Частные производные
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке A(x0,y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆x при стремлении ∆x к нулю.
Частные производные функции z(x,y) находятся по следующим формулам: 
Вторые частные производные функции z(x,y) находятся по формулам:
Смешанные частные производные функции z(x,y) находятся по формулам: 
Назначение сервиса. Сервис используется для нахождения частных производных функции (см. пример). Решение производится в онлайн режиме и оформляется в формате Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Также решают
Правила ввода функции, заданной в явном виде
Примеры
x2+xy ≡ x^2+x*y.
cos2(2x+y) ≡ (cos(2*x+y))^2
≡ (x-y)^(2/3)
Правила ввода функции, заданной в неявном виде
- Все переменные выражаются через x,y,z
Примеры
≡ x^2/(z+y)
cos2(2x+zy) ≡ (cos(2*x+z*y))^2
≡ z+(x-y)^(2/3)
Частные производные используются, например, при нахождении полного дифференциала и экстремумов функции.
Частные производные функции нескольких переменных
Ели одному из аргументов функции z = f(x,y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу x; Δyz=f(x,y+Δy)-f(x,y) – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.
Пример 1. z=2x5+3x2y+y2–4x+5y-1
Пример 2. Найти частные производные функции z = f(x;y) в точке A(x0;y0).
Находим частные производные:
Найдем частные производные в точке А(1;1)
Находим вторые частные производные:
Найдем смешанные частные производные:
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Данный онлайн калькулятор предназначен для решения частных производных первого и второго порядков.
Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Следовательно, частные производные находятся так же, как и производные функций одной переменной. Частная производная это обобщенное понятие производной, когда в функции содержится несколько переменных.
Калькулятор поможет найти частные производные функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.
: x^a
: x^aмодуль x: abs(x)
Для того, чтобы найти производную функции 
нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется
найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В
том случае, если Вам требуется найти частную производную функции 
напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где 
— интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по
некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j,
n}, где означает тоже, что и Выше.
Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение
производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу
выдаваемого ей ответа.
- Примеры
- x*E^x, x;
- x^3*E^x, {x,17};
- x^3*y^2*Sin[x+y], x;
- x^3*y^2*Sin[x+y], y,
- x/(x+y^4), {x,6}.
| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
frac{partial}{partial x}(sin (x^2y^2))
-
frac{partial}{partial y}(sin (x^2y^2))
-
frac{partial}{partial ypartial x}(sin (x^2y^2))
-
frac{partial}{partial w}(te^{(frac{w}{t})})
-
frac{partial}{partial t}(te^{(frac{w}{t})})
-
frac{partial}{partial v}(sqrt{u^2+v^2})
- Показать больше
Описание
Поэтапное дифференцирование частной производной функций
partial-derivative-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
High School Math Solutions – Derivative Calculator, Products & Quotients
In the previous post we covered the basic derivative rules (click here to see previous post). We are now going…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Частная производная функции
Примеры частных производных
- С дробью
-
x^2*y + x/y
-
(x-y)/(x+y)
- С экспонентой
-
exp(x^2 + y^2)
- Со степенью и показательные
-
x^(2*y)
-
u=(x*y)^z
- С квадратным и кубическим корнем
-
sqrt(x^2 - y^2)
-
cbrt(x^2)/(cbrt(y) - 1)
- С квадратом и кубом
-
z=x^3*y^2
- С натуральным логарифмом
-
z=ln(x + sqrt(x^2 + y^2))
- С тригонометрическими функциями
-
z=arctg(y/x)
-
y*sin(2y)/cbrt(x^2)
- С параметром
-
z=x^3 - 5axy + y^3
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^2
- – возведение в квадрат
- x^3
- – возведение в куб
- x^5
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x – 6
- – вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- – число Пи
- e
- – основание натурального логарифма
- i
- – комплексное число
- oo
- – символ бесконечности
Понятие частной производной применимо только к функциям многих переменных. Рассмотрим функцию двух переменных
z=f(x,y).
Частные производные по переменным
и
записываются в виде
∂z∂x
и
∂z∂y
соответственно. Сами частные производные
∂z∂x
и
∂z∂y
также являются функциями двух переменных:
∂z∂xpx,y
и
∂z∂yqx,y
, поэтому от них тоже можно взять производные:
∂p∂x∂∂x∂z∂x∂2z∂x2
∂q∂y∂∂y∂z∂y∂2z∂y2
∂p∂y∂∂y∂z∂x∂2z∂x∂y
∂q∂x∂∂x∂z∂y∂2z∂y∂x
Производные
∂2z∂x2
и
∂2z∂y2
– являются вторыми частными производными функции
по переменным
и
соответственно. Производные
∂2z∂x∂y
и
∂2z∂y∂x
– называются смешанными производными функции
по переменным
,
и
,
соответственно. При условии, что функция
и её смешанные производные
∂2z∂x∂y
и
∂2z∂y∂x
определены в некоторой окрестности точки
M(x0,y0)
и непрерывны в этой точке, выполняется равенство:
∂2z∂x∂y∂2z∂y∂x
По аналогии, можно ввести производные более высоких порядков, например, запись
∂5z∂x2∂y3
означает, что мы должны продифференцировать функцию
по переменной
два раза, а затем по переменной
три раза, т.е. фактически:
∂5z∂x2∂y3∂3∂y3∂2z∂x2∂∂y∂∂y∂∂y∂∂x∂z∂x
Иногда, для обозначения частных производных некоторой функции
z=f(x,y)
используют запись вида:
fx‘(x,y)
и
fy‘(x,y),
указывая переменную по которой происходит дифференцирование. Таким образом можно обозначать и смешанные производные:
fxy”(x,y)
и
fyx”(x,y)
а также вторые производные и производные более высокого порядка:
fxx”(x,y)
и
fxxy”’(x,y)
соответственно. Следующие обозначения эквиваленты:
В нашем онлайн калькуляторе для обозначения частных производных используются символы:
∂z∂x
;
∂z∂y
;
∂5z∂x2∂y3
.
Пример подробного решения, выдаваемого нашим онлайн сервисом, можно посмотреть
здесь.
