Как найти производную если угол тупой - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку А с абсциссой x_0 . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN:

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

y=kx+b .

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции $y=f{left( x_0 right)}$ . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция $f{left( x_0 right)}$ возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол alpha с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол beta с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции y=f(x ). Найдите количество решений уравнения )=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции равна нулю в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции y=f(x ). Сколько точек максимума имеет функция y=f(x ) на отрезке [-1; 5] ? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке [-1; 5] на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

В точке x_0 функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол beta с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла alpha , смежного с углом beta .

$alpha +beta =180{}^circ.$

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке В какой точке отрезка [1; 5] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, x=1,5 – точка минимума функции f(x).

Поэтому и свое наименьшее значение функция принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график {y=f} — производной функции В какой точке отрезка [1; 5] функция принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, x=3 – точка минимума функции f(x).

Кстати, вид графика функции f(x) определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график {y=f} производной непрерывной функции y=f(x). В какой точке отрезка функция y=f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке расположена точка x=-2,5, в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что x=-2,5 — точка максимума функции f(x) на отрезке и наибольшее значение функция f(x) принимает именно в этой точке.

Ответ: – 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция y=f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке.

y=kx+b – касательная к f(x).

В точке x_0 производная отрицательная, т.к. функция f(x) — убывает в этой точке.

alpha — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол alpha — тупой, а смежный с ним угол varphi — острый.

$tgalpha =-tgvarphi =-displaystyle frac{3}{8}=-0,375.$

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

где alpha — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой x_0.

Для точки А:

Для точки В:

Отношение производных:

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая y=kx+b касается графика функции y=f(x) в точке x_0. Тогда для точки x_0 выполняются условия касания:

$left{ begin{array}{c}f(x)=kx+b \f$

Первое уравнение показывает, что значения функций y=f(x) и y=kx+b в точке x_0 равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции f(x) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая y=7x+b касается графика функции причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

$left{ begin{array}{c}f(x)=kx+b \f$

$left{ begin{array}{c}2x^3-x^2+3x-4=7x+b \6x^2-2x+3=7 end{array}right. .$

Начнем со второго уравнения:

$D=b^2-4ac=4+4cdot 6cdot 4=4cdot 25={10}^2;$

$x_{1,2}=displaystyle frac{-bpm sqrt{D}}{2a}=displaystyle frac{2pm 10}{12};$

$x_1=1; x_2=-displaystyle frac{2}{3}.$

Т.к. то x_0=1.

Найдем подставив x_0 в первое уравнение:

отсюда

b=-7.

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем v_1 = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля v_2 = 40 км/ч, для третьего v_3 = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени t_0, и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент t_0.

$v_{x }(t_0) = tg alpha .$

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Производная функции. Геометрический смысл производной» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Геометрический смысл производной функции

Геометрический смысл производной заключается в следующем утверждении:

Если функция дифференцируема в точке , то производная функции в этой точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке (или тангенсу угла наклона).

Если угол острый, то тангенс угла наклона (и, соответственно, значение производной в точке, и угловой коэффициент) положителен.

Если угол тупой, то тангенс угла наклона (и, соответственно, значение производной в точке, и угловой коэффициент) отрицателен.

Если угол равен нулю (касательная в этом случае расположена горизонтально, то есть, параллельна оси абсцисс), тангенс угла наклона и угловой коэффициент прямой тоже нулевые.

Угловой коэффициент касательной можно вычислить по формуле Лагранжа:

Этой формулой удобно пользоваться, если на касательной даны две точки с известными координатами, либо можно самим взять какие-либо две удобные точки, координаты которых точно можно найти по графику.

