В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
- Виды логарифмов
- Общая формула производной логарифма
- Производная натурального логарифма
-
Примеры задач
Виды логарифмов
Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:
1. Десятичный логарифм (lg x)
lg x = log10x
Т.е. это логарифм числа x основанию 10.
2. Натуральный логарифм (ln x)
ln x = loge x
Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).
Общая формула производной логарифма
Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.
Производная натурального логарифма
Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.
Данная формула получена следующим образом:
Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:
Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):
Примеры задач
Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log4x.
Решение:
Используя общую формулу производной получаем:
Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.
Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления производной логарифма
Формула
$$left(log _{a} xright)^{prime}=frac{1}{x ln a}$$
Производная логарифмической функции по основанию $a$ равна
единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на
натуральный логарифм основания.
Напомним, что есть специальные обозначения для логарифмов:
-
Десятичный логарифм, $lg x$ – это логарифм по основанию
10, то есть $lg x=log _{10} x$ ; - Натуральный логарифм, $ln x$ – это логарифм по основанию $e$, то есть $ln x=log _{e} x$ .
Примеры вычисления производной логарифма
Пример
Задание. Вычислить производную функции $y(x)=log _{3} x$
Решение. Согласно формуле имеем, что
$$y^{prime}(x)=left(log _{3} xright)^{prime}=frac{1}{x ln 3}$$
Ответ. $y^{prime}(x)=frac{1}{x ln 3}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти производную функции $y(x)=2 lg x$
Решение. Искомая производная равна:
$$y^{prime}(x)=(2 lg x)^{prime}$$
По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной, а логарифм в условии десятичный, значит его основание равно 10, тогда имеем:
$$y^{prime}(x)=2 cdot(lg x)^{prime}=2 cdot frac{1}{x ln 10}=frac{2}{x ln 10}$$
Ответ. $y^{prime}(x)=frac{2}{x ln 10}$
Читать дальше: производная натурального логарифма (lnx)’.
Ответы Mail.ru
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Вопросы – лидеры.
Помогите решить задачи в Excel
1 ставка
Основные понятия и законы химии.
Билет №3
Помоги пожалуйста срочно!!!!!!!!!!!
1 ставка
Как построить третий вид чертежа по 2 данным?
1 ставка
Реставрационно-художественный колледж СПб
1 ставка
Вопрос по физике
1 ставка
Лидеры категории
Лена-пена
Искусственный Интеллект
М.И.
Искусственный Интеллект
Y.Nine
Искусственный Интеллект
•••
Пользователь удален
Ученик
(138),
закрыт
16 лет назад
)))
Soulless
Мастер
(2458)
16 лет назад
lg(e)/(х)
rook3
Мастер
(1647)
16 лет назад
(lgX)’=1/(x*ln10)
Mini_Pinch
Мыслитель
(7649)
16 лет назад
вроде 1/x
Ася Баяренцева
Профи
(929)
16 лет назад
1/х*ln10, если вы имели в виду логарифм по основанию 10.
Алексей Белоушко
Ученик
(144)
2 месяца назад
неверные записи даете ln'(x)=1/x
lg(x)=ln(x)*lg(e)
=>
lg'(x)=lg(e)/x
Похожие вопросы
Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида y=(f(x))g(x) или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.
Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.
Как вывести формулу логарифмической производной
Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:
y=f(x)ln y=ln(f(x))(ln y)’=(ln(f(x)))’1y·y’=(ln(f(x)))’⇒y’=y·(ln(f(x)))’
Примеры использования формулы
Покажем на примере, как это делается.
Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x.
Решение
Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y=ln xx. С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y=x·ln x. Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:
ln y=x·ln xln y’=x·ln x’1y·y’=x’·ln x+·ln x’⇒y’=y·1·ln x+x·1x=y·(ln x+1)=xx·(ln x+1)
Ответ: xx’=xx·(ln x+1)
Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:
y=xx=eln xx=ex·ln x⇒y’=(ex·ln x)’=ex·ln x·x·ln x’=xx·x’·ln x+x·(ln x)’==xx·1·ln x+x·1x=xx·ln x+1
Рассмотрим еще одну задачу.
Вычислите производную функции y=x2+13×3·sin x.
Решение
Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y’=y·ln(f(x))’. Поясним, почему такое вычисление удобнее.
Начнем с нахождения ln(f(x)). Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:
- логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
- логарифм произведения можно представить в виде суммы;
- если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.
Преобразуем выражение:
ln(f(x))=ln(x2+1)13×3·sin x12=ln(x2+1)13-ln(x3·sin x)12==13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x
В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:
(ln(f(x)))’=13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x’==13ln(x2+1)’-32ln x’-12ln sin x’==13(ln(x2+1))’-32(ln x)’-12(ln sin x)’==13·1×2+1·x2+1′-32·1x-12·1sin x·(sin x)’==13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x
Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.
Ответ: y’=y·ln(f(x))’=x2+13×3·sin x·13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x
Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.
Дана показательно степенная функция y=(x2+x+1)x3. Вычислите ее производную.
Решение:
y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·ln(x2+x+1)x3’==(x2+x+1)x3·x3·(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·x3’·ln(x2+x+1)+x3ln(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x3·1×2+x+1·x2+x+1’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x32x+1×2+x+1==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1
Ответ: y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1
Вычислите производную выражения y=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2.
Решение
Применяем формулу логарифмической производной.
y’=y·lnx2+13·x+1·x3+14×2+2x+2’==y·lnx2+13+lnx+1+lnx3+14-lnx2+2x+2’==y·13ln(x2+1)+12lnx+1+14ln(x3+1)-12ln(x2+2x+2)’==y·(x2+1)’3(x2+1)+x+1’2(x+1)+(x3+1)’4×3+1-x2+2x+2’2×2+2x+2==x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2)
Ответ:
y’=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2).
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
F(x) = lgx найти все возможные производные.
Вы находитесь на странице вопроса F(x) = lgx найти все возможные производные? из категории Алгебра.
Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 – 11 классов. На странице
можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить
возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи.
Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки
найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте
новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку,
нажав кнопку в верхней части страницы.
