Производная функции
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.
Как найти?
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
- Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
- Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v – uv’}{v^2} $$
- Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$
Примеры решения
| Пример 1 |
| Найти производную функции $ y = x^3 – 2x^2 + 7x – 1 $ |
| Решение |
|
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y’ = (x^3 – 2x^2 + 7x – 1)’ = (x^3)’ – (2x^2)’ + (7x)’ – (1)’ = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем: $$ y’ = 3x^{3-1} – 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 – 0 = 3x^2 – 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ y’ = 3x^2 – 4x + 7 $$ |
| Пример 2 |
| Найти производную функции $ y = sin x – ln 3x $ |
| Решение |
|
По правилу производной разности: $$ y’ = (sin x – ln 3x)’ = (sin x)’ – (ln 3x)’ = $$ По таблице интегрирования находим: $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$ С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента: $$ y’ = (sin x)’ – (ln 3x)’ = cos x – frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$ После упрощения получаем: $$ = cos x – frac{1}{3x} cdot 3 = cos x – frac{1}{x} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = cos x – frac{1}{x} $$ |
| Пример 3 |
| Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $ |
| Решение |
|
В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$ $$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$ Производная первой функции вычисляется как разность фунций: $$ (3x-1)’ = (3x)’ – (1)’ = 3(x)’ – (1)’ = 3 $$ Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$ Продолжаем решение с учетом найденных производных: $$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$ |
| Пример 4 |
| Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $ |
| Решение |
|
Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны: $$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$ Используя формулу №4 получаем: $$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} – ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$ Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку: $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$ |
| Пример 5 |
| Найти производную функции $ y = ln sin 3x $ |
| Решение |
|
Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение. $$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$ Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией: $$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$ Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде: $$ y’ = 3ctg 3x $$ |
| Ответ |
| $$ y’ = 3ctg 3x $$ |
урок 3. Математика ЕГЭ
Как найти производную от функции
Как считать производные?
Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?
Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.
Формулы производной
Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.
Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$
Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$
Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$
Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$
Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$
Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$
Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$
Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$
Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$
Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$
Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$
Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$
Свойства производной
Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.
Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$
Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$
Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$
Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$
Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$
Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$
Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$
Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$
Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$
Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$
Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$
Примеры нахождения производной
Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.
Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$
Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$
Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$
Производная сложной функции
Сложная функция – это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:
-
$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)). -
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))). -
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)). -
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).
Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.
Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$
Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция – это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция – квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$
Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция – это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$
Вывод формул производной функции
Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).
И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) – изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) – разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).
Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:
$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$
Рис.1. График произвольной функции
И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) – это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) – абсцисса конечной точки.
Нам это пригодится при выводе формул производной.
Производная квадратичной функции
Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$
Производная от третьей степени
Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.
Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.
Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной
Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции
Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.
Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.
Что такое функция и что такое сложная функция ?
Функция $gleft(tright)=3cdot t-1$ – это правило отображения $t$ – чисел в значения функции $gleft(.right)$ по указанному правилу.
Например: числу $t=2$ соответствует значение $gleft(2right)=3cdot 2-1=5$. “2” отображается в “5”.
Еще: $t=0$ отображается в $-1$, т.е. $gleft(0right)=-1$ ; говорят: функция $g$ в точке $0$ принимает значение $-1$.
Именно все такие пары соответствий $left(2;5right)$ , $left(0;-1right)$ , $left(4;11right)$ … все прочие “делают” функцию.
“Я знаю кто он, если я знаю на что он способен, что и как он делает”. Функция: аргумент —> значение
$gleft(tright)$ переводит значения аргументов в значения функции. Имя аргумента ” $t$ ” здесь не важно, важно правило: $3cdot t-1$ !
Другая функция, $fleft(zright)=z^2$ переводит, отображает 5 —> 25, -1 —> 1. т.е. $fleft(5right)=25$ $fleft(-1right)=1$
- Ключевые термины: функция имя аргумент правило вычисления значения
- $gleft(tright)$ $gleft(tright)=3cdot t-1$ $g$ $t$ $3cdot t-1$
- $fleft(zright)$ $fleft(zright)=z^2$ $f$ $z$ $z^2$
Сложная функция $fleft(gleft(xright)right)=left(3x-1right)^2$ комбинированная из двух: $f$ и $g$
для $x=2$ функция $fleft(gleft(2right)right)=fleft(5right)=25$, значение по правилу такое же $left(3cdot 2-1right)^2=25$
для $x=0$ функция $fleft(gleft(0right)right)=fleft(-1right)=1$, также и значение по правилу $left(3cdot -1-1right)^2=1$
-
термины $fleft(gleft(xright)right)$ $x$ – аргумент функции $g$. $gleft(xright)$ – аргумент функции $f$.
