Как найти производную обратной функции пример

Как найти производную обратной функции пример

Производная обратной функции.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0,$ и пусть в этой точке существует производная $f'(x_0)neq 0.$ Тогда обратная функция в точке $y_0=f(x_0)$ имеет производную, которая может быть найдена по формуле $left(f^{-1}(y_0)right)’=frac{1}{f'(x_0)}.$

Примеры.

Найти производные обратных функций  $left(f^{-1}(y)right)’.$

1) ${ y=x+x^3 }.$

Решение.

$$frac{dy}{dx}=1+3 x^2Rightarrowfrac{dx}{dy}=frac{1}{1+3x^2}.$$

Ответ: $x’_y=frac{1}{1+3x^2}.$

2) Найти $left(f^{-1}(0)right)’,$ $left(f^{-1}(6/5)right)’.$

${ y=x+frac{1}{5}x^5}.$

Решение.

Если $y=0,$ то

$0=x+frac{1}{5}x^5Rightarrow 0=xleft(1+frac{1}{5}x^4right)Rightarrow$ $left[begin{array}{lcl}x=0\1+frac{1}{5}x^4=0end{array}right.Rightarrow$ $left[begin{array}{lcl}x=0\x^4=-5end{array}right.Rightarrow x=0.$ 

Если $y=6/5,$ то $frac{6}{5}=x+frac{1}{5}x^5Rightarrow$ $x=1.$ (Функция имеет единственный корень, поскольку она строго монотонна).

$y’=1+x^4Rightarrow x’=frac{1}{1+x^4}.$ Таким образом,
$$x'(0)=frac{1}{1}=1; ,, x'(6/5)=frac{1}{1+1}=frac{1}{2}.$$

Ответ: $x'(0)=1; ,, x'(6/5)=frac{1}{2}.$

3) ${ y=2x-frac{cos x}{2},,, y=-frac{1}{2}. }$

Решение.

$2x-frac{cos x}{2}=-frac{1}{2},$ следовательно $x=0.$

$y’=2+frac{sin x}{2},$ поэтому  $x’=frac{1}{2+frac{sin x}{2}}.$ Таким образом, $x'(-frac{1}{2})=frac{1}{2}.$  

Ответ: $x'(-frac{1}{2})=frac{1}{2}.$

4) ${ y=0,1x+e^{0,1x} ,,, y=1.}$

Решение.

$0,1x+e^{0,1x}=1, $ следовательно $x=0.$

$y’=0,1+0,1e^{0,1x},$ поэтому $x’=frac{1}{0,1+0,1e^{0,1x}}.$
Таким образом, $x'(1)=frac{1}{frac{2}{10}}=5.$

Ответ: $x'(1)=5.$

Источник

Производная обратной функции

Теорема.

Если

– строго монотонная непрерывная функция
и

– обратная к ней функция, имеющая в
точке у
производную

,
то функция f
имеет в соответст-вующей точке х
производную


.

Доказательство.


,
так как функция f(x)
непрерывна, то при

и

,
тогда

.

Примеры
использования производной от обратной
функции

  1. Найти

    .
    Мы уже вывели эту формулу. Вывод был
    достаточно громоздкий.

Теперь:
если

,
то

,


.

– результат
тот же самый.

Если
а=е,
т.е. у=lnx,
то

.

Производные обратных тригонометрических функций

– строго
возрастает на отрезке [1,1].
Напомню график

Обратная
функция x=siny
имеет производную

,
если

.

Поэтому

Аналогично


Таким
образом, у нас имеется таблица производных
основных элементарных функций. Тем
самым ясно, как вычислять производные
элементарных функций, которые получают
из основных элементарных путем конечного
числа арифметических операций и взятия
функции от функции.

Производная
функции, заданной параметрически

Пусть
х
и у заданы
как функции некоторого параметра t:


.
(1)

Каждому
значению t
соответствуют значения х
и у.

Если
рассматривать эти значения x
и y
как координаты точки на плоскости xОy,
то каждому значению t
соответствует определенная точка
плоскости. При изменении t
от

эта
точка описывает на плоскости некоторую
кривую.

Уравнения
(1) называются параметрическими
уравне-ниями этой кривой, t
называется параметром, а способ задания
кривой (1) –параметрическим.

Предположим,
что функция

имеет обратную,

,
тогда

т.е. у
является сложной функцией от х.

По правилу
дифференцирования сложной функции


.
Но по правилу дифференцирования обратной
функции

.

Эта формула
называется формулой дифференцирования
функции, заданной параметрически.

Пример:

2.5 Уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции

Рассмотрим кривую, уравнение которой .

Возьмем
на этой кривой точку М

.
Уравнение любой прямой, проходящей
через эту точку, имеет вид

где k
– ее угловой коэффициент.

Для
касательной

,
поэтому уравнение касательной имеет
вид


.

Прямая,
проходящая через точку М

перпенди-кулярно касательной, называется
нормалью.

