Как найти производную от отрицательной дроби

Формула производной от дроби, примеры

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Формула производной от дроби

Раздел о производных является отдельным самостоятельным разделом в математическом анализе. Условимся, что читателю известно понятия предела, производной, дифференциала, а также ряд свойств производной.

В данной статье рассмотрим одно из свойств производной, а именно формулу производной от дроби. Приведём эту формулу. Пусть функция $v(x)$ имеет производную в точке $x$ и $v(x)neq0$, тогда:

$(frac{u}{v})’=frac{u’v-uv’}{v^2}.$

Напомним формулы производных элементарных функций:

Формулы производных элементарных функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Формулы производных элементарных функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Примеры

Решим примеры. Преобразования, позволяющие применить другие свойства производной, мы применять не будем. В решениях будем использовать только формулу производной от дроби.

По условию даются функции. Нужно найти производные.

Пример 1

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 5

Рисунок 11.

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 12. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 15.05.2023

Формулы дифференцирования

Выгодно иметь такие правила, которые позволяли бы находить производные проще, с минимальной затратой времени. Действительно, такие правила имеются, причем они выводятся из основного правила дифференцирования.

Производная постоянной

Пусть С — постоянная величина; тогда равенство

у = С

можно рассматривать как выражение функции, не меняющей своего значения с изменением аргумента. В справедливости этого можно убедиться, представив это равенство графически, т. е. в виде прямой линии АВ, параллельной оси Ох (рис. 85).

Формулы дифференцирования

Действительно, с изменением абсциссы точек этой прямой ординаты их остаются постоянными.

Для нахождения производной функции у = С применим основное правило дифференцирования:

Формулы дифференцирования

т. е. производная постоянной равна нулю.

Не следует производную постоянной смешивать с пределом постоянной, который, как известно, равен самой постоянной.

Производная функции у = х

Применяя основное правило дифференцирования, получим:

Формулы дифференцирования

т. е. производная функции у = х равна единице, или: производная независимой переменной равна единице.

Производная алгебраической суммы функций

Возьмем функцию

Формулы дифференцирования

где Формулы дифференцирования— функции от х и имеющие производные по х. Если аргументу х дать приращение Формулы дифференцирования то и функции и, v и w получат приращения, соответственно равные Формулы дифференцирования,Формулы дифференцирования и Формулы дифференцирования, а потому у также получит приращение Формулы дифференцирования. По основному правилу находим:

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Слагаемые правой части последнего равенства являются производными функций Формулы дифференцирования. Указанное равенство можно переписать:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

т. e. производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных каждой из них.

Производная произведения двух функций

Пусть дана функция

Формулы дифференцирования

где и и v — функции от х имеющие производные по x. Дадим аргументу х приращение Формулы дифференцирования тогда согласно основному правилу будем иметь:

Формулы дифференцирования

Но и и v не зависят от Формулы дифференцирования, а потому их нужно считать постоянными *)

*) Это можно иллюстрировать на рис. 86. Здесь

при Формулы дифференцирования; согласно следствию 1 теоремы IV можем написать:

Формулы дифференцирования

Приращение же функции Формулы дифференцирования и меняется с изменением Формулы дифференцирования , поэтому согласно теореме IV имеем:

Формулы дифференцирования

Таким образом,

Формулы дифференцирования

Но

Формулы дифференцирования

Далее, так как и дифференцируема, то она непрерывна, следовательно.

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Если Формулы дифференцирования то Формулы дифференцирования не меняется.

Поэтому

Формулы дифференцирования

Итак,

Формулы дифференцирования

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй функции на производную первой.

Производная произведения постоянной на функцию

Возьмем функцию

Формулы дифференцирования

где

Формулы дифференцирования

причем функция и имеет производную по х. Применяя правило (IV), получим:

Формулы дифференцирования

т. е. производная произведения постоянной на функцию равна произведению постоянной на производную функции.

