Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Пример:
Решение:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Как находить производную от числа
Задача нахождения производной стоит как перед учениками старших классов школ, так и перед студентами. Для успешного дифференцирования требуется внимательно и аккуратно следовать определенным правилам и алгоритмам.
Вам понадобится
- – таблица производных;
- – правила дифференцирования.
Инструкция
Проанализируйте производную. Если она представляет собой произведение или сумму, разложите по известным правилам. В случае, если одно из слагаемых — число, воспользуйтесь формулами из пунктов 2-5 и 7.
Помните, что производная числа (константы) равна нулю. Производная по определению есть скорость изменения функции, а скорость изменения постоянной величины — нуль. При необходимости это доказывается с помощью определения производной, через пределы — приращение функции равно нулю, а нуль делить на приращение аргумента есть нуль. Следовательно, предел нуля тоже есть нуль.
Не забывайте, что, имея произведение постоянного множителя и переменной, можно вынести константу за знак производной и дифференцировать только оставшуюся функцию: (cU)’=cU’, где «c» – константа; «U» — любая функция.
Имея один из частных случаев производной дроби, когда в числителе вместо функции стоит число, воспользуйтесь формулой: производная равна минус произведению константы на производную знаменателя, деленное на стоящую в знаменателе функцию в квадрате: (c/U)’=(-c·U’)/U2.
Возьмите производную по второму следствию производной дроби: если константа стоит в знаменателе, а в числителе функция, то единица, деленная на константу, всё равно число, потому следует выносить число из-под знака производной и изменять только функцию: (U/c)’=(1/c)·U’.
Отличайте коэффициент перед аргументом («х») и перед функцией (f(x)). Если число стоит перед аргументом, то функция — сложная, и ее необходимо дифференцировать по правилам сложных функций.
Если имеете показательную функцию ах, в этом случае число возводится в степень переменной, и значит, нужно брать производную по формуле: (ах)’=lna·ах. Будьте осторожны и помните, что основанием показательной функции может быть любое положительное число отличное от единицы. Если основание показательной функции — число е, то формула примет вид: (ех)’=ех.
Видео по теме
Источники:
- Таблица производных
- производная числа
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Производная числа
Самый простой ответ можно дать на вопрос “чему равна производная от числа?”.
Снова вспоминаем смысл производной. Она показывает скорость изменения значения функции относительно скорости изменения ее аргумента. (см. смысл производной)
Теперь – “простым языком”.
Например, нам необходимо найти производную числа три.
Визуально, Вы можете представить это не как (3)´=?, а как необходимость найти производную от функции f(x)=3.
То есть при любом изменении аргумента функции (х) значение функции не изменяется.
Какова скорость изменения значения функции в данном случае? Разумеется – нулевая.
Как бы не изменялся аргумент функции, значение функции f(x) = 3 всегда будет равно трем. Изменений не происходит.
То же самое будет для f(x)=4, f(x)=5 и вообще для любой f(x)=c, где c – число.
Откуда:
То есть производная числа равна нулю.
2080.1947
Таблица производных тригонометрических функций |
Описание курса
| Производная дроби
Если вы ничего не смыслите в том, что такое производная и какими методами можно её вычислить, то совершенно невозможно решать примеры по математике или задачи по физике. Ведь такое понятие, как производная, является одним из самых важных в математическом анализе.
В этой статье мы расскажем вам, что является производной, какой она имеет геометрический и физический смысл. В общем, мы с вами попытаемся понять производную.
Геометрический и физический смысл производной
Задаём функцию f(x) в интервале (a, b). А точки x и x0 этому интервалу принадлежат. Если изменится x, то и функция тоже изменится. Изменением аргумента является разность его значений x-x0. Записывается эта разность, как дельта икс и имеет название: приращение аргумента. Разность значений функций в двух точках называется приращением или изменением функции. Так каково определение производной?
