Как найти производную 2lnx

bold{mathrm{Basic}} bold{alphabetagamma} bold{mathrm{ABGamma}} bold{sincos} bold{gedivrightarrow} bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} bold{sumspaceintspaceproduct} bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx}
ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square}
left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec
alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu
nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega
A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M
N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega
sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech
arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech
begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge
(square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil
overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset
vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete
int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod
lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x}
(2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5)
(1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1)
mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить}
arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div
arccos cos ln 4 5 6 times
arctan tan log 1 2 3
pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

  • frac{d}{dx}(frac{3x+9}{2-x})

  • frac{d^2}{dx^2}(frac{3x+9}{2-x})

  • (sin^2(theta))”

  • производное:от:f(x)=3-4x^2,::x=5

  • неявная:производная:frac{dy}{dx},:(x-y)^2=x+y-1

  • frac{partial}{partial ypartial x}(sin (x^2y^2))

  • frac{partial }{partial x}(sin (x^2y^2))

  • Показать больше

Описание

Поэтапное дифференцирование функций

derivative-calculator

frac{d}{dx}left(2lnxright)

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

  • High School Math Solutions – Derivative Calculator, the Chain Rule

    In the previous posts we covered the basic derivative rules, trigonometric functions, logarithms and exponents…

    Read More

  • Введите Задачу

    Сохранить в блокнот!

    Войти

    Данный онлайн калькулятор вычисляет производную функции. Программа не только вычисляет ответ, она производит пошаговое решение. Выбирается порядок дифференцирования.
    Как пользоваться калькулятором для нахождения производных онлайн:
    1. Введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции: + сложение, –
    вычитание, / деление, * умножение, ^ – возведение в степень, а также математические функции.
    2. Выберите порядок дифференцирования (решения производных от первого до пятого порядка включительно).
    3. Нажмите кнопку – Вычислить производную.
    4. Через несколько секунд внизу отобразится пошаговое решение производной с подробными комментариями.

    При помощи нашего калькулятора вы можете найти производную онлайн как от элементарной функции, так и от сложной, не имеющей решения в аналитическом виде.
    Калькулятор поможет найти производную функции онлайн.
    Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

    Основные функции

    left(a=operatorname{const} right)

    • x^{a}: x^a

    модуль x: abs(x)

    Производные

    Для того, чтобы найти производную функции f(x)
    нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется
    найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В
    том случае, если Вам требуется найти частную производную функции f(x,y,z,...,t) напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где j
    — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по
    некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j,
    n}, где j означает тоже, что и Выше.

    Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение
    производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу
    выдаваемого ей ответа.

    Примеры
    • x*E^x, x;
    • x^3*E^x, {x,17};
    • x^3*y^2*Sin[x+y], x;
    • x^3*y^2*Sin[x+y], y,
    • x/(x+y^4), {x,6}.

    Производная по-шагам

    Примеры производных

    • Производные от степенных функций
    • x^7/10
    • (x^2 - 1)/(x^a - 5)
    • Производные от сложных функций
    • sin(ln(x))
    • ln(sin(x))
    • Производные от показательных функций
    • e^(-x^2)
    • Производные от логарифмов
    • 1-log(x-5)
    • ln(a*x) / ln(x^3)
    • Производные от обратных тригонометрических функций
    • arcsin(1-x)
    • arctan(a*x + b)
    • Производная неявной функции
    • e^y/x = x*y + 1
    • Частная производная функции
    • x^2*sin(-y) + y/x
    • x*y*cos(z)

    Подробнее про Производная функции.

    Указанные выше примеры содержат также:

    • модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
    • квадратные корни sqrt(x),
      кубические корни cbrt(x)
    • тригонометрические функции:
      синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
    • показательные функции и экспоненты exp(x)
    • обратные тригонометрические функции:
      арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
      арккотангенс acot(x)
    • натуральные логарифмы ln(x),
      десятичные логарифмы log(x)
    • гиперболические функции:
      гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
      гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
    • обратные гиперболические функции:
      гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
      гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
    • другие тригонометрические и гиперболические функции:
      секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
      арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
      гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
      гиперболический арккосеканс acsch(x)
    • функции округления:
      в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
    • знак числа:
      sign(x)
    • для теории вероятности:
      функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
      функция Лапласа laplace(x)
    • Факториал от x:
      x! или factorial(x)
    • Гамма-функция gamma(x)
    • Функция Ламберта LambertW(x)
    • Тригонометрические интегралы: Si(x),
      Ci(x),
      Shi(x),
      Chi(x)

    Правила ввода

    Можно делать следующие операции

    2*x
    – умножение
    3/x
    – деление
    x^2
    – возведение в квадрат
    x^3
    – возведение в куб
    x^5
    – возведение в степень
    x + 7
    – сложение
    x – 6
    – вычитание
    Действительные числа
    вводить в виде 7.5, не 7,5

