Как найти производную от синуса или косинуса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Функция синуса и косинуса в единичном круге

Функция	Производная


	${displaystyle sec ^{2}(x)}$
	${displaystyle -csc ^{2}(x)}$


	${frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$
	$-{frac {1}{{sqrt {1-x^{2}}}}}$
	${displaystyle {frac {1}{x^{2}+1}}}$
	${displaystyle -{frac {1}{x^{2}+1}}}$
	${displaystyle {frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$
	${displaystyle -{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Дифференцирование тригонометрических функций — это математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.

Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin(x) и cos(x) с помощью правила частного^[en], применяемого к таким функциям, как tan(x) = sin(x)/cos(x). Зная эти производные, можно производные от обратных тригонометрических функций найти с помощью неявного дифференцирования.

Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения^[1].

Доказательства производных тригонометрических функций[править | править код]

Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Круг с центром O и радиусом r

(r = OK = OA)

На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — это небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ½ π в первом квадранте.

На схеме пусть R₁ будет треугольником OAK, R₂ — круговым сектором OAK и R₃ — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK:

${displaystyle mathrm {Area} (R_{1})={tfrac {1}{2}} |OA| |OB|sin theta ={tfrac {1}{2}}sin theta ,.}$

Площадь кругового сектора OAK — это ${displaystyle mathrm {Area} (R_{2})={tfrac {1}{2}}theta }$ , а площадь треугольника OAL определяется как

${displaystyle mathrm {Area} (R_{3})={tfrac {1}{2}} |OA| |AC|={tfrac {1}{2}}tan theta ,.}$

Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем:

${displaystyle {text{Area}}(R_{1})<{text{Area}}(R_{2})<{text{Area}}(R_{3})iff {tfrac {1}{2}}sin theta <{tfrac {1}{2}}theta <{tfrac {1}{2}}tan theta ,.}$

Более того, поскольку sin θ > 0 в первом квадранте, мы можем разделить на ½ sin θ, получив:

${displaystyle 1<{frac {theta }{sin theta }}<{frac {1}{cos theta }}implies 1>{frac {sin theta }{theta }}>cos theta ,.}$

На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.

Мы пришли к выводу, что для 0 < θ < ½ π выражение sin(θ)/θ будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(θ). Таким образом, чем ближе θ к 0, тем сильнее sin(θ)/θ становится “сжатым” между потолком на высоте 1 и полом на высоте cos θ, который стремится к 1; следовательно, sin(θ)/θ стремится к 1, когда θ стремится к 0 с положительной стороны:

${displaystyle lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}$

Для случая, когда θ — это небольшое отрицательное число -½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция:

${displaystyle lim _{theta to 0^{-}}!{frac {sin theta }{theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {sin(-theta )}{-theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {-sin theta }{-theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {sin theta }{theta }} = 1,.}$

Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак θ неважен.

${displaystyle lim _{theta to 0},{frac {cos theta -1}{theta }} = lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)!!left({frac {cos theta +1}{cos theta +1}}right) = lim _{theta to 0},{frac {cos ^{2}!theta -1}{theta ,(cos theta +1)}}.}$

С использованием cos²θ – 1 = –sin²θ, факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что:

${displaystyle lim _{theta to 0},{frac {cos theta -1}{theta }} = lim _{theta to 0},{frac {-sin ^{2}theta }{theta (cos theta +1)}} = left(-lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}right)!left(lim _{theta to 0},{frac {sin theta }{cos theta +1}}right) = (-1)left({frac {0}{2}}right)=0,.}$

Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим:

${displaystyle lim _{theta to 0}{frac {tan theta }{theta }} = left(lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}right)!left(lim _{theta to 0}{frac {1}{cos theta }}right) = (1)(1) = 1,.}$

Производная функции синуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}{frac {sin(theta +delta )-sin theta }{delta }}.}$

Используя формулы сложения углов sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, мы имеем:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}{frac {sin theta cos delta +sin delta cos theta -sin theta }{delta }}=lim _{delta to 0}left({frac {sin delta }{delta }}cos theta +{frac {cos delta -1}{delta }}sin theta right).}$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =(1)cos theta +(0)sin theta =cos theta ,.}$

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

т.к.