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Можно записать ещё следующим образом:
Встаёт вопрос, для чего нужно находить такой предел? Вот и ответ:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Ещё в школе нас учили тому, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени (t). Вычисляем среднюю скорость за какой-то временной промежуток:
Для того чтобы нам узнать какова скорость движения в момент t0, необходимо вычислить предел:
Сейчас мы разберем один пример, который продемонстрирует вам применение производной на практике. Допустим, тело движется по закону:
Нам необходимо рассчитать скорость в момент времени t=2c. Вычисляем производную:
Правила нахождения производных
Дифференцирование – это процесс нахождения производной. А дифференцируемая функция – это функция, которая имеет производную в данной точке.
Каким образом нам найти саму производную? Нам необходимо составить отношения приращения функции и аргумента, а после вычислить предел при условии стремящегося к нулю приращения аргумента. Но практика показывает, что такой путь вычисления является очень долгим. Всё, что нам необходимо, уже посчитано. И специально для вас, мы подготовили таблицу с производными элементарных функций.
После таблицы мы рассмотрим правила по вычисления производных. Коснёмся мы и вычисления производных сложных функций. Подробно разберём всё на примерах.
Правило первое: выносим константу
Вынести константы можно за знак производной. Причём делать это необходимо! Когда вы решаете примеры по математике, то всегда помните правило – если есть возможность упростить выражение, то делайте это.
Для примера вычислил с вами производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равняется сумме производных этих функций. Это касается и производной разности функций.
Сейчас мы с вами на практике рассмотрим пример доказательства этой теоремы.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
По следующей формуле мы сможем вычислить производную произведения двух дифференцируемых функций:
К примеру: необходимо найти производную функции:
Решение:
Необходимо сказать о том, каким образом вычисляются производные сложных функций.
Производная сложной функции равняется произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В примере, который указан выше, мы можем встретить выражение:
В этом примере промежуточным аргументом является 8x в пятой степени. Чтобы нам вычислить производную данного выражения, то для начала необходимо высчитать производную внешней функции по промежуточному аргументу, а после необходимо умножить на производную непосредственно сам промежуточный аргумент по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Ниже приведена формула для того, чтобы определить производную от частного двух функций:
Пример:
Решение:
В данной статье мы попытались рассказать о производных для тех, кто совершенно не знаком с этой темой. Когда вы будете решать примеры, то будьте очень внимательны, ведь в них часто можно встретить ловушки. Эта тема не так уж и проста, какой кажется на первый взгляд.
Вы можете обратиться в наш студенческий сервис по любым вопросам. Мы с удовольствием поможем решить для вас задачи любой сложности. А занимались вы раньше вычислением производных или нет, не имеет никакого значения. Мы помогаем всем!
Производная функции
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.
Как найти?
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
- Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
- Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v – uv’}{v^2} $$
- Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ y = x^3 – 2x^2 + 7x – 1 $ |
| Решение |
|
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y’ = (x^3 – 2x^2 + 7x – 1)’ = (x^3)’ – (2x^2)’ + (7x)’ – (1)’ = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем: $$ y’ = 3x^{3-1} – 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 – 0 = 3x^2 – 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’ = 3x^2 – 4x + 7 $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную функции $ y = sin x – ln 3x $ |
| Решение |
|
По правилу производной разности: $$ y’ = (sin x – ln 3x)’ = (sin x)’ – (ln 3x)’ = $$ По таблице интегрирования находим: $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$ С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента: $$ y’ = (sin x)’ – (ln 3x)’ = cos x – frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$ После упрощения получаем: $$ = cos x – frac{1}{3x} cdot 3 = cos x – frac{1}{x} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = cos x – frac{1}{x} $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $ |
| Решение |
|
В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$ $$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$ Производная первой функции вычисляется как разность фунций: $$ (3x-1)’ = (3x)’ – (1)’ = 3(x)’ – (1)’ = 3 $$ Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$ Продолжаем решение с учетом найденных производных: $$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$ |
| Пример 4 |
| Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $ |
| Решение |
|
Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны: $$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$ Используя формулу №4 получаем: $$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} – ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$ Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку: $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$ |
| Пример 5 |
| Найти производную функции $ y = ln sin 3x $ |
| Решение |
|
Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение. $$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$ Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией: $$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$ Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде: $$ y’ = 3ctg 3x $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 3ctg 3x $$ |
