Как найти производную функции ctg

Как найти производную функции ctg

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач можно у нас всего за 10 минут.

Производная котангенса

Определение

Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат синуса:

$$ (ctg x)’ = – frac{1}{sin^2 x} $$

Вывести данную формулу нужно из тригонометрического тождества: $$ ctg x = frac{cos x}{sin x} $$

Так же понадобится знать производные $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (cos x)’ = -sin x $$

По правилу производной дроби имеем:

$$ (ctg x)’ = bigg (frac{cos x}{sin x} bigg )’ = frac{(cos x)’ cdot sin x – cos x cdot (sin x)’}{sin^2 x} = $$

Подставляем производные синуса и косинуса, а также упрощаем выражение с помощью тождества $ sin^2 x + cos^2 x = 1 $:

$$ = frac{-sin x cdot sin x – cos x cdot cos x}{sin^2 x} = frac{-sin^2 x – cos^2 x}{sin^2 x} = $$

$$ = – frac{sin^2 x + cos^2 x}{sin^2 x} = -frac{1}{sin^2 x} $$

Пример 1
Найти производную котангенса двойного угла $ y = ctg 2x $
Решение

Производная котангенса равна отрицательной единице деленной на квадрат косинуса одно и того же аргумента. Но так как аргумент отличен от $ x $, то необходимо еще потом домножить на производную аргумента:

$$ y’ = (ctg 2x)’ = -frac{1}{sin^2 2x} cdot (2x)’ = -frac{1}{sin^2 2x} cdot 2 = -frac{2}{sin^2 2x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ y’ = -frac{2}{sin^2 2x} $$
Пример 2
Найти производную котангенса в квадрате $ y = ctg^2 x $
Решение

Котангенс представляет в данном случае степенную функцию, производная которой находится по правилу $ (x^p)’ = px^{p-1} $, а затем домножить на производную самого котангенса:

$$ y’ = (ctg^2 x)’ = 2ctg x cdot (ctg x)’ = $$

$$ = 2ctg x cdot frac{-1}{sin^2 x} = -frac{2ctg x}{sin^2 x} = – frac{2cos x}{sin^3 x} $$
Ответ
$$ y’ = – frac{2cos x}{sin^3 x} $$
Источник

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления производной котангенса

Формула

$$(operatorname{ctg} x)^{prime}=-frac{1}{sin ^{2} x}$$

Производная котангенса равна минус единица, деленная на синус в квадрате.

Заметим, что если аргумент у котангенса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто
$x$), то производную нужно находить по следующей формуле:

$$(operatorname{ctg} u)^{prime}=-frac{1}{sin ^{2} u} cdot u^{prime}$$

Примеры вычисления производной котангенса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 operatorname{ctg} x$

Решение. Искомая производная

$$y^{prime}(x)=(2 operatorname{ctg} x)^{prime}$$

Согласно правилам дифференцирования константу можно выносить за знак производной, тогда получаем, что

$$y^{prime}(x)=2 cdot(operatorname{ctg} x)^{prime}=2 cdotleft(-frac{1}{sin ^{2} x}right)=-frac{2}{sin ^{2} x}$$

Ответ. $y^{prime}(x)=-frac{2}{sin ^{2} x}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=operatorname{ctg} x+operatorname{ctg} 2$

Решение. Искомая производная

$y^{prime}(x)=(operatorname{ctg} x+operatorname{ctg} 2)^{prime}$

Производная суммы равна сумме производных, поэтому

$y^{prime}(x)=(operatorname{ctg} x)^{prime}+(operatorname{ctg} 2)^{prime}$

Производную первого слагаемого находим по формуле, а производная второго слагаемого, как
производная константы, равна нулю:

$$y^{prime}(x)=-frac{1}{sin ^{2} x}+0=-frac{1}{sin ^{2} x}$$

Ответ. $y^{prime}(x)=-frac{1}{sin ^{2} x}$

Читать дальше: производная арксинуса (arcsinx)’.

Источник

Производная котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная котангенса равна минус единице, деленной на синус того же аргумента в квадрате.
(
(operatorname{ctg} x)^{prime}=-frac{1}{sin ^{2} x}
)

Заметим, что эта формула легко получается из того факта, что
(
operatorname{ctg} x=frac{cos x}{sin x}
), а также из формулы дифференцирования частного:
(
left(frac{u}{v}right)^{prime}=frac{u^{prime} v-u v^{prime}}{v^{2}}
)

с учетом того, что (
(sin x)^{prime}=cos x
), (
(cos x)^{prime}=-sin x
)