Производная функции косинуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}{frac {cos(theta +delta )-cos theta }{delta }}.}$

Используя формулу сложения углов cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, мы имеем:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}{frac {cos theta cos delta -sin theta sin delta -cos theta }{delta }}=lim _{delta to 0}left({frac {cos delta -1}{delta }}cos theta ,-,{frac {sin delta }{delta }}sin theta right).}$

Использование пределов для функций синуса и косинуса:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =(0)cos theta -(1)sin theta =-sin theta ,.}$

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:

{displaystyle {d over dx}cos(x)={d over dx}ioperatorname {ch} (ix)=ioperatorname {sh} (ix)=-sin(x)}

Из цепного правила[править | править код]

Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта:

${displaystyle cos theta =sin left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

${displaystyle sin theta =cos left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}sin theta =cos theta }$

Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}cos theta ={tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}sin left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив ${displaystyle f(x)=sin x, g(theta )={tfrac {pi }{2}}-theta }$ , мы имеем:

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}f!left(g!left(theta right)right)=f^{prime }!left(g!left(theta right)right)cdot g^{prime }!left(theta right)=cos left({tfrac {pi }{2}}-theta right)cdot (0-1)=-sin theta }$

Таким образом, мы доказали, что

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}cos theta =-sin theta }$

Производная функции тангенса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Чтобы вычислить производную функции тангенса tan θ, мы используем первые принципы. По определению:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =lim _{delta to 0}left({frac {tan(theta +delta )-tan theta }{delta }}right).}$

Используя известную формулу угла tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β), мы имеем:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =lim _{delta to 0}left[{frac {{frac {tan theta +tan delta }{1-tan theta tan delta }}-tan theta }{delta }}right]=lim _{delta to 0}left[{frac {tan theta +tan delta -tan theta +tan ^{2}theta tan delta }{delta left(1-tan theta tan delta right)}}right].}$

Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =lim _{delta to 0}{frac {tan delta }{delta }}times lim _{delta to 0}left({frac {1+tan ^{2}theta }{1-tan theta tan delta }}right).}$

Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan δ стремится к 0, поскольку δ стремится к 0:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =1times {frac {1+tan ^{2}theta }{1-0}}=1+tan ^{2}theta .}$

Сразу видим, что:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},tan theta =1+{frac {sin ^{2}theta }{cos ^{2}theta }}={frac {cos ^{2}theta +sin ^{2}theta }{cos ^{2}theta }}={frac {1}{cos ^{2}theta }}=sec ^{2}theta ,.}$

Из производной гиперболических функций[править | править код]

${displaystyle {d over dx}tan(x)=-i{d over dx}operatorname {th} (ix)=-i{i over operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 over operatorname {ch} ^{2}(ix)}={1 over cos ^{2}(x)}}$

Из правила частного[править | править код]

Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}tan theta ={frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}{frac {sin theta }{cos theta }}={frac {left(sin theta right)^{prime }cdot cos theta -sin theta cdot left(cos theta right)^{prime }}{cos ^{2}theta }}={frac {cos ^{2}theta +sin ^{2}theta }{cos ^{2}theta }}}$

Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам:

${displaystyle {frac {1}{cos ^{2}theta }}=sec ^{2}theta }$

Следовательно,

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}tan theta =sec ^{2}theta }$

Доказательства производных обратных тригонометрических функций[править | править код]

Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy/dx, производная обратной функции будет найдена в терминах y. Чтобы преобразовать dy/dx обратно в термины x, мы можем нарисовать эталонный треугольник на единичной окружности, положив θ равным y. Используя теорему Пифагора и определение обычных тригонометрических функций, мы наконец можем выразить dy/dx через x.