    Постоянные

    pi
    – число Пи
    e
    – основание натурального логарифма
    i
    – комплексное число
    oo
    – символ бесконечности

    Найдем производную функции f(x)=ln⁡xf(x)= ln x и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

    Производная функции f(x)= ln x

    Как известно, производной функции f(x)f(x), определенной в точке x0x_0 и в некотором интервале, содержащем x0x_0, называют предел следующего вида:

    f′(x0)=dfdx∣x=x0=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^{‘}(x_0)=dfrac{df}{dx}Bigr|_{x=x_0}=limlimits_{Delta x to 0}dfrac{ f(x_0+ Delta x)-f(x_0 )}{ Delta x}

    если только такой предел существует.

    Таким образом, для вычисления производной функции f(x)f(x) необходимо последовательно:

    1. Записать выражение для приращения функции:

    Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Delta f(x_0 )=f(x_0+Delta x)-f(x_0 )

    1. Упростить, по возможности, дробь

    Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}=dfrac {f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}

    1. Вычислить предел дроби при Δx→0Delta x to 0 и записать полученное выражение для производной.

    Применим этот алгоритм к вычислению производной натурального логарифма:

    1. Записываем приращение функции:

    Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)=ln⁡(x0+Δx)−ln⁡x0=ln⁡x0+Δxx0Delta f(x_0)= f(x_0+Delta x)-f(x_0)= ln (x_0+Delta x)-ln {x_0}=ln dfrac { x_0+Delta x }{ x_0}

    1. Получаем дробь:

    Δf(x0)Δx=1Δx⋅ln⁡x0+Δxx0=ln⁡(1+Δxx0)1Δx=1x0ln⁡(1+1×0/Δx)x0Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}= dfrac {1}{Delta x} cdot ln {dfrac {x_0+Delta x }{ x_0}}=ln {Bigl( 1+dfrac {Delta x }{ x_0} Bigr)}^ {dfrac {1}{Delta x}}=dfrac {1}{x_0} ln {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}

    1. Вычисляем производную:

    f′(x0)=lim⁡Δx→0(1x0ln⁡(1+1×0/Δx)x0Δx)=1×0⋅lim⁡Δx→0ln⁡(1+1×0/Δx)x0Δx=1×0⋅ln⁡lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δxf'(x_0 )=limlimits_{Delta x to 0} Bigl( dfrac {1}{ x_0} ln {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}Bigr) =dfrac {1}{ x_0} cdot limlimits_{Delta x to 0} ln {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}=dfrac {1}{ x_0} cdot ln limlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}

    Для вычисления предела

    lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δxlimlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}

    обозначим:

    x0Δx=ndfrac {x_0}{ Delta x }=n

    Учитывая, что n→∞ntoinfty при условии, что Δx→0Delta x to 0, получаем:

    lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δx=lim⁡n→∞(1+1n)nlimlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}=limlimits_{ntoinfty } {Bigl( 1+dfrac {1 }{n} Bigr)}^{ n}

    Полученный предел является одним из представлений экспоненты, числа e≈2,71828e≈2, 71828 (число Непера или число Эйлера):

    e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=limlimits_{ntoinfty } {Bigl( 1+dfrac {1 }{n} Bigr)}^{ n}

    Тогда, искомая производная равна:

    f′(x0)=1×0⋅ln⁡lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δx=1×0⋅ln⁡e=1x0f'(x_0) =dfrac {1}{ x_0} cdot ln limlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}=dfrac {1}{ x_0}cdot ln e=dfrac {1}{ x_0}

    Таким образом:

    f′(x)=(ln⁡x)′=1xf'(x)=(ln x) ‘=dfrac {1}{ x}

    Некоторые свойства и практические примеры

    1. Приведем правило для нахождения производной обратной функции.

    Пусть дана функция y=f(x)y=f(x), в которой переменная x является аргументом. Полагая теперь аргументом переменную y, получим функцию в виде x=g(y)x=g(y).

    Очевидно, что f(g(y))=yf(g(y))=y или f(g(x))=xf(g(x))=x. Такую функцию g(x)g(x) называют обратной для f(x)f(x). Производную обратной функции можно найти по правилу:

    yx′=dydx=1dxdy=1xy′y_x’=dfrac {dy}{dx}=dfrac {1}{dfrac {dx}{dy}}=dfrac {1}{x_y’}

    Пример 1

    Используя правило для обратной функции найти производную функции f(x)=ln⁡x.f(x)= ln{x}.

    Решение

    Заметим, что обратной для логарифмической функции ln⁡xln{x} является показательная функция exe^x. Действительно:

    f(g(x))=ln⁡ex=xf(g(x)) = ln {e^x} = x

    Воспользуемся далее формулой для производной экспоненты:

    (ex)′=ex(e^{x})^{‘}=e^{x}

    Получаем:

    yx′=(ln⁡x)′=1(ey)y′=1ey=1eln⁡x=1xy_x’ = (ln {x})’ = dfrac {1}{(e^{y})^{‘}_y}= dfrac {1}{e^y}= dfrac {1}{e^{ln x}}= dfrac {1}{x}

    Как и следовало ожидать, результат совпадает с полученным ранее.