Производная степени с целым положительным показателем

Возьмем сначала функцию

Формулы дифференцирования

Представив ее в виде произведения и применяя правило (IV), получим:

Формулы дифференцирования

Найдем производную новой функции:

Формулы дифференцирования

Заменив ее произведением Формулы дифференцирования и опять применяя то же правило (IV), найдем:

Формулы дифференцирования

Поступив точно так же с функцией

Формулы дифференцирования

найдем:

Формулы дифференцирования

Если продолжать дифференцирование функций Формулы дифференцирования и т. д. этим способом, то получим результаты, подчиняющиеся одной и той же формуле:

Формулы дифференцирования

Таким образом, производная степени Формулы дифференцирования, где т— целое положительное число, равна произведению показателя степени на основание х в степени, на единицу меньшей чем данная.

Однако выведенное правило справедливо для любого показателя т, что мы и докажем.

Производная функции Формулы дифференцирования. Представив функцию Формулы дифференцирования в виде степени с дробным показателем и применяя правило (VI), получим:

Формулы дифференцирования

Таким образом,

Формулы дифференцирования

т. е. производная функции Формулы дифференцирования равна единице, деленной на удвоенную функцию.

Производная функции Формулы дифференцирования.

Заменив Формулы дифференцирования на Формулы дифференцирования и дифференцируя по правилу (VI), получим:

Формулы дифференцирования

т. е. производная дроби Формулы дифференцирования равна отрицательной дроби, равной единице, деленной на квадрат знаменателя.

Производная частного

Возьмем функцию

Формулы дифференцирования

где и и v — функции от х, имеющие производные по x, причем Формулы дифференцированияпри значении х, при котором находится производная. Применим основное правило дифференцирования.

Формулы дифференцирования

4-й шаг: применяя теоремы V, III, II и следствие 1 теоремы IV , находим:

Формулы дифференцирования

Здесь, как и при выводе формулы (IV), нужно считать и и v не зависящими от Формулы дифференцирования, а Формулы дифференцирования.

Итак,

Формулы дифференцирования

т. е. производная частного равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, л числитель есть разность между произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя.

Применение формул дифференцирования

Рассмотрим несколько примеров на применение выведенных правил.

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

По правилу (III) имеем:

Формулы дифференцирования

Применяя к первым трем слагаемым правило (V), а к последнему— правило (I), получим:

Формулы дифференцирования

Согласно правилам (VI) и (II) будем иметь:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

По правилу (IV) имеем:

Формулы дифференцирования

По правилу (III):

Формулы дифференцирования

По правилам (V), (II). (I) и (VI):

Формулы дифференцирования

Этот пример можно решить иначе: сначала перемножить выражения в скобках, а затем продифференцировать полученную сумму:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию Формулы дифференцирования

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Формулы дифференцирования

Применяя правила (V) и (VI), будем иметь:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

Представим данную функцию в следующем виде:

Применяя правила (III) и (V), получим:

Формулы дифференцирования

По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:

Формулы дифференцирования

По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

По правилу (IX) имеем:

Формулы дифференцирования

Дифференцируя сумму по правилу (III), получим:

Формулы дифференцирования

Наконец, по правилам (VI), (II), (I) и (V) найдем:

Формулы дифференцирования

Можно иначе продифференцировать данную функцию, разделив в правой части данного уравнения почленно числитель на знаменатель, получим:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Функция от функции (сложная функция)

Пусть нам даны две функции:

Формулы дифференцирования

и

Формулы дифференцирования

Если в (1) заменить и его выражением из (2), то получим:

Формулы дифференцирования

Из уравнений (1) и (2) видно, что у есть функция от и, но и в свою очередь функция от х таким образом, функция у зависит от функции

Формулы дифференцирования

Функцию (3) называют функцией от функции или слоэюной функцией.

Всякую сложную функцию можно представить в виде нескольких простых. Разберем примеры.

Пример:

Представить функцию

Формулы дифференцирования

в виде двух простых.

Решение:

Положим

Формулы дифференцирования

тогда

Формулы дифференцирования

Мы получили две функции и и у более простого вида, чем данная.

