Как найти производную от логарифма сложной функции

В данной публикации мы рассмотрим производные логарифмических функций, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Виды логарифмов

  • Общая формула производной логарифма

  • Производная натурального логарифма

  • Примеры задач

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log10x

Т.е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = loge x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Производная натурального логарифма

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.

Данная формула получена следующим образом:

Производная натурального логарифма

Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:

Свойство логарифма

Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):

Производная натурального логарифма сложной функции

Примеры задач

Задание 1:
Найдите производную функции y(x) = log4x.

Решение:
Используя общую формулу производной получаем:
Вычисление производной логарифма функции

Задание 2:
Вычислите производную функции y = ln x / 5.

Решение:
Применим свойство производной, согласно которой константу можно вынести за знак производной, и далее воспользуемся формулой для натурального логарифма:
Вычисление производной натурального логарифма

Когда нам нужно выполнить дифференцирование показательно степенной функции вида y=(f(x))g(x) или преобразовать громоздкое выражение с дробями, можно использовать логарифмическую производную. В рамках этого материала мы приведем несколько примеров применения этой формулы.

Чтобы понять эту тему, необходимо знать, как пользоваться таблицей производных, быть знакомым с основными правилами дифференцирования и представлять себе, что такое производная сложной функции.

Как вывести формулу логарифмической производной

Для получения этой формулы нужно сначала произвести логарифмирование по основанию e, а затем упростить получившуюся функцию, применив основные свойства логарифма. После этого надо вычислить производную неявно заданной функции:

y=f(x)ln y=ln(f(x))(ln y)’=(ln(f(x)))’1y·y’=(ln(f(x)))’⇒y’=y·(ln(f(x)))’

Примеры использования формулы

Покажем на примере, как это делается.

Пример 1

Вычислить производную показательно степенной функции переменной x в степени x.

Решение

Проводим логарифмирование по указанному основанию и получаем ln y=ln xx. С учетом свойств логарифма это можно выразить как ln y=x·ln x. Теперь дифференцируем левую и правую части равенства и получаем результат:

ln y=x·ln xln y’=x·ln x’1y·y’=x’·ln x+·ln x’⇒y’=y·1·ln x+x·1x=y·(ln x+1)=xx·(ln x+1)

Ответ: xx’=xx·(ln x+1)

Такую задачу можно решить и другим способом, без логарифмической производной. Сначала нам надо преобразовать исходное выражение так, чтобы перейти от дифференцирования показательно степенной функции к вычислению производной сложной функции, например:

y=xx=eln xx=ex·ln x⇒y’=(ex·ln x)’=ex·ln x·x·ln x’=xx·x’·ln x+x·(ln x)’==xx·1·ln x+x·1x=xx·ln x+1

Рассмотрим еще одну задачу.

Пример 2

Вычислите производную функции y=x2+13×3·sin x.

Решение

Исходная функция представлена в виде дроби, значит, мы можем решить задачу с помощью дифференцирования. Однако эта функция довольно сложная, значит, преобразований потребуется много. Значит, нам лучше использовать здесь логарифмическую производную y’=y·ln(f(x))’. Поясним, почему такое вычисление удобнее.

Начнем с нахождения ln(f(x)). Для дальнейшего преобразования нам потребуются следующие свойства логарифма:

  • логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов;
  • логарифм произведения можно представить в виде суммы;
  • если у выражения под логарифмом есть степень, мы можем вынести ее в качестве коэффициента.

Преобразуем выражение:

ln(f(x))=ln(x2+1)13×3·sin x12=ln(x2+1)13-ln(x3·sin x)12==13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x

В итоге у нас получилось достаточно простое выражение, производную которого вычислить несложно:

(ln(f(x)))’=13ln(x2+1)-32ln x-12ln sin x’==13ln(x2+1)’-32ln x’-12ln sin x’==13(ln(x2+1))’-32(ln x)’-12(ln sin x)’==13·1×2+1·x2+1′-32·1x-12·1sin x·(sin x)’==13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x

Теперь то, что у нас получилось, нужно подставить в формулу логарифмической производной.

