Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Теорема о производной произведения функций
Нахождение производной функции называют дифференцированием. Чтобы научиться находить производные, необходимо знать правила дифференцирования. Они связаны с арифметическими действиями, а именно включают в себя правила производных от суммы функций, произведения двух функций и отношения двух функций. В этой статье рассмотрим, как находить производные от умножения двух чисел.
Производная от умножения двух чисел находится по следующему правилу дифференцирования: $(ucdot v)’ = u’v + uv’$. Словесно это правило объясняется в теореме о производной произведения функций.
Если в т. $x$ функции $f(x)$ и $g(x)$ имеются производные, то в точке $x$ произведение этих функций имеет производную, которая равна сумме произведений одной из данных функций и производной другой.
$(f(x)g(x))’=f(x)g(‘(x)+f'(x)g(x).$
Для упрощения этой записи в правиле о произведении вместо $f(x)$ используется $u$, а вместо $g(x)$ – $v$.
Приведём доказательство.
Положим $y=f(x)g(x)$.
$y+Delta y=(f(x)+Delta f(x))(g(x)+Delta g(x)).$
$Delta y=(f(x)+Delta f(x))(g(x)+Delta g(x))-f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)Delta g(x)+Delta f(x)g(x)+Delta f(x)Delta g(x)=f(x)Delta g(x)+g(x)Delta f(x)+Delta f(x)Delta g(x).$
$frac{Delta y}{Delta x}=frac{f(x)Delta g(x)}{Delta x}+frac{Delta f(x)g(x)}{Delta x}+frac{Delta f(x)Delta g(x)}{Delta x}.$
$limlimits_{xto 0} frac{Delta y}{Delta x}=f(x)limlimits_{xto 0}frac{Delta g(x)}{Delta x}+g(x)limlimits_{xto 0}frac{Delta f(x)}{Delta x}+limlimits_{xto 0}frac{Delta f(x)}{Delta x}limlimits_{xto 0}Delta g(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+f'(x)cdot 0.$
Формула доказана.
Теорема распространяется на произведение любого количества дифференцируемых функций. Для примера запишем правило для трёх множителей, используя упрощённую запись:
$(ucdot vcdot w)’=uvw’+uv’w+u’vw.$
Если положить $g(x)=k$ и воспользоваться теоремой о производной произведений, то получим равенство $(k(f(x))’=kf'(x).$ Полученное равенство сформулируем словесно в следствие: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
«Производная от умножения двух чисел» 👇
Примеры вычислений
Рассмотрим примеры с производной функции с умножением двух чисел.
Пример 1
Условие. Найти $y’$ если $y=(x+6)(x-7).$
Решение. По теореме получаем: $y’=(x+6)(x-7)’+(x+6)'(x-7)=(x+6)(1-0)+(1+0)(x-7)=(x+6)+(x-7)=x+6+x-7=2x-1.$
Ответ. $y’=2x-1.$
Пример 2
Условие. Найти производную $y=x^4cdot sin x$.
Решение. Наша функция содержит произведение двух функций $y=x^4$ и $y = sin x$. По правилу $(ucdot v)’ = u’v + uv’$ получаем
$y’=(x^4 cdot sin x)’=(x^4)’ cdot sin x + x^4cdot(sin x)’ $.
Чтобы продолжить, необходимо вспомнить следующие формулы: $(x^n)’=ncdot x^{n-1}$ и $(sin x)’=cos x$.
Можем получить ответ: $y’= (x^4)’ cdot sin x + x^4cdot(sin x)’=4x^3cdot sin x +x^4cdotcos x$.
Выполним пример задания по решению уравнения.
Пример 3
Условие. Нужно решить уравнение $f'(x) – 2xln x=x^2-2$, где $f(x)=x^2cdotln x$.
Решение. Для начала найдём производную. Для этого напомним ещё одну формулу производной: $(ln x)’=frac{1}{x}$.
