Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Пример:
Решение:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Как находить производную от числа
Задача нахождения производной стоит как перед учениками старших классов школ, так и перед студентами. Для успешного дифференцирования требуется внимательно и аккуратно следовать определенным правилам и алгоритмам.
Вам понадобится
- – таблица производных;
- – правила дифференцирования.
Инструкция
Проанализируйте производную. Если она представляет собой произведение или сумму, разложите по известным правилам. В случае, если одно из слагаемых — число, воспользуйтесь формулами из пунктов 2-5 и 7.
Помните, что производная числа (константы) равна нулю. Производная по определению есть скорость изменения функции, а скорость изменения постоянной величины — нуль. При необходимости это доказывается с помощью определения производной, через пределы — приращение функции равно нулю, а нуль делить на приращение аргумента есть нуль. Следовательно, предел нуля тоже есть нуль.
Не забывайте, что, имея произведение постоянного множителя и переменной, можно вынести константу за знак производной и дифференцировать только оставшуюся функцию: (cU)’=cU’, где «c» – константа; «U» — любая функция.
Имея один из частных случаев производной дроби, когда в числителе вместо функции стоит число, воспользуйтесь формулой: производная равна минус произведению константы на производную знаменателя, деленное на стоящую в знаменателе функцию в квадрате: (c/U)’=(-c·U’)/U2.
Возьмите производную по второму следствию производной дроби: если константа стоит в знаменателе, а в числителе функция, то единица, деленная на константу, всё равно число, потому следует выносить число из-под знака производной и изменять только функцию: (U/c)’=(1/c)·U’.
Отличайте коэффициент перед аргументом («х») и перед функцией (f(x)). Если число стоит перед аргументом, то функция — сложная, и ее необходимо дифференцировать по правилам сложных функций.
Если имеете показательную функцию ах, в этом случае число возводится в степень переменной, и значит, нужно брать производную по формуле: (ах)’=lna·ах. Будьте осторожны и помните, что основанием показательной функции может быть любое положительное число отличное от единицы. Если основание показательной функции — число е, то формула примет вид: (ех)’=ех.
Видео по теме
Источники:
- Таблица производных
- производная числа
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Производная числа
Самый простой ответ можно дать на вопрос “чему равна производная от числа?”.
Снова вспоминаем смысл производной. Она показывает скорость изменения значения функции относительно скорости изменения ее аргумента. (см. смысл производной)
Теперь – “простым языком”.
Например, нам необходимо найти производную числа три.
Визуально, Вы можете представить это не как (3)´=?, а как необходимость найти производную от функции f(x)=3.
То есть при любом изменении аргумента функции (х) значение функции не изменяется.
Какова скорость изменения значения функции в данном случае? Разумеется – нулевая.
Как бы не изменялся аргумент функции, значение функции f(x) = 3 всегда будет равно трем. Изменений не происходит.
То же самое будет для f(x)=4, f(x)=5 и вообще для любой f(x)=c, где c – число.
Откуда:
То есть производная числа равна нулю.
2080.1947
Таблица производных тригонометрических функций |
Описание курса
| Производная дроби
урок 3. Математика ЕГЭ
Как найти производную от функции
Как считать производные?
Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?
Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.
Формулы производной
Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.
Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$
Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$
Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$
Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$
Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$
Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$
Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$
Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$
Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$
Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$
Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$
Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$
Свойства производной
Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.
Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$
Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$
Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$
Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$
Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$
Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$
Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$
Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$
Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$
Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$
Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$
Примеры нахождения производной
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.
Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$
Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$
Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:
-
$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)). -
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))). -
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)). -
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).
Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.
Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$
Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция – это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция – квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$
Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция – это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$
Вывод формул производной функции
Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).
И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) – изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) – разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).
Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:
$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$
Рис.1. График произвольной функции
И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) – это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) – абсцисса конечной точки.
Нам это пригодится при выводе формул производной.
Производная квадратичной функции
Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$
Производная от третьей степени
Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.
Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.
Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной
Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции
Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.
Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.
Наверное, понятие производной знакомо каждому из нас ещё со школы. Обычно у учеников возникают трудности с пониманием этой, несомненно, очень важной вещи. Она активно применяется в различных областях жизни людей, и многие инженерные разработки были основаны именно на математических расчётах, полученных с помощью производной. Но прежде чем перейти к разбору того, что же такое производные чисел, как их вычислять и где они нам пригодятся, окунёмся немного в историю.