Ответ: y’=y·ln(f(x))’=x2+13×3·sin x·13·2xx2+1-32x-cos x2 sin x

Чтобы закрепить материал, изучите еще пару следующих примеров. Здесь будут приведены только вычисления с минимумом комментариев.

Пример 3

Дана показательно степенная функция y=(x2+x+1)x3. Вычислите ее производную.

Решение:

y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·ln(x2+x+1)x3’==(x2+x+1)x3·x3·(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·x3’·ln(x2+x+1)+x3ln(x2+x+1)’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x3·1×2+x+1·x2+x+1’==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+x32x+1×2+x+1==(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1

Ответ: y’=y·(ln(f(x)))’=(x2+x+1)x3·3×2·ln(x2+x+1)+2×4+x3x2+x+1

Пример 4

Вычислите производную выражения y=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2.

Решение 

Применяем формулу логарифмической производной.

y’=y·lnx2+13·x+1·x3+14×2+2x+2’==y·lnx2+13+lnx+1+lnx3+14-lnx2+2x+2’==y·13ln(x2+1)+12lnx+1+14ln(x3+1)-12ln(x2+2x+2)’==y·(x2+1)’3(x2+1)+x+1’2(x+1)+(x3+1)’4×3+1-x2+2x+2’2×2+2x+2==x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2)

Ответ: 

y’=x2+13·x+1·x3+14×2+2x+2·2×3(x2+1)+12(x+1)+3×24(x3+1)-2x+22(x2+2x+2).

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Содержание:

  • Суть метода логарифмического дифференцирования
  • Производная показательно-степенной функции

Для функций вида $y(x)=frac{u_{1}(x) cdot u_{2}(x) cdot ldots cdot u_{k}(x)}{v_{1}(x) cdot v_{2}(x) cdot ldots cdot v_{m}(x)}$ для упрощения нахождения
производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится
логарифм заданной функции, а уже затем
вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция
$y=f(x)$. Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

$$ln y=ln f(x)$$

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что
$y$ является функцией от $x$, то есть найдем
производную сложной функции:

$$(ln y)^{prime}=(ln f(x))^{prime} Rightarrow frac{1}{y} cdot y^{prime}=(ln f(x))^{prime}$$

А тогда, выражая искомую производную $y^{prime}$, в
результате имеем:

$$y^{prime}=y cdot(ln f(x))^{prime}$$

Пример

Задание. Найти производную функции
$y=frac{(x+2)^{2}(x-4) sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}$

Решение. Если находить производную данной функции, используя
таблицу производных и
правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического
дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

$$ln y=ln frac{(x+2)^{2}(x-4) sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}$$

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

$$begin{array}{c}
ln frac{(x+2)^{2}(x-4) sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{5}}= \
=ln left[(x+2)^{2}(x-4) sqrt{x^{2}+1}right]-ln left[(x-2)^{3}(x-4)^{5}right]= \
=ln (x+2)^{2}+ln (x-4)+ln sqrt{x^{2}+1}-ln (x-2)^{3}-ln (x-4)^{5}= \
=2 ln (x+2)+ln (x-4)+frac{1}{2} ln left(x^{2}+1right)-3 ln (x-2)-5 ln (x-4)= \
=2 ln (x+2)-4 ln (x-4)+frac{1}{2} ln left(x^{2}+1right)-3 ln (x-2)
end{array}$$
$$ln y=2 ln (x+2)-4 ln (x-4)+frac{1}{2} ln left(x^{2}+1right)-3 ln (x-2)$$

Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что
$y$ является функцией переменной
$x$:

$$begin{array}{c}
(ln y)^{prime}=left(2 ln (x+2)-4 ln (x-4)+frac{1}{2} ln left(x^{2}+1right)-3 ln (x-2)right)^{prime} \
frac{y^{prime}}{y}=(2 ln (x+2))^{prime}-(4 ln (x-4))^{prime}+left(frac{1}{2} ln left(x^{2}+1right)^{prime}-right. \
-(3 ln (x-2))^{prime}=2(ln (x+2))^{prime}-4(ln (x-4))^{prime}+frac{1}{2}left(ln left(x^{2}+1right)right)^{prime}- \
-3(ln (x-2))^{prime}=2 cdot frac{1}{x+2} cdot(x+2)^{prime}-4 cdot frac{1}{x-4} cdot(x-4)^{prime}+ \
+frac{1}{2} cdot frac{1}{x^{2}+1} cdotleft(x^{2}+1right)^{prime}-3 cdot frac{1}{x-2} cdot(x-2)^{prime}= \
=frac{2}{x+2}-frac{4}{x-4}+frac{x}{x^{2}+1}-frac{3}{x-2}
end{array}$$