Интересная статья? Поделитесь ею пожалуйста с другими:

Источник

Взаимосвязи графика функции и графика ее производной

Приближенное и точное определение производной функции

Приближенным значением производной функции в точке $x_{0}$ со сдвигом 0,01 называется значение

$f’left(x_0right)approx frac{fleft(x_0+0,01right)-fleft(x_0right)}{left(x_0+0,01right)-left(x_0right)}$ $f’left(aright)approx frac{fleft(a+hright)-fleft(aright)}{left(a+hright)-left(aright)}$ Точное: $f’left(aright)=lim frac{fleft(a+hright)-fleft(aright)}{left(a+hright)-left(aright)}$ при $lim h=0$

Производная в точке – это отношение: (приращение самой функции) / (малое приращение аргумента в этой точке).
Физический смысл – производная функции показывает скорость изменения функции: роста или убывания функции.
Геометрический смысл – производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к ее графику.

Пример 1: Дана функция $fleft(xright)=x^3-3x+2$ . Вычислить приближенное производную $f’left(x_0right)$

в точке $x_0=1,2$ со сдвигом $h=0,2$ ? $Rightarrow$ $f’left(1,2right)approx frac{bigtriangleup fleft(xright)}{bigtriangleup x}approx frac{fleft(1,2+0,2right)-fleft(1,2right)}{1,4-1,2}=frac{1,4^3-3cdot 1,4+2-left(1,2^3-3cdot 1,2+2right)}{0,2}=1,555$
В реальности мы получили тангенс угла наклона секущей, проходящей в точках графика $left(1,2;fleft(1,2right)right)$ и $left(1,4;fleft(1,4right)right)$
в точке $x_0=0,5$ со сдвигом $h=0,0001$ ? $Rightarrow$ $f’left(0,4right)approx frac{fleft(0,4+hright)-fleft(0,4right)}{left(0,4+hright)-0,4}=frac{left(0,4+hright)^3-3cdot left(0,4+hright)+2-left(0,4^3-3cdot 0,4+2right)}{h}=frac{left(0,4+hright)^3-0,4^3}{h}-frac{3cdot left(0,4+hright)-3cdot 0,4}{h}=frac{0,4^3+3cdot 0,4^2cdot h+3cdot 0,4h^2+h^3-0,4^3}{h}-3=left(3cdot 0,4^2-3right)+hcdot left(3cdot 0,4+hright)approx 2,5201$
точное производное $f’left(0,4right)=3cdot 0,4^2-3=2,52$ при $hsim 0$ !
в точке $x_0=0,5$ со сдвигом $h=0,0001$ ? $Rightarrow$ $f’left(0,4right)approx frac{fleft(0,4+hright)-fleft(0,4right)}{left(0,4+hright)-0,4}=frac{left(0,4+hright)^3-3cdot left(0,4+hright)+2-left(0,4^3-3cdot 0,4+2right)}{h}=frac{left(0,4+hright)^3-0,4^3}{h}-frac{3cdot left(0,4+hright)-3cdot 0,4}{h}=frac{0,4^3+3cdot 0,4^2cdot h+3cdot 0,4h^2+h^3-0,4^3}{h}-3=left(3cdot 0,4^2-3right)+hcdot left(3cdot 0,4+hright)approx 2,5201$
точное производное $f’left(0,4right)=3cdot 0,4^2-3=2,52$ при $hsim 0$ !
$f’left(-0,6right)$ “На глаз по графику” ? $Rightarrow$ значения $fleft(-0,6right)approx 3,6$ и в сдвинутой $fleft(-0,4right)approx 3,1$. скорость изменения, наклон $f’left(-0,6right)approx frac{fleft(-0,4right)-fleft(-0,6right)}{-0,4-left(-0,6right)}approx frac{3,1-3,6}{0,2}=-2,5$

Секущая графика функции – прямая, проходящая в точках графика $left(x_1;fleft(x_1right)right) и left(x_2;fleft(x_2right)right)$.
Наклон секущей – тангенс угла наклона секущей к х – оси, равен $tg s=frac{fleft(x_2right)-fleft(x_1right)}{x_2-x_1}$.
Касательной к графику в точке х = а – предел секущих в точках $left(a;fleft(aright)right) и left(a+h;fleft(a+hright)right)$ при h стремящемся к нулю.
Наклон касательной – тангенс угла $k=frac{fleft(x+0,000001right)-fleft(xright)}{x+0,000001-x}$ . Точнее, “примерно равен”. Точнее: при малом h !.
….еще точнее “в пределе равен”. lim $frac{fleft(a+hright)-fleft(aright)}{h}$. Точка (a+h; f(a+h)) сближается с точкой (a; f(a)) при малом h !.
Производная f'(a) равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции f в точке (a, f(a)).

