Как найти производную от корня сложной функции

Была ли эта статья полезной?

   Раз ты зашел сюда, то уже, наверное, успел увидеть в учебнике эту формулу

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

и сделать вот такое лицо:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Содержание:

• Что такое сложная функция?
• 
  “Распаковка” сложной функции
• 
  Внутренняя и внешняя функция
• 
  Производная сложной функции. Примеры

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот “сложнейший” процесс представлен на схеме ниже:

Казалось бы, причем здесь математика? Да притом, что сложная функция формируется ТОЧНО ТАКИМ ЖЕ способом! Только «упаковываем» мы не тетради и ручки, а (x), при этом «пакетами» и «коробками» служат разные функции.

Например, возьмем x и «запакуем» его в функцию косинуса:

В результате получим, ясное дело, (cos⁡x). Это наш «пакет с вещами». А теперь кладем его в «коробку» – запаковываем, например, в кубическую функцию.

Что получится в итоге? Да, верно, будет «пакет с вещами в коробке», то есть «косинус икса в кубе».

Получившаяся конструкция и есть сложная функция. Она отличается от простой тем, что к одному иксу применяется НЕСКОЛЬКО «воздействий» (упаковок) подряд и получается как бы «функция от функции» – «упаковка в упаковке».

В школьном курсе видов этих самых «упаковок» совсем мало, всего четыре :

Давай теперь «упакуем» икс сначала в показательную функцию с основанием 7, а потом в тригонометрическую функцию тангенс. Получим:

(x → 7^x → tg⁡(7^x))

А теперь «упакуем» икс два раза в тригонометрические функции, сначала в синус, а потом в котангенс:

(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x ))

Просто, правда?

Напиши теперь сам функции, где икс:
   – сначала «упаковывается» в косинус, а потом в показательную функцию с основанием (3);
   – сначала в пятую степень, а затем в тангенс;
   – сначала в логарифм по основанию (4), затем в степень (-2). 

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

А можем ли мы «упаковать» икс не два, а три раза? Да, без проблем! И четыре, и пять, и двадцать пять раз. Вот, например, функция, в которой икс «упакован» (4) раза:

(y=5^{log_2⁡{sin⁡(x^4 )}})

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше – у них может быть и посложнее☺).

«Распаковка» сложной функции

Посмотри на предыдущую функцию еще раз. Сможешь ли ты разобраться в последовательности «упаковки»? Во что икс запихнули сначала, во что потом и так далее до самого конца. То есть – какая функция вложена в какую? Возьми листок и запиши, как ты считаешь. Можно сделать это цепочкой со стрелками как мы писали выше или любым другим способом.

Сделал?

Теперь правильный ответ: сначала икс «упаковали» в (4)-ую степень, потом результат упаковали в синус, его в свою очередь поместили в логарифм по основанию (2), и в конце концов всю эту конструкцию засунули в степень пятерки.

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: (y=tg⁡(log_2⁡x )). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

(x → log_2⁡x → tg⁡(log_2⁡x ))

Еще пример: (y=cos⁡{(x^3 )}). Анализируем – сначала икс возвели в куб, а потом от результата взяли косинус. Значит, последовательность будет: (x → x^3 → cos⁡{(x^3 )}). Обрати внимание, функция вроде бы похожа на самую первую (там, где с картинками). Но это совсем другая функция: здесь в кубе икс (то есть (cos⁡{(x·x·x)})), а там в кубе косинус (x) (то есть, (cos⁡x·cos⁡x·cos⁡x)). Эта разница возникает из-за разных последовательностей «упаковки».

Последний пример (с важной информацией в нем): (y=sin⁡{(2x+5)}). Понятно, что здесь сначала сделали арифметические действия с иксом, потом от результата взяли синус: (x → 2x+5 → sin⁡{(2x+5)}). И это важный момент: несмотря на то, что арифметические действия функциями сами по себе не являются, здесь они тоже выступают как способ «упаковки». Давай немного углубимся в эту тонкость.

Как я уже говорил выше, в простых функциях икс «упаковывается» один раз, а в сложных – два и более. При этом любая комбинация простых функций (то есть их сумма, разность, умножение или деление) – тоже простая функция. Например, (x^7) – простая функция и (ctg x) – тоже. Значит и все их комбинации являются простыми функциями:

(x^7+ ctg x) – простая,
(x^7· ctg x) – простая,
(frac{x^7}{ctg x}) – простая и т.д.