Итак,

$$frac{y^{prime}}{y}=frac{2}{x+2}-frac{4}{x-4}+frac{x}{x^{2}+1}-frac{3}{x-2}$$

Отсюда

$$y^{prime}=yleft(frac{2}{x+2}-frac{4}{x-4}+frac{x}{x^{2}+1}-frac{3}{x-2}right)$$

Подставляя вместо функции $y$ ее выражение,
окончательно будем иметь, что

$$y^{prime}=frac{(x+2)^{2} sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{4}}left(frac{2}{x+2}-frac{4}{x-4}+frac{x}{x^{2}+1}-frac{3}{x-2}right)$$

Ответ. $y^{prime}=frac{(x+2)^{2} sqrt{x^{2}+1}}{(x-2)^{3}(x-4)^{4}}left(frac{2}{x+2}-frac{4}{x-4}+frac{x}{x^{2}+1}-frac{3}{x-2}right)$

Производная показательно-степенной функции

Рационально использовать логарифмическое дифференцирование и при нахождении
производной показательно-степенной
(или степенно-показательной) функции или “функции в степени функция”, то есть в случае, когда заданная функция имеет
вид $y(x)=u(x)^{v(x)}$. Логарифмируем левую и правую часть:

$$ln y(x)=ln u(x)^{v(x)}$$
$$ln y(x)=v(x) cdot ln u(x)$$

Тогда

$$(ln y(x))^{prime}=(v(x) cdot ln u(x))^{prime}$$

Производную в левой части равенства находим как производную сложной функции, а в правой – как производную произведения:

$$begin{array}{c}
frac{y^{prime}(x)}{y(x)}=v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot frac{u^{prime}(x)}{u(x)} Rightarrow \
Rightarrow y^{prime}(x)=y(x) cdotleft(v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot frac{u^{prime}(x)}{u(x)}right)
end{array}$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=(sin x)^{x}$

Решение. Применим логарифмическое дифференцирование:

$$begin{array}{l}
ln y(x)=ln (sin x)^{x} \
ln y(x)=x ln (sin x)
end{array}$$

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

$$begin{array}{c}
(ln y(x))^{prime}=(x ln (sin x))^{prime} \
frac{y^{prime}(x)}{y(x)}=(x)^{prime} cdot ln sin x+x cdot(ln sin x)^{prime}= \
=1 cdot ln sin x+x cdot frac{1}{sin x} cdot(sin x)^{prime}=ln sin x+frac{x}{sin x} cdot cos x= \
=ln sin x+x cdot operatorname{ctg} x
end{array}$$

Отсюда получаем, что

$$y^{prime}(x)=y(x)(ln sin x+x operatorname{ctg} x)=(sin x)^{x} cdot(ln sin x+x operatorname{ctg} x)$$

Ответ. $y^{prime}(x)=(sin x)^{x} cdot(ln sin x+x operatorname{ctg} x)$

Читать дальше: производная степенно-показательной функции.

Содержание:

Производные показательной и логарифмической функций:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Объяснение и обоснование

Чтобы обосновать формулы производных показательных и логарифмических функций, используем без доказательства свойство функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

При а > 0 по основному логарифмическому тождеству имеем Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Тогда по правилу нахождения производной сложной функции: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

По полученной формуле мы можем найти значение производной показательной функции для любого значения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Следовательно, показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, а значит, и непрерывна в каждой точке своей области определения (при всех действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения).

Для логарифмической функции сначала найдем производную функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения(принимая без доказательства существование ее производной). Область определения этой функции — Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения по основному логарифмическому тождеству имеем Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Это равенство означает, что при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения совпадают (это одна и та же функция, заданная на множестве Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения а значит, совпадают и их производные. Используя для левой части равенства правило нахождения производной сложной функции, получаем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Следовательно,

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения – постоянная).