Пример 2: По графику функции найти производную – наклон касательной в указанной точке.

Смотрим на касательную в точке х = 3. Для нахождения тангенса наклона надо “увидеть” прямоугольный треугольник с катетами вдоль х- и у- осей и с гипотенузой вдоль касательной.
Считаем по клеткам: f'(3) = – 1 : 3 1 клетка по у – оси вниз (-), 3 клетки по х – оси вправо (+) .
На 2-м рисунке: g'(5) = 2 : 2 2 клетки по у – оси вверх (+), 2 клетки по х – оси вправо (+) .

Уравнение касательной к графику функции $y=fleft(xright)$ в точке $x=x_0$ : $y=fleft(x_0right)+f’left(x_0right)cdotleft(x-x_0right)$ – касательная, прямая

Функция $y=fleft(xright)$ и её касательная $y=ax+b$ в точке касания $x=x_0$ имеют одинаковые значения, наклон, производные.
Наклон касательной = производное функции $a=f’left(x_0right)$ определяет как “течет” график: растет, убывает?
Наклон положительный – касательная справа-налево – производная положительна – функция растет – график функции “течет” вверх.
Наклон отрицательный – касательная слево-направо – производная отрицательна – функция убывает – график функции “течет” вниз, по склону.

Производная – как детектор поведения функции

Вопрос: Как влияет на поведение функции $fleft(x_0right)$ около точки $x=x_0$ значение производной $f’left(x_0right)$ ?

Из определения производной в точке $x=x_0$ $Rightarrow$ $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0+0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0+0,01-x_0}$
выразим значение функции чуть правее точки $x_0$ : $fleft(x_0+0,01right)approx fleft(x_0right)+0,01f’left(x_0right)$. Значит, функция будет иметь большее значение правее от $x_0$ , если только $f’left(x_0right) > 0$.
Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее. Из $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0-0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0-0,01-x_0}$ $Rightarrow$ $fleft(x_0-0,01right)approx fleft(x_0right)-0,01cdot f’left(x_0right)$ $Leftrightarrow$ понятно почему поведение функции левее $x_0$ зависит от знака производной в точке $x_0$.
Сформулирует ответы на вопрос о влиянии знака производной в данной точке:
если $f’left(x_0right) > 0$ то $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$ $Rightarrow $ функция растет (см. слева направо).
если $f’left(x_0right) < 0$ то $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ $Rightarrow $ функция убывает, график идет вниз.
если $f’left(x_0right)=0$ то ситуации более запутанные: при $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция “выше”, чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
В случае $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$, $x=x_0$ – точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.

Пример 2: Каково взаимовлияние графика $fleft(xright)=6cosfrac{pi}{9}x$ и графике ее производной $f’left(xright)=-frac{2pi}{3}sinfrac{pi}{9}x$

Производная от какой-то функции – это некая, связанная с ней функция, характеризующая поведение самой функции
Рассмотрим точку $x_1=-3$ . В нем сама функция равна $fleft(-3right)=6cosfrac{pi}{9}(-3)=3$ , а ее производная – $f’left(-3right)=-frac{2pi}{3}sinfrac{pi}{9}(-3)approx1,77$,
График график проходит в точке $(-3;3)$. Каково поведение графика около этой точки? Растет или убывает?
Насколько быстро растет или убывает? На все эти вопросы ответы дает производная. Производная здесь $(-3;3)$ положительна, поэтому растет!
Около точки $x_1=-3$ функция приближенно $fleft(xright)approx 3+1,77cdot(x+7)$
Т.к. производная равна $1$, то тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику нашей функции в данной точке ($-3; 3$) равен $1$.
Значит, касательная направлена под углом $45$ градусов, ведь $tg45=1$.
Значит, функция около этой точки растет “умеренно”, примерно под углом 45 градусов.