Однако если к такой комбинации применить еще одну функцию – будет уже сложная функция, так как «упаковок» станет две. Смотри схему:

Хорошо, давай теперь сам. Напиши последовательность «заворачивания» функций:

   (y=cos{⁡(sin⁡x)})

   (y=5^{x^7})

   (y=arctg⁡{11^x})

   (y=log_2⁡(1+x))

Ответы опять в конце статьи.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция – это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. Ну, понятно почему – она ж снаружи, значит внешняя.

Вот в этом примере: (y=tg⁡(log_2⁡x )), функция (log_2⁡x) – внутренняя, а  – внешняя.

А в этом: (y=cos⁡{(x^3+2x+1)}),   (x^3+2x+1) – внутренняя,  а  – внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось – будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Браво нам, мы всё ж таки добрались до «босса» этой темы – собственно, производной сложной функции, а конкретно, до той самой ужасной формулы из начала статьи.☺

((f(g(x)))’=f'(g(x))cdot g'(x))

Формула эта читается так:

И сразу смотри схему разбора “по словам” чтобы понимать, что к чему относится:

Надеюсь, термины «производная» и «произведение» затруднений не вызывают. «Сложную функцию» – мы уже разобрали. Загвоздка в «производной внешней функции по неизменной внутренней». Что это такое?

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция (y=sin⁡(x^3 )). Понятно, что внутренняя функция здесь (x^3), а внешняя  . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!):      (({sin⁡{x}})’=cos⁡{x}).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет (cos⁡(x^3)). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Осталась «производная внутренней функции». Ну, это совсем легко – обычная производная от внутренней функции, при этом внешняя не влияет вообще никак. В нашем примере, производная от (x^3).

((x^3 )’=3x^2)

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции (y=(sin⁡x )^3).

Анализируем. Последовательность «заворачивания» у нас такая: (x → sin⁡x → (sin⁡x )^3). Значит, в данном примере внутренняя функция это (sin⁡x), а внешняя .

Производная внешней по внутренней – это производная куба (содержимое куба при этом не меняется). Так как , а в нашем случае в куб «завернут» (sin⁡x), то производная внешней будет (3(sin⁡x)^2). То есть, имеем:

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

В итоге, имеем:

(y’=((sin⁡x )^3 )’=3(sin⁡x )^2·(sin⁡x )’=3(sin⁡x )^2·cos⁡x)

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln(x^2-x)).

Разбираем вложенность функций: (x → x^2-x → ln⁡(x^2-x)).
Внутренняя: (x^2-x).            Внешняя: .  
Из таблицы производных знаем:.
То есть производная внешней по внутренней будет: (ln⁡(x^2-x)’=) (frac{1}{x^2-x}).
Производная внутренней: ((x^2-x)’= (x^2)’-(x)’=2x-1).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x) )’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1))

Ну и напоследок можно немного «причесать» ответ, чтоб никто не докопался:

(y ‘=(ln⁡(x^2-x))’=)(frac{1}{x^2-x})(·(2x-1)=)(frac{2x-1}{x^2-x})

Готово.

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sin⁡{(cos⁡x)}).
Вложенность функций: (x → cos⁡x → sin⁡{(cos⁡x)})
Внутренняя: (cos⁡x)    Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sin{⁡(cos⁡x )}’=cos⁡{cos⁡x})
Производная внутренней: ((cos⁡x )’= -sin⁡x)
Имеем: (y’=(sin⁡{(cos⁡x)})’=cos⁡{cos⁡x}·(-sin⁡x )=-cos⁡{cos⁡x} ·sin⁡x)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись (cos⁡{cos⁡x}) на (cos^2⁡x) НЕЛЬЗЯ, так как (cos^2⁡x) – это комбинация простых функций (cos^ 2⁡x=cos⁡x·cos⁡x), а (cos⁡{cos⁡x}) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции (y=sqrt{x^6} )
Вложенность функций: (x → x^6 → sqrt{x^6})
Внутренняя: (x^6)      Внешняя:
Производная внешней по внутренней: (sqrt{x^6}’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})
Производная внутренней: ((x^6)’= 6x^5)
Имеем: ((sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда (sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). С учетом этого получаем:

(y’=( sqrt{x^6})’=)(frac{1}{2sqrt{x^6}})(·6x^5=)(frac{1}{2x^3})(·6x^5=)(frac{6x^5}{2x^3})(=3x^2)

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Тот же самый ответ, но значительно меньшими усилиями мы могли бы получить, упростив исходную функцию сразу. Воспользуемся тем же свойством корня: (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}). Тогда исходная функция приобретает вид: (y=sqrt{x^6}=x^{frac{6}{2}}=x^3). А производная куба это практически табличное значение! Готов ответ: (y’=(sqrt{x^6})’=(x^3 )’=3x^2). Немножко проще предыдущего решения, правда ☺? Поэтому прежде чем искать производную, посмотрите, можно ли исходную функцию упростить, чтоб решать было проще.