История
Понятие производной, являющееся основой математического анализа, было открыто (лучше даже сказать “изобретено”, потому что в природе оно как таковое не существовало) Исааком Ньютоном, которого мы все знаем по открытию закона всемирного тяготения. Именно он впервые применил в физике это понятие для связывания природы скорости и ускорения тел. И многие учёные до сих пор восхваляют Ньютона за это великолепное изобретение, ведь по сути он изобрёл основу дифференциального и интегрального исчисления, фактически основу целой области математики под названием “математический анализ”. Будь в то время Нобелевская премия, Ньютон с большой вероятностью получил бы её несколько раз.
Не обошлось и без других великих умов. Кроме Ньютона над развитием производной и интеграла потрудились такие именитые гении математики, как Леонард Эйлер, Луи Лагранж и Готфрид Лейбниц. Именно благодаря им мы получили теорию дифференциального исчисления в таком виде, в котором она существует по сей день. Кстати, это Лейбниц открыл геометрический смысл производной, которая оказалась ничем иным, как тангенсом угла наклона касательной к графику функции.
Что же такое производные чисел? Немного повторим то, что проходили в школе.
Что такое производная?
Определять это понятие можно несколькими разными способами. Самое простое объяснение: производная – это скорость изменения функции. Представим график какой-нибудь функции y от x. Если это не прямая, то она имеет некоторые изгибы в графике, периоды возрастания и убывания. Если брать какой-нибудь бесконечно малый промежуток этого графика, он будет представлять собой отрезок прямой. Так вот, отношение размера этого бесконечно малого отрезка по координате y к размеру по координате x и будет являться производной данной функции в данной точке. Если рассматривать функцию в целом, а не в конкретной точке, то мы получим функцию производной, то есть некую зависимость игрек от икс.
К тому же кроме физического смысла производной как скорости изменения функции есть ещё и геометрический смысл. О нём мы сейчас и поговорим.
Геометрический смысл
Производные чисел сами по себе представляют собой некое число, которое без должного понимания не несёт никакого смысла. Оказывается, производная не только показывает скорость роста или уменьшения функции, а также тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Не совсем понятное определение. Разберём его поподробнее. Допустим, у нас есть график какой-либо функции (для интереса возьмём кривую). На ней есть бесконечное множество точек, но есть такие области, где только одна единственная точка имеет максимум или минимум. Через любую такую точку можно провести прямую, которая была бы перпендикулярна графику функции в этой точке. Такая линия будет называться касательной. Допустим, мы провели её до пересечения с осью OX. Так вот, полученный между касательной и осью OX угол и будет определяться производной. А точнее, тангенс этого угла будет равняться ей.
Поговорим немного о частных случаях и разберём производные чисел.
Частные случаи
Как мы уже говорили, производные чисел – это значения производной в конкретной точке. Вот например, возьмём функцию y=x2. Производная х – число, а в общем случае – функция, равная 2*x. Если нам необходимо вычислить производную, скажем, в точке x0= 1, то получаем y'(1)=2*1=2. Всё очень просто. Интересный случай представляет производная комплексного числа. Вдаваться в подробное объяснение того, что такое комплексное число, мы не будем. Скажем лишь, что это число, которое содержит в себе так называемую мнимую единицу – число, квадрат которого равен -1. Вычисление такой производной возможно только при наличии следующих условий:
1) Должны существовать частные производные первого порядка от действительной и мнимой части по игрек и по икс.
2) Выполняются условия Коши-Римана, связанные с равенством частных производных, описанных в первом пункте.
Другим интересным случаем, хотя и не таким сложным как предыдущий, является производная отрицательного числа. На самом деле любое отрицательное число можно представить как положительное, умноженное на -1. Ну а производная постоянной и функции равна постоянной, умноженной на производную функции.
Интересно будет узнать о роли производной в повседневной жизни, и именно это сейчас и обсудим.
Применение
Наверное, каждый из нас хоть раз в жизни ловит себя на мысли, что математика вряд ли пригодится ему. А такая сложная штука, как производная, наверное, вообще не имеет применения. На самом деле, математика – фундаментальная наука, и все её плоды развивает в основном физика, химия, астрономия и даже экономика. Производная положила начало математическому анализу, который дал нам возможность делать выводы из графиков функций, и мы научились интерпретировать законы природы и обращать их в свою пользу благодаря ему.
Заключение
Конечно, не каждому, возможно, пригодится производная в реальной жизни. Но математика развивает логику, которая уж точно будет нужна. Не зря ведь математику называют царицей наук: из неё складываются основы понимания других областей знаний.
