Как найти производную экспоненты в степени

Производная экспоненты

Определение

Производная экспоненты равна самой же себе: $$ (e^x)’ = e^x $$

Если вместо $ x $ в экспоненте стоит сложная функция, то тогда производная экспоненты сложной функции находится по формуле: $$ (e^{f(x)})’ = e^{f(x)} cdot (f(x))’ = e^{f(x)} cdot f'(x) $$

То есть оставляем изначальную функцию неизменной и умножаем на производную степени, стоящей в экспоненте.

Примеры решения

Пример 1

Найти производную экпоненты в степени $ 2x $: $$ y = e^{2x} $$

Решение

Так как дана сложная функция, то находим производную по правилу: $$ (e^{f(x)})’ = e^{f(x)} cdot $$(x))’ = e^{f(x)} cdot f'(x) $$ Для этого считаем $ f(x) = 2x $ и $ f'(x) = (2x)’ = 2 $. Подставляем всё в формулу: $$ y’=(e^{2x})’ = e^{2x} cdot (2x)’ = e^{2x} cdot 2 = 2e^{2x} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 2e^{2x} $$

Пример 2

Найти производную экспоненты сложной функции: $$ y = cos e^x $$

Решение

Такая функция является сложной и взять от неё производную нужно по соответствующему правилу: $$ y’ = ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$ Записываем: $$ y’ = (cos e^x)’ = -sin e^x cdot (e^x)’ = -sin e^x cdot e^x = -e^x sin e^x $$

Ответ

$$ y’ = -e^x sin e^x $$

Обратите внимание на то, что экспонента является единственной функцией на которую не оказывает влияния производная!

Основные понятия

Прежде чем разобрать вопрос о производной от экспоненты в степени $x$, напомним определения

1. функции;
2. предела последовательности;
3. производной;
4. экспоненты.

Это необходимо для ясного понимания производной от экспоненты в степени $x$.

Возьмём $y=f(x)$, где $x$ и $y$ являются переменными величинами. Здесь $x$ называется аргументом, а $y$ – функцией. Аргумент может принимать произвольные значения. В свою очередь, переменная $y$ изменяется по определённому закону в зависимости от аргумента. То есть аргумент $x$ – это независимая переменная, а функция $y$ – это зависимая переменная. Любому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

Если каждому натуральному числу $n=1, 2, 3, …$ поставить в соответствие в силу некоторого закона число $x_n$, то говорят, что определена последовательность чисел $x_1,x_2,…,x_n$. Иначе такая последовательность записывается как ${x_n}$. Все числа $x_n$ называют членами или элементами последовательности.

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называется следующий предел:

$limlimits_{xto x_0}frac{f(x) – f(x_o)}{x-x_o}$. Он обозначается $f'(x_0)$.

Число $e$ равно следующему пределу:

$e=limlimits_{xtoinfty} (1+frac{1}{n})approx2,718281828459045…$

В данном пределе $n$ это натуральное или действительное число.

Владея понятиями о пределе, производной и экспоненте, можем приступить к доказательству формулы $(e^x)’=e^x$.

«Производная от экспоненты в степени х» 👇

Вывод производной от экспоненты в степени $x$

Имеем $e^x$, где $x: -infty

$y’=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^{x+Delta x}-e^x}{Delta x}$.

По свойству экспоненты $e^{a+bx}=e^a*e^b$ можем преобразовать числитель предела:

$e^{x+Delta x}-e^x = e^x*e^{Delta x}-e^x = e^x(e^{Delta x}-1)$.

То есть $y’=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^{x+Delta x}-e^x}{Delta x}=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^x(e^{Delta x}-1)}{Delta x}$.

Обозначим $t=e^{Delta x}-1$. Получим $e^{Delta x}=t+1$, а по свойству логарифма выходит, что $Delta x = ln(t+1)$.

Так как экспонента непрерывна, имеем $limlimits_{Delta xto 0} e^{Delta x}=e^0=1.$ Поэтому если $Delta xto 0$, то и $t to 0$.

В результате покажем преобразование:

$y’=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^{Delta x}-1}{Delta x}=e^xlimlimits_{tto 0}frac{t}{ln(t+1)}$.