Замечание. Формула Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения была обоснована только для целых значений Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Докажем, что она выполняется при любых действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

*Напомним , что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — иррациональное число, первые знаки которого следующие: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — любое нецелое число, то функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения определена только при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияТогда поосновному логарифмическому тождеству Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения По правилу вычисления производной сложной функции получаем:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно, далее формулой Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения можно пользоваться при любых действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (в этом случае только при тех значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения при которых определена ее правая часть).

Опираясь на полученный результат, обоснуем также формулу

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

которую можно использовать при тех значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения при которых определена ее правая часть.

Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — четное число, то ОДЗ правой части формулы (1): Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Но при этом условии

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — нечетное число, то ОДЗ правой части формулы (1) задается условием: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения остается справедливым равенство (2). При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения учтем, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения а также то, что при нечетном Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения число 1 – Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения будет четным (поэтому Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения). Тогда

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно, и для нечетного Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения при всех Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения формула (1) также выполняется.

В последнем случае такие громоздкие преобразования пришлось вы- 1 полнить вследствие того, что приПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения выражение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения не определено, а выражение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения существует, поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Примеры решения задач

Пример №1

Найдите производную функции:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Комментарий:

Последовательно определяем, от какого выражения берется производная (ориентируясь на результат последнего действия). В задании 1 сначала берется производная суммы: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции: берется производная от Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и умножается на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Полученный результат желательно упростить по формуле: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения В задании 2 сначала берется производная частного: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения а для производной знаменателя используется правило вычисления производной сложной функции (производная Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения умножается на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения).

Пример №2

Найдите уравнение касательной к графику функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

ЕслиПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения то Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Подставляя эти значения в уравнение касательной Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения получаем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения То есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения в точке с абсциссой Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения в общем виде записывается так: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Чтобы записать это уравнение для данной функции, необходимо найти Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияпроизводную Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и значение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Д ля выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить данную функцию через Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения а для нахождения ее производной воспользоваться формулой производной произведения:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №3

1) Постройте график функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения 2) Найдите наибольшее значение параметра Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, при котором уравнениеПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решенияимеет единственный корень.

Комментарий:

Для выполнения задания 1 исследуем функцию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения по общей схеме и по результатам исследования строим ее график. При исследовании функции на четность и нечетность можно воспользоваться тем, что учетной или нечетной функции в область определения входят точки Следовательно, для таких функций область определения должна быть симметричной относительно точки 0. Если же это условие не выполняется, то функция не может быть ни четной, ни нечетной. Для лучшего представления о виде графика целесообразно уточнить поведение функции на концах области определения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения справа (при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения) значение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (рис. 18.2). Но при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения мы не можем выполнить такую оценку (получаем неопределенность вида Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения В таком случае поведение функции при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения можно уточнить с помощью дополнительных точек.

При выполнении задания 2 целесообразно использовать графическую иллюстрацию решения. Это можно сделать двумя способами:

Решение:

1) Исследуем функцию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

1. Область определения: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

2. Функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0. 3. Точки пересечения графика с осями координат. График не пересекает ось Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения На оси Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения получаем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — абсцисса точки пересечения графика с осью Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения 4. Производная и критические точки.

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производная существует на всей области определения функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (то есть при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения), следовательно, функция непрерывна на всей области определения. Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения получаемПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения следовательно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения— критическая точка.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения в каждом из полученных промежутков (рис. 18.1).

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

6. Найдем координаты еще нескольких точек графика функции:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Заметим, что при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения справа (Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения)) значениеПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения Действительно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

7. Используя результаты исследования, строим график функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения(см. рис. 18.2).