Дифференцирование функции арксинуса[править | править код]

Пусть

где

${displaystyle -{frac {pi }{2}}leq yleq {frac {pi }{2}}.}$

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

{displaystyle {d over dx}sin y={d over dx}x,}

{displaystyle cos ycdot {dy over dx}=1 .}

Подставляя сверху ${displaystyle cos y={sqrt {1-sin ^{2}y}}}$ , имеем:

${displaystyle {sqrt {1-sin ^{2}y}}cdot {dy over dx}=1}$

Подставляя сверху , имеем:

${displaystyle {sqrt {1-x^{2}}}cdot {dy over dx}=1}$

${displaystyle {dy over dx}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}arcsin(x)=-i{d over dx}operatorname {arsh} (ix)=-i{i over {sqrt {1+i^{2}x^{2}}}}={1 over {sqrt {1-x^{2}}}}}$

Дифференцирование функции арккосинуса[править | править код]

Пусть

где

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

{displaystyle {d over dx}cos y={d over dx}x}

{displaystyle -sin ycdot {dy over dx}=1}

Подставляя сверху ${displaystyle sin y={sqrt {1-cos ^{2}y}},!}$ , получаем:

${displaystyle -{sqrt {1-cos ^{2}y}}cdot {dy over dx}=1}$

Подставляя сверху , получаем:

${displaystyle -{sqrt {1-x^{2}}}cdot {dy over dx}=1}$

${displaystyle {dy over dx}=-{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$

В качестве альтернативы, как только производная от установлена, производная от сразу следует путём дифференцирования тождества так, что .

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}arccos(x)=-i{d over dx}operatorname {arch} (ix)=-i{i over {sqrt {i^{2}x^{2}-1}}}=-{1 over {sqrt {1-x^{2}}}}}$

Дифференцирование функции арктангенса[править | править код]

Пусть

где

${displaystyle -{frac {pi }{2}}<y<{frac {pi }{2}}}$

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

{displaystyle {d over dx}tan y={d over dx}x}

Левая сторона:

${displaystyle {d over dx}tan y=sec ^{2}ycdot {dy over dx}=(1+tan ^{2}y){dy over dx}}$

, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

Следовательно,

${displaystyle (1+tan ^{2}y){dy over dx}=1}$

Подставляя сверху , получаем:

${displaystyle (1+x^{2}){dy over dx}=1}$

${displaystyle {dy over dx}={frac {1}{1+x^{2}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}arctan(x)=-i{d over dx}operatorname {arth} (ix)=-i{i over 1-i^{2}x^{2}}={1 over 1+x^{2}}}$

Дифференцирование функции арккотангенса[править | править код]

Пусть

{displaystyle y=operatorname {arccot} x}

где

Тогда

Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:

${displaystyle {frac {d}{dx}}cot y={frac {d}{dx}}x}$

Левая сторона:

${displaystyle {d over dx}cot y=-csc ^{2}ycdot {dy over dx}=-(1+cot ^{2}y){dy over dx}}$

, используя пифагорово тождество

Правая сторона:

Следовательно,

${displaystyle -(1+cot ^{2}y){frac {dy}{dx}}=1}$

Подставляя , получаем:

${displaystyle -(1+x^{2}){frac {dy}{dx}}=1}$

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {1}{1+x^{2}}}}$

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

${displaystyle {d over dx}operatorname {arccot}(x)=i{d over dx}operatorname {arcth} (ix)=i{i over 1-i^{2}x^{2}}=-{1 over 1+x^{2}}}$

Дифференцирование функции арксеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Пусть

{displaystyle y=operatorname {arcsec} x |x|geq 1}

Тогда

${displaystyle x=sec y yin left[0,{frac {pi }{2}}right)cup left({frac {pi }{2}},pi right]}$

${displaystyle {frac {dx}{dy}}=sec ytan y=|x|{sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${displaystyle {sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Использование цепного правила[править | править код]

В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила.

Пусть

${displaystyle y=operatorname {arcsec} x=arccos left({frac {1}{x}}right)}$

где

and ${displaystyle yin left[0,{frac {pi }{2}}right)cup left({frac {pi }{2}},pi right]}$

Тогда, применяя цепное правило к ${displaystyle arccos left({frac {1}{x}}right)}$ , имеем:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {1}{sqrt {1-({frac {1}{x}})^{2}}}}cdot left(-{frac {1}{x^{2}}}right)={frac {1}{x^{2}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}}={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{sqrt {x^{2}}}}}}={frac {1}{{sqrt {x^{2}}}{sqrt {x^{2}-1}}}}={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Дифференцирование функции арккосеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Пусть

{displaystyle y=operatorname {arccsc} x |x|geq 1}

Тогда

${displaystyle x=csc y yin left[-{frac {pi }{2}},0right)cup left(0,{frac {pi }{2}}right]}$

${displaystyle {frac {dx}{dy}}=-csc ycot y=-|x|{sqrt {x^{2}-1}}}$

(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал ${displaystyle {sqrt {x^{2}-1}}}$ всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {-1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Использование цепного правила[править | править код]

В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила.