Значение производной $f’left(x_0right)$ в какой-либо точке указывает на рост или убывание исходной функции $fleft(xright)$ около этой точки $x_0$. Зная числовое значение производной, можно определить как ведет себя функция: стоит ли на месте, растет или убывает и как быстро изменяется. Производная от функции помогает узнать в каждой точке характер скорости изменений, поведения графика самой функции.

В тех точках, где функция растет – график поднимается вверх (если смотреть слева направо) – касательная к графику в этой точке наклонена вправо – – тангенс наклона положительный – производная в этой точке имеет положительное значение.
В тех точках, где функция убывает – график опускается вниз (если смотреть слева направо) – касательная к графику в этой точке наклонена влево – – тангенс наклона отрицательный, тупой угол – производная в этой точке имеет отрицательное значение.
Производная = 0 функция “остановилась”, “касательная горизонтальна” точка экстремума: минимум, максимум или перегиб.
Вторая производная в точке x показывает скорость изменения скорости, т.е. ускорение в этой точке. Вторая производная = 0 означает “ускорение обнулилось”. больше нуля – выпоукло вниз (min), меньше нуля – вверх (max).

Пример 3: Указать интервалы монотонности функции $fleft(xright)=x^3-3x+2$ . ;

$f’left(xright)=left(x^3-3x+2right)’=3x^2-3$ находим производную от нашей функции
$f’left(xright)>0$ $3x^2-3>0$ $left(-infty ;-1right) left(1;infty right)$ интервалы возрастания, неравенство больше
$f’left(xright)<0$ $3x^2-3<0$ $left(-1;1right)$ интервалы убывания, производное минус
$M_f$ области монотонности $ left(-infty ;-1right)+left(-1;1right)+left(1;infty right)$

Точки экстремумов функции. min-max

Из $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0+0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0+0,01-x_0}$ выразим значение функции чуть правее точки $x_0$ : $fleft(x_0+0,01right)approx fleft(x_0right)+0,01f’left(x_0right)$.
Значит, функция будет иметь большее значение правее от $x_0$ , если только $f’left(x_0right) > 0$.

Аналогичные рассуждения для значения функции чуть левее. Из $f’left(x_0right)approxfrac{fleft(x_0-0,01right)-fleft(x_0right)}{x_0-0,01-x_0}$ $Rightarrow$ $fleft(x_0-0,01right)approx fleft(x_0right)-0,01cdot f’left(x_0right)$ $Leftrightarrow$ понятно почему поведение функции левее $x_0$ зависит от знака производной в точке $x_0$.

Итак:

если $f’left(x_0right) > 0$ то $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$ $Rightarrow $ функция растет (см. слева направо).
если $f’left(x_0right) < 0$ то $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ $Rightarrow $ функция убывает, график идет вниз.
если $f’left(x_0right)=0$ то ситуации более запутанные: при $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ точка $x=x_0$ называется точкой максимума. В нем функция “выше”, чем по-соседству хоть слева, хоть справа.
В случае $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$, $x=x_0$ – точка минимума. Если ни то, ни другое, то точка перегиба.

Определение: Точка, в которой производная обнуляется, называется экстремумом (минимум, максимум, перегиб).
В этой точке наклон графика равен нулю, т.е. касательная к графику горизонтальна.

Точка максимума – если функция растет, “застывает” в $x_0$” , затем убывает.
Производная функции больше нуля, в $x_0$ обнуляется, затем отрицательна.

Точка минимума наоборот – если функция убывает, “застывает” в $x_0$” , затем растет.
Производная меньше нуля, равна нулю в $x_0$”, затем положительна.

Нахождение точки минимума (максимума) функции $y=fleft(xright)$:

Точка минимума – это $x$ – число, в котором производная равна нулю, а сама исходная функция от убывания переходит к возрастанию. Надо “взять” производную исходной функции и составить уравнение экстремума “производная равна нулю”. Среди точек экстремума найти точку минимума.