Обозначим $n=frac {1}{t}$, тогда $t=frac{1}{n}$. Получается, что если $tto 0$, то $ntoinfty$.

Преобразуем наш предел:

$y’=e^xlimlimits_{tto 0}frac{t}{ln(t+1)}=e^xlimlimits_{ntoinfty}frac{1}{ncdot ln(frac{1}{n}+1)^n}$.

По свойству логарифма $bcdot ln c=ln c^b$ имеем

$ncdot ln (frac{1}{n}+1)=ln(frac{1}{n}+1)^n=ln(1+frac{1}{n})^n$.

Предел преобразуется следующим образом:

$y’=e^xlimlimits_{ntoinfty}frac{1}{ncdot ln(frac{1}{n}+1)} = e^xlimlimits_{ntoinfty}frac{1}{ln(frac{1}{n}+1)^n}= e^xfrac{1}{limlimits_{ntoinfty} ln(frac{1}{n}+1)^n}$.

Согласно свойству непрерывности логарифма и свойства пределов для непрерывной функции: $limlimits_{xto x_0}ln(f(x))=ln(limlimits_f(x))$, где $f(x)$ имеет положительный предел $limlimits_{xto x_0}f(x)$. Итак, в связи с тем, что логарифм непрерывен и существует положительный предел $limlimits_{ntoinfty}(frac{1}{n}+1)^n$, то можем вывести:

$limlimits_{ntoinfty}ln(1+frac{1}{n})^n=lnlimlimits_{ntoinfty}ln(1+frac{1}{n})^n=ln e=1$.

Воспользуемся значением второго замечательного предела $limlimits_{ntoinfty}(1+frac{1}{n})^n=e$. Получаем:

$y’= e^xfrac{1}{limlimits_{ntoinfty} ln(frac{1}{n}+1)^n} = e^xcdotfrac{1}{ln e} = e^xcdotfrac{1}{1}=e^x$.

Таким образом, мы вывели формулу производной экспоненты и можем утверждать, что производная от экспоненты в степени $x$ эквивалентна экспоненте в степени $x$:

$(e^x)’=e^x$.

Существуют также другие способы вывода этой формулы с использованием другим формул и правил.

Таким образом, мы вывели формулу $(e^x)’=e^x$, при этом дав определения основным понятиям, разобрали пример нахождения производной функции с экспонентой в качестве одного из слагаемых.

Производная экспоненциальной функции

Экспонентой называют показательную функцию со степенным основанием, которое соответствует значению е, то есть такому пределу: (е=limlimits_{nto infty} (1+frac{1}{n})^{n} = 2,718281828459045…) 

В данном случае n допустимо взять из множества натуральных или действительных чисел.

((е^{х})’ = е^{х})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Вывод производной от экспоненты в степени x

Запишем условия для проведения доказательств: (e^x) с условием, что (x = (-infty; +infty)). При этом:

(y’=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^{x+Delta x}-e^x}{Delta x})

Обратимся к особому свойству, характерному для экспоненты:

(e^{a+bx}=e^a cdot e^b)

Заметим, что в данном случае имеется возможность для преобразования числителя в пределе:

(e^{x+Delta x}-e^x = e^x*e^{Delta x}-e^x = e^x(e^{Delta x}-1))

Таким образом:

(y’=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^{x+Delta x}-e^x}{Delta x}=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^x(e^{Delta x}-1)}{Delta x})

Целесообразно ввести следующее обозначение:

(t=e^{Delta x}-1)

В результате запишем такое выражение:

(е^{Delta x}=t+1)

В логарифмическом свойстве говорится о том, что:

(Delta x = ln(t+1))

Заметим, что в данном случае экспонента не прерывается. По этому условию сделаем следующий вывод:

(limlimits_{Delta xto 0} e^{Delta x}=e^0=1)

В том случае, когда (Delta x) стремится к нулевому значению, будет корректно записать, что t стремится к нулевому значению. Выполним необходимые вычисления:

(y’=limlimits_{Delta xto 0} frac{e^{Delta x}-1}{Delta x}=e^xlimlimits_{tto 0}frac{t}{ln(t+1)})