Пусть

${displaystyle y=operatorname {arccsc} x=arcsin left({frac {1}{x}}right)}$

где

and ${displaystyle yin left[-{frac {pi }{2}},0right)cup left(0,{frac {pi }{2}}right]}$

Тогда, применяя цепное правило к ${displaystyle arcsin left({frac {1}{x}}right)}$ , имеем:

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{sqrt {1-({frac {1}{x}})^{2}}}}cdot left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=-{frac {1}{x^{2}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{sqrt {x^{2}}}}}}=-{frac {1}{{sqrt {x^{2}}}{sqrt {x^{2}-1}}}}=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

См. также[править | править код]

Тригонометрия
Математический анализ
Производная функции
Таблица производных

Примечания[править | править код]

↑ Производные тригонометрических функций. math24.ru. Math24. Дата обращения: 7 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.

Литература[править | править код]

Справочник по математическим функциям^[en], Под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия по прикладной математике, 55 (1964)
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 4. — Москва: Наука, 1970. — Т. 1. — 672 с.

Источник

Производные тригонометрических функций

Производная синуса
Производная косинуса
Производная тангенса и котангенса
Примеры

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции (f(x)=sin⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=sin⁡(x+triangle x)-sin⁡x=\ =2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}cosfrac{x+triangle x+x}{2}=2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1 end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}cosfrac{2x+triangle x}{2}=\ =1cdot cosfrac{2x+0}{2}=cos x end{gather*} Или: ((sinx)’=cos x)

Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

Например:
((x^2sinx)’=(x^2)’cdot sinx+x^2cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx)

п.2. Производная косинуса

Найдем производную функции (f(x)=cos⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) – некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=cos⁡(x+triangle x)-cos⁡x=\ =-2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}sin{x+triangle x+x}{2}=-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{-left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}sinfrac{2x+triangle x}{2}=\ =-1cdot sinfrac{2x+0}{2}=-sinx end{gather*} Или: ((cosx)’=-sinx)

Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

Например:
((sqrt{x}cosx)’=(sqrt{x})’cdot cosx+sqrt{x}cdot (cosx)’=frac{1}{2sqrt{x}}cosx-sqrt{x}sinx )

п.3. Производная тангенса и котангенса

Производные от тангенса и котангенса найдем с помощью формулы производной частного двух функций (см. §43 данного справочника). begin{gather*} (tgx)’=left(frac{sinx}{cosx}right)’=frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}=\ =frac{cosxcosx-sinx(-sinx)}{cos^2x}=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x} end{gather*} Аналогично: begin{gather*} (ctgx)’=left(frac{cosx}{sinx}right)’=frac{(cosx)’sinx-cosx(sinx)’}{sin^2x}=\ =frac{sinx(-sinx)-cosxcosx}{sin^2x}=frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=-frac{1}{sin^2x} end{gather*}
Как видно из результатов, производные тангенса и котангенса имеют те же ограничения по ОДЗ, что и сами функции.

begin{gather*} (tgx)’=frac{1}{cos^2x}, xnefracpi 2+pi k\ (ctgx)’=-frac{1}{sin^2x}, xnepi k end{gather*}

Например:
( left(frac{tgx}{x}right)’=frac{(tgx)’cdot x-tgxcdot(x)’}{x^2}=frac{frac{x}{cos^2x}-tgx}{x^2}=frac{x-tgxcdot cos^2x}{x^2cos^2x}=frac{x-sinxcosx}{x^2cos^2x} )

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) ( f(x)=2sinx-5x ) begin{gather*} f'(x)=2cdot sin’x-5cdot x’=2cosx-5 end{gather*}