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции (y=ln⁡(x^3)).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: (x → x^3 → ln⁡(x^3 )), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: (log_a⁡{b^c}=c·log_a{⁡b}). И тогда функция получается (y=ln⁡(x^3 )=3ln⁡x). Отлично! Берем производную:

(y’=(ln⁡(x^3 ) )’=(3ln⁡x )’=3(ln⁡x )’=3·)(frac{1}{x}=frac{3}{x})

Вуаля!

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции (y=3^{sin⁡(x^4+1)}).
Вложенность функций: (x → x^4+1 → sin⁡(x^4+1) → 3^{sin⁡(x^4+1)})
Внутренняя: (x^4+1)    Средняя:      Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет (3^{sin⁡(x^4+1)}·ln⁡3).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, (sin⁡(x^4+1)’=cos⁡(x^4+1)).
И наконец, производная внутренней: ((x^4+1)’=(x^4 )’+(1)’=4x^3).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

((3^{sin⁡(x^4+1)})’=3^{sin⁡(x^4+1)} ·ln⁡3·cos⁡{(x^4+1)}·4x^3)

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=tg⁡(7^x)).

Разбираем вложенность функций: (x : → :7^x : → :tg⁡(7^x)).
Внутренняя: (7^x)       Внешняя: (tg⁡(7^x)).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет:  (frac{1}{cos^2⁡(7^x)}).
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: ((7^x)’=7^x·ln⁡7).
И перемножаем результаты:

(y’=tg⁡(7^x)’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x)}·7^x·ln⁡7)

И “причесываем”:   (y’=(tg⁡(7)^x))’=)(frac{1}{cos^2⁡(7^x )})( ·7^x·ln⁡7=)(frac{ln⁡7·7^x}{cos^2⁡(7^x)}).

Ну, теперь думаю всё понятно? И снова повторю – не пугайся сложных конструкций в ответах и промежуточных вычислениях. Они «на лицо ужасные», но зато добрые (в смысле простые) внутри. ☺ Пойми принцип и делай все последовательно.

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции (y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^2 → sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}).

Но давай снова воспользуемся свойством корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) и преобразуем нашу функцию к виду:

(y=sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2}=(x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: (x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^{frac{2}{3}})
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: (x^5+2x-5).    Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции:   . Получаем:   . Тогда в нашем случае будет: (frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}).
Производная внутренней: ((x^5+2x-5)’=5x^4+2).
Общий результат: (y ‘=(sqrt[3]{(x^5+2x-5)^2})’=((x^5+2x-5)^{frac{2}{3}} )’=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)).

В принципе, ответ найден. Но здесь можно сильно «причесать» результаты. Это может показаться сложным, но это не так, просто опять нагромождения символов большое и возникает такое ложное ощущение. На всякий случай помни: «не причесанный» ответ – тоже ответ. Поэтому если не поймешь дальнейших преобразований – не критично. Ладно, расческу в руки и вперед.
Вспоминаем свойство отрицательной степени (a^{-n}=)(frac{1}{a^n}). Получаем:

(y ‘=frac{2}{3}(x^5+2x-5)^{-frac{1}{3}}·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(·)(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2))

А теперь применяем свойство корня (sqrt[b]{x^a} =x^{frac{a}{b}}) в обратную сторону. То есть, вот так (x^{frac{a}{b}}=sqrt[b]{x^a}). В результате имеем:

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{(x^5+2x-5)^{frac{1}{3}}})(·(5x^4+2)=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2))

Ну, и перемножаем дроби.

(y’=)(frac{2}{3})(frac{1}{sqrt[3]{x^5+2x-5}})(·(5x^4+2)=)(frac{2(5x^4+2)}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})(=)(frac{10x^4+4}{3sqrt[3]{x^5+2x-5}})

ВСЁ!!! А теперь сам.