I способ решения задания 2

Область допустимых значений данного уравненияПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения задается неравенством Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Но тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и данное уравнение на его ОДЗ равносильно уравнению Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (см. задание 1) и график функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (18.3). Как видим, уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет единственный корень только при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения уравнение имеет два корня, а при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения – уравнение не имеет корней). Следовательно, наибольшее значение параметра Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, при котором уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет единственный корень, — этоПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

II способ решения задания 2

Рассмотрим графическую иллюстрацию (рис. 18.4) решения данного уравнения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения возрастающая и принимает все значения от Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения График функцииПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения — прямая, проходящая через начало координат. При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения прямая Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения пересекает график функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения только в одной точке (прямая 1 на рис. 18.4). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень (действительно, функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения возрастающая, а функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияубывающая, поэтому уравнение (1) может иметь только один корень).

При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения уравнение (1) имеет вид Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и также имеет единственный корень Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения прямая Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения может касаться графика функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения(прямая 2 на рис. 18.4). Тогда уравнение (1) будет иметь единственный корень. Также прямая Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения может проходить в первой четверти ниже касательной (прямая 3 на рис. 18.4).

Тогда уравнение (1) будет иметь два корня. Если же прямая Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения будет проходить в первой четверти выше касательной (прямая 4 на рис. 18.4), то уравнение(1) не будет иметь корней.

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Выясним, когда прямая Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения будет касательной к графику функцииПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения Пусть точка касания Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет абсциссу Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (значение производной в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения равно угловому коэффициенту касательной, проведенной через точку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения). Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда из равенства Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеемПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда уп = In -. С другой стороны, поскольку точка касания Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения лежит на касательной Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то ее координаты удовлетворяют и уравнению касательной. Получаем Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения следовательно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Таким образом, данное уравнение будет иметь единственный корень только при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Тогда наибольшее значение параметра Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, при котором уравнениеПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет единственный корень, — это Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №4

Докажите, что при всех действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения выполняется неравенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

Рассмотрим функцию

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Область определения: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производная Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения существует на всей области определения. Следовательно, функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения непрерывна на всей числовой прямой:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 18.5).

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Как видим, непрерывная функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет на интервале Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения только одну критическую точку, — точку минимума, в которой функция принимает наименьшее значение на этом интервале. Тогда при всех действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения значения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Следовательно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияпри всех действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения.

Комментарий:

Используем производную для доказательства данного неравенства. Для этого исследуем функцию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения которая является разностью левой и правой частей неравенства. При всех действительных значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей, поэтому рассуждения, приведенные при решении предыдущих задач, нельзя использовать. Тогда в результате исследования попробуем найти наибольшее или наименьшее значение функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения на всей числовой прямой. Для этого можно использовать свойство: если непрерывная функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет на заданном интервале только одну точку экстремума Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и это точка минимума, то на этом интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Далее воспользуемся тем, что когда в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения функция принимает наименьшее значение на заданном интервале, то для всех значений Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения из этого интервала Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (если необходимо, то можно также уточнить, что знак равенства достигается только в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения).

При доказательстве числовых неравенств или для сравнения двух чисел часто бывает удобно перейти к более общему функциональному неравенству

Пример №5

Сравните числа Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Комментарий:

Чтобы составить план решения, можно рассуждать следующим образом. Мы не знаем, какое из данных чисел больше: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения или Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, поэтому в ходе анализа поставим между ними знак «Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения». Этот знак неравенства, направленный вниз острым концом, свидетельствует о том, что мы не знаем, в какую сторону его следует направить. Будем выполнять преобразование неравенства до тех пор, пока не выясним, какое число больше.

Затем заменим знак «Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения» соответствующим знаком неравенства: «Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения» или «Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения», которое и запишем в решении. (В ходе анализа, если необходимо поменять знак неравенства, знак «Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения» меняем на знак «Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения», а в записи решения в соответствующем месте меняем знак неравенства.) При анализе запись видаПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения также будем называть неравенством (но, конечно, не в решении). Рассмотрим неравенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Это неравенство с положительными членами (Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения), следовательно, обе его части можно прологарифмировать. Поскольку функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения является возрастающей, то после логарифмирования обеих частей по основанию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения знак неравенства не изменится, и мы получим неравенствоПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть неравенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Так как Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то после деления обеих частей последнего неравенства на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения знак неравенства не изменится, и мы получим неравенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Замечаем, что в левой и правой частях этого неравенства стоят значения одной и той же функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияИсследуем эту функцию с помощью производной на возрастание и убывание.