$f'(x)=2xln x + x^2cdotfrac{1}{x}=2xln x +x.$
Получаем уравнение вида:
$2xln x + x-2xln x=x^2-2$.
Сокращаем: $x^2-x-2=0$. Получается $x_1=-1$ и $x_2=2$. Корень $-1$ нам не подходит, так как область определения функции: $x>0$.
Имеем в ответе только корень $2$.
Рассмотрим пример нахождения второй производной функции с умножением двух чисел.
Пример 4
Условие. Найти вторую производную функции $y=x6^x$.
Решение. Производная второго порядка или вторая производная – это производная от первой производной. В свою очередь, первая производная получается из продифференцированной функции. Формула второй производной: $y”=(y’)’$.
Вспомним следующие формулы производных элементарных функций: $(x^n)’=ncdot x^{n-1}$ и $(a^x)’=a^xln a$.
Теперь приступаем непосредственно к нахождению первой производной: $y’=(x6^x)’=1cdot 6^x + xcdot 6^x ln 6 = 6^x (1+xln 6)$.
Далее перейдём к нахождению второй производной: $y”=(6^x(1+xln 6))’$.
Необходимо вспомнить правило дифференциорвания сложения $(u+v)’=u’+v’$ и формулу производной элементарной функции $(c)’=0$.
Промежуточный шаг: $(1+(xln 6))’=0+x’ln6 + x(ln6)’=0+0+ln 6$.
В итоге:
$y” = 6^xln 6cdot(1+xln6)+6^xcdot(0+ln 6)=6^xln 6cdot(1+xln6) +6^xln 6 =6^xln 6 + 6^xln 6(ln 6)+6^xln 6=6^xln 6(2+xln6).$
Ответ. $y’=6^xln 6(2+xln6).$
Таким образом, мы рассмотрели теорему о производной произведения функций и решили несколько примеров.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
урок 3. Математика ЕГЭ
Как найти производную от функции
Как считать производные?
Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?
Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.
Формулы производной
Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.
Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$
Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$
Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$
Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$
Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$
Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$
Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$
Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$
Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$
Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$
Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$
Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$
Свойства производной
Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.
Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$
Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$
Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$
Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$
Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$
Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$
Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$
Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$
Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$
Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$
Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$
Примеры нахождения производной
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.
Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$
Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$
Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:
-
$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)). -
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))). -
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)). -
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).
Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.
Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$
Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция – это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция – квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$
Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция – это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$
Вывод формул производной функции
Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).
И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) – изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) – разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).
Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:
$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$
Рис.1. График произвольной функции
И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) – это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) – абсцисса конечной точки.
Нам это пригодится при выводе формул производной.
Производная квадратичной функции
Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$
Производная от третьей степени
Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.
Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.
Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной
Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции
Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.
Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления производной произведения функций
Формула
$$(u(x) cdot v(x))^{prime}=u^{prime}(x) v(x)+u(x) v^{prime}(x)$$
Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй.
Примеры вычисления производной произведения функций
Пример
Задание. Найти производную функции $y(x)=x sin x$
Решение. Так как заданная функция есть произведением двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=sin x$, то производную $y^{prime}(x)$ находим как от произведения. Согласно формуле имеем:
$$y^{prime}(x)=(x sin x)^{prime}=(x)^{prime} cdot sin x+x cdot(sin x)^{prime}=$
$=1 cdot sin x+x cdot cos x=sin x+x cos x$$
Ответ. $y^{prime}(x)=sin x+x cos x$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить производную функции $y(x)=e^x cdot operatorname{tg} x$
Решение. В данном случае в качестве функций $u(x)$ и $v(x)$ можно выбрать соответственно
$$u(x)=e^{x}, v(x)=operatorname{tg} x$$
тогда искомая производная равна:
$$y^{prime}(x)=left(e^{x} cdot operatorname{tg} xright)^{prime}=left(e^{x}right)^{prime} cdot operatorname{tg} x+e^{x} cdot(operatorname{tg} x)^{prime}=$$
$$=e^{x} cdot operatorname{tg} x+e^{x} cdot frac{1}{cos ^{2} x}=e^{x}left(operatorname{tg} x+frac{1}{cos ^{2} x}right)$$
Ответ. $y^{prime}(x)=e^{x}left(operatorname{tg} x+frac{1}{cos ^{2} x}right)$
Читать дальше: производная частного (u/v)’.
Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву и другим 200 предметам можно здесь всего за 10 минут.
Производная произведения
| Определение |
|
Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя: $$ (uv)’=u’v+uv’ $$ |
Следует отметить, что не в коем случае производная произведения функций НЕ РАВНА произведению производных каждого множителя!
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти производную произведения двух функций $ y = xln x $ |
| Решение |
|
Находим производные от каждого из множителей. Для множителя $ x $ производная будет равна: $$ (x)’=1 $$ Для второй функции $ ln x $ производная находится по формуле для логарифма и равна: $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$ В целом пользуясь формулой производной произведения записыаем ответ: $$ y’=(xln x)’=(x)’ln x + x(ln x)’=ln x + xcdot frac{1}{x} = ln x + 1 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’=ln x + 1 $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную функции $ y = x^2e^{3x} $ |
| Решение |
|
Производная первой функции равна: $$ (x^2)’=2x $$ Производная второй функции равна: $$ (e^{3x})’=e^{3x}cdot (3x)’=e^{3x} cdot 3 = 3e^{3x} $$ Используя правило получаем: $$ y’=(x^2e^{3x})’=(x^2)’e^{3x}+x^2(e^{3x})’=2xe^{3x}+3x^2e^{3x} $$ Выносим экспоненты за скобки для упрощенной записи ответа: $$ y’=(3x^2+2x)e^{3x} $$ |
| Ответ |
| $$ y’=(3x^2+2x)e^{3x} $$ |
Производная произведения и производная частного
3 февраля 2015
В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.
Производные тригонометрических функций
Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=sin x$, а также $y=cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$.
Если производную степенной функции мы все прекрасно знаем, а именно $left( {{x}^{n}} right)=ncdot {{x}^{n-1}}$, то, что касается тригонометрических функций, нужно упомянуть отдельно. Давайте запишем:
[begin{align} {{left( sin x right)}^{prime }} &=cos x \ {{left( cos x right)}^{prime }} &=-sin x \ {{left( tgx right)}^{prime }} &=frac{1}{{{cos }^{2}}x} \ {{left( ctgx right)}^{prime }} &=frac{1}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
Но эти формулы вы прекрасно знаете, давайте пойдем дальше.
Что такое производная произведения?
Для начала самое главное: если функция представляет собой произведение двух других функций, например, $fcdot g$, то производная этой конструкции будет равна следующему выражению:
[{{left( fcdot g right)}^{prime }}={f}’cdot g+fcdot {g}’]
Как видите, эта формула значительно отличается и является более сложной, нежели те формулы, которые мы рассматривали ранее. Например, производная суммы считается элементарно —${{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’$, либо производная разности, которая тоже элементарно считается ― ${{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’$.
Давайте попробуем применить первую формулу для вычисления производных двух функций, которые нам даны в задаче. Начнем с первого примера:
[y={{x}^{3}}left( x-5 right)]
Очевидно, что в качестве произведения, точнее, в качестве множителя, выступает следующая конструкция: ${{x}^{3}}$, мы можем рассматривать в качестве $f$, а $left( x-5 right)$ мы можем рассматривать в качестве $g$. Тогда их произведение как раз и будет произведением двух функций. Решаем:
[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}cdot left( x-5 right) right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}cdot left( x-5 right)+{{x}^{3}}cdot {{left( x-5 right)}^{prime }}= \& =3{{x}^{2}}cdot left( x-5 right)+{{x}^{3}}cdot 1 \end{align}].
