[first] * numbers[second]);
}
}
return max_product;
}
public static void main(String[] args) {
FastScanner scanner = new FastScanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int[] numbers = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
numbers[i] = scanner.nextInt();
}
System.out.println(getMaxPairwiseProduct(numbers));
}
static class FastScanner {
BufferedReader br;
StringTokenizer st;
FastScanner(InputStream stream) {
try {
br = new BufferedReader(new
InputStreamReader(stream));
} catch (Exception e) {
e.printStackTrace();
}
}
String next() {
while (st == null || !st.hasMoreTokens()) {
try {
st = new StringTokenizer(br.readLine());
} catch (IOException e) {
e.printStackTrace();
}
}
return st.nextToken();
}
int nextInt() {
return Integer.parseInt(next());
}
}
}
Python
def max_pairwise_product(numbers):
n = len(numbers)
max_product = 0
for first in range(n):
for second in range(first + 1, n):
max_product = max(max_product,
numbers[first] * numbers[second])
return max_product
if __name__ == '__main__':
_ = int(input())
input_numbers = list(map(int, input().split()))
print(max_pairwise_product(input_numbers))
После проверки вы можете увидеть такое сообщение:
Failed case #4/17: time limit exceeded
Дело в том, что мы проверяем ваше решение на тестовых примерах — это помогает убедиться, что программа работает быстро и без ошибок.
В результате мы, как правило, знаем, какие ошибки вы допустили.
Сообщение выше говорит о том, что предложенная программа превышает ограничение по времени в 4-м тестовом примере из 17.
💡 Остановитесь и подумайте:
Почему решение не укладывается в ограничение по времени?
MaxPairwiseProductNaive выполняет порядка $n^2$ шагов при последовательности длиной $n$.
При максимальном возможном значении $n=2cdot 10^5$ количество шагов будет порядка $4cdot 10^{10}$.
Так как большинство современных компьютеров выполняют около $10^8$–$10^9$ базовых операций в секунду (разумеется, это зависит от компьютера),
выполнение MaxPairwiseProductNaive может занять десятки секунд.
Это превысит временное ограничение задачи.
Нам нужен более быстрый алгоритм!
Быстрый алгоритм
А что если внимательнее рассмотреть более мелкие примеры— скажем, $[5,6,2,7,4]$? Эврика! Достаточно помножить два самых больших элемента массива — $7$ и $6$.
То есть нам достаточно просканировать последовательность лишь дважды. При первом сканировании мы найдем самый большой элемент, затем — второй по величине.
MaxPairwiseProductFast(A[1..n]):
index_1 = 1
for i from 2 to n
if A[i] > A[index_1]
index_1 = i
index_2 = 1
for i from 2 to n
if A[i] != A[index_1] and A[i] > A[index_1]
index_1 = i
return A[index_1] * A[index_2]
Тестирование и отладка
Реализуйте этот алгоритм и протестируйте его на вводе $A=[1,2]$. Как и ожидалось, алгоритм выводит $2$.
Затем проверьте на вводе $A=[2,1]$. На удивление, алгоритм выводит $4$.
Изучив код, вы обнаружите, что после первого цикла $index_1=1$. Далее алгоритм инициализирует $index_2$ значением $1$, и цикл for не обновляет $index_2$.
В результате перед возвратом $index_1=index_2$. Чтобы этого избежать, необходимо изменить псевдокод следующим образом:
MaxPairwiseProductFast(A[1..n]):
index_1 = 1
for i from 2 to n
if A[i] > A[index_1]:
index_1 = i
if index_1 = 1
index_2 = 2
else:
index_2 = 1
for i from 1 to n
if A[i] != A[index_1] and A[i] > A[index_1]
index1 = i
return A[index_1] * A[index_2]
Опробуйте этот код на маленьких наборах данных $[7,4,5,6]$, чтобы убедиться, что он выдает правильные результаты. Затем попробуйте ввод.
2 100000 90000
Может оказаться, что программа выдает что-то вроде $410,065,408$ или даже отрицательное число вместо правильного результата — $9,000,000,000$.