Для
нее

.
Поэтому уравнение нормали к графику в
точке М

имеет вид

;
здесь предполагается, что

.

2.6. Производные высшего порядка. Формула Лейбница

Если
найдена производная от функции f(x),
т.е. вычислена

– снова функция аргумента х.
Можно еще раз найти производную от

.
Если эта производная существует, то она
называется второй производной от f(x)
и обозначается через

или

.


.

По
индукции производная n-го
порядка определяется как первая
производная от производной (n–1)
порядка


.

Пример 1.

Пусть

,
где m
– целое число. Эта функция имеет
производные любого порядка.

  1. Пусть

    ,
    где


    произвольное (не целое) число. Тогда
    для x>0
    эта функция имеет любую производную,
    вычисляемую по аналогичной формуле:

3.

4.

Формула Лейбница

Это
формула дает возможность вычислить
производную n-го
порядка от произведения двух функций
u(x)v(x).

Давайте
найдем несколько первых производных и
установим общий закон, пригодный для
вычисления производной любого порядка.

Вспомним
бином Ньютона:

Если
в этой формуле заменить

(соответственно считая, что

),
то и получим формулу, которая носит
название формулы Лейбница.

Производные
различных порядков от неявных функций
и функций, заданных параметрически

  1. Сначала
    покажем способ нахождения производных
    различного порядка от неявных функций
    (на примере).

Пусть

– неявная связь у
и х
(у
не выражен явно через х).

Или

(1)

Дифференцируем
по х
обе части равенства, имея в виду, что у
есть функция х:


.

Отсюда:

.
Первая производная найдена, но выражена
она и через х
и через у.

Последнее
равенство еще раз дифференцируем по х
(имея опять в виду, что у=у(х)).

Подставляя
вместо

ее значение (зависящее от х
и у),
найдем

Из
(1) заметим, что

,
так что

Дифференцируя
по х
полученное равенство, найдем

и.т.д.

Производная
второго порядка от функции, заданной
параметрически

Мы
знаем формулу для первой производной

Продифференцируем
это равенство по х,
имея в виду, что t
– функция х.

Пример.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #

    12.05.2015384 Кб17д.doc

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет производная обратной функции и как ее вычислить. Перед изучением данной темы советуем повторить, что такое обратная функция и какими свойствами она обладает.

Чтобы избежать разночтений, мы будем обозначать аргумент функции, по которому она дифференцируется, в нижнем регистре, т.е. запись fx'(x) будет означать производную функции f(x) по x. 

Для начала определим правило, по которому производится вычисление производной обратной функции.

Определение 1

Допустим, у нас есть две взаимно обратные функции x=g(y) и y=f(x), которые определены на соответствующих интервалах y∈c; d и x∈[a; b]. Если у нас есть некая точка x0∈[a; b], в которой расположена конечная производная f(x), отличная от 0, то должна быть и конечная производная g(y), такая, что gy'(y0)=1fx'(x0). Иначе это можно записать как fx'(x0)=1gy'(y0).

Данное правило может быть сформулировано для любого x, принадлежащего интервалу [a; b]. Тогда мы получим следующее: gy'(y0)=1fx'(x0),  fx'(x0)=1gy'(y0). Истинность этих формул можно проверить с помощью следующих рассуждений.

Доказательство 1

У нас есть натуральный логарифм вида y=f(x)=ln x, где y является функцией, а x – аргументом. Найдем его обратную функцию. Для этого нам потребуется разрешить уравнение относительно x. Получим x=g(y)=ey (здесь x будет функцией, а y – ее аргументом). Значит, функции x=g(y)=ey и y=f(x)=ln x по отношению друг к другу являются взаимно обратными.

Проверим значения в таблице производных: yx’=fx'(x)=ln xx’=1x, а xy’=gy'(y)=eyy’=ey.

Тот же результат мы получим при использовании формулы обратных производных:

gy'(y)=1fx'(x)=1(ln x)x’=11x=x=eyfx'(x)=1gy'(y)=1eyy’=1ey=1eln x=1x

Поскольку полученный результат соответствует значению, указанному в таблице производных, то данная формула будет верна.

Используя эти знания, мы можем перейти к доказательству формул производных обратных тригонометрических функций.

Производные функции арксинус и арккосинус

Первое, что мы сделаем, – научимся определять производную функции арксинус.

Пример 1

Поскольку y=arcsin x, x∈-1; 1, то обратная функция будет выглядеть как x=sin y, y∈-π2; π2.

Берем нужную формулу и вычисляем:

yx’=(arcsin x)x’=1(sin y)y’=1cos y=1cos(arcsin x)

Теперь нам надо преобразовать полученное выражение.

Поскольку область значения арксинуса представляет собой промежуток arcsin x∈-π2; π2, значит, cos(arcsin x)≥0 (при необходимости повторите материал об основных элементарных функциях, их свойствах и графиках).