б) ( f(x)=3sqrt{x}ctgx ) begin{gather*} f'(x)=3left((sqrt{x})’cdot ctgx+sqrt{x}(ctgx)’right)=3left(frac{ctgx}{2sqrt{x}}-frac{sqrt{x}}{sin^2x}right) end{gather*}

в) ( f(x)=9cosx-3tgx ) begin{gather*} f'(x)=9cdot cos’x-3cdot tg’x=-9sinx-frac{3}{cos^2x} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{2x}{sinx} ) begin{gather*} f'(x)=2frac{(x)’cdot sinx-xcdot sin’x}{sin^2x}=frac{2(sinx-xcosx)}{sin^2x} end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) ( f(x)=sinx+cosx, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\ f'(fracpi 4)=cosfracpi 4-sinfracpi 4=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}=0 end{gather*}

б) ( f(x)=tgx-5cosx, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=tg’x-5cos’x=frac{1}{cos^2x}+5sinx\ f'(pi)=frac{1}{cos^2pi}+5sinpi=1+0=1 end{gather*}

в) ( f(x)=sinxcosx, x_0=frac{pi}{12} ) begin{gather*} f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\ f’left(frac{pi}{12}right)=cosleft(2cdotfrac{pi}{12}right)=cosfracpi 6=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{x}{cosx}, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=frac{x’cdot cosx-xcos’x}{cos^2x}=frac{cosx+xsinx}{cos^2x}\ f'(pi)=frac{cospi+pi sinpi}{cos^2pi}=frac{-1+picdot 0}{(-1)^2}=-1 end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение:
a) ( y’cdot y+y^2=0), если (y=3cosx)
(y’=3cdot cos’x=-3sinx)
Подставляем: begin{gather*} -3sinxcdot 3cosx+(3cosx)^2=0\ -9sincosx+9cos^2x=0\ 9cosx(cosx-sinx)=0 end{gather*} Уравнение: begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosx=0\ cosx-sinx=0 |:cosx end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ 1-tgx=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ tgx=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ x=fracpi 4+pi k end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{fracpi 2+pi k; x=fracpi 4+pi kright})

б) ( (y’)^2+y^2=1), если (y=1-cosx)
(y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx)
Подставляем: begin{gather*} sin^2x+(1-cosx)^2=1\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\ 1-2cosx=0\ cosx=frac12\ x=pmfracpi 3+2pi k end{gather*} Ответ: (left{pmfracpi 3+2pi kright})

Рейтинг пользователей

Источник

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция – это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция – квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция – это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) – изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) – разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

Рис.1. График произвольной функции

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) – это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) – абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Источник

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа y=C

(C)’=0

Степенная функция y=xp

(xp)’=p·xp-1

Показательная функция y=ax

(ax)’=ax·ln a

В частности, при a=e имеем y=ex

(ex)’=ex

Логарифмическая функция

(logax)’=1x·ln a

В частности, при a=e имеем y=ln x

(ln x)’=1x

Тригонометрические функции

(sin x)’=cos x(cos x)’=-sin x(tgx)’=1cos2x(ctgx)’=-1sin2x

Обратные тригонометрические функции

(arcsin x)’=11-x2(arccos x)’=-11-x2(arctg x)’=11+x2(arcctg x)’=-11+x2

Гиперболические функции

(shx)’=chx(chx)’=shx(thx)’=1ch2x(cthx)’=-1sh2x

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Доказательство 1

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆x→0:

lim∆x→0∆f(x)∆x=lim∆x→0C-C∆x=lim∆x→00∆x=0

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0∆x. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.

Пример 1

Даны постоянные функции:

f1(x)=3,f2(x)=a, a∈R,f3(x)=4.13722,f4(x)=0,f5(x)=-87

Необходимо найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3. В следующем примере необходимо брать производную от а, где а – любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4.13722, четвертый – производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби -87.

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

f1′(x)=(3)’=0,f2′(x)=(a)’=0, a∈R,f3′(x)=4.13722’=0,f4′(x)=0’=0,f5′(x)=-87’=0

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (xp)’=p·xp-1, где показатель степени p является любым действительным числом.