Далее, учитывая, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения сравним полученные выражения, а затем и данные выражения (выполняя все те преобразования, что и в ходе анализа, только в обратном порядке).

Решение:

Рассмотрим функцию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Ее область определения: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Производная Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения существует на всей области определения. Выясним, когда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда на области определения получаем равносильное уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 18.6).

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения убывает на интервале Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения а так как она непрерывна на всей области определения, то убывает и на промежутке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Умножив обе части этого неравенства на положительное число Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (знак неравенства не меняется), получаем неравенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Так как функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решениявозрастающая Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Ответ: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №6

Решите уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Комментарий:

Если попытаться применить к данному уравнению схему решения показательных уравнений (см. с. 178), то удается реализовать только первый ее пункт — избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. А привести все степени к одному основанию (с удобными показателями) или к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение, или перенести все члены в одну сторону и разложить полученное выражение на множители — не удается. Попробуем применить свойства соответствующих функций. Но и на этом пути нам не удается использовать конечность ОДЗ (она бесконечна), оценку значений левой и правой частей уравнения (они обе в пределах от Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения). Также не получается использовать теоремы о корнях уравнений (в обеих частях данного уравнения стоят возрастающие функции). Тогда попробуем подобрать корни этого уравнения и доказать, что других корней оно не имеет (удобно предварительно привести уравнение к виду Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения). Последовательно подставляя Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения выясняем, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет три корня. Чтобы убедиться, что других корней нет, достаточно доказать, что у функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения не больше трех промежутков возрастания или убывания; а учитывая непрерывность Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения на всей числовой прямой, для этого достаточно доказать, что у нее не больше двух критических точек, то есть уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет не больше двух корней. Рассматривая теперь уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения мы после его преобразования можем провести аналогичные рассуждения, но уже для двух корней (как это было сделано в примере на с. 139). Выполняя преобразования уравнения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, учтем, что все его члены имеют одинаковую степень — Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (то есть оно является однородным относительно трех функций от переменной Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, а именно: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения). Делением обеих частей уравнения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения на степень с основанием 2, 3 или 4 удается уменьшить количество выражений с переменной на одно.

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению Производные показательной и логарифмической функций с примерами решениято есть,

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Обозначим Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Так как Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет три корня: 0, 1, 3. Докажем, что других корней уравнение (1) не имеет. Для этого достаточно доказать, что у функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения есть не больше трех промежутков возрастания или убывания, а учитывая непрерывность функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения на всей числовой прямой, достаточно доказать, что функция имеет не больше двух критических точек. Область определения: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производная Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения существует при всех значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Следовательно, критическим и точкам и могут быть только те значения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, при которых Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Получаем уравнение

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то после деления обеих частей последнего уравнения на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияполучаем равносильное уравнение

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не больше двух корней, достаточно доказать, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения стоящая в левой части уравнения, имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку. Действительно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения существует при всех значениях Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Следовательно, критическими точками могут быть только те значения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, при которых Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Получаем однородное уравнение

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то после деления обеих частей уравнения на это выражение получаем равносильное уравнение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Учитывая, чтоПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения получаем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Следовательно, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет единственную критическую точку, поэтому уравнение (2) имеет не больше двух корней. Это означает, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения имеет не больше двух критических точек. Тогда уравнение (1) (а значит, и данное уравнение) имеет не больше трех корней. Но три корня данного уравнения мы уже знаем: 0, 1, 3, следовательно, других корней данное уравнение не имеет. Ответ: 0, 1, 3.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Производные показательной и логарифмической функций – формулы и доказательство

Докажем следующие формулы производных:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

1. Пусть дана функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Зафиксируем произвольное значение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения её аргумента и дадим ему приращение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда приращение функции

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно,

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Это следует из того, что угловой коэффициент касательной к графику функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения равен 1 рис. 22. В математическом анализе доказывают следующее утверждение: если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения 

Если значение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения зафиксировано, то когда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения значение Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения не меняется. Следовательно, если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Это и означает, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения дифференцируема в каждой точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

2.Как известно, при каждом Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения выполняется равенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Поэтому

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

По теореме о производной сложной функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Итак, формула 2 доказана.