Найти производные функций:

a. (y=ctg⁡(x^7))
b. (y=e^{x^4+5x^3})
c. (y=sqrt{cos⁡x})
d. (y=log_5⁡{5^x})
e. (y=(tg⁡x)^3)
f. (y=sin⁡(ln⁡(x^2)))

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

(y=tg⁡(x^5))

(y=log^{-2}_{4}{⁡x})

(y=3^{cos⁡x})

(x → 1+x → log_2⁡{(1+x)} )

(x → 11^x → arctg⁡(11^x) )

(x → x^7 → 5^{x^7})

(x → sin⁡x → cos⁡(sin⁡x))

Сошлось? Красавчик!

Производная корень из Х – формулы и примеры вычислений

Понятие производной

Смысл производной основан на понятии предела функции. Состоит запись выражения из трёх частей, в одной из которых указывается, к чему стремится неизвестное. Оно может достигать как нуля, так и бесконечности. Таким образом, предел представляет собой динамическую величину. Например, пусть имеется некая функция f (x) = (1 + x) 1/x .

При иксе, который равен нулю, функция будет не определена, но можно исследовать, как она будет себя вести при приближении переменной к нулю. Для этого можно взять какое-либо значение икса и, подставив его в уравнение, вычислить функцию. Затем в формулу подставить иное произвольное число, но такое, чтобы оно было меньше предыдущего, то есть приближалось к нулю.

Выполнив несколько таких вычислений, можно увидеть, что значение функции начнёт приближаться к некой величине. Это значение и считается пределом рассматриваемого выражения при иксе, стремящемся к нулю.

Следует рассмотреть другую функцию: f (x) = 1 / x. Подставляя вместо икса различные числа, можно будет отметить, что при уменьшении исходной величины переменной числовое значение в ответе увеличивается, то есть результат функции ничем не ограничивается. Это означает, что при иксе, который стремится к нулю, предел будет равняться бесконечности.

Понятие предела помогает дать определение непрерывности. Функция f (x) непрерывна в точке x = c только тогда, когда знак предела и выражения можно поменять друг с другом местами: lim f (x) = f (lim x) = f с. Используя это свойство, можно определить точки разрыва и непрерывность. Зная определения можно понять, что представляет собой производная.

Пусть имеется линейная функция y = k * x + b, графиком которой будет прямая. При изменении икса на дельту по игреку будет происходить прирост на Δy = k * Δx. Получается, что величина k является скоростью роста функции: k = (f (x + Δx) — f (x)) / Δx. В этом случае график прямой имеет постоянный наклон, поэтому коэффициент k — константа.

Если же функция имеет произвольный вид, например, она состоит из сложного многочлена с дробями и квадратами, то, как вычислить постоянную k, непонятно. Вот тут на помощь и приходит понятие производной. Можно взять отношение дельта-икс на дельта-игрек и посмотреть, какой предел будет у функции: f'(x) = lim (f (x + Δx) — f (x)) / Δx. По сути, это действие и является нахождением производной.

Свойства корня

Находить производные подкоренных выражений невозможно без знания свойств степеней и корней. По определению, корнем квадратным из произвольного числа, которое больше нуля, называется такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат равняется этому числу.

То есть выражение √a = b тождественно равенству: b 2 = a. Например, √16 = 4, так как 4 2 = 16. Таким образом, можно утверждать, что корнем энной степени числа а будет такое выражение, которое при возведении в эту степень будет равняться а. Степень корня указывается в верхнем регистре значка, а основание записывается под знаком корня и называется подкоренным выражением.

Выделяют следующие свойства корней:

1. Если подкоренное выражение представляет умножение неотрицательных чисел, то корень квадратный будет равняться произведению корней членов выражения: √ a * b * … * n = √ a * √ b * … * √ n.
2. Когда под корнем находится отношение двух положительных чисел, то для решения выражения нужно извлечь корень из числителя и знаменателя, а после выполнить деление: √ a / b = √ a / b = √ a / √ b.
3. В случае когда а больше или равняется нулю и при этом n является натуральным, то корень из подкоренного выражения будет равняться а в степени n: √ a 2 n = a n .
4. При действительном числе и чётном значении показателей подкоренного выражения будет справедливым равенство: 2*m √ a 2*m = | a |. Если же показатель нечётный, то в ответе действительное число будет всегда положительное.
5. При извлечении корня из корня n √ m √ действие можно заменить произведением показателей при неизменном подкоренном выражении.
6. Сложение и вычитание корней возможно только в том случае, когда количественные или буквенные значения подкоренных выражений совпадают: n √ m + k √ m = (n + k) √ m.
7. Умножить корни с одинаковыми показателями возможно лишь тогда, когда показатель у всех перемножаемых членов одинаков: √ n * √ m = √ n * m.