-
$f$ – внешняя функция, $g$ – внутренняя функция. правило сложной функции $left(3x-1right)^2$
-
$fleft(gleft(xright)right)=fleft(3x-1right)=left(3x-1right)^2=left(gleft(xright)right)^2$ … $x$ (по правилу $g$ ) —> $left(3x-1right)$ (по правилу $f$) —> $left(3x-1right)^2$
Пример 1: Найти производную сложной функций $left(left(3x-1right)^2right)’$
-
Сложная функция: внутреняя $gleft(xright)=left(3x-1right)^2$ и внешняя $fleft(gright)=left(gleft(xright)right)^2$ – квадрат от аргумента, от внутренней
-
Метод Замены: Введем новую переменную $X=3x-1$ … “внутренняя функция стала переменной от $x$ “
-
Итак, зависимости: $fleft(Xright)=left(Xright)^2$, $X=3x-1$ . C какой скоростью изменяется $f$ при изменении $x$ ?
-
выражение $left(Xright)^2$ при изменениях $X$ изменяется со скоростью $left(left(Xright)^2right)’=2cdot X=2cdot (3x-1)$
-
переменная $X$ при изменениях аргумента $x$ изменяется со скоростью $left(Xright)’=left(3x-1right)’=3$
-
тогда, “комбинация двух изменений”: $left(Xright)^2$ при изменениях $x$ меняется по умножения скоростей $2cdot (3x-1)cdot 3$
-
иллюстрация правила умножения: Проследим за всеми взаимными изменениями
-
$bigtriangleup left(X^2right)approx left(X^2right)’cdot bigtriangleup X=left[2Xright]cdot bigtriangleup X$ $bigtriangleup Xapprox left(X’right)cdot bigtriangleup x=left(3x-1right)’bigtriangleup x$
-
комбинированная скорость $f’left(xright)approx frac{bigtriangleup left(X^2right)}{bigtriangleup x}=frac{bigtriangleup left(X^2right)}{bigtriangleup X}cdot frac{bigtriangleup left(Xright)}{bigtriangleup x}approx left[2Xright]cdot left(X’right)=left[2cdot left(3x-1right)right]cdot left(3right)$ – умножение скоростей
Решение: Оформим записи о дифференцировании сложной функции через равенства – действия шаг за шагом:
$left(left(3x-1right)^2right)’=left(X^2right)’cdot X’=2Xcdot X’=2left(3x-1right)cdot left(3x-1right)’=2left(3x-1right)cdot 3=18x-6$. Или, короче:
$left(left(3x-1right)^2right)’=2left(3x-1right)cdot left(3x-1right)’=2left(3x-1right)cdot 3=18x-6$ (замена $X=3x-1$ в воображении)
Хорошие вопросы: Производная Чего? в этом случае “квадрата”. Что есть внешняя и что есть внутренняя функции?
Теорема: Производная Сложной Функции по аргументу $x$ равна умножению
производной внешней функции по внутренней на производной внутренней функции по $x$.
$left(fleft(gleft(xright)right)right)’=f_g’cdot g_x’$ Метод Замены: $left(fleft(gleft(xright)right)right)’=left(fleft(Xright)right)’=f_X’left(Xright)cdot X’$.