Если аргумент тангенса есть функция более сложная, чем просто «икс», то есть является сложной функцией, то надо умножить еще на производную аргумента. В этом случае формула производной принимает вид: (
(operatorname{ctg} u(x))^{prime}=-frac{1}{sin ^{2} u(x)} cdot(u(x))^{prime}
)

Примеры решения задач по теме «Производная котангенса»

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Найти производную функции (
    y(x)=sqrt{operatorname{ctg} x}
    )

  • Решение

    Искомая производная (
    y^{prime}(x)=(sqrt{operatorname{ctg} x})^{prime}
    )

    Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня и все это мы еще умножаем на производную от подкоренного выражения, так как там стоит функция более сложная, чем просто (
    mathbf{x}
    ) :
    (
    y^{prime}(x)=(sqrt{operatorname{ctg} x})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{operatorname{ctg} x}} cdot(operatorname{ctg} x)^{prime}
    )

    Производная котангенс икс равна минус единице деленной на минус синус квадрат икс, то есть:
    (
    y^{prime}(x)=frac{1}{2 sqrt{operatorname{ctg} x}} cdot(operatorname{ctg} x)^{prime}=frac{1}{2 sqrt{operatorname{ctg} x}} cdotleft(-frac{1}{sin ^{2} x}right)=-frac{1}{2 sin ^{2} x sqrt{operatorname{ctg} x}}
    )

    Ответ (
    y^{prime}(x)=-frac{1}{2 sin ^{2} x sqrt{operatorname{ctg} x}}
    )

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Найти производную функции (
    y(x)=operatorname{ctg} sqrt{x+1}
    )

  • Решение

    Производная заданной функции равна:
    (
    y^{prime}(x)=(operatorname{ctg} sqrt{x+1})^{prime}
    )

    Производная от котангенса равна минус единице деленной на синус в квадрате того же аргумента. Так как заданная функция является сложной (аргумент котангенса отличен от просто (
    mathbf{x}
    )), то еще умножаем на производную аргумента: (
    y^{prime}(x)=(operatorname{ctg} sqrt{x+1})^{prime}=-frac{1}{sin ^{2} sqrt{x+1}} cdot(sqrt{x+1})^{prime}
    )

    Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. И так как подкоренное выражение отлично от x, то умножаем еще и на его производную: (
    y^{prime}(x)=-frac{1}{sin ^{2} sqrt{x+1}} cdot frac{1}{2 sqrt{x+1}} cdot(x+1)^{prime}=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}} cdot(x+1)^{prime}
    )

    Производная суммы равна сумме производных: (
    (u+v)^{prime}=u^{prime}+v^{prime}
    ). Тогда
    (
    y^{prime}(x)=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}} cdot(x+1)^{prime}=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}} cdotleft[(x)^{prime}+(1)^{prime}right]
    )

    Производная от независимой переменной x равна единице, а производная константы 1 – нулю:
    (
    y^{prime}(x)=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}} cdotleft[(x)^{prime}+(1)^{prime}right]=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}} cdot(1+0)=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}}
    )

    Ответ (
    y^{prime}(x)=-frac{1}{2 sqrt{x+1} sin ^{2} sqrt{x+1}}
    )

    • Источник

    Производные тригонометрических функций

    1. Производная синуса
    2. Производная косинуса
    3. Производная тангенса и котангенса
    4. Примеры

    п.1. Производная синуса

    Найдем производную функции (f(x)=sin⁡x) по общему алгоритму.
    Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=sin⁡(x+triangle x)-sin⁡x=\ =2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}cosfrac{x+triangle x+x}{2}=2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1 end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}cosfrac{2x+triangle x}{2}=\ =1cdot cosfrac{2x+0}{2}=cos x end{gather*} Или: ((sinx)’=cos x)

    Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

    Например:
    ((x^2sinx)’=(x^2)’cdot sinx+x^2cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx)

    п.2. Производная косинуса

    Найдем производную функции (f(x)=cos⁡x) по общему алгоритму.
    Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=cos⁡(x+triangle x)-cos⁡x=\ =-2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}sin{x+triangle x+x}{2}=-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{-left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}sinfrac{2x+triangle x}{2}=\ =-1cdot sinfrac{2x+0}{2}=-sinx end{gather*} Или: ((cosx)’=-sinx)

    Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

    Например:
    ((sqrt{x}cosx)’=(sqrt{x})’cdot cosx+sqrt{x}cdot (cosx)’=frac{1}{2sqrt{x}}cosx-sqrt{x}sinx )