Теперь давайте внимательно посмотрим на каждое из наших слагаемых. Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом присутствует степень $x$: в первом случае это ${{x}^{2}}$, а во втором — ${{x}^{3}}$. Давайте вынесем наименьшую степень за скобки, в скобке останется:
[begin{align}& 3{{x}^{2}}cdot left( x-5 right)+{{x}^{3}}cdot 1={{x}^{2}}left( 3cdot 1left( x-5 right)+x right)= \& ={{x}^{2}}left( 3x-15+x right)={{x}^{2}}(4x-15) \end{align}]
Все, мы нашли ответ.
Возвращаемся к нашим задачам и попробуем решить:
[fleft( x right)=xleft( sqrt[3]{x}-1 right)]
Итак, переписываем:
[fleft( x right)=xcdot left( sqrt[3]{x}-1 right)]
Опять же замечаем, что речь идет о произведении произведения двух функций: $x$, которую можно обозначить за $f$, и $left( sqrt[3]{x}-1 right)$, которую можно обозначить за $g$.
Таким образом, перед нами вновь произведение двух функций. Для нахождения производной функции $fleft( x right)$ вновь воспользуемся нашей формулой. Получим:
[begin{align}& {f}’=left( x right)’cdot left( sqrt[3]{x}-1 right)+xcdot {{left( sqrt[3]{x}-1 right)}^{prime }}=1cdot left( sqrt[3]{x}-1 right)+xfrac{1}{3sqrt[3]{x}}= \& =sqrt[3]{x}-1+sqrt[3]{x}cdot frac{1}{3}=frac{4}{3}sqrt[3]{x}-1 \end{align}]
Ответ найден.
Зачем раскладывать производные на множители?
Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.
Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.
Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.
По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n-ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.
Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени.
А теперь, когда вы все это поняли, давайте вернемся к производным произведения и посчитаем еще несколько уравнений.
Но прежде чем переходить непосредственно к вычислениям, хотел бы напомнить такие закономерности:
[begin{align}& {{left( sin x right)}^{prime }}=cos x \& {{left( cos x right)}^{prime }}=-sin x \& left( tgx right)’=frac{1}{{{cos }^{2}}x} \& {{left( ctgx right)}^{prime }}=-frac{1}{{{sin }^{2}}x} \end{align}]
Считаем первый пример:
[y={{x}^{4}}cdot sin x]
У нас опять произведение двух функций: первая ― $f$, вторая ― $g$. Напомню формулу:
[{{left( fcdot g right)}^{prime }}={f}’cdot g+fcdot {g}’]
Давайте решим:
[begin{align}& {y}’={{left( {{x}^{4}} right)}^{prime }}cdot sin x+{{x}^{4}}cdot {{left( sin x right)}^{prime }}= \& =3{{x}^{3}}cdot sin x+{{x}^{4}}cdot cos x={{x}^{3}}left( 3sin x+xcdot cos x right) \end{align}]
Переходим ко второй функции:
[y=left( 3x-2 right)cos x]
Опять же, $left( 3x-2 right)$ ― это функция $f$, $cos x$ ― это функция $g$. Итого производная произведения двух функций будет равна:
[begin{align}& {y}’={{left( 3x-2 right)}^{prime }}cdot cos x+left( 3x-2 right)cdot {{left( cos x right)}^{prime }}= \& =3cdot cos x+left( 3x-2 right)cdot left( -sin x right)=3cos x-left( 3x-2 right)cdot sin x \end{align}]
Вот такое решение.