Есть три способа:

по поведению “рост / убывание” исходной функции ;
либо поведение “отрицательности / положительности” производной;
либо знак второй производной в этой точке; если 2-ая производная (“производная от производной”) в точке $x_0$ положительна, то это минимум.

min: $f’left(x_0right)=0$ , $fleft(x_0-0,01right) > fleft(x_0right) < fleft(x_0+0,01right)$ , $f’left(x_0-0.01right) < 0$ , $f’left(x_0+0.01right) > 0$ ; $f”left(x_0right) > 0$.

max: $f’left(x_0right)=0$ , $fleft(x_0-0,01right) < fleft(x_0right) > fleft(x_0+0,01right)$ , $f’left(x_0-0.01right) > 0$ , $f’left(x_0+0.01right) < 0$ ; $f”left(x_0right) < 0$.

Обозначения множеств, областей

$D_f$ область определения функции

$Z_f$ область знакопостоянства, интервалы положительности, отрицательности

$M_f$ области монотонности функции, интервалы возрастания, убывания

$X_f$ экстремумы функции, перечисление х – точек

$T_f$ уравнение касательной к функции в указанной х – точке

$E_f$ области значений функции, все у – значений

Упражнения:

Источник

Решение задач на геометрический смысл производной

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Напомним сначала, что такое производная.

Определение 1

Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $triangle x$, при $triangle xto 0$, то он называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

[{mathop{lim}_{triangle xto 0} frac{fleft(x_0+triangle xright)-fleft(x_0right)}{triangle x} }={mathop{lim}_{triangle xto 0} frac{triangle y}{triangle x} }]

Рассмотрим теперь геометрический смысл понятия производной (рис. 1).

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0in X$. Рассмотрим точку $M_0(x_0,fleft(x_0right))in f(x)$. Придадим $x_0$ приращение $triangle x$, получим точку

$M(x_0+triangle x,fleft(x_0+triangle xright))in f(x)$. Мы видим, что

То есть $left|MNright|$ – приращение данной функции. Очевидно, что $frac{triangle y}{triangle x}=tgalpha $

Где $alpha $ – угол наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $M_0$. Таким образом, получаем

Определение 2

Геометрический смысл производной представляет собой угловой коэффициент касательной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Иначе – это тангенс угла наклона касательной к графику данной функции.

Решение задач на геометрический смысл производной

Пример 1

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Рисунок 2.

Решение.

Так как по геометрическому смыслу производной $f’left(x_0right)=tgalpha $, то нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. Рассмотрим рисунок:

Рисунок 3.

Так как тангенс, по определению, отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему, то получаем $f’left(x_0right)=tgalpha =frac{2}{8}=frac{1}{4}$

Ответ: $frac{1}{4}$.

Пример 2

Рисунок 4.

Решение.

Рисунок 5.

Здесь нужно также отметить, что, на самом деле, угол между касательной и направлением оси $Ox$ – тупой, следовательно, нам необходимо принять производную со знаком «минус». Получаем: $f’left(x_0right)=-tgalpha =-frac{2}{4}=-frac{1}{2}$

Ответ: $-frac{1}{2}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 03.03.2023

Источник

17
Фев 2013

Категория: Справочные материалы

Производная функции. Геометрический смысл

Елена Репина
2013-02-17
2021-06-30

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Добавить комментарий

Материалы для подготовки к ЕГЭ
Рубрики
- 01 Геометрия (12)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (79)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
- 14 (С3) Неравенства (90)
- 15 (С4) Практич. задачи (72)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
- 17 (С6) Параметры* (80)
- 18 (С7) Числа, их свойства (39)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Задачи (27)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (59)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина
ЕгэТренер – О. Себедаш
Математика?Легко!
Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
- Задания 18 ЕГЭ 2023
Архивы Архивы

Источник

Производная функции. Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной, задачи

Условия касания

Физический смысл производной

Геометрический смысл производной функции

Взаимосвязи графика функции и графика ее производной

Точки экстремумов функции. min-max

Обозначения множеств, областей

Упражнения:

Решение задач на геометрический смысл производной

Решение задач на геометрический смысл производной

Производная функции. Геометрический смысл

Добавить комментарий

Вам также может понравиться

Как найти скорость тела в конце падения

Как составить отчетность типографии

Как найти функцию спроса если она линейна

Добавить комментарий Отменить ответ