    п.3. Производная тангенса и котангенса

    Производные от тангенса и котангенса найдем с помощью формулы производной частного двух функций (см. §43 данного справочника). begin{gather*} (tgx)’=left(frac{sinx}{cosx}right)’=frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}=\ =frac{cosxcosx-sinx(-sinx)}{cos^2x}=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x} end{gather*} Аналогично: begin{gather*} (ctgx)’=left(frac{cosx}{sinx}right)’=frac{(cosx)’sinx-cosx(sinx)’}{sin^2x}=\ =frac{sinx(-sinx)-cosxcosx}{sin^2x}=frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=-frac{1}{sin^2x} end{gather*}
    Как видно из результатов, производные тангенса и котангенса имеют те же ограничения по ОДЗ, что и сами функции.

    begin{gather*} (tgx)’=frac{1}{cos^2x}, xnefracpi 2+pi k\ (ctgx)’=-frac{1}{sin^2x}, xnepi k end{gather*}

    Например:
    ( left(frac{tgx}{x}right)’=frac{(tgx)’cdot x-tgxcdot(x)’}{x^2}=frac{frac{x}{cos^2x}-tgx}{x^2}=frac{x-tgxcdot cos^2x}{x^2cos^2x}=frac{x-sinxcosx}{x^2cos^2x} )

    п.4. Примеры

    Пример 1. Найдите производную:
    a) ( f(x)=2sinx-5x ) begin{gather*} f'(x)=2cdot sin’x-5cdot x’=2cosx-5 end{gather*}

    б) ( f(x)=3sqrt{x}ctgx ) begin{gather*} f'(x)=3left((sqrt{x})’cdot ctgx+sqrt{x}(ctgx)’right)=3left(frac{ctgx}{2sqrt{x}}-frac{sqrt{x}}{sin^2x}right) end{gather*}

    в) ( f(x)=9cosx-3tgx ) begin{gather*} f'(x)=9cdot cos’x-3cdot tg’x=-9sinx-frac{3}{cos^2x} end{gather*}

    г) ( f(x)=frac{2x}{sinx} ) begin{gather*} f'(x)=2frac{(x)’cdot sinx-xcdot sin’x}{sin^2x}=frac{2(sinx-xcosx)}{sin^2x} end{gather*}

    Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
    a) ( f(x)=sinx+cosx, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\ f'(fracpi 4)=cosfracpi 4-sinfracpi 4=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}=0 end{gather*}

    б) ( f(x)=tgx-5cosx, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=tg’x-5cos’x=frac{1}{cos^2x}+5sinx\ f'(pi)=frac{1}{cos^2pi}+5sinpi=1+0=1 end{gather*}

    в) ( f(x)=sinxcosx, x_0=frac{pi}{12} ) begin{gather*} f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\ f’left(frac{pi}{12}right)=cosleft(2cdotfrac{pi}{12}right)=cosfracpi 6=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

    г) ( f(x)=frac{x}{cosx}, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=frac{x’cdot cosx-xcos’x}{cos^2x}=frac{cosx+xsinx}{cos^2x}\ f'(pi)=frac{cospi+pi sinpi}{cos^2pi}=frac{-1+picdot 0}{(-1)^2}=-1 end{gather*}

    Пример 3. Решите уравнение:
    a) ( y’cdot y+y^2=0), если (y=3cosx)
    (y’=3cdot cos’x=-3sinx)
    Подставляем: begin{gather*} -3sinxcdot 3cosx+(3cosx)^2=0\ -9sincosx+9cos^2x=0\ 9cosx(cosx-sinx)=0 end{gather*} Уравнение: begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosx=0\ cosx-sinx=0 |:cosx end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ 1-tgx=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ tgx=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ x=fracpi 4+pi k end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{fracpi 2+pi k; x=fracpi 4+pi kright})

    б) ( (y’)^2+y^2=1), если (y=1-cosx)
    (y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx)
    Подставляем: begin{gather*} sin^2x+(1-cosx)^2=1\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\ 1-2cosx=0\ cosx=frac12\ x=pmfracpi 3+2pi k end{gather*} Ответ: (left{pmfracpi 3+2pi kright})

    Рейтинг пользователей

      Источник

      Цели:

      • Обучающая – организовать деятельность
        учащихся по проверке ранее изученного материала,
        создать проблемную ситуацию для нахождения
        формул производных функций tg x и ctg;
      • Развивающая – формировать умения
        применять новые формулы при нахождении
        производных сложных функций;
      • Воспитывающая – продолжить воспитание
        мотивации учения, раскрывая практическую
        значимость изучаемого материала.

      Оборудование: на столах у учащихся карточки с
      дифференцированной самостоятельной работой.

      Девиз урока: “Добывай знания сам”

      Вводная беседа

      Сегодня вы сами выведете формулы
      тригонометрических функций tg x и ctg x.
      Научимся находить производные сложных
      тригонометрических функций, которые необходимы
      вам при решении задач в физике по теме
      “Электромагнитные колебания. Электромагнитная
      индукция”, а также для решения задач по заочной
      ФТШ.