Идем далее и переходим к более сложным примерам. Для экономии времени я буду пропускать очевидные действия и буду писать лишь ключевые шаги. Итак:
[y={{x}^{2}}cos x+4xsin x]
Запишем:
[{y}’={{left( {{x}^{2}}cdot cos x right)}^{prime }}+{{left( 4xsin x right)}^{prime }}]
Выпишем по отдельности:
[begin{align}& {{left( {{x}^{2}}cdot cos x right)}^{prime }}=left( {{x}^{2}} right)’cos x+{{x}^{2}}cdot {{left( cos x right)}^{prime }}= \& =2xcdot cos x+{{x}^{2}}cdot left( -sin x right)=2xcdot cos x-{{x}^{2}}cdot sin x \end{align}]
На множители мы это выражение не раскладываем, потому что это еще не окончательный ответ. Сейчас нам предстоит решить вторую часть. Выписываем ее:
[begin{align}& {{left( 4xcdot sin x right)}^{prime }}={{left( 4x right)}^{prime }}cdot sin x+4xcdot {{left( sin x right)}^{prime }}= \& =4cdot sin x+4xcdot cos x \end{align}]
А теперь возвращаемся к нашей изначальной задаче и собираем все в единую конструкцию:
[begin{align}& {y}’=2xcdot cos x-{{x}^{2}}cdot sin x+4sin x+4xcos x=6xcdot cos x= \& =6xcdot cos x-{{x}^{2}}cdot sin x+4sin x \end{align}]
Все, это окончательный ответ.
Переходим к последнему примеру ― он будет самым сложным и самым объемным по вычислениям. Итак, пример:
[y={{x}^{2}}tgx-2xctgx]
Считаем:
[{y}’={{left( {{x}^{2}}cdot tgx right)}^{prime }}-{{left( 2xctgx right)}^{prime }}]
Считаем каждую часть отдельно:
[begin{align}& {{left( {{x}^{2}}cdot tgx right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}cdot tgx+{{x}^{2}}cdot {{left( tgx right)}^{prime }}= \& =2xcdot tgx+{{x}^{2}}cdot frac{1}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
[begin{align}& {{left( 2xcdot ctgx right)}^{prime }}={{left( 2x right)}^{prime }}cdot ctgx+2xcdot {{left( ctgx right)}^{prime }}= \& =2cdot ctgx+2xleft( -frac{1}{{{sin }^{2}}x} right)=2cdot ctgx-frac{2x}{{{sin }^{2}}x} \end{align}]
Возвращаясь к исходной функции, посчитаем ее производную в целом:
[begin{align}& {y}’=2xcdot tgx+frac{{{x}^{2}}}{{{cos }^{2}}x}-left( 2ctgx-frac{2x}{{{sin }^{2}}x} right)= \& =2xcdot tgx+frac{{{x}^{2}}}{{{cos }^{2}}x}-2ctgx+frac{2x}{{{sin }^{2}}x} \end{align}]
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать по производным произведения. Как видите, основная проблема формулы состоит не в том, чтобы ее заучить, а в том, что получается довольно большой объем вычислений. Но это нормально, потому что сейчас мы переходим к производной частного, где нам придется очень сильно потрудиться.
Что представляет собой производная частного?