Для любой степени существует основная формула, по которой может быть найдена производная.

Выглядит она как (x n )’ = n * x n -1 . Эта формула используется и для дифференцирования корней. Кроме этого, для успешного решения задач на нахождение производной квадратного корня из х необходимо знать и свойства степеней.

Нахождение выражения из Х

В общем случае формула производной корня из х равна дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе произведение степени корня на корень той же степени в подкоренном выражении, где находится неизвестное, уменьшенное на единицу, в степени. Математически это теорема записывается следующей формулой: ( n √x)’ = 1 / (n * n √ x n -1 ).

Эта формула имеет название первообразной. Она подходит для использования в выражениях любой кратности. В качестве примера можно рассмотреть взятие производной квадратного и кубического корня.

Так, для квадратного степенного уравнения справедливо выражение: (n√x)’ = 1 / 2 * √x. То есть производная квадратного корня х является дробью, делимое которой равняется единице, а делитель состоит из двойки, умножаемой на квадратный корень из неизвестного.

Аналогично можно сформулировать теорему и для нахождения производной кубического корня из x. Для этого случая решением задания на вычисление производной будет дробь, в числителе которой находится единица, а в знаменателе произведение тройки на корень кубический из икса в степени два. Формула для вычисления выглядит следующим образом: ( 3 √x)’ = 1 / (3 3 √x 2 ).

Можно обратить внимание, что, по сути, операция сводится к таким же действиям, как и при возведении дробей в степень, когда делитель равняется тому же показателю.

Иными словами, вычисление производной коренного выражения сводится к использованию формул для нахождения функции дроби.

Для доказательства формул используют следующие рассуждения. Производная переменной под квадратным корнем это то же, что и нахождение функции при возведении многочлена в степень одна вторая: (√x)’ = (х ½ )’. Поэтому можно воспользоваться формулой для расчёта производной неизвестного числа в степени эн. А значит, запись вида (х ½ )’ = ½ х -½ = 1 / (2√х) будет верной.

Формула производной третьей степени доказывается по такому же принципу. Используя правило дифференцирования и переписав кубический корень как тройную степень, можно записать: ( 3 √x)’ = (х 1/3 )’ = 1 / 3 * (x- 2/3 ) = 1 / 3 * ( 3 √х 2 ). Тут следует отметить, что степень -2/3 образовывается путём вычитания единицы из дроби, в числителе которой стоит два, а в знаменателе три.

Примеры заданий

При взятии производной функции f (x) = n √х m необходимо привести корень к степенному виду: f (x)’ = ( n √х m )’ = x m/n .

Так как из производных степени известно, что (x m )’ = m * x m-1 , то и алгоритм решения для нахождения ответа коренного выражения сводится к преобразованию исходного уравнения путём перехода к степени: f (x)’ = ( n √х m )’ = (x m/n )’ = m/n * x ( m/n) -1 = (m/n * n √х m-n ).

Этот подход позволяет не запоминать сложную формулу, что часто и используется на практике.

Для закрепления теории следует решить несколько типовых примеров:

1. Определить, чему будет равна производная от корня квадратного, кратного разности три минус икс в квадрате. Запись условия задачи выглядит так: (√ 3 — x 2 )’. Мысленно можно обозначить выражение в скобках буквой S. Получается, что задача будет состоять в поиске производной (√ S)’. Используя знание формулы, можно утверждать, что (√ S)’ = S’ / (2 * √ S). Ту же самую формулу можно будет получить, воспользовавшись преобразованием задания в степенную функцию: (√ S)’ = (S ½ ) ‘ = (½) * S (½ — 1 ) * S’ = S -½ * S’ / 2 = S’ / (2 * √ S). Таким образом, (√ 3 — x 2 )’ = (3 — x 2 )’ / (2 * √ 3 — x 2 ) = – 2* x / 2 * √ 3 — x 2 = – x / √ 3 — x 2 .
2. Рассчитать, чему будет равна производная функции 1 / (2 * 3√ x7). Исходное выражение нужно преобразовать так, чтобы неизвестная оказалась в числителе, а затем уже воспользоваться стандартным алгоритмом: (1 / 2 * 3√ x7)’ = 1 / 2 * (x-7/3)’. Теперь нужно взять производную от степенной функции. В итоге получится выражение: 1 / 2 * (-7 / 3) * x (-7/3) — 1 = -(7 / 6) * x-10/3 = (-7 / 6) * (1 / 3√ x10).
3. Необходимо найти производную суммы многочленов: p (x) = 3 + 4 √ x+3. По теореме дифференцирования ответ будет равняться сумме производных каждого члена равенства: p (x)’ = (3)’ + (4 √ x+3)’. Первое слагаемое равняется нулю, поэтому останется только найти производную корня. Используя снова правило производной, выражение можно переписать как 4 * (√ x+3)’. На следующем этапе многочлен в скобках нужно представить в виде степенной функции: (√x + 3)’ = 1 / ((2√x + 2)) * (x + 2)’ = 2 * (x +2)’ / √x+2. Так как производная суммы, это то же самое, что сумма производных, то будет верным записать: (4 √ x+2)’ = (2 / √x+2) *(<(x)’ + (2)’>). Производная для двойки равна нулю, поэтому плюсовать её смысла нет. В итоге получится: p (x)’ = (3 + 4 √ x+3)’ = 2/ √x +2 = 2 / √x +2.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