$X=gleft(xright)$ – внутреннее выражение. Доказательство через осмысление предела: $frac{bigtriangleup fleft(gleft(xright)right)}{bigtriangleup x}=frac{bigtriangleup fleft(gright)}{bigtriangleup g}cdot frac{bigtriangleup gleft(xright)}{bigtriangleup x}$
Таблица Основных Производных … $X$ большое – любое выражение от $x$
-
Степень: $left(X^nright)’=ncdot X^{n-1}cdot X’$ $left(X^3right)’=3X^2cdot X’$
-
Корень: $left(sqrt{X}right)’=left(X^{frac{1}{2}}right)’=frac{1}{2}cdot X^{-frac{1}{2}}cdot X’$ $left(sqrt[3]{X}right)’=left(X^{frac{1}{3}}right)’=frac{1}{3}cdot X^{-frac{2}{3}}cdot X’$
-
Тригонометрические: $left(sin Xright)’=cos Xcdot X’$ $left(cos Xright)’=-sin Xcdot X’$
-
Экспоненциальные: $left(e^Xright)’=e^Xcdot X’$ $left(a^Xright)’=a^Xcdot ln acdot X’$
-
Логарифмические: $left(ln Xright)’=frac{1}{X}cdot X’$ $left(log _aXright)’=left(frac{ln X}{ln a}right)’=frac{1}{Xcdot ln a}cdot X’$
Правила Дифференцирования:
-
производная суммы равна сумме производных: $left(A-B+Cright)’=A’-B’+C’$
-
правило производной от умножения: $left(Acdot Bright)’=A’cdot B+Acdot B’$
-
правило производной от деления: $left(frac{A}{B}right)’=frac{A’cdot B-Acdot B’}{B^2}$
-
производная сложной функции : $left(fleft(Xright)right)’=f’left(Xright)cdotleft(Xright)’$
Дифференцирование “сложных” функций, … … “как замена” и умножение на производную “замены”:
- Производная сложной функции … в аргументе функции выражение от $x$, называем “заменой” $X$ :
- $left(fleft(Xright)right)’=f’left(Xright)cdotleft(Xright)’$. В сложных функциях надо распознать и выделить внешнюю и внутреннюю функцию.
- Найти производную внешней функции и умножить на производную внутренней функции.
- f- внешняя функция, $X$ – внутренняя. $f’left(Xright)$ – производная в $X$ !
Пример 2: Найти производные “сложных” функций
В сложных функциях важно правильно распознать внешнюю и внутреннюю функцию. И, перемножить их производные.
A. $left(sin7xright)’=left(sin Xright)’=cos Xcdotleft(X’right)=cos7xcdotleft(7xright)’=7cos7x$
B. $left(sqrt{5cdot x^2-6}right)’=left(sqrt{X}right)’=frac{1}{2sqrt{X}}cdotleft(Xright)’=frac{1}{2sqrt{5cdot x^2-6}}cdotleft(5cdot x^2-6right)’=frac{10x}{2sqrt{5cdot x^2-6}}=frac{5x}{sqrt{5cdot x^2-6}}$
C. $left(e^{-5x}right)’=left(e^Xright)’=e^Xcdotleft(Xright)’=e^{-5x}cdotleft(-5xright)’=-5e^{-5x}$
D. $left(cossqrt{5cdot x^2-6}right)’=left(cos Xright)’=-sin Xcdotleft(Xright)’=-sinsqrt{5cdot x^2-6}cdotleft(sqrt{5cdot x^2-6}right)’=-frac{5xcdotsinsqrt{5cdot x^2-6}}{sqrt{5cdot x^2-6}}$
E. $left(log_3left(x^5-3x^2right)right)’=left(log_3Xright)’=left(frac{ln X}{ln3}right)’=frac{1}{ln3cdot X}cdotleft(Xright)’=frac{1}{ln3cdotleft(x^5-3x^2right)}cdotleft(x^5-3x^2right)’=frac{5x^4-6x}{ln3cdotleft(x^5-3x^2right)}$
Пример 3: Найти производную $left(sqrt{3x}cosleft(4x+1right)right)’$
-
перед нами произведение двух функций , возьмем производную от умножения по формуле
-
$left(fgright)’=f’g+fg’$ : $left(sqrt{3x}right)’cosleft(4x+1right)+sqrt{3x}left(cosleft(4x+1right)right)’$ .
-
функции , от которых предстоит взять производную, являются сложными …. производные сложных?
-
важно правильно распознать, какая функция будет внешней, а какая внутренней для каждой сложной функции.
-
$sqrt{3x}$ : внешняя функция – квадратный корень ; внутренняя – выражение под корнем $3x$ , берем производную:
-
$left(sqrt{3x}right)’=frac{1}{2}left(3xright)^{frac{1}{2}-1}cdotleft(3xright)’=frac{1}{2}left(3xright)^{-frac{1}{2}}cdot3=frac{3}{2sqrt{3x}}$
-
$cosleft(4x+1right)$ : внешняя функция – тригонометрическая cos ; внутренняя – аргумент косинуса $4x+1$
-
$left(cosleft(4x+1right)right)’=-sinleft(4x+1right)cdotleft(4x+1right)’=-sinleft(4x+1right)cdot4x’=-4sinleft(4x+1right)$
-
соберем все наши выкладки и получим производную исходного выражения:
-
$left(sqrt{3x}right)’cosleft(4x+1right)+sqrt{3x}left(cosleft(4x+1right)right)’=frac{3}{2sqrt{3x}}cosleft(4x+1right)-4sqrt{3x}sinleft(4x+1right)$
Иллюстационный пример: Учет сложности под разными функциями ….