3.    Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

А по теореме о производной сложной функции 

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

4. При каждом Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения по формуле перехода

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно,

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

По доказанным формулам можно находить производные любых показательных или логарифмических функций, а значит, и исследовать эти функции.

Обратите внимание! Если функция содержит логарифм сложного выражения, то прежде чем находить её производную, целесообразно это выражение прологарифмировать.

Пример №7

Найдите производную функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

 Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Теперь можно вывести формулу производной степенной функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — произвольное действительное число. Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Поэтому

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Итак, формула Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения доказанная ранее только для натурального показателя степени Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения верна и для любого действительного Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и положительного Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

 Формулу для нахождения производной логарифмической функции можно вывести иначе, используя тот факт, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения обратная к функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Выясним, как связаны между собой производные взаимно обратных функций.

Теорема. Если функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения обратима (строго монотонная) на интервале Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и имеет отличную от нуля производную Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения в произвольной точке этого интервала, тогда существует обратная функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения которая также имеет производную Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения причём:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Обоснуем эти формулы, используя геометрический смысл производной. 

Пусть  Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — взаимно обратные функции. Тогда они задают одну и ту же кривую (рис. 69). Если касательная к этой кривой в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения образует с осью Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения угол Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения а с осью Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения угол Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения
Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Из этого соотношения следует, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения
Строгое доказательство этой теоремы рассматривается в университетском курсе математического анализа.

Применим формулу Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения для дифференцирования функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения обратной к функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Получим: 

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №8

Найдите производную функции:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

 Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №9

Запишите уравнение касательной к графику функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения если точка касания имеет ординату Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

Найдём абсциссу точки касания: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Найдём производную функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и её значение в точке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Уравнение касательной запишем в виде Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения или Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №10

Найдите производную функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

Заданная функция является суммой степенной и показательной функций. Для нахождения её производной воспользуемся соответствующими формулами: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Определение производной показательной и логарифмической функций

Существует ли функция, производная которой равна самой функции? Ответить на этот вопрос легко. Например, функция, которая является нулевой константой, обладает этим свойством.

А можно ли указать такую функцию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения определенную на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения отличную от нулевой константы, чтобы Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения для любого Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения? Ответ на этот вопрос неочевиден.

Оказывается, что среди показательных функций Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения существует единственная функция такая, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения для всех Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения. Для этой функции число, которое является

основанием степени, обозначают буквой Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения, а сама функция имеет вид Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияСледовательно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Установлено, что число Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения — иррациональное. Его можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Функцию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения называют экспонентой.

Отметим одну особенность графика экспоненты.

Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно, касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной нулю, имеет угловой коэффициент, равный 1. То есть эта касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс (рис. 23.1).

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Выведем формулу для нахождения производной показательной функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пользуясь правилом вычисления производной сложной функции, запишем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Логарифм по основанию Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения называют натуральным логарифмом и обозначают Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияТогда при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения можно записать:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Эта формула показывает, что между значением производной показательной функции и соответствующим значением самой функции существует прямая пропорциональная зависимость. Коэффициент пропорциональности равен Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

В пункте 20 мы определили, что логарифмическая функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения является дифференцируемой. Найдем формулу для вычисления производной логарифмической функции.

Для любого Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения выполняется равенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения представляют собой одну и ту же функцию. Поэтому для любого Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения выполняется равенство Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то есть Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Левая часть этого равенства равна 1. В правой части получаем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Следовательно, Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №11

Найдите производную функции:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

1) Применяя теорему о производной произведения двух функций, получаем:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

2) Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения

3) Используя теорему о производной сложной функции, запишем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

4) Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

5) Применив теорему о производной сложной функции, получаем:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

6) Имеем:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №12

Составьте уравнение касательной к графику функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения если эта касательная параллельна прямой Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

Поскольку угловой коэффициент прямой Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения равен 4, то угловой коэффициент искомой касательной Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Найдем абсциссу Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения точки касания. Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияПроизводные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Тогда искомое уравнение имеет вид Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Ответ: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Ответ: у = 4х + 1.