      I. Актуализация ранее приобретенных знаний
      (на доске задания для устного решения):

      Найти ошибку: Найти производную функции:
      1) ((5 – x)2)/=10(5 – x);

      2) ((2x + 1)2)/
      =2(2x + 1);

      3) ((sin /2
      – 2x)3 )/= -6x2;

      4) (
      )/ = -2.

      		 1) (2sin x)/;

      2) (cos 5x)/;

      3) (sin(8x – 4))/;

      4) (-1/3 cos(3x + /4).

      II. Новый материал.

      Учитель предлагает учащимся найти производную
      функций y=tg x, y=ctg x, используя различные примеры:

      1) y= tg x, x/2, k e z

      y/=(tg x)/=(sin x)/(cos x)= ((sin x)/cos x- sin x(cos
      x)/)/cos2x= 1/cos2x;=>(tg x)/=1/cos2x

      При нахождении производной ctg x ребята сами
      получают формулу:

      2) y=ctg x, x
      /n, n e z;

      a) y=(ctg x)/=(cos x/sin x)/=((cos x)/sin x – cos
      x(sin x)/)/sin2x=(-1)/sin x;

      б) y=ctg x= 1/tg x;

      y/=(1/tg x)/=(1/ tg x-(tg x)/)/tg2x=
      -(1/cos2x*tg2x)= -1/sin2x;

      в) ctg x=tg-1 x;

      y/=(tg-1 x)/= -tg-2x*(1/cos2x)=
      -1/sin2x;

      таким образом: (ctg x)/= -1/sin2x.

      Учитель предлагает вспомнить производную
      сложной функции и записать ее на доске: f(g(x))/=f/(x)*g/(x).

      III. Закрепление нового материала
      (решение вместе):

      1) Найти производную функции:

      Работа с таблицей.

      2) Решение заданий А3, А4, Б3, Б7 (таблица).

      Дифференцированная проверочная работа по теме
      “Производные тригонометрических функции”

      Вариант А

      Вариант Б

      Вариант В
      1) y=(1-sinx)/(1+sinx),
      y/(45);

      2) y=sin(4x-1);

      3) y=sin5x+cos(x+);

      4) y=cos5x;

      5) y=sin(x2+3x);

      6) y=(1+ctgx)/ctgx;

      7) y=(1+cosx)/(cosx-1);

      8) y=tgx-ctgx.

      		 1) y=tg(2x2+3);

      2) y=sinx2;

      3) y=1/sin(x3-1);

      4) y=tg;

      5) y=ctgx3;

      6) y=;

      7) y=1/sin43x;

      8) y=(2cosx+sinx)/(3sinx-cosx),
      y/( )-?

      		 1) y=;

      2) y=;

      3) y=3;

      4) y=tgx sin2x;

      5) y= -ctg(x/2)-1/3ctg3(x/2);

      6) y=;

      7) y=cos(x3)/cos3x;

      8) y=(3cos2x-2sin2x)/(1-4sin2x),
      y /()-?

      A3: y=sin5x+cos(x+ /6),

      y /=5cos5x-sin(x+ /6);

      A4: y=cos5x,

      y /= -5cos4x sinx;

      Б3: y=1/sin(x3-1),

      y /= -3x2/sin2(x3-1);

      Б7: y=1/sin43x,

      y /= -12cos3x/sin53x.

      3) Самостоятельная работа с
      самопроверкой       (решение и ответы заранее
      написаны учителем на доске). Учащиеся решают
      задания А5, Б5, Б4, Б9 (таблица).

      A5: (sin(x2+3x))/=(2x+3) cos(x2+3x);

      Б5: (ctgx3)/= -3x2 = -3x2/sin2x3;

      Б4: (tg)/=1/2(2x)-1/2*2*=*cos2
      ;

      Б9: (sin4(3x+ /3))/=3cos(3x+ /3)*4sin3(3х+
      /3)=12sin3(3x+
      /3)cos(3х+ /3).

      4) Дифференцированная работа (выполнение
      варианта В).

      Группа I. В домашних тетрадях выполняют
      работу.

      Группа II. Делают работу над ошибками по
      предыдущим номерам. Затем приступают к
      выполнению варианта В.

      IV. Далее учитель подводит итоги
      занятия,       сообщает оценки и дает пояснение к
      домашнему заданию.

      Домашнее задание: учебник Алимова № 506
      (3, 4), 515 (3, 4), 516 (1, 2), 517 (2), дополнительно – № 518.

      Источник

      Добавить комментарий