Пример:

То же для функции Формулы дифференцирования

Решение:

Положим

Формулы дифференцирования

тогда

Формулы дифференцирования

Производная сложной функции

Возьмем функцию

Формулы дифференцирования

причем

Формулы дифференцирования

Пусть функция (2) имеет производную при данном х; тогда при Формулы дифференцированияи Формулы дифференцирования , Пусть также и функция (1) имеет производную при значении и, соответствующем тому же значению х. Напишем тождество

Формулы дифференцирования

Применяя к правой части тождества (3) теорему о пределе произведения, получим:

Формулы дифференцирования

Но, как известно,

Формулы дифференцирования

Поэтому равенство (4) можно переписать:

Формулы дифференцирования

Формула (5) служит для дифференцирования сложной функции, составленной из двух простых.

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

Представим данную функцию в виде следующих двух:

Формулы дифференцирования

Найдем сначала Формулы дифференцирования(т. е. производную функции у по аргументу и), а затем и Формулы дифференцирования (т. е. производную функции и по аргументу х):

Формулы дифференцирования

Искомая производная будет:

Формулы дифференцирования

или, заменяя и его значением,

Формулы дифференцирования

Как видно из формулы (5), производная сложной функции выражается произведением производных простых функций и, конечно, перестановка сомножителей не изменит результата. Однако удобней находить эти сомножители в одной определенно выбранной последовательности, которую полезно запомнить как правило. Так, например, для разобранного случая степенной функции это правило можно высказать следующим образом:

для дифференцирования сложной степенной функции*) нужно взять производную сначала от степени по основанию (принимая основание за аргумент), а потом от выражения, стоящего в основании, по независимой переменной и результаты перемножить.

*) Под сложной степенной функцией будем разуметь степень, основание которой есть функция от х.

Если Формулы дифференцирования — сложная степенная функция, то ее производная согласно этому правилу запишется так:

Формулы дифференцирования

Пусть, например, требуется найти производную функции

Формулы дифференцирования

Положив

Формулы дифференцирования

и, применяя правило (6), будем иметь:

Формулы дифференцирования

В дальнейшем для каждого особого случая будут даваться аналогичные правила, устанавливающие свою последовательность дифференцирования.

Разберем еще пример. Пусть требуется найти производную функции

Формулы дифференцирования

Разбив ее на две простые функции, получим:

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

И здесь можно установить последовательность в нахождении производной, которая выразится следующим правилом: для дифференцирования сложной функции Формулы дифференцированиянужно сначала взять производную от этой функции по подкоренному выражению и (считая и аргументом), а потом от подкоренного выражения по независимой переменной и результаты перемножить; таким образом, считая и функцией от x получаем:

Формулы дифференцирования

Так, например, производная функции

Формулы дифференцирования

но вышеуказанному правилу найдется так:

Формулы дифференцирования

Если дан корень другой степени, то его нужно предварительно преобразовать в степень с дробным показателем и применить правило для дифференцирования сложной степенной функции. Например,

Формулы дифференцирования

Производные тригонометрических функций

  1. Формулы дифференцирования

По общему правилу дифференцирования находим:

1-й шаг:

Формулы дифференцирования

2-й шаг:

Формулы дифференцирования

Преобразуя разность синусов, будем иметь:

Формулы дифференцирования

3-й шаг:

Формулы дифференцирования

После деления числителя и знаменателя дроби на 2 получим:

Формулы дифференцирования

4-й шаг:

Формулы дифференцирования

Но

Формулы дифференцирования

поэтому

Формулы дифференцирования

Следовательно

Формулы дифференцирования

2. Формулы дифференцирования

По формуле приведения можно написать:

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Для дифференцирования сложной функции Формулы дифференцированияпредставим ее в виде двух простых:

Формулы дифференцирования

Согласно формуле (5) имеем:

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

3. Формулы дифференцирования

Заменив tg x отношением Формулы дифференцирования и применяя правило дифференцирования частного, получим:

Формулы дифференцирования

Итак, имеем:

Формулы дифференцирования

4. Формулы дифференцирования

Как и в случае 3, имеем:

Формулы дифференцирования

Таким образом,

Формулы дифференцирования

В п. 2 настоящей лекции мы дифференцировали сложную функцию Формулы дифференцирования, пользуясь формулой (5) .

Однако эту операцию можно произвести и по следующему правилу:

для дифференцирования сложной тригонометрической функции *) нужно сначала взять производную от тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого выражения по независимой переменной и результаты перемножить;

*) Под сложной тригонометрической функцией будем понимать тригонометрическую функцию сложного аргумента.