Классная Интерактивная Доска:
Упражнения:
Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y=sin x-(2-3)·arctgxx57x10-17×3+x-11, то ее нельзя считать сложной в отличие от y=sin2 x.
Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.
Основные определения
Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.
Обозначается это таким образом: f(g(x)). Имеем, что функция g(x) считается аргументом f(g(x)).
Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g(x) = lnx – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f(g(x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f, являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g(x)=x2+2x-3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f(g(x))=(x2+2x-3)4.
Очевидно, что g(x) может быть сложной. Из примера y=sin2x+1×3-5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y=f(f1(f2(x))). Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f1 – функция, располагаемая под квадратным корнем, f2(x)=2x+1×3-5 – дробная рациональная функция.
Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))).
Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида
(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)
Примеры
Найти производную сложной функции вида y=(2x+1)2.
Решение
По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x)=2x+1 считается линейной функцией.
Применим формулу производной для сложной функции и запишем:
f'(g(x))=((g(x))2)’=2·(g(x))2-1=2·g(x)=2·(2x+1);g'(x)=(2x+1)’=(2x)’+1’=2·x’+0=2·1·x1-1=2⇒(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=2·(2x+1)·2=8x+4
Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:
y=(2x+1)2=4×2+4x+1
Отсюда имеем, что
y’=(4×2+4x+1)’=(4×2)’+(4x)’+1’=4·(x2)’+4·(x)’+0==4·2·x2-1+4·1·x1-1=8x+4
Результаты совпали.
При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g(x).
Следует найти производные сложных функций вида y=sin2x и y=sin x2.
Решение
Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x) – функцией синуса. Тогда получим, что
y’=(sin2x)’=2·sin2-1x·(sin x)’=2·sin x·cos x
Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g(x)=x2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как
y’=(sin x2)’=cos(x2)·(x2)’=cos(x2)·2·x2-1=2·x·cos(x2)
Формула для производной y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))) запишется как y’=f'(f1(f2(f3(…(fn(x))))))·f1′(f2(f3(…(fn(x)))))··f2′(f3(…(fn(x))))·…·fn'(x)
Найти производную функции y=sin(ln3 arctg(2x)).
Решение
Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y=f(f1(f2(f3(f4(x))))) обозначим, где f, f1, f2, f3, f4(x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.
Из формулы определения сложной функции имеем, что
y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)
Получаем, что следует найти
- f'(f1(f2(f3(f4(x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f'(f1(f2(f3(f4(x)))))=cos(ln3 arctg(2x)).
- f1′(f2(f3(f4(x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f1′(f2(f3(f4(x))))=3·ln3-1arctg(2x)=3·ln2arctg(2x).
- f2′(f3(f4(x))) в качестве производной логарифмической, тогда f2′(f3(f4(x)))=1arctg(2x).
- f3′(f4(x)) в качестве производной арктангенса, тогда f3′(f4(x))=11+(2x)2=11+4×2.
- При нахождении производной f4(x)=2x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1, тогда f4′(x)=(2x)’=2·x’=2·1·x1-1=2.
Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что
y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)==cos(ln3 arctg(2x))·3·ln2 arctg(2x)·1arctg(2x)·11+4×2·2==6·cos(ln3 arctg(2x))·ln2 arctg(2x)arctg(2x)·(1+4×2)
Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.
Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.
Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y=tg2x+3tgx+1, тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g(x)=tgx, f(g)=g2+3g+1. Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:
f'(g(x))=(g2(x)+3g(x)+1)’=(g2(x))’+(3g(x))’+1’==2·g2-1(x)+3·g'(x)+0=2g(x)+3·1·g1-1(x)==2g(x)+3=2tgx+3;g'(x)=(tgx)’=1cos2x⇒y’=(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=(2tgx+3)·1cos2x=2tgx+3cos2x
Функция вида y=tgx2+3tgx+1 не считается сложной, так как имеет сумму tgx2, 3tgx и 1. Однако, tgx2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g(x)=x2 и f, являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что
y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+(3tgx)’+1’==(tgx2)’+3·(tgx)’+0=(tgx2)’+3cos2x
Переходим к нахождению производной сложной функции (tgx2)’:
f'(g(x))=(tg(g(x)))’=1cos2g(x)=1cos2(x2)g'(x)=(x2)’=2·x2-1=2x⇒(tgx2)’=f'(g(x))·g'(x)=2xcos2(x2)
Получаем, что y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+3cos2x=2xcos2(x2)+3cos2x
Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.
