Как найти производительность работу время работы

гречиху фасуют два дозатора. В один дозатор засыпают (200) кг гречихи, и он расфасовывает крупу в пакеты за (20) мин. В другой засыпают (330) кг, и он расфасовывает крупу за (30) мин. Какой из дозаторов работает быстрее?

Сначала найдём, скорость каждого дозатора.

Эту задачу можно представить в виде таблицы:

Значит, работает быстрее второй дозатор.

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

– введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

– алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

– отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

1. Всю выполненную работа принимаем за единицу.
2. Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁ = 1 ꞉ Т₁).
3. Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
4. Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
5. Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

• Время выполнения всей работы вторым трактористом;
• Общая производительность обоих трактористов;
• Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

2-й способ решения — без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Тема: Работа, производительность,
время.

Цель:
ввести понятия «производительность», «выполненная работа», «время,
затраченное на работу»

Задачи:

v
установить связь между
величинами «производительность», «выполненная  работа», «время, затраченное на
работу» в ходе исследовательской работы учащихся;

v
Познакомить с новым видом
задач на производительность;

v
Развивать навыки умножения
и деления многозначного числа на однозначное;

v
Формировать навыки устных
и письменных вычислений;

v
Воспитывать позитивное
отношение к труду.

Оборудование: учебник, карточки для индивидуальной работы, табличка с пословицей –
эпиграфом урока, карточки для введения в новую тему, песочные часы, таблица,
стикеры – цветочки.

Ход урока

I. Организационный момент.

У.- Начинается урок,

Он пойдёт ребятам впрок,

Постарайтесь всё понять,

Учитесь тайны открывать,

Ответы полные давать,

Чтоб за работу получать

Только лишь отметку «пять»!        

Слово учителя: Какую работу мы можем выполнить на
сегодняшнем уроке математики? Решать задачи, думать над примерами, считать,
записывать условие задачи  и т.д.

– Надо нам сегодня поработать!

– А какие пословицы о труде вы знаете?

·       Не спеши языком, торопись делом.

·       Дело мастера боится.

·       Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

·       Рабочие руки не знают скуки.

– Эпиграфом нашего урока будет пословица. Прочитайте:

.

– Объясните значение
пословицы.

II. Актуализация опорных знаний.

1.Индивидуальная работа. Умножение и деление многозначного числа на
однозначное. Решение примеров на карточках.

 Учащиеся решают примеры и делают проверку. (Взаимопроверка)

Вопросы после проверки:

– Какую работу выполняли? Кто быстрее справился? Почему?

2.Работа с классом.  «Математическая разминка»

– Сколько богатырей у дядьки Черномора?

– Сколько месяцев в году, кроме летних?

– Сколько граммов в 4,5 килограммах?

– Количество букв в названии нашей страны увеличить в 400 раз.

– Мальчик лёг спать в 9 часов вечера, а смог заснуть только через три
часа. Который час показывали часы?

– Количество месяцев зимы увеличьте в 320 раз.

– Умножьте количество букв в детском имени Александра на число слогов в
нём же.

3. Повторение устных приёмов умножения и деления чисел, оканчивающихся
нулями. Игра «Кто быстрей?» (Ответы спрятаны под звездой)

140 · 5 = 700                   45 000 · 2 = 90 000        
700 · 6 = 4200

800 · 9 = 7200                 8 000 : 4 = 2 000             
6 300 : 7 = 900

  – Как решали данные примеры?

4. Математический диктант.

Чему равна сумма 120 и произведения чисел 30 и 5?

Найдите частное чисел 250 и 2.

Увеличьте 460 в 2 раза.

Увеличьте 380 на 200.

Сумма чисел 800, первое слагаемое 320. Найдите второе слагаемое.

Найдите произведение чисел 320 и 3.

Запишите частное чисел 4 800 и 4.

Запишите число, меньшее 1 800 в два раза.

При проверке объяснить способ вычисления.

III. Объяснение нового материала

  1. Подготовка к восприятию нового материала

   – Вот песочные часы, песок высыпается в нижнюю часть за 1 минуту.
Перед вами карточки с заданиями. Сколько заданий вы успеете выполнить за одну
минуту?

– Минута закончилась. Переверните листок, проверьте правильность
решения. Поставьте + или – за решение.

– Сколько заданий за 1 минуту выполнили?

– А сколько бы вы выполнили за 40 минут, если бы решали весь урок
аналогичные задания? (3 · 40 = 120 з., 4 · 40 = 160 з. и т.д.)