Пример №13

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Решение:

1) Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Исследовав знак производной функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (рис. 23.2), получаем, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения возрастает на промежутке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения убывает на промежутке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

2) Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Исследуем знак Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Имеем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Отсюда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Аналогично находим, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Получаем, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения возрастает на промежутке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения убывает на промежутке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (рис. 23.3).

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

3) Имеем:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Тогда Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения или Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Следовательно, данная функция имеет две критические точки: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияи Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Исследовав знак производной функции Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения на Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения (рис. 23.4), приходим к выводу, что функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения возрастает на промежутках Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения убывает на промежутке Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Пример №14

Докажите, что: 1) показательная функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения является выпуклой вниз; 2) при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения логарифмическая функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения является выпуклой вверх, а при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения выпуклой вниз.

Решение:

1) Имеем:

Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Поскольку Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения для всех Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то показательная функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решенияявляется выпуклой вниз.

2) Запишем: Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения

Если Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения то Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Поэтому Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения для всех Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения Следовательно, при Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения логарифмическая функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения является выпуклой вверх.

При Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения аналогично доказываем, что Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения и логарифмическая функция Производные показательной и логарифмической функций с примерами решения является выпуклой вниз.

  • Показательно-степенные уравнения и неравенства
  • Показательные уравнения и неравенства
  • Логарифмические уравнения и неравенства
  • Степенная функция – определение и вычисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Логарифмическая функция, её свойства и график
  • Логарифмические выражения
  • Показательная функция, её график и свойства

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Производная логарифмической функции

Формула

Пусть дана функция $ y = ln x $, тогда производная логарифмической функции равна: $$ y’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$

Пусть дана сложная функция $ y = ln z $, где $ z = phi (x) $, в которой выражение стоящее под знаком логарифма, представляет собой функцию от $ x $, то формула приобретает другой вид: $$ y’ = (ln z)’ = frac{1}{z} cdot z’ = frac{z’}{z} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти производную логарифмической функции: $$ y = ln x^2 $$
Решение

Выражение под знаком логарифма представляет собой функцию. Таким образом в целом логарифм является сложной функцией. По второй формуле $ z = x^2 $ и производная равна $ z’ = 2x $. Подставляя в формулу получаем:

$$ y’ = (ln x^2)’ = frac{1}{x^2} cdot 2x = frac{2x}{x^2} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y’ = frac{2x}{x^2} $$
Пример 2
Найти производную функции: $$ y = ln ln x $$
Решение

Функция, стоящая под знаком первого логарифма является сама натуральным логарифмом:

$$ z = ln x $$ $$ z’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$

Зная, что $ z’ = frac{1}{x} $, пользуемся второй формулой:

$$ y’ = (ln ln x)’ = frac{1}{ln x} cdot (ln x)’ = frac{1}{ln x} cdot frac{1}{x} = frac{1}{xln x} $$

Ответ
$$ y’ = frac{1}{xln x} $$
Пример 3
Найти логарифмическую производную функции: $$ y = ln tg frac{x}{2} $$
Решение

В данном примере под натуральным логарифмом стоит сложная функция тангенса:

$$ z = tg frac{x}{2} $$ $$ z’ = (tg frac{x}{2})’ = frac{1}{cos^2 frac{x}{2}} cdot (frac{x}{2})’ = frac{1}{2cos^2 frac{x}{2}} $$

В итоге подставляя во вторую формулу имеем:

$$ y’ = (ln tg frac{x}{2})’ = frac{1}{tg frac{x}{2}} cdot (tg frac{x}{2})’ = $$

$$ = frac{1}{tg frac{x}{2}} cdot frac{1}{2cos^2 frac{x}{2}} = frac{1}{2cos^2 frac{x}{2} tg frac{x}{2}} $$

Ответ
$$ y’=frac{1}{2cos^2 frac{x}{2} tg frac{x}{2}} $$

Добавить комментарий