Итак, формула производной частного. Пожалуй, это самая сложная формула в школьном курсе производных. Допустим, у нас есть функция вида $frac{f}{g}$, где $f$ и $g$ ― также функции, с которых тоже можно снять штрих. Тогда она будет считаться по следующей формуле:
[{{left( frac{f}{g} right)}^{prime }}=frac{{f}’cdot g-fcdot {g}’}{{{g}^{2}}}]
Числитель чем-то напоминает нам формулу производной произведения, однако между слагаемыми стоит знак «минус» и еще в знаменателе добавился квадрат исходного знаменателя. Давайте посмотрим, как это работает на практике:
[fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}]
Попытаемся решить:
[{f}’={{left( frac{{{x}^{2}}-1}{x+2} right)}^{prime }}=frac{{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{prime }}cdot left( x+2 right)-left( {{x}^{2}}-1 right)cdot {{left( x+2 right)}^{prime }}}{{{left( x+2 right)}^{2}}}]
Предлагаю выписать каждую часть отдельно и записать:
[begin{align}& {{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}-{1}’=2x \& {{left( x+2 right)}^{prime }}={x}’+{2}’=1 \end{align}]
Переписываем наше выражение:
[begin{align}& {f}’=frac{2xcdot left( x+2 right)-left( {{x}^{2}}-1 right)cdot 1}{{{left( x+2 right)}^{2}}}= \& =frac{2{{x}^{2}}+4x-{{x}^{2}}+1}{{{left( x+2 right)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{left( x+2 right)}^{2}}} \end{align}]
Мы нашли ответ. Переходим ко второй функции:
[y=frac{1}{{{x}^{2}}+4}]
Судя по тому, что в ее числителе стоит просто единица, то здесь вычисления будут чуть проще. Итак, запишем:
[{y}’={{left( frac{1}{{{x}^{2}}+4} right)}^{prime }}=frac{{1}’cdot left( {{x}^{2}}+4 right)-1cdot {{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{prime }}}{{{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{2}}}]
Посчитаем каждую часть примера отдельно:
[begin{align}& {1}’=0 \& {{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+{4}’=2x \end{align}]
Переписываем наше выражение:
[{y}’=frac{0cdot left( {{x}^{2}}+4 right)-1cdot 2x}{{{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{2}}}=-frac{2x}{{{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{2}}}]
Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.
В чем разница между обозначениями?
У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $fleft( x right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $fleft( x right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде[fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}], мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $fleft( x right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.
С другой стороны, используя обозначения вида[y=frac{1}{{{x}^{2}}+4}], т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида[y=frac{1}{{{x}^{2}}+4}], читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.
Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.
Несколько интересных задач
На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. Поэтому напомню следующее:
[begin{align}& {(sin x)}’=cos x \& {{left( cos x right)}^{prime }}=-sin x \end{align}]
Конечно, нам не обойтись и без производной частного, а именно:
[{{left( frac{f}{g} right)}^{prime }}=frac{{f}’cdot g-fcdot {g}’}{{{g}^{2}}}]
Считаем первую функцию:
[fleft( x right)=frac{sin x}{x}]
Запишем:
[begin{align}& {f}’={{left( frac{sin x}{x} right)}^{prime }}=frac{{{left( sin x right)}^{prime }}cdot x-sin xcdot left( {{x}’} right)}{{{x}^{2}}}= \& =frac{xcdot cos x-1cdot sin x}{{{x}^{2}}}=frac{xcos x-sin x}{{{x}^{2}}} \end{align}]
Вот мы и нашли решение этого выражения.
Переходим ко второму примеру:
[y=frac{xsin x}{cos x}]
Очевидно, что ее производная будет более сложной уже хотя бы потому, что и в числителе, и в знаменателе данной функции присутствует тригонометрия. Решаем:
[{y}’={{left( frac{xsin x}{cos x} right)}^{prime }}=frac{{{left( xsin x right)}^{prime }}cdot cos x-xsin xcdot {{left( cos x right)}^{prime }}}{{{left( cos x right)}^{2}}}]
Заметим, что у нас возникает производная произведения. В этом случае она будет равна:
[begin{align}& {{left( xcdot sin x right)}^{prime }}={x}’cdot sin x+x{{left( sin x right)}^{prime }}= \& =sin x+xcos x \end{align}]
Возвращаемся к нашим вычислениям. Записываем:
[begin{align}& {y}’=frac{left( sin x+xcos x right)cos x-xcdot sin xcdot left( -sin x right)}{{{cos }^{2}}x}= \& =frac{sin xcdot cos x+x{{cos }^{2}}x+x{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}= \& =frac{sin xcdot cos x+xleft( {{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x right)}{{{cos }^{2}}x}=frac{sin xcdot cos x+x}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
Вот и все! Мы посчитали.