Вероятнее всего, это вызвано целочисленным переполнением. Например, на языке C++ такое большое число, как $9,000,000,000$, не умещается в стандартный тип int, который занимает 4 байта на большинстве компьютеров и варьируется от $-2^{31}$ до $2^{31}-1$ при
$$
2^{31}=2,147,483,648 ,.
$$
Соответственно, вместо использования типа int в C++ при вычислении произведения и сохранении результата вам нужно использовать тип int64_t.
Это предотвратит целочисленное переполнение, так как тип int64_t занимает 8 байтов и хранимые значения варьируются от $-2^{63}$ до $2^{63}-1$ при
$$
2^{63}=9,223,372,036,854,775,808 , .
$$
Затем протестируйте вашу программу с большими наборами данных, например, с массивом $A[1 dotsc 2 cdot 10^5]$, где $A[i]=i$ для всех $1 le i le 2 cdot 10^5$.
Это можно сделать двумя способами:
- Создать массив в программе и передать его
MaxPairwiseProductFast(чтобы не считывать его из стандартного ввода). - Создать отдельную программу, которая запишет такой массив в файл
dataset.txt. Затем передать этот набор данных вашей программе из консоли:
yourprogram < dataset.txt
Убедитесь, что при обработке данных ваша программа укладывается в ограничение по времени и выдаёт верный результат: $39,999,800,000$.
Теперь вы можете быть уверенным, что ваша программа работает!
Однако система оценки снова ругается:
Failed case #5/17: wrong answer
Но как создать такой тестовый сценарий, который приведет к сбою программы и поможет понять, что с ней не так?
А в чём ошибка?
Вероятно, вас интересует, почему мы не предоставили 5-й набор данных из 17 — тот, который привел к сбою программы?
Причина проста: в реальности вам не будут показывать тестовые примеры.
Даже опытные программисты при решении задач с алгоритмами часто совершают ошибки, которые трудно обнаружить.
Поэтому важно научиться находить баги как можно раньше.
Когда авторы этой книги только начинали программировать, они ошибочно полагали, что почти все их программы правильные.
Сейчас же мы знаем, что при первом запуске наши программы почти никогда не верны.
Когда разработчик уверен в работе своей программы, он зачастую использует всего лишь несколько примеров для тестирования.
Если результаты выглядят приемлемо, он считает свою работу законченной — но это путь к катастрофе.
Если вы хотите убедиться, что ваша программа работает всегда, то советуем тщательно подобрать примеры для тестирования.
Реализация алгоритмов, а также их тестирование и отладка будут бесценным навыком для вашей будущей карьеры программиста.
Стресс-тестирование
Представляем вам стресс-тестирование — технику, которая позволяет генерировать тысячи тестовых сценариев. С её помощью можно найти тот, из-за которого провалилось ваше решение.
Стресс-тестирование состоит из четырёх частей:
- Реализация алгоритма.
- Альтернативная, банальная и медленная, но правильная реализация алгоритма для той же самой задачи.
- Генератор случайных тестов.
- Бесконечный цикл, генерирующий тесты и передающий их обоим вариантам реализации для сравнения результатов. Если результаты разнятся, выводятся оба результата и пример для тестирования, а программа останавливается. В ином случае цикл повторяется.
Стресс-тестирование основано на идее, что две правильных реализации
с каждым тестом должны приводить к одному ответу (при условии, что ответ на задачу уникален).
Однако если одна из реализаций неправильна, должен существовать такой тест, который приводит к разным ответам.
Единственный случай, при котором это не так, — когда в обеих реализациях есть одна и та же ошибка.
Но это маловероятно — если ошибка не где-то в программе ввода/вывода, общей для обоих решений.
Действительно, если одно решение правильно, а другое — нет, то существует сценарий тестирования, при котором они различаются.
Если оба решения неверны, но баги отличаются — скорее всего, есть тест, при котором два решения дают разные результаты.
Продемонстрируем стресс-тестирование MaxPairwiseProductFast,
используя
MaxPairwiseProductNaive в качестве тривиальной реализации:
StressTest(N, M):
while true:
n = ... // случайное целое число между 2 и N
// создать массив A[1..n]
for i from 1 to n
A[i] = ... // случайное целое число между 0 и M
print(A[1..n])
result_1 = MaxPairwiseProductNaive(A)
result_2 = MaxPairwiseProductFast(A)
if result_1 = result_2:
print("OK")
else:
print("Wrong answer:", result_1, result_2)
return
Представленный выше цикл while сначала генерирует длину вводной последовательности $n$, случайное число между $2$ и $N$.
