Как найти производную от дробной функции

Производная дроби – что это такое

Формула производной от дроби

Формула ПД имеет следующий вид:

(left(fracupsilonnuright)’=frac{upsilon’nu-upsilonnu’}{v^2})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

При этом важно отметить, что нахождение ПД нельзя осуществлять с помощью деления производной числителя на производную знаменателя. Два эти действия будут иметь разные значения после подсчетов.

Приведем доказательство данной формулы. Рассмотрим выражение y=fracupsilonnu. Все представленные переменные – это функции от х. Умножим их на (nu). Получим (ytimesnu=upsilon).

Дифференцируем по х, применяя формулу производной произведения двух функций, то есть:

(left(upsilontimesnuright)’=upsilon’timesnu+upsilontimesnu’)

Тогда выводим:

(y’timesnu+ytimesnu’=upsilon’)

Из этого вычисляем нужную нам производную:

(y’timesnu=upsilon’-ytimesnu’=upsilon’-fracupsilonnutimesnu’=frac{upsilon’v-upsilonnu’}nu;;y’=frac{upsilon’v-upsilonnu’}{nu^2})

Что и требовалось доказать.

Следует также привести таблицу с производными часто встречающихся функций:

Как решать производные функции с дробями, примеры

Чтобы понять, как решать ПФ с дробями, приведем несколько примеров.

Пример 1

Найти производную дроби (y=frac x{In;x}.)

Решение

Из формулы следует, что числитель (upsilon=х), а знаменатель (nu=In;х). Найдем их производные:

(upsilon’=left(хright)’=1,;nu’=left(In;xright)’=frac1x)

Подставляем решенные (upsilon’;и;nu’) в формулу и получаем:

( y’=left(frac x{In;x}right)’=frac{left(xright)’In;x-xleft(In;xright)’}{left(In;xright)^2}=frac{In;x;-x{displaystylefrac1x}}{In^2x}=frac{In;x-1}{In^2x})

Ответ: (y’=frac{In;x-1}{In^2x}.)

Пример 2

Найти производную дроби, равную (y=frac{cos;x}x).

Решение

По формуле производной частного:

(y’=left(frac{cos;x}xright)=frac{left(cos;xright)’x-cos;xleft(xright)’}{left(xright)^2})

Производная косинуса дает нам синус с минусом:

(left(cos;xright)’=-sin;x)

В таком случае:

(y’=frac{-x;sin;x-cos;x}{x^2}=-frac{x;sin;x+cos;x}{x^2})

Ответ: (y’=-frac{x;sin;x+cos;x}{x^2}.)

Пример 3

Найти производную дроби (yleft(xright)=frac{e^x-1}{e^x+1}.)

Решение

Из таблицы производных находим:

(left(e^xright)’=e^x)

Применяем правила дифференцирования постоянной и суммы:

(left(e^x-1right)’=left(e^xright)’-left(1right)’=e^x-0=e^x;;left(e^x+1right)’=left(e^xright)’+left(1right)’=e^x-0=e^x)

Используем формулу производной дроби:

(left(fracupsilonnuright)’=frac{upsilon’nu-upsilonnu’}{nu^2};left(frac{e^x-1}{e^x+1}right)’=frac1{left(e^x+1right)^2}timeslbrackleft(e^x-1right)’left(e^x+1right)-left(e^x-1right)left(e^x+1right)’rbrack=frac1{left(e^x+1right)^2}timeslbrack e^xleft(e^x+1right)-left(e^x-1right)e^xrbrack=frac{2e^x}{left(e^x+1right)^2})

Ответ: (y’=frac{2e^x}{left(e^x+1right)^2}.)

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная дроби

Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и всё делить на квадрат знаменателя:

$$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v-uv’}{v^2} $$

Следует понимать, что производная дроби НЕ РАВНА отношению производных числителя и знаменателя!

Примеры с решением

Один из важнейших разделов математики – производные. Для их нахождения существуют специальные формулы производных. Для работы с ними необходимо знать основные формулы элементарных функций.

Таблица формул производных

Ниже приведена таблица формул производных элементарных функций.

Смысл производной

В математике производная имеет геометрический и физический смыслы.

Допустим, что некоторая функция f(x) задана в интервале (a, b). При этом есть две точки x и x₀, которые находятся в указанном интервале. Если значение x будет изменяться, то и f(x) тоже изменится. Изменение аргумента находится из выражения (x – x₀). Эта разность обозначается как Δx – приращение аргумента. В таком случае приращением функции будет являться разность между ее значениями в двух точках. Исходя из этого, можно дать определение производной. Ей называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в указанной точке. При этом сам аргумент стремится к нулю.

В математике формулы производных функций записываются так:

[begin{gathered}
f^{prime}left(x_{0}right)=left(frac{fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)}{Delta x}right). \
y^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0}left(frac{Delta y}{Delta x}right) .
end{gathered}]

Смысл этих формул, а точнее нахождения их значений, может быть описан с точки зрения геометрии и физики.

Геометрический смысл состоит в том, что производная функции в конкретной точке равняется тангенсу угла, который образован осью абсцисс и касательной линией к графику. Пример показан на рисунке ниже.

В физике смысл состоит в том, что производная от пройденного расстояния по времени есть скорость движения точки.

Формула вычисления производной дроби

Рассмотрим формулу вычисления производной дроби. Функция v(x) имеет производную в определенной точке x. При этом v(x) не равна нулю (v(x) ≠ 0). В таком случае справедлива следующая формула:

[left(frac{u}{v}right)^{prime}=frac{u^{prime} v-u v^{prime}}{v^{2}}]

Рассмотрим примеры использования формулы производной дроби при решении задач.

Решение примеров на нахождение производных в математике называется дифференцированием. Они бывают двух типов:

• частными;
• полными.

Между этими типами есть одно основное отличие. При нахождении частной производной функция аппроксимируется только по одному аргументу. Так во всех предыдущих примерах аппроксимация производилась только по x.