поэтому, считая и функцией от х, получаем:

Формулы дифференцирования

Пользуясь правилом (1), процесс дифференцирования функции sinФормулы дифференцирования можно записать таким образом:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

Согласно правилу (2) настоящей лекции найдем:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию Формулы дифференцирования

Решение:

Переписав функцию в виде Формулы дифференцированиянайдем по правилу (6)

Формулы дифференцирования

Но Формулы дифференцирования сложная тригонометрическая функция, а потому согласно правилу (1) настоящей лекции имеем:

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

Процесс дифференцирования данной функции можно записать следующим образом:

Формулы дифференцирования

Производная логарифмической функции

Пусть дана функция

Формулы дифференцирования

Для ее дифференцирования применим общее правило.

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Положим

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Подставив значения Формулы дифференцирования и Формулы дифференцирования в равенство (1), получим:

Формулы дифференцирования

или, после потенцирования

Формулы дифференцирования

Из равенства (2) следует, чтоФормулы дифференцирования, если

Формулы дифференцирования

4-й шаг. Принимая во внимание условие (3), напишем:

Формулы дифференцирования

Множитель Формулы дифференцированияне зависит от n поэтому его можно считать постоянным при Формулы дифференцирования; следовательно,

Формулы дифференцирования

В подробных курсах анализа доказывается теорема: предел логарифма переменной величины равен логарифму предела этой же переменной величины; поэтому

Формулы дифференцирования

Но, согласно,

Формулы дифференцирования

Равенство (4) будет иметь вид

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

т. е. производная натурального логарифма равна единице, деленной на аргумент.

Если дан десятичный логарифм, то его нужно предварительно выразить через натуральный. Мы знаем, что

Формулы дифференцирования

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

т. е. производная десятинного логарифма равна произведению производной натурального логарифма на постоянный множитель 0,4343.

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

Данная функция сложная; положим

Формулы дифференцирования

тогда

Формулы дифференцирования

Отсюда согласно формуле (5) имеем:

Формулы дифференцирования

Производную сложной логарифмической функции *) можно найти и по следующему правилу:

для дифференцирования сложной логарифмической функции нужно сначала взять производную от логарифма по выражению, стоящему под знаком логарифма (принимая его за аргумент), а потом от выражения, стоящего под знаком логарифма, по независимой переменной и результаты перемножить;

*) То-есть логарифмической функции сложного аргумента.

поэтому, считая и функцией х получаем:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

Согласно правилу (5) найдем:

Формулы дифференцирования

Но cos ( 1—х) — сложная тригонометрическая функция; применяя к ней правило (2) , получим:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию

Формулы дифференцирования

Решение:

Преобразуем сначала данную функцию, применив правила логарифмирования корня и дроби:

Формулы дифференцирования

Продифференцировав полученную функцию [ln х по правилу (XIV), а ln (1 + x) по правилу (5)], найдем:

Формулы дифференцирования

Производная степени при любом показателе

Мы вывели формулу

Формулы дифференцирования

для m целого положительного. Докажем теперь справедливость этой формулы для любого показателя. Положим, что в равенстве

Формулы дифференцирования

m имеет любое постоянное значение; логарифмируя это равенство по основанию е, получим:

Формулы дифференцирования

Приняв во внимание, что ln у — сложная функция ( ln у зависит от у, а у зависит от x), дифференцируем обе части равенства (1) по х:

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

Производная показательной функции

Дана показательная функция

Формулы дифференцирования

Прологарифмировав равенство (1) по основанию е, получим:

Формулы дифференцирования

Дифференцируем это равенство по х, считая )ln у сложной функцией:

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

т. е. производная показательной функции Формулы дифференцированияравна произведению самой функции на натуральный логарифм основания.

Если дана показательная функция

Формулы дифференцирования

где е — основание натурального логарифма, то производная ее найдется по формуле (XVI):

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

т. е. производная показательной функции Формулы дифференцированияравна самой функции.