Попрактиковавшись в решении различных примеров, найти производную корня простых выражений будет довольно просто. Но если в заданиях будут стоять двойные корни или сама функция будет содержать большой многочлен, могут возникнуть проблемы. Связаны они обычно не с алгоритмом решения, а с трудностью вычисления и преобразования.

Такого рода задачи требуют повышенного внимания и скрупулёзности в расчётах. При этом поиску ответа понадобится уделить довольно много времени. Поэтому для помощи в нахождении производных коренных функций и существуют в интернете математические онлайн-калькуляторы.

Это сервисы, предлагающие бесплатно услуги по автоматическому расчёту производной любой сложности. Воспользоваться ими может каждый желающий, имеющий доступ к интернету. Для нахождения ответа не нужно обладать какими-то особыми знаниями. Всё что требуется от пользователя — ввести в предложенную форму условие и нажать кнопку «Вычислить». Весь процесс расчёта займёт одну-две секунды.

При этом большинство сервисов, кроме предоставления ответа на своих страницах, дает возможность ознакомиться с теоретическим материалом и предлагает рассмотреть решения заданий различной сложности. Поэтому вопроса, каким образом получился тот или иной ответ, возникнуть не должно.

Из различных онлайн-калькуляторов, считающих производные, можно выделить следующие:

1. Webmath.
2. Kontrolnaya-rabota
3. Onlinemschool.
4. Сalc.
5. Nauchniestati.

Сайты, используемые для вычислений, характеризуются интуитивно понятным интерфейсом, не содержащим нагромождения ненужной информации. На их страницах нет рекламного и вирусного кода.

Примечательно и то, что, выполнив пару вычислений, пользователь научится самостоятельно вычислять производную. А всё дело в том, что особенностью таких ресурсов является возможность обучения. Кроме непосредственно ответа, программа-расчётчик выдаст пошаговое вычисление с комментариями.

Кроме учащихся, онлайн-калькуляторы будут полезны и инженерам. Даже незначительная ошибка, допущенная в расчёте, приведёт к неверному ответу. В то же время при автоматических вычислениях появление ошибки исключено.

Производная корня икс

Формула

Производная от корня равна единице, деленной на два таких же корня.

Если под корнем находится сложная функция $u=u(x)$, то производная от корня этой функции будет равна: единице, деленной на два таких же корня и умноженной на производную подкоренного выражения, то есть

Примеры вычисления производной корня

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 sqrt$

Решение. Искомая производная равна:

Согласно правилам дифференцирования, вынесем константу 2 за знак производной, в итоге будем иметь:

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного – в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная “икса” равна единице, а производная синуса – косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200. ), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего “икса”. Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные – в статье “Производная произведения и частного функций”.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u‘v , в котором u – число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка – механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие “Производные простых тригонометрических функций”.

Пошаговые примеры – как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители – суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, “икс” у нас превращается в единицу, а минус 5 – в ноль. Во втором выражении “икс” умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную “икса”. Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок “Производные простых тригонометрических функций”.

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых – квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого – квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн.

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Пример 9. Найти производную функции

, где a и b – константы.

Пример 10. Найти производную функции

.

Пример 11. Найти производную функции

.

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Продолжаем искать производные вместе

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных – под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных – номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель – также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя – это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного – в статьях “Производная произведения и частного функций” и “Производная суммы дробей со степенями и корнями”.

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_10_6.php

http://function-x.ru/derivative.html

[/spoiler]