Для примера рассмотрим сложную функцию вида y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2x·(x2+1)
Данная функция может быть представлена в виде y=f(g(x)), где значение f является функцией логарифма по основанию 3, а g(x) считается суммой двух функций вида h(x)=x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33 и k(x)=ln2x·(x2+1). Очевидно, что y=f(h(x)+k(x)).
Рассмотрим функцию h(x). Это отношение l(x)=x2+3cos3(2x+1)+7 к m(x)=ex2+33
Имеем, что l(x)=x2+3cos2(2x+1)+7=n(x)+p(x) является суммой двух функций n(x)=x2+7 и p(x)=3cos3(2x+1), где p(x)=3·p1(p2(p3(x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3, а p1 – функцией возведения в куб, p2 функцией косинуса, p3(x)=2x+1 – линейной функцией.
Получили, что m(x)=ex2+33=q(x)+r(x) является суммой двух функций q(x)=ex2 и r(x)=33, где q(x)=q1(q2(x)) – сложная функция, q1 – функция с экспонентой, q2(x)=x2 – степенная функция.
Отсюда видно, что h(x)=l(x)m(x)=n(x)+p(x)q(x)+r(x)=n(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))+r(x)
При переходе к выражению вида k(x)=ln2x·(x2+1)=s(x)·t(x) видно, что функция представлена в виде сложной s(x)=ln2x=s1(s2(x)) с целой рациональной t(x)=x2+1, где s1 является функцией возведения в квадрат, а s2(x)=ln x – логарифмической с основанием е.
Отсюда следует, что выражение примет вид k(x)=s(x)·t(x)=s1(s2(x))·t(x).
Тогда получим, что
y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2 x·(x2+1)==fn(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))=r(x)+s1(s2(x))·t(x)
По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
План урока:
Производные некоторых элементарных функций
Основные правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производные некоторых элементарных функций
Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.
Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.
Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:
где k и b – некоторые постоянные числа.
Выберем произвольную точку х0 и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х0 + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:
Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:
Находим отношение ∆у/∆х:
Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х0. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:
Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.
Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:
Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:
Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид
где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:
Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.
Решение. Сначала вычислим первую производную:
Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.
Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х0 и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х0 и (х0 + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:
Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х0 + ∆х будет стремится к х0, то есть
Задание. Вычислите производные функции
Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:
Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.
Начнем со степенной функции у = хn, где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:
Приведем примеры использования этой формулы:
Задание. Найдите производную функции у = х6 в точке х0 = 10.
Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t3. Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.
Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:
Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу
По определению отрицательной степени мы можем записать, что
Задание. Вычислите производную функции
Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции
чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х0, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:
Ответ: х0 = 0,25.
Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:
Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.
Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х0 = π.
Решение. Мы знаем, что
Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.
Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:
Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:
Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х0 = π/6.
Решение. Для тангенса используется формула:
Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:
Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:
Напомним, что справедлива формула
Стоит обратить внимание, что функции у = ех при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.
Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = ех в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).
Решение. Используем формулы производных:
Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:
Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:
Ответ: 45°.
Задание. Вычислите производную функции у = 2х при х0 = 3.
Решение. Используем формулу
Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:
Основные правила дифференцирования
До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х2 + 6х – 3 или у = x•sinx?
Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х3 + х2 получается сложением функций у = х3 и у = х2, а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.
Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.
В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции
Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:
Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:
Покажем использование этого правила:
Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что
Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х3 + 7х2 – 25х + 7 в точке х0 = 1.
Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:
Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:
Предположим, надо найти производную для функции у = х2•sinx. Её можно представить как произведение u•v, где
Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:
Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.
Задание. Найдите производную функции у = х2•(3х + х3). Вычислите ее значение при х = 1.
Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где
Задание. Продифференцируйте функцию
Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):
Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:
Например, пусть надо найти производную функции
С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:
Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:
Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции
чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.
Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:
Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:
Ответ: – 2 и 0.
Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию
Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:
У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:
Производная сложной функции
«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции
В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:
Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции
Она сконструирована из функции у = ex и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):
Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.
Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает
Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции
Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:
В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.
Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5)1000.
Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:
Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.