Пример:

Продифференцировать функциюФормулы дифференцирования

Решение:

Заменив данную сложную функцию двумя простыми, получим:

Формулы дифференцирования

Согласно формуле (5) имеем:

Формулы дифференцирования

Данную функцию можно дифференцировать и по следующему правилу:

для дифференцирования сложной показательной функции *) нужно сначала взять производную от показательной функции по выражению, стоящему в показателе (считая его аргументом), а потом от выражения, стоящего в показателе, по независимой переменной и результаты перемножить;

*) То-есть показательной функции сложного аргумента.

поэтому, считая и функцией от х, получаем:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию Формулы дифференцирования

Решение:

По правилу (3) настоящей лекции

Формулы дифференцирования

Но согласно правилу (3)

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

Производные обратных тригонометрических функций

1. Формулы дифференцирования

В силу определения арксинуса получаем:

Формулы дифференцирования

Здесь sin у представляет сложную функцию (sin y зависит от у, а у зависит от х; дифференцируя обе части этого равенства по х, напишем):

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

откуда

Формулы дифференцирования

Приняв во внимание, что

Формулы дифференцирования

*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х заключены между Формулы дифференцирования и Формулы дифференцирования, а в этом промежутке cos у имеет положительные значения.

а также равенство (1), получим:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

2.Формулы дифференцирования

Согласно определению арккосинуса имеем:

Формулы дифференцирования

Дифференцируя обе части этого равенства по x, считая cos у сложной функцией, найдем:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Но

Формулы дифференцирования

**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и Формулы дифференцирования; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.

поэтому

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х

К . TZ

заключены между — у и +у,ав этом промежутке cos у имеет

положительные значения.
**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и я; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.

3.Формулы дифференцирования

Согласно определению арктангенса имеем:

Формулы дифференцирования

Дифференцируя обе части этого равенства по х, как и в предыдущих случаях, получим:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Но

Формулы дифференцирования

Приняв во внимание равенство (2), получим:

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

4. Формулы дифференцирования

Для данной функции имеем:

Формулы дифференцирования

После дифференцирования этого равенства получим:

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

отсюда

Формулы дифференцирования

Но

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

т. е.

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию Формулы дифференцирования

Решение:

Заменим данную сложную функцию двумя простыми:

Формулы дифференцирования

Согласно формуле (5) имеем:

Формулы дифференцирования

Для дифференцирования этой функции можно воспользоваться и следующим правилом:

для дифференцирования сложной обратной тригонометрической функции*) нужно сначала взять производную от обратной тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого же выражения по независимой переменной и результаты перемножить;

*) То-есть обратной тригонометрической функции сложного аргумента.

таким образом, считая и функцией от х, получаем:

Формулы дифференцирования

Пример:

Продифференцировать функцию Формулы дифференцирования.

Решение:

Данная функция — обратная тригонометрическая и притом сложная; применяя вышеуказанное правило для производной аrсsin u, найдем:

Формулы дифференцирования

Но Формулы дифференцирования тоже сложная функция; согласно правилу (7) имеем:

Формулы дифференцирования

Следовательно,

Формулы дифференцирования

Производная неявной функции

Пусть неявная функция у задана уравнением

Формулы дифференцирования

Найдем производную у’, полагая, что она существует. Для этого дифференцируем обе части уравнения (1), применяя правило для производной алгебраической суммы, получим:

Формулы дифференцирования

Так как ху — произведение переменных величин, то:

Формулы дифференцирования

Таким образом, равенство (2) примет вид

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

Решая последнее уравнение относительно у’, найдем

Формулы дифференцирования

Для дифференцирования данной функции можно было бы сначала выразить у через х, а потом уже найти производную от явной функции. В самом деле, из уравнения (1) имеем:

Формулы дифференцирования

откуда

Формулы дифференцирования

По внешнему виду этот результат отличается от найденного ранее, но если мы в равенстве (3) подставим значение у, то получим:

Формулы дифференцирования

Таким образом, результаты дифференцирования в обоих случаях оказались одинаковыми. Однако переход от неявной к явной функции можно делать только в простейших случаях. Встречаются неявные функции, которые обратить в явные очень трудно и даже невозможно. Например, функцию у, заданную уравнением

ху + х = sin у, явно выразить нельзя. Поэтому приходится дифференцировать такие функции как неявные.