Доказательство 2

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p=1, 2, 3, …

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

(xp)’=lim∆x→0=∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

(x+∆x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…++Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p-xp==Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p

Таким образом:

(xp)’=lim∆x→0∆(xp)∆x=lim∆x→0(x+∆x)p-xp∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1·∆x+Cp2·xp-2·(∆x)2+…+Cpp-1·x·(∆x)p-1+Cpp·(∆x)p)∆x==lim∆x→0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·∆x+…+Cpp-1·x·(∆x)p-2+Cpp·(∆x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+…+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Доказательство 3

Чтобы привести доказательство для случая, когда p – любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

Итак, x>0. Тогда: xp>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и применим свойство логарифма:

y=xpln y=ln xpln y=p·ln x

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

(ln y)’=(p·ln x)1y·y’=p·1x⇒y’=p·yx=p·xpx=p·xp-1

Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.

Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x<0, причем является четной: y(x)=-y((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1

Тогда xp<0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x<0, причем является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y'(x)=(-(-x)p)’=-((-x)p)’=-p·(-x)p-1·(-x)’==p·(-x)p-1=p·xp-1

Последний переход возможен в силу того, что если p – нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (-x)p-1=xp-1.

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p.

Пример 2

Даны функции:

f1(x)=1×23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y=xp, опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

f1(x)=1×23=x-23⇒f1′(x)=-23·x-23-1=-23·x-53f2′(x)=x2-14=2-14·x2-14-1=2-14·x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712⇒f3′(x)=-log712·x-log712-1=-log712·x-log712-log77=-log712·x-log784

Производная показательной функции

Доказательство 4

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

(ax)’=lim∆x→0ax+∆x-ax∆x=lim∆x→0ax(a∆x-1)∆x=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=00

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z=a∆x-1 (z→0 при ∆x→0). В таком случае a∆x=z+1⇒∆x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

(ax)’=ax·lim∆x→0a∆x-1∆x=ax·ln a·lim∆x→011z·ln(z+1)==ax·ln a·lim∆x→01ln(z+1)1z=ax·ln a·1lnlim∆x→0(z+1)1z

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

(ax)’=ax·ln a·1lnlimz→0(z+1)1z=ax·ln a·1ln e=ax·ln a

Пример 3

Даны показательные функции:

f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f1′(x)=23x’=23x·ln23=23x·(ln 2-ln 3)f2′(x)=53x’=53x·ln 513=13·53x·ln 5f3′(x)=1(e)x’=1ex’=1ex·ln1e=1ex·ln e-1=-1ex

Производная логарифмической функции

Доказательство 5

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

(logax)’=lim∆x→0loga(x+∆x)-logax∆x=lim∆x→0logax+∆xx∆x==lim∆x→01∆x·loga1+∆xx=lim∆x→0loga1+∆xx1∆x==lim∆x→0loga1+∆xx1∆x·xx=lim∆x→01x·loga1+∆xxx∆x==1x·logalim∆x→01+∆xxx∆x=1x·logae=1x·ln eln a=1x·ln a

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim∆x→01+∆xxx∆x=e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Пример 4

Заданы логарифмические функции:

f1(x)=logln3 x,f2(x)=ln x

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

f1′(x)=(logln3 x)’=1x·ln(ln 3);f2′(x)=(ln x)’=1x·ln e=1x

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x.

Производные тригонометрических функций

Доказательство 6

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

(sin x)’=lim∆x→0sin (x+∆x)-sin x∆x==lim∆x→02·sin x+∆x-x2·cosx+∆x+x2∆x==lim∆x→0sin ∆x2·cosx+∆x2∆x2==cosx+02·lim∆x→0sin ∆x2∆x2

Наконец, используем первый замечательный предел:

sin’ x=cos x+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=cos x

Итак, производной функции sin x будет cos x.

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

cos’ x=lim∆x→0cos (x+∆x)-cos x∆x==lim∆x→0-2·sin x+∆x-x2·sinx+∆x+x2∆x==-lim∆x→0sin∆x2·sinx+∆x2∆x2==-sinx+02·lim∆x→0sin∆x2∆x2=-sin x

Т.е. производной функции cos x будет –sin x.