    1. Угол наклона αalpha касательной к графику функции y=ln⁡xy= ln {x} в точке x=x0x=x_0 определяется соотношением:

    tg⁡α=y′(x0)=1x0tg alpha =y^{‘} (x_0 )= dfrac {1}{x_0}

    Здесь угол αalpha это угол между касательной и осью OxOx отсчитываемый от положительного направления OxOx против часовой стрелки.

    Производная функции f(x)=ln⁡xf(x)= ln {x} в точке x0=1x_0=1 равна 11:

    f′(x0)=(ln⁡x)x0=1′=11=1f’ (x_0 ) = (ln {x})_{x_0=1}^{‘}=dfrac {1}{1}=1

    Это означает, что касательная к графику в точке M(1;0),(x0=1,y0=ln⁡1=0)M(1;0), (x_0=1, y_0=ln {1} = 0) составляют с осью OxOx угол 45°(tg⁡45°=1)45° (tg {45°}=1)

    Производная натурального логарифма.png

    1. Производная сложной функции y=ln⁡g(x)y=ln {g(x)} согласно правил дифференцирования, равна:

    y′=g′(x)1g(x)y’=g'(x) dfrac {1}{g(x)}

    1. Производная сложной функции y=u(v)y=u(v), где v=ln⁡xv= ln {x} равна:

    y′=uv′⋅v′=uv′⋅1xy’=u’_v cdot v’=u’_v cdot dfrac {1}{x}

    Пример 2

    Найти производную функции f(x)=ln⁡(x2+2x)f(x)=ln {(x^2+2x)}

    Решение

    f′(x)=(ln⁡(x2+2x))′=(x2+2x)′⋅1×2+2x=2x+2×2+2xf'(x)=(ln {(x^2+2x)})’=(x^2+2x)’ cdot dfrac {1}{x^2+2x}=dfrac {2x+2}{x^2+2x}

    Пример 3

    Найти производную функции

    f(x)=sin⁡(ln⁡2x)f(x)= sin {(ln {2x})}

    Решение

    Полагаем ln⁡2x=vln {2x}=v

    Тогда:

    f′(x)=(sin⁡v)v′⋅v′=cos⁡v⋅(ln⁡2x)′=cos⁡(ln⁡2x)⋅(2x)′⋅12x=cos⁡(ln⁡2x)xf'(x)=(sin {v})’_v cdot v’ = cos {v} cdot (ln {2x})’ =cos{(ln {2x})} cdot (2x)’ cdot dfrac {1} {2x} = dfrac {cos(ln{2x})} {x}

    Тест по теме «Производная натурального логарифма»

    Онлайн калькулятор. Вычисление производных.

    Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам. Универсальный калькулятор дробей, упростить выражения, решить уравнения, пределы, интегралы, производные, действия с комплексными числами

    Также универсальный калькулятор умеет вычислять производные любого порядка (дифференцирование).

    Онлайн калькулятор производных



    Перенос?

    f”left(log left(frac{1-x^2}{1+x^2}right)right)

    $$textbf{Вычисление производной 2-го порядка:} newline f”(x) = {{2xleft(-{{2x}over{x^2+1}}-{{2xleft(1-x^2right)}over{left(x^2+1right)^2}}right)}over{1-x^2}}+{{2xleft(x^2+1right)left(-{{2x}over{x^2+1}}-{{2xleft(1-x^2right)}over{left(x^2+1right)^2}}right)}over{left(1-x^2right)^2}}+{{left(x^2+1right)left(-{{2}over{x^2+1}}+{{8x^2}over{left(x^2+1right)^2}}-{{2left(1-x^2right)}over{left(x^2+1right)^2}}+{{8x^2left(1-x^2right)}over{left(x^2+1right)^3}}right)}over{1-x^2}} =newline -{{4left(3x^4+1right)}over{left(x-1right)^2left(x+1right)^2left(x^2+1right)^2}} =newline -{{12x^4+4}over{x^8-2x^4+1}}$$

    Пояснения к калькулятору

    1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку .
    2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками и .
    3. – удалить в поле ввода символ слева от курсора.
    4. C – очистить поле ввода.
    5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
    6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши и ввести число.
    7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей .

    Вычисление производных

    Математический калькулятор может дифференцировать функции (нахождение производной) произвольного порядка в точке “x”. Ввод производной в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:
    f'(x) – производная первого порядка;
    f”(x) – производная второго порядка;
    f”'(x) – производная третьего порядка.
    fn(x) – производная любого n-о порядка.


    Добавить комментарий