Разберем другой пример. Пусть требуется найти производную неявной функции у, заданной уравнением

Формулы дифференцирования

Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы, имеем:

Формулы дифференцирования

Но Формулы дифференцированиясложная функция (Формулы дифференцирования зависит от у, а у зависит от х). По правилу дифференцирования сложной степенной функции имеем:

Формулы дифференцирования

Следовательно, равенство (4) примет вид

Формулы дифференцирования

или

Формулы дифференцирования

откуда

Формулы дифференцирования

Производная второго порядка

Пусть функция у = f(x) имеет производную у’ = f'(x). Производная от f'(x) по x , если она существует, называется второй производной или производной второго порядка.

Вторую производную функции у = f(x) принято обозначать так:

Формулы дифференцирования

Пример:

Найти вторую производную функции Формулы дифференцирования

Решение:

Формулы дифференцирования

Механический смысл второй производной

Пусть тело движется прямолинейно по закону

Формулы дифференцирования

Мы установили, что скорость v движения тела в данный момент t определяется как производная пути по времени, т. е.

Формулы дифференцирования

Если тело движется неравномерно, то скорость v с течением времениФормулы дифференцирования изменяется и за промежуток времени ät получает приращение Формулы дифференцирования. В этом случае величина отношения Формулы дифференцированияпоказывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t + Формулы дифференцирования.

Положим, что Формулы дифференцирования , тогда Формулы дифференцирования среднее ускорение Формулы дифференцирования

стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Обозначив это ускорение через j, будем иметь:

Формулы дифференцирования

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Пример:

Точка движется прямолинейно по закону

Формулы дифференцирования

Найти скорость и ускорение точки в момент t = 5.

Решение:

Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при t = 5. Таким образом:

Формулы дифференцирования

и

Формулы дифференцирования

Ускорение j равно второй производной функции при t = 5, т. е.

Формулы дифференцирования

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.

Формулы дифференцирования

Дополнение к формулам дифференцирования

Основные формулы и правила дифференцирования

Основные формулы и правила дифференцирования

Смотрите также:

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Производная дроби

Производная дроби равна произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаменателя и всё делить на квадрат знаменателя:

$$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v-uv’}{v^2} $$

Следует понимать, что производная дроби НЕ РАВНА отношению производных числителя и знаменателя!

Примеры с решением

Пример 1
Найти производную дроби $ y = frac{x}{ln x} $
Решение

Из формулы следует, что числитель $$ u = x $$ а знаменатель $$ v = ln x $$ Находим их производные: $$ u’ = (x)’ = 1 $$ $$ v’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$

Подставляем найденные $ u’ $ и $ v’ $ в формулу производной дроби:

$$ y’=bigg (frac{x}{ln x} bigg )’ = frac{(x)’ln x – x(ln x)’}{(ln x)^2} = $$

$$ = frac{ln x – x frac{1}{x}}{ln^2 x} = frac{ln x – 1}{ln^2 x} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ y’ = frac{ln x – 1}{ln^2 x} $$
Пример 2
Найти производную от дроби $ y = frac{cos x}{x} $
Решение

По формуле производной частного:

$$ y’=bigg (frac{cos x}{x} bigg ) = frac{(cos x)’x-cos x (x)’}{(x)^2} = $$

Производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (cos x)’ = -sin x $$

Тогда:

$$ y’ = frac{-xsin x – cos x}{x^2} = -frac{xsin x + cos x}{x^2} $$

Ответ
$$ y’ = -frac{xsin x + cos x}{x^2} $$

Один из важнейших разделов математики – производные. Для их нахождения существуют специальные формулы производных. Для работы с ними необходимо знать основные формулы элементарных функций.

Таблица формул производных

Ниже приведена таблица формул производных элементарных функций.

