Как найти производную функции натурального логарифма

Найдем производную функции f(x)=ln⁡xf(x)= ln x и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная функции f(x)= ln x

Как известно, производной функции f(x)f(x), определенной в точке x0x_0 и в некотором интервале, содержащем x0x_0, называют предел следующего вида:

f′(x0)=dfdx∣x=x0=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf^{‘}(x_0)=dfrac{df}{dx}Bigr|_{x=x_0}=limlimits_{Delta x to 0}dfrac{ f(x_0+ Delta x)-f(x_0 )}{ Delta x}

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции f(x)f(x) необходимо последовательно:

1. Записать выражение для приращения функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)Delta f(x_0 )=f(x_0+Delta x)-f(x_0 )

1. Упростить, по возможности, дробь

Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}=dfrac {f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}

1. Вычислить предел дроби при Δx→0Delta x to 0 и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной натурального логарифма:

1. Записываем приращение функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)=ln⁡(x0+Δx)−ln⁡x0=ln⁡x0+Δxx0Delta f(x_0)= f(x_0+Delta x)-f(x_0)= ln (x_0+Delta x)-ln {x_0}=ln dfrac { x_0+Delta x }{ x_0}

1. Получаем дробь:

Δf(x0)Δx=1Δx⋅ln⁡x0+Δxx0=ln⁡(1+Δxx0)1Δx=1x0ln⁡(1+1×0/Δx)x0Δxdfrac {Delta f(x_0)}{Delta x}= dfrac {1}{Delta x} cdot ln {dfrac {x_0+Delta x }{ x_0}}=ln {Bigl( 1+dfrac {Delta x }{ x_0} Bigr)}^ {dfrac {1}{Delta x}}=dfrac {1}{x_0} ln {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}

1. Вычисляем производную:

f′(x0)=lim⁡Δx→0(1x0ln⁡(1+1×0/Δx)x0Δx)=1×0⋅lim⁡Δx→0ln⁡(1+1×0/Δx)x0Δx=1×0⋅ln⁡lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δxf'(x_0 )=limlimits_{Delta x to 0} Bigl( dfrac {1}{ x_0} ln {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}Bigr) =dfrac {1}{ x_0} cdot limlimits_{Delta x to 0} ln {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}=dfrac {1}{ x_0} cdot ln limlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}

Для вычисления предела

lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δxlimlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}

обозначим:

x0Δx=ndfrac {x_0}{ Delta x }=n

Учитывая, что n→∞ntoinfty при условии, что Δx→0Delta x to 0, получаем:

lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δx=lim⁡n→∞(1+1n)nlimlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}=limlimits_{ntoinfty } {Bigl( 1+dfrac {1 }{n} Bigr)}^{ n}

Полученный предел является одним из представлений экспоненты, числа e≈2,71828e≈2, 71828 (число Непера или число Эйлера):

e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=limlimits_{ntoinfty } {Bigl( 1+dfrac {1 }{n} Bigr)}^{ n}

Тогда, искомая производная равна:

f′(x0)=1×0⋅ln⁡lim⁡Δx→0(1+1×0/Δx)x0Δx=1×0⋅ln⁡e=1x0f'(x_0) =dfrac {1}{ x_0} cdot ln limlimits_{Delta x to 0} {Bigl( 1+dfrac {1 }{ x_0 / Delta x } Bigr)}^{ dfrac {x_0}{Delta x}}=dfrac {1}{ x_0}cdot ln e=dfrac {1}{ x_0}

Таким образом:

f′(x)=(ln⁡x)′=1xf'(x)=(ln x) ‘=dfrac {1}{ x}

Некоторые свойства и практические примеры

1. Приведем правило для нахождения производной обратной функции.

Пусть дана функция y=f(x)y=f(x), в которой переменная x является аргументом. Полагая теперь аргументом переменную y, получим функцию в виде x=g(y)x=g(y).

Очевидно, что f(g(y))=yf(g(y))=y или f(g(x))=xf(g(x))=x. Такую функцию g(x)g(x) называют обратной для f(x)f(x). Производную обратной функции можно найти по правилу:

yx′=dydx=1dxdy=1xy′y_x’=dfrac {dy}{dx}=dfrac {1}{dfrac {dx}{dy}}=dfrac {1}{x_y’}

1. Угол наклона αalpha касательной к графику функции y=ln⁡xy= ln {x} в точке x=x0x=x_0 определяется соотношением:

tg⁡α=y′(x0)=1x0tg alpha =y^{‘} (x_0 )= dfrac {1}{x_0}

Здесь угол αalpha это угол между касательной и осью OxOx отсчитываемый от положительного направления OxOx против часовой стрелки.

Производная функции f(x)=ln⁡xf(x)= ln {x} в точке x0=1x_0=1 равна 11:

f′(x0)=(ln⁡x)x0=1′=11=1f’ (x_0 ) = (ln {x})_{x_0=1}^{‘}=dfrac {1}{1}=1

Это означает, что касательная к графику в точке M(1;0),(x0=1,y0=ln⁡1=0)M(1;0), (x_0=1, y_0=ln {1} = 0) составляют с осью OxOx угол 45°(tg⁡45°=1)45° (tg {45°}=1)

1. Производная сложной функции y=ln⁡g(x)y=ln {g(x)} согласно правил дифференцирования, равна:

y′=g′(x)1g(x)y’=g'(x) dfrac {1}{g(x)}

1. Производная сложной функции y=u(v)y=u(v), где v=ln⁡xv= ln {x} равна:

y′=uv′⋅v′=uv′⋅1xy’=u’_v cdot v’=u’_v cdot dfrac {1}{x}

Тест по теме «Производная натурального логарифма»

В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log₁₀x

Т.е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = log_e x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.

Данная формула получена следующим образом:

Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:

Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):

Примеры задач

Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log₄x.

Решение:
Используя общую формулу производной получаем:

Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.

Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:

Производная натурального логарифма

Данная формула выводится из формулы производной логарифма с основанием $ a = e $:

$$ (ln x)’=(log_e x)’=frac{1}{xln e}=frac{1}{x} $$

Примеры решений

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления производной натурального логарифма

Формула