Как свести производную частного к простой формуле производной произведения?
И вот тут хотелось бы сделать одно очень важное замечание, касающееся именно тригонометрических функций. Дело в том, что наша исходная конструкция содержит в себе выражение вида $frac{sin x}{cos x}$, которую легко можно заменить просто $tgx$. Таким образом, мы сведем производную частного к более простой формуле производной произведения. Вот давайте посчитаем этот пример еще раз и сравним результаты.
Итак, теперь нам нужно учесть следующее:
[frac{sin x}{cos x}=tgx]
Перепишем нашу исходную функцию $y=frac{xsin x}{cos x}$ с учетом этого факта. Получим:
[y=xcdot tgx]
Давайте посчитаем:
[begin{align}& {y}’={{left( xcdot tgx right)}^{prime }}{x}’cdot tgx+x{{left( tgx right)}^{prime }}=tgx+xfrac{1}{{{cos }^{2}}x}= \& =frac{sin x}{cos x}+frac{x}{{{cos }^{2}}x}=frac{sin xcdot cos x+x}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.
Важные нюансы при решении задач
В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:
[y=frac{48}{x}+3{{x}^{2}}+100]
В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.
Итак, считаем эту производную. Прежде всего, заметим, что у нас присутствует слагаемое $3{{x}^{2}}$, поэтому уместно вспомнить следующую формулу:
[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]
Кроме того, у нас присутствует слагаемое $frac{48}{x}$ ― с ним мы будем разбираться через производную частного, а именно:
[{{left( frac{f}{g} right)}^{prime }}=frac{{f}’cdot g-fcdot {g}’}{{{g}^{2}}}]
Итак, решаем:
[{y}’={{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}+{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+10{0}’]
С первым слагаемым никаких проблем, смотрите:
[{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}=3cdot {{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}=3k.2x=6x]
А вот с первым слагаемым, $frac{48}{x}$, нужно поработать отдельно. Дело в том, что многие ученики путают ситуацию, когда нужно найти ${{left( frac{x}{48} right)}^{prime }}$и когда нужно найти ${{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}$. Т. е., они путаются, когда константа стоит в знаменателе, и когда константа стоит в числителе, соответственно, когда переменная стоит в числителе, либо в знаменателе.
Для начала проработаем первый вариант:
[{{left( frac{x}{48} right)}^{prime }}={{left( frac{1}{48}cdot x right)}^{prime }}=frac{1}{48}cdot {x}’=frac{1}{48}cdot 1=frac{1}{48}]
С другой стороны, если мы попробуем аналогично поступить и со второй дробью, то получим следующее:
[begin{align}& {{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}={{left( 48cdot frac{1}{x} right)}^{prime }}=48cdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}= \& =48cdot frac{{1}’cdot x-1cdot {x}’}{{{x}^{2}}}=48cdot frac{-1}{{{x}^{2}}}=-frac{48}{{{x}^{2}}} \end{align}]
Однако тот же самый пример можно было посчитать и иначе: на этапе, где мы переходили к производной частного, можно рассмотреть $frac{1}{x}$ как степень с отрицательным показателем, т. е., мы получим следующее:
[begin{align}& 48cdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}=48cdot {{left( {{x}^{-1}} right)}^{prime }}=48cdot left( -1 right)cdot {{x}^{-2}}= \& =-48cdot frac{1}{{{x}^{2}}}=-frac{48}{{{x}^{2}}} \end{align}]
И так, и так мы получили один и тот же ответ.
Таким образом, мы еще раз убедились в двух важных фактах. Во-первых, одну и ту же производную можно посчитать совершенно различными способами. Например, ${{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.
На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.
Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.
Смотрите также:
- Вводный урок по вычислению производных степенной функции
- Простое определение производной функции
- Основное тригонометрическое тождество
- Как быстро извлекать квадратные корни
- Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции
- Сложная задача B14: работа трех исполнителей
