Как найти производную функции с дробями примеры

Производная дроби – что это такое

Формула производной от дроби

Формула ПД имеет следующий вид:

(left(fracupsilonnuright)’=frac{upsilon’nu-upsilonnu’}{v^2})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

При этом важно отметить, что нахождение ПД нельзя осуществлять с помощью деления производной числителя на производную знаменателя. Два эти действия будут иметь разные значения после подсчетов.

Приведем доказательство данной формулы. Рассмотрим выражение y=fracupsilonnu. Все представленные переменные – это функции от х. Умножим их на (nu). Получим (ytimesnu=upsilon).

Дифференцируем по х, применяя формулу производной произведения двух функций, то есть:

(left(upsilontimesnuright)’=upsilon’timesnu+upsilontimesnu’)

Тогда выводим:

(y’timesnu+ytimesnu’=upsilon’)

Из этого вычисляем нужную нам производную:

(y’timesnu=upsilon’-ytimesnu’=upsilon’-fracupsilonnutimesnu’=frac{upsilon’v-upsilonnu’}nu;;y’=frac{upsilon’v-upsilonnu’}{nu^2})

Что и требовалось доказать.

Следует также привести таблицу с производными часто встречающихся функций:

Как решать производные функции с дробями, примеры

Чтобы понять, как решать ПФ с дробями, приведем несколько примеров.

Пример 1

Найти производную дроби (y=frac x{In;x}.)

Решение

Из формулы следует, что числитель (upsilon=х), а знаменатель (nu=In;х). Найдем их производные:

(upsilon’=left(хright)’=1,;nu’=left(In;xright)’=frac1x)

Подставляем решенные (upsilon’;и;nu’) в формулу и получаем:

( y’=left(frac x{In;x}right)’=frac{left(xright)’In;x-xleft(In;xright)’}{left(In;xright)^2}=frac{In;x;-x{displaystylefrac1x}}{In^2x}=frac{In;x-1}{In^2x})

Ответ: (y’=frac{In;x-1}{In^2x}.)

Пример 2

Найти производную дроби, равную (y=frac{cos;x}x).

Решение

По формуле производной частного:

(y’=left(frac{cos;x}xright)=frac{left(cos;xright)’x-cos;xleft(xright)’}{left(xright)^2})

Производная косинуса дает нам синус с минусом:

(left(cos;xright)’=-sin;x)

В таком случае:

(y’=frac{-x;sin;x-cos;x}{x^2}=-frac{x;sin;x+cos;x}{x^2})

Ответ: (y’=-frac{x;sin;x+cos;x}{x^2}.)

Пример 3

Найти производную дроби (yleft(xright)=frac{e^x-1}{e^x+1}.)

Решение

Из таблицы производных находим:

(left(e^xright)’=e^x)

Применяем правила дифференцирования постоянной и суммы:

(left(e^x-1right)’=left(e^xright)’-left(1right)’=e^x-0=e^x;;left(e^x+1right)’=left(e^xright)’+left(1right)’=e^x-0=e^x)

Используем формулу производной дроби:

(left(fracupsilonnuright)’=frac{upsilon’nu-upsilonnu’}{nu^2};left(frac{e^x-1}{e^x+1}right)’=frac1{left(e^x+1right)^2}timeslbrackleft(e^x-1right)’left(e^x+1right)-left(e^x-1right)left(e^x+1right)’rbrack=frac1{left(e^x+1right)^2}timeslbrack e^xleft(e^x+1right)-left(e^x-1right)e^xrbrack=frac{2e^x}{left(e^x+1right)^2})

Ответ: (y’=frac{2e^x}{left(e^x+1right)^2}.)

Один из важнейших разделов математики – производные. Для их нахождения существуют специальные формулы производных. Для работы с ними необходимо знать основные формулы элементарных функций.

Таблица формул производных

Ниже приведена таблица формул производных элементарных функций.

Смысл производной

В математике производная имеет геометрический и физический смыслы.

Допустим, что некоторая функция f(x) задана в интервале (a, b). При этом есть две точки x и x₀, которые находятся в указанном интервале. Если значение x будет изменяться, то и f(x) тоже изменится. Изменение аргумента находится из выражения (x – x₀). Эта разность обозначается как Δx – приращение аргумента. В таком случае приращением функции будет являться разность между ее значениями в двух точках. Исходя из этого, можно дать определение производной. Ей называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в указанной точке. При этом сам аргумент стремится к нулю.

В математике формулы производных функций записываются так:

[begin{gathered} f^{prime}left(x_{0}right)=left(frac{fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)}{Delta x}right). \ y^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0}left(frac{Delta y}{Delta x}right) . end{gathered}]

Смысл этих формул, а точнее нахождения их значений, может быть описан с точки зрения геометрии и физики.

Геометрический смысл состоит в том, что производная функции в конкретной точке равняется тангенсу угла, который образован осью абсцисс и касательной линией к графику. Пример показан на рисунке ниже.

В физике смысл состоит в том, что производная от пройденного расстояния по времени есть скорость движения точки.

Формула вычисления производной дроби

Рассмотрим формулу вычисления производной дроби. Функция v(x) имеет производную в определенной точке x. При этом v(x) не равна нулю (v(x) ≠ 0). В таком случае справедлива следующая формула:

[left(frac{u}{v}right)^{prime}=frac{u^{prime} v-u v^{prime}}{v^{2}}]

Рассмотрим примеры использования формулы производной дроби при решении задач.

Решение примеров на нахождение производных в математике называется дифференцированием. Они бывают двух типов:

• частными;
• полными.

Между этими типами есть одно основное отличие. При нахождении частной производной функция аппроксимируется только по одному аргументу. Так во всех предыдущих примерах аппроксимация производилась только по x.

Производная дроби

Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и всё делить на квадрат знаменателя:

$$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v-uv’}{v^2} $$

Следует понимать, что производная дроби НЕ РАВНА отношению производных числителя и знаменателя!

Примеры с решением