Оно должно быть не менее $2$: формулировка задачи гласит, что $n ge 2$.
Параметр $N$ должен быть достаточно маленьким, чтобы позволить нам рассмотреть множество тестов, несмотря на то, что наши решения медленные.
Сгенерировав $n$, мы генерируем массив $A$ с $n$ целыми числами от $0$ до $M$ и выводим его, чтобы по ходу бесконечного цикла мы всегда знали,
какой тест проходит сейчас. Это упростит нахождение ошибок в коде для генерации теста. Затем мы вызываем два алгоритма для $A$ и сравниваем результаты.
Если результаты отличаются, мы их печатаем и останавливаемся. В ином случае мы продолжаем цикл while.
Давайте запустим StressTest(10, 100'000) и скрестим пальцы в надежде, что он выдаст Wrong answer.
Для нас это выглядит как-то так (результат может отличаться на вашем компьютере из-за другого генератора случайных чисел).
... OK 67232 68874 69499 OK 6132 56210 45236 95361 68380 16906 80495 95298 OK 62180 1856 89047 14251 8362 34171 93584 87362 83341 8784 OK 21468 16859 82178 70496 82939 44491 OK 68165 87637 74297 2904 32873 86010 87637 66131 82858 82935 Wrong answer: 7680243769 7537658370
Ура! Мы нашли пример, в котором MaxPairwiseProductNaive и MaxPairwiseProductFast приводят к разным результатам, и теперь можем проверить, что именно пошло не так.
Затем мы отлаживаем это решение через этот пример, находим баг, исправляем его и повторяем стресс-тестирование.
💡 Остановитесь и подумайте:
Видите что-то подозрительное в найденном наборе данных?
Обратите внимание, что генерировать тесты автоматически и проводить стресс-тестирование легко, но находить и исправлять баги — сложно.
Прежде чем углубиться в отладку багов, давайте попробуем сгенерировать тестовый пример поменьше — это упростит нам работу.
Для этого мы поменяем $N$ с 10 на 5 и $M$ с $100,000$ на $9$.
💡 Остановитесь и подумайте:
Почему мы сначала запустили StressTest с большими параметрами $N$ и $M$, а теперь хотим запустить с маленькими?
Затем мы заново начинаем стресс-тестирование и получаем следующее:
... 7 3 6 OK 2 9 3 1 9 2 3 Wrong answer: 81 27
Медленный алгоритм MaxPairwiseProductNaive даёт верный ответ $81$ ( $9 cdot 9 = 81$ ), но быстрый MaxPairwiseProductFast — неверный ($27$).
💡 Остановитесь и подумайте:
Как может выйти, что MaxPairwiseProductFast выдаёт $27$?
Чтобы избавиться от багов в первом решении, давайте проверим, какие два числа он считает наибольшими.
Для этого мы добавим следующую строку перед return в функции MaxPairwiseProductFast:
print(index_1, index_2)
Когда мы снова начинаем стресс-тестирование, мы получаем следующее:
... 7 3 6 OK 2 9 3 1 9 2 3 Wrong answer: 81 27
Обратите внимание, что наши решения работали и давали сбой на одних и тех же примерах тестирования, так как мы ничего не меняли в генераторе тестов.
Он использует псевдослучайные числа при создании тестов вместо действительно случайных.
Это значит, что последовательность выглядит случайной, но она одинакова каждый раз, когда работает программа.
Такое свойство удобно и важно. Советуем вам использовать эту практику, потому что в детерминированных программах (тех, что всегда выдают одинаковый результат при одинаковых вводных данных) легче находить баги, чем в недетерминированных.
Давайте теперь рассмотрим $index_1=2$ и $index_2=3$. Если мы обратим внимание на код для определения второго максимального числа, то заметим неочевидный баг.
Когда мы использовали условие для $i$ (число не должно быть таким же, как предыдущее самое большое), вместо сравнения $i$ и $index_1$ мы сравнили $A[i]$ и $A[index_1]$.
Это означает, что второе максимальное число отличается от первого по значению, а не по индексу элемента, который мы выбрали для решения задачи.