 – Что такое 40 минут? (Время выполнения задания)

– Что обозначает число 3? (Количество заданий, выполняемых за

1 минуту)

– А что обозначает число 120? ( Количество заданий, которое можно
выполнить за урок)

2.  «Открытие» детьми нового знания

– Как вы думаете, над чем сегодня предстоит работать? ( Будем
учиться находить время работы, количество заданий, и всю работу)

Учитель:

– В математике существуют понятия: (карточки)

– А как вы понимаете слово «производительность»? (это объём работы,
выполненный за единицу времени)

 – В
случае с заданиями на карточках, что будет являться производительностью труда? 
(количество заданий, которые выполнили за 1 мин.)

– Одинаковой ли была производительность у
каждого из вас? (Разная)

– Когда
умножали производительность своего труда на время 40 мин, что вы получили? (Количество
заданий, которое можем выполнить за весь урок, объём всей работы)

– Почему объём работы оказался разным у разных учеников? (Потому что
разная производительность труда)

         3. Сообщение темы и цели урока. Работа по таблице.

4. Знакомство с единицами измерения производительности.

 – Производительность ткацкого станка 9м/ч. – «Девять метров в час». Это
значит, что за час можно изготовить 9 метров ковра.

ΙV. Первичное закрепление.

1.    
Нахождение
производительности. Задачи

Учащиеся чертят таблицу в тетрадях

А) Бригада посадила 1200 деревьев за 20 дней.

Б) Бассейн вместимостью 18 000 л наполнился через трубу за 6 ч.

В) 360 т кирпича машина перевезла за 60 рейсов.

Г) Мастерская переплела 600 книг за 10 дней.

Д) Комбайн собрал 8000 ц зерна за 10 дней.

Вывод:
Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время,
затраченное на работу

– Глядя в таблицу, скажите, в каких единицах измеряется
производительность?

2. Работа с правилом и формулой нахождения производительности.

Установка на запоминание правила и формулы.

Физминутка

Мы сейчас бревно распилим.

Пилим, пилим, пилим, пилим.

Мы сейчас дрова расколем.

Колем, колем, колем, колем.

Раз-два. Раз-два!

Будут на зиму дрова.

3.  Сравнение задач. Задача «Рабочий в час изготавливает 20
деталей. Сколько деталей он сделает за 6 часов?»

Анализ задачи 1):

– Что нужно узнать в задаче? Сколько деталей изготовит рабочий за 6
часов, т.е. объём выполненной работы

– Что для этого надо знать? Сколько деталей он делает за час и время
работы

– Известно, сколько деталей он делает за час? (производительность 20
деталей в час)

– Известно время, затраченное на работу?  6 часов

– Как найти объём выполненной работы?   

  Решение:  20  ·   6 = 120 деталей

               Ответ: 120 деталей изготовят за 6 часов.

Анализ задачи 2): «Рабочий за 7 часов изготавливает 175 деталей.
Сколько деталей рабочий делает за час?»

– Что известно в задаче? объём выполненной работы – 175 деталей и
время работы – 7 ч

– Что нужно узнать? Производительность

– Как найдёте?

 Решение:  175 : 7 = 25деталей в час

            Ответ: 25 деталей в час изготавливал рабочий.

       Анализ задачи 3): «Рабочий за час изготавливает 23 детали.
Сколько времени он потратил, чтобы изготовить 184 детали?»

– Что нужно узнать в задаче? Время, затраченное на работу

– Что для этого надо знать? Выполненную работу и производительность

– Известен объём работы? Известна производительность?

– Как найти время, затраченное на работу? Выполненную работу
разделить на производительность

      Решение: 184 : 23 = 8 ч

      Ответ: за 8 часов  

– Сравнить задачи.

– Повторить, как найти производительность? Объём выполненной работы?
Время, затраченное на работу?

V. Закрепление пройденного материала.

 Задание повышенной сложности.

– решить задачу при помощи графа.

«Слесарь, штукатур, водитель, маляр, крановщик, токарь и плотник были в
отпуске в разное время. Отпуск маляра был позже отпуска слесаря, отпуск
которого был позже отпуска плотника. Отпуск токаря был раньше отпуска
крановщика, но позже отпуска штукатура. Отпуск водителя был раньше отпуска
плотника, но позже отпуска крановщика. Кто из рабочих был в отпуске раньше, кто
позже?»

Рекомендации к решению.

Изображаем точками названия профессий людей. Учащиеся
анализируют условие задачи. Далее
нужно выбрать одно из отношений «раньше» или «позже». Например,
выбрали отношение «раньше».   Это слово записываем около
рисунка. Читаем задачу снова, заменяя предложение со словом «позже»
предложением со словом «раньше» и показываем это на рисунке с помощью
стрелки: ведем стрелку от одного рабочего к другому, который ушёл в отпуск
раньше.

                                                  
раньше

                                          
Ответ: Раньше всех пошёл в отпуск штукатур, позже всех – маляр.

VI. Рефлексия.

– С какими новыми понятиями познакомились на уроке?

– Какая производительность была у нас на уроке? Скажите одним словом.

– Можете теперь сказать, что всякое умение трудом даётся?