Введем следующее обозначение:

(n=frac {1}{t})

В результате получим, что:

(t=frac{1}{n})

Если выполняется условие, при котором t стремится к нулевому значению, то n будет стремиться к бесконечности. Выполним соответствующие преобразования предела:

(y’=e^xlimlimits_{tto 0}frac{t}{ln(t+1)}=e^xlimlimits_{ntoinfty}frac{1}{ncdot ln(frac{1}{n}+1)^n})

Обратимся вновь к логарифмическому свойству:

(bcdot ln c=ln c^b)

В результате получим, что:

(ncdot ln (frac{1}{n}+1)=ln(frac{1}{n}+1)^n=ln(1+frac{1}{n})^n)

Целесообразно переписать предел таким способом:

(y’=e^xlimlimits_{ntoinfty}frac{1}{ncdot ln(frac{1}{n}+1)} = e^xlimlimits_{ntoinfty}frac{1}{ln(frac{1}{n}+1)^n}= e^xfrac{1}{limlimits_{ntoinfty} ln(frac{1}{n}+1)^n})

Заметим, что в данном случае можно применить свойство непрерывности логарифма и свойство, характерное для пределов, когда функция не прерывается. В итоге получим:

(limlimits_{xto x_0}ln(f(x))=ln(limlimits_f(x)))

Заметим, что функция f(x) обладает пределом со знаком плюс.

(limlimits_{xto x_0}f(x))

Непрерывный логарифм и существование предела со знаком плюс, то есть:

( limlimits_{ntoinfty}(frac{1}{n}+1)^n)

дают нам право заключить следующее:

(limlimits_{ntoinfty}ln(1+frac{1}{n})^n=lnlimlimits_{ntoinfty}ln(1+frac{1}{n})^n=ln e=1)

В этой ситуации целесообразно оперировать значением, которое имеет второй замечательный предел:

(limlimits_{ntoinfty}(1+frac{1}{n})^n=e)

В результате:

(y’= e^xfrac{1}{limlimits_{ntoinfty} ln(frac{1}{n}+1)^n} = e^xcdotfrac{1}{ln e} = e^xcdotfrac{1}{1}=e^x)

Получилось доказать справедливость исходного равенства:

((e^x)’=e^x)

Графики экспоненциальных функций

Источник: mathprofi.ru

Примеры решения задач

Решение

Воспользуемся рассмотренным ранее правилом. Получим, что необходимая производная вычисляется таким образом:

(y^{prime}(x)=left(e^{2 x}right)^{prime})

Заметим, что в данном случае экспонента обладает степенью, записанной в виде сложной функции. Тогда целесообразно выполнить умножение производной от экспоненты на производную от степени. В итоге получим:

(y^{prime}(x)=e^{2 x} cdot(2 x)^{prime})

Достаточно просто продолжить вычисления, если избавиться от постоянной в знаке производной. Перенесем ее таким способом:

(y^{prime}(x)=e^{2 x} cdot 2 cdot(x)^{prime}=2 e^{2 x} cdot 1=2 e^{2 x})

Ответ: (y^{prime}(x)=2 e^{2 x})y

Решение

Воспользуемся уже знакомым алгоритмом расчетов и произведем необходимые вычисления для поиска требуемой производной:

(y^{prime}(x)=left(2 e^{x}right)^{prime})

Заметим, что в данном случае допустимо избавиться от постоянной путем ее переноса за знак производной. Выполним необходимые преобразования и запишем готовый ответ к заданию:

(y^{prime}(x)=2 cdotleft(e^{x}right)^{prime}=2 cdot e^{x}=2 e^{x})

Ответ: (y^{prime}(x)=2 e^{x}).

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления производной экспоненты

Формула

Производная от экспоненты равна этой же экспоненте.

Заметим, что если степень экспоненты есть сложная функция, то
при нахождении производной экспоненту надо еще умножить на производную степени, то есть

$$left(e^{u}right)^{prime}=e^{u} cdot u^{prime}$$

Примеры вычисления производной экспоненты

Читать дальше: производная показательной функции (a^x)’.