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

tg’x=sin xcos x’=sin’ x·cos x-sin x·cos’ xcos2 x==cos x·cos x-sin x·(-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg’x=cos xsin x’=cos’x·sin x-cos x·sin’xsin2 x==-sin x·sin x-cos x·cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Доказательство 7

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

sh’x=ex-e-x2’=12ex’-e-x’==12ex–e-x=ex+e-x2=chxch’x=ex+e-x2’=12ex’+e-x’==12ex+-e-x=ex-e-x2=shxth’x=shxchx’=sh’x·chx-shx·ch’xch2x=ch2x-sh2xch2x=1ch2xcth’x=chxshx’=ch’x·shx-chx·sh’xsh2x=sh2x-ch2xsh2x=-1sh2x

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Производная синуса

Определение

Производная синуса равна положительному косинусу одно и того же аргумента: $$ (sin x)’ = cos x $$

Если же аргумент синуса представляе собой функцию $ f(x) $, то производная синуса сложной функции находится по формуле: $$ (sin f(x))’ = cos f(x) cdot ( f(x) )’ = f'(x) cos f(x) $$

Пример 1

Найти производную синуса двойного угла: $ y = sin 2x $

Решение

Так как аргумент синуса представляет собой сложную функцию $ f(x)=2x $, то используем вторую формулу.

Находим производную $ f(x) $:

$$ f'(x) = (2x)’ = 2 $$

Теперь подставляем всё в формулу и записываем:

$$ y’ = (sin 2x)’ = cos 2x cdot (2x)’ = 2cos 2x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 2cos 2x $$

Пример 2

Чему равна производная синуса в квадрате? $ y = sin^2 x $

Решение

В этом примере синус представляет собой степенную функцию. Поэтому сначала берем производную по правилу: $ (x^p)’=px^{p-1} $, а затем производную от $ sin x $.

Записываем:

$$ y’=(sin^2 x)’ = 2sin^2 x cdot (sin x)’ = 2sin^2 x cdot cos x $$

Ответ

$$ y’ = 2sin^2 x cos x $$

Пример 3

Найти производную синуса в кубе: $ y = sin^3 x $

Решение

Это задание полностью аналогичное предыдущему, только вместо квадрата стоит куб:

$$ y’ = (sin^3 x)’ = 3sin^2 x cdot (sin x)’ = 3sin^2 x cdot cos x $$

Ответ

$$ y’ = 3sin^2 x cos x $$

Пример 4

Чему равна производная сложной функции синус корень икс? $ y = sin sqrt{x} $

Решение

Формула производной квадратного корня: $$ (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$

Возвращаемся к заданию и находим производную:

$$ y’ = (sin sqrt{x})’ = cos sqrt{x} cdot (sqrt{x})’ = cos sqrt{x} cdot frac{1}{2sqrt{x}} = frac{cos sqrt{x}}{2sqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{cos sqrt{x}}{2sqrt{x}} $$

Источник

Доказательства производных тригонометрических функций[править | править код]

Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0[править | править код]

Производная функции синуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Производная функции косинуса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Из цепного правила[править | править код]

Производная функции тангенса[править | править код]

Из определения производной[править | править код]

Из производной гиперболических функций[править | править код]

Из правила частного[править | править код]

Доказательства производных обратных тригонометрических функций[править | править код]

Дифференцирование функции арксинуса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арккосинуса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арктангенса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арккотангенса[править | править код]

Из производной обратной гиперболической функции[править | править код]

Дифференцирование функции арксеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Использование цепного правила[править | править код]

Дифференцирование функции арккосеканса[править | править код]

Использование неявного дифференцирования[править | править код]

Использование цепного правила[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Производные тригонометрических функций

п.1. Производная синуса

п.2. Производная косинуса

п.3. Производная тангенса и котангенса

п.4. Примеры

Рейтинг пользователей

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Формулы производной

Свойства производной

Примеры нахождения производной

Производная сложной функции

Вывод формул производной функции

Производная квадратичной функции

Производная от третьей степени

Производная постоянной

Производная степенной функции

Производная показательной функции

Производная логарифмической функции

Производные тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций

Производные гиперболических функций

Производная синуса

Вам также может понравиться

Как найти общую площадь квартиры формула

Как найти мой адрес в скайпе

Как найти легальную работу в германии

Добавить комментарий Отменить ответ