Следовательно, cos(arcsin x)=1-sin2(arcsin x)-1-x2. Выражение cos(arcsin x)=1-sin2(arcsin x)-1-x2 мы рассматривать не будем.

Мы получили, что arcsin xx’=1cos (arcsin x)=11-x2.

Производная арксинуса определена на промежутке (-1; 1).

Для функции арккосинус все вычисления будут точно такими же.

Пример 2

yx’=(arccos)x’=1(cos y)y’=1-sin y=-1sin (arccos x)==-11-cos2(arccos x)=-11-x2

Производные функции арктангенс и арккотангенс

Теперь вычислим производную арктангенса.

Пример 3

Поскольку для y=arctg x, x∈(-∞; +∞) обратной функцией будет x=tg y, y∈-π2; π2, то y’x=arctg xx’=1(tg y)y’=11cos2y=cos2(arctg x).

Для упрощения результата нужно выразить арктангенс через арккосинус.

Допустим, что arctg x = z, значит:

tg(arctg x)=tg z⇒x= tg z=sin zcos z=1-cos2zcos z⇒x·cos z=1-cos2 z⇒x2·cos2z=1-cos2z⇒(x2+1)·cos2z=1⇒cos2z=1×2+1⇒cos z=1×2+1⇒z=arccos1x2+1⇒arctg x=arccos1x2+1

Следовательно, можно записать так:

arctg xx’=cos2(arctg x)==cos2arccos1x2+1=1×2+12=1×2+1

Для вычисления производной арккотангенса действуем по аналогии:

Пример 4

yx’=(arcctg x)x’=1(ctg y)y’=1-1sin2y=-sin2(arcctg x)==-sin2arcsin 1×2+1=-1×2+1

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Производная обратной функции

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций — обратные величины. Формула для производной обратной функции:

    [x{'_y} = frac{1}{{y{'_x}}}.]

Примеры. Найти производную обратной функции:

1) y=x²-7lnx.

Имеем:

    [y{'_x} = ({x^2} - 7ln x){'_x} = 2x - frac{7}{x} = frac{{2{x^2} - 7}}{x}]

Отсюда

    [x{'_y} = frac{x}{{2{x^2} - 7}}.]

    [2)y = 3x + 0,3cos x]

    [y{'_x} = (3x + 0,3cos x){'_x} = 3 - 0,3sin x = frac{{30 - 3sin x}}{{10}}]

Отсюда 

    [x{'_y} = frac{{10}}{{30 - 3sin x}}.]

    [3)y = frac{2}{9}{x^3} + {e^{5x}}]

Отсюда

    [y{'_x} = (frac{2}{9}{x^3} + {e^{5x}}){'_x} = frac{2}{9} cdot 3{x^2} + {e^{5x}} cdot (5x)' = ]

    [ = frac{2}{3}{x^2} + 5{e^{5x}} = frac{{2{x^2} + 15{e^{5x}}}}{3}]

и

    [x{'_y} = frac{3}{{2{x^2} + 15{e^{5x}}}}.]

Примеры для самопроверки. Найти производную обратной функции:

1) y=3x²-5x

    [2)y = frac{1}{3}x + {e^{frac{x}{5}}}.]

Показать решение

Добавить комментарий

Источник

Пусть y=f(x) — функция от аргумента x в некотором интервале (a,b). Если в уравнении y=f(x) y считать аргументом, а x — функцией, то возникает новая функция {displaystyle x=phi (y),} где {displaystyle f[phi (y)]equiv y,} — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)[править | править код]

Для дифференцируемой функции y(x) с производной {displaystyle y'_{x}(x)}, отличной от нуля, производная {displaystyle x'_{y}(y)} обратной функции {displaystyle x(y)} равна обратной величине производной данной функции в точке {displaystyle x(y)}, то есть

{displaystyle x'_{y}(y)={frac {1}{y'_{x}(x(y))}}}[1]

Примеры[править | править код]

  • {displaystyle y=arcsin {x}Rightarrow x=sin {y},}
{displaystyle y'_{x}=(arcsin {x})'={frac {1}{x'_{y}}}={frac {1}{(sin {y})'}}={frac {1}{cos {y}}}={frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}{y}}}}={frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}{(arcsin {x})}}}}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}.}
  • {displaystyle y=ln {x}Rightarrow x=e^{y},}
{displaystyle y'_{x}=(ln {x})'={frac {1}{x'_{y}}}={frac {1}{(e^{y})'}}={frac {1}{e^{y}}}={frac {1}{x}}.}

См. также[править | править код]

  • Производная функции
  • Таблица производных
  • Дифференцирование сложной функции
  • Дифференцируемая функция
  • Основная теорема анализа
  • Геометрический смысл производной
  • Частная производная

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Здесь и далее нижний индекс обозначает аргумент, по которому производится дифференцирование.

Литература[править | править код]

  • В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0

Улучшение статьи

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.
Источник

Добавить комментарий