[C^{prime}=0] [(ln ln x)^{prime}=frac{1}{x}]
[x^{prime}=1] [(sin sin x)^{prime}=cos cos x]
[left(x^{2}right)^{prime}=2 x] [(cos cos x)^{prime}=-sin sin x]
[left(x^{n}right)^{prime}=n * x^{n-1}] [(operatorname{tg} x)^{prime}=frac{1}{cos ^{2}(x)}]
[left(a^{x}right)^{prime}=a^{x} * ln (a)] [(operatorname{ctg} x)^{prime}=-frac{1}{sin ^{2}(x)}]
[left(e^{x}right)^{prime}=e^{x}] [(arcsin arcsin x)^{prime}=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}]
[(x)^{prime}=frac{1}{x * ln (a)}] [begin{aligned}
(arccos &arccos x)^{prime}
&=-frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}
end{aligned}]
[(operatorname{arctg} x)^{prime}=frac{1}{1+x^{2}}] [(operatorname{arcctg} x)^{prime}=-frac{1}{1+x^{2}}]
Таблица 1 – Производные элементарных функций

Смысл производной

В математике производная имеет геометрический и физический смыслы.

Допустим, что некоторая функция f(x) задана в интервале (a, b). При этом есть две точки x и x0, которые находятся в указанном интервале. Если значение x будет изменяться, то и f(x) тоже изменится. Изменение аргумента находится из выражения (x – x0). Эта разность обозначается как Δx – приращение аргумента. В таком случае приращением функции будет являться разность между ее значениями в двух точках. Исходя из этого, можно дать определение производной. Ей называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в указанной точке. При этом сам аргумент стремится к нулю.

В математике формулы производных функций записываются так:

[begin{gathered} f^{prime}left(x_{0}right)=left(frac{fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)}{Delta x}right). \ y^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0}left(frac{Delta y}{Delta x}right) . end{gathered}]

Смысл этих формул, а точнее нахождения их значений, может быть описан с точки зрения геометрии и физики.

Геометрический смысл состоит в том, что производная функции в конкретной точке равняется тангенсу угла, который образован осью абсцисс и касательной линией к графику. Пример показан на рисунке ниже.

Геометрический смысл производной
Рисунок 1 – Геометрический смысл производной

В физике смысл состоит в том, что производная от пройденного расстояния по времени есть скорость движения точки.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Формула вычисления производной дроби

Рассмотрим формулу вычисления производной дроби. Функция v(x) имеет производную в определенной точке x. При этом v(x) не равна нулю (v(x) ≠ 0). В таком случае справедлива следующая формула:

[left(frac{u}{v}right)^{prime}=frac{u^{prime} v-u v^{prime}}{v^{2}}]

Рассмотрим примеры использования формулы производной дроби при решении задач.

Примеры 1 — 2

Первый пример с выражениями из тригонометрии: [y=frac{cos cos x}{x^{2}}]

Пользуясь таблицей 1 найдем:

[begin{gathered}
y^{prime}=frac{left.(cos cos x)^{prime} * (x^{2}-xright) *left(x^{2}right)^{prime}}{left(x^{2}right)^{2}} =\
frac{(-sin sin x) * x^{2}-(cos cos x) * 2 x}{x^{4}} .
end{gathered}]

Вынесем x за скобки и преобразуем полученное выражение: [y^{prime}=frac{(-sin sin x) * x-2 cos cos x}{x^{3}}]

Другой пример:

[begin{gathered}
y=frac{x^{3}}{x^{3}+2} \
y^{prime}=frac{left(x^{3}right)^{prime} *left(x^{3}+2right)-x^{3} *left(x^{3}+2right)^{prime}}{left(x^{3}+2right)^{2}} \
y^{prime}=frac{3 x^{2} *left(x^{3}+2right)-x^{3} * 3 x^{2}}{left(x^{3}+2right)^{2}} \
y^{prime}=frac{3 x^{5}+6 x^{2}-3 x^{5}}{left(x^{3}+2right)^{2}}=frac{6 x^{2}}{left(x^{3}+2right)^{2}}
end{gathered}]

Решение примеров на нахождение производных в математике называется дифференцированием. Они бывают двух типов:

  • частными;
  • полными.

Между этими типами есть одно основное отличие. При нахождении частной производной функция аппроксимируется только по одному аргументу. Так во всех предыдущих примерах аппроксимация производилась только по x.

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x2 )’ = 2x
(x3)’  = 3x2
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = – 1 / x2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x-1 )’ = -1x-2 = – 1 / х2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / xc )’ = – c / xc+1
Пример:
( 1 / x2 )’ = – 2 / x3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)  
( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5
( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

Добавить комментарий