Так, наше решение не работает при любом тесте, в котором второе самое большое число равно первому.
Теперь изменим условие: вместо
A[i] != A[index_1]
мы используем
i != index_1
Проведя стресс-тестирование еще раз, мы видим на экране шквал сообщений OK. Ждём минуту, пока нам не надоест, и заключаем, что MaxPairwiseProductFast наконец-то работает правильно!
Однако не стоит останавливаться на этом, так как вы сгенерировали только очень маленькие тесты с $N=5$ и $M=10$.
Теперь нужно проверить, работает ли наша программа при большем $n$ и бо́льших элементах массива.
Таким образом, мы меняем $N$ на $1,000$ (при большем $N$ примитивное решение будет довольно медленным из-за квадратичного времени выполнения).
Мы также меняем $M$ на $200,000$ и запускаем программу.
Ещё раз наблюдаем, как экран заполняется сообщениями OK. Затем ждём минуту, а потом решаем, что MaxPairwiseProductFast действительно работает верно.
После этого мы сдаём получившееся решение системе оценки и успешно проходим тест!
Как вы можете заметить, даже при решении такой простой задачи как Максимальное попарное произведение сложно избежать
труднораспознаваемых ошибок на этапе проектирования и реализации алгоритма. Приведённый ниже псевдокод — это пример более надежного способа реализации алгоритма.
MaxPairwiseProductFast(A[1..n]):
index = 1
for i from 2 to n
if A[i] > A[index]:
index = i
swap(A[index], A[n]) // поставим наибольшее значение в конец массива
index = 1:
for i from 2 to n - 1
if A[i] > A[index]:
index = i
swap(A[index], A[n - 1]) // поставим второй по величине элемент предпоследним
return A[n - 1] * A[n]
В этой книге вы узнаете, как проектировать и реализовывать алгоритмы так, чтобы минимизировать вероятность ошибок. А заодно научитесь тестировать вашу реализацию.
Ещё более быстрый алгоритм
Алгоритм MaxPairwiseProductFast находит два самых больших числа примерно за $2n$ сравнений.
💡 Остановитесь и подумайте:
Найдите два самых больших элемента в массиве за $1.5n$ сравнений.
Когда вы решите эту задачу, вас ждет ещё более сложное упражнение. Попробуйте с ним справиться!
💡 Остановитесь и подумайте:
Найдите два самых наибольших элемента в массиве за $n + lceil log_2 n rceil – 2$ сравнений.
Если это упражнение показалось вам слишком простым, посмотрите задачи ниже. Они вполне могут оказаться на следующем собеседовании!
✒️ Упражнение:
Докажите, что не существует алгоритма, которому потребуется менее $n + lceil log_2 n rceil – 2$ сравнений, чтобы найти два самых больших элемента массива.
✒️ Упражнение:
Какой алгоритм найдёт три самых больших элемента быстрее всего?
Более компактный алгоритм
Задачу Максимальное попарное произведение можно решить с помощью следующего компактного алгоритма, который использует сортировку (в неубывающем порядке).
MaxPairwiseProductBySorting(A[1..n]):
Sort(A)
return A[n-1]*A[n]
Этот алгоритм делает даже больше, чем нам нужно: вместо того, чтобы найти два самых больших элемента, он сортирует весь массив.
Поэтому его время выполнения $O(nlog n)$, а не $O(n)$. Однако для таких ограничений ($2 le n le 2 cdot 10^5$) он достаточно быстрый, чтобы выполнить задачу за секунду и успешно пройти тесты в нашей систему оценки.
Опубликовано 10.06.2017 по предмету Информатика от Гость
>> <<
Ответ оставил Гость
{заполняем, например, массив в диапазоне [-50.99]}
const
n=10;
var
a:array[1..n]of integer;
i:integer;
s,p:real;
begin
randomize;
p:=1;
for i:=1 to n do
begin
a[i]:=random(100)-50;
write(a[i]:4);
p:=p*a[i] ;
s:=s+a[i];
end;
writeln;
writeln(P = ,p, S= ,s);
end.
Оцени ответ
Подпишись на наш канал в телеграм. Там мы даём ещё больше полезной информации для школьников!
Найти другие ответы
Загрузить картинку
