Как найти производную от уравнения пути

Для школьников.

Пусть вам предстоит решить задачу, в которой известно только уравнение зависимости пути (или координаты) от времени для движущегося тела. Надо подробнее описать это движение, т. е. узнать скорость, ускорение этого тела в конкретные моменты времени; узнать характер движения этого тела и т. д.

Для этого надо уметь находить производную пути по времени, производную скорости по времени. Как это делать? Об этом и идёт речь в данном занятии. Сначала уясним физический смысл математических понятий.

Итак, взяв производную пути по времени, получим выражение для мгновенной скорости движущейся материальной точки.

Аналогично, взяв производную скорости по времени, получим выражение для тангенциального ускорения

Пусть нам дано такое уравнение зависимости пути от времени:

Здесь показатель степени времени (т.е. 2) уменьшили на единицу, а 2 поставили перед символом времени.

Ниже на примере показано, как получается уравнение скорости, если известно уравнение пути.

Надо ещё получить уравнение траектории.

Попробую дать понятие производной как можно проще на примере нахождения мгновенной скорости движения тела (материальной точки). Пусть тело двигается с переменной скоростью вдоль оси Х и нам известно уравнение его движения:

За время

тело переместится на

или пройдёт путь

Тогда средняя скорость движения тела запишется так:

Если перейти к предельному случаю, когда время движения стремится к нулю (к мгновению), то от средней скорости перейдём к мгновенной:

Отношение

называется производной пути по времени. Отсюда следует физический смысл мгновенной скорости:

Мгновенная скорость – это физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени.

Теперь перейдём к определению производной, данному в математике, в “начале дифференциального и интегрального исчисления”: Производной функции

в точке

называется предел отношения приращения функции

к приращению независимой переменной

при её стремлении к нулю:

Производная в точке есть определённое число, равное тангенсу угла наклона касательной к графику.

Вернёмся к нашему примеру нахождения мгновенной скорости тела, движущегося вдоль оси х с переменной скоростью.

Вдоль оси абсцисс откладываем время, вдоль оси ординат – пройденный телом путь. Тогда наша кривая покажет зависимость пути от времени движения тела вдоль оси х.

Проведя касательную к нашему графику в некоторой точке, найдём тангенс угла, то есть найдём мгновенную скорость тела (материальной точки) в данный момент времени

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Спасибо.

Предыдущая запись: Решение задач 3 и 4 на равнопеременное движение

Следующая запись: Занятие 7

Первая запись: Занятие 1.

15 мая 2014

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

[v={S}’={x}’left( t right)]

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

[a={v}’={{S}’}’={{x}’}’left( t right)]

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=-frac{1}{5}{{t}^{5}}+{{t}^{4}}-{{t}^{3}}+5t]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

[v={S}’={x}’left( 2 right)]

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

[{x}’left( t right)=-frac{1}{5}cdot 5{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

[{x}’left( t right)=-{{t}^{4}}+4{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+5]

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

[{x}’left( 2 right)=-{{2}^{4}}+4cdot {{2}^{3}}-3cdot {{2}^{2}}+5=]

[=-16+32-12+5=9]

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

[xleft( t right)=frac{1}{3}{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}+19t-11]

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

[{x}’left( t right)=frac{1}{3}cdot 3{{t}^{2}}-4cdot 2t+19]

[{x}’left( t right)={{t}^{2}}-8t+19]

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

[{{t}^{2}}-8t+19=3]

[{{t}^{2}}-8t+16=0]

[{{left( t-4 right)}^{2}}=0]

[t-4=0]

[t=4]

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Смотрите также:

1. Не допускайте таких ошибок, когда видите график производной в задаче 6 из ЕГЭ по математике!
2. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и квадратичная функция с параметром
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
5. Как решать задачи про летающие камни?
6. B4: счетчики на электричество

Применение производной в физике и технике

п.1. Скорость и ускорение

Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:

Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+frac <2>$$ где (x(t)) – ккордината тела в произвольный момент времени (t, x_0) – начальная координата, (v_0) – начальная скорость, (a=const) – ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=left(x_0+v_0t+frac<2>right)’=0+v_0cdot 1+frac a2cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x”(t)=(v_0+at)’=0+acdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса (s=f(t)), его производной будет величина $$ f'(t)=lim_<triangle trightarrow 0>frac<triangle s> <triangle t>$$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Угол поворота (varphi(t))

Угловая скорость (omega(t)=omega'(t))
Угловое ускорение (beta(t)=omega'(t)=varphi”(t))

Масса горючего ракеты (m(t))

Скорость расходования горючего (u(t)=m'(t))

Температура тела (T(t))

Скорость нагрева (v_T(t)=T'(t))

Магнитный поток (Ф(t))

ЭДС индукции (varepsilon(t)=-Ф'(t))

Число атомов радиоактивного вещества (N(t))

Скорость радиоактивного распада (I(t)=-N'(t))

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T – температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ frac<partial u(x,t)><partial t>-a^2frac<partial^2 u(x,t)><partial x^2>=f(x,t) $$ и производные берутся по времени (left(frac<partial u><partial t>right)) и по координате (left(frac<partial u><partial x>right)), причем по координате берется производная второго порядка (left(frac<partial^2 u><partial x^2>right)).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: (frac<partial varphi><partial t>, frac<partial p><partial V>, frac<partial Q><partial T>. )
Для производных функций от многих переменных: (frac<partial u><partial t>, frac<partial u><partial x>, frac<partial u><partial y>, frac<partial u><partial z>. )

п.3. Примеры

Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону (x(t)=t^2+t+1) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна (E=frac<2>)
Скорость тела: (v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)’=2t+1)
Через 3 с: (v(3)=2cdot 3+1=7) (м/с)
Подставляем: (E=frac<6cdot 7^2><2>=147) (Дж)

2) Сила по второму закону Ньютона: (F=ma)
Ускорение тела: (a(t)=v'(t)=(2t+1)’=2) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: (F=6cdot 2=12) (Н)

Ответ: 147 Дж; 12 Н

Пример 2. Маховик вращается по закону (varphi (t)=4t-0,5t^2) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.

Угловая скорость: (omega(t)=varphi ‘(t)=(4t-0,5t^2 )’=4-0,5cdot 2t=4-t)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0Rightarrow t=4 (c) $$ Ответ: 4 c

Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с 2 )?

Выберем начало отсчета на земле ((y_0=0)), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_<0y>t+frac<2>=0+40t-frac<10t^2><2>=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0Rightarrow t_0=frac<40><10>=4 (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_=y(t_0)=40cdot 4-5cdot 4^2=80 (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м

Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд (q(t)=ln⁡(t+1)) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?

Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(ln(t+1))’=frac<1> $$ По условию: $$ frac<1>=0,1Rightarrow t_0+1=frac<1><0,1>=10Rightarrow t_0=9 (c) $$ Ответ: 9 c

Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.

По условию угол поворота (varphi (t)=At^2)
Один оборот (2pi) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: (Acdot 8^2=2pi)
Находим коэффициент (A=frac<2pi><8^2>=frac<pi><32>)
Уравнение движения (varphi(t)=frac<pi><32>t^2) (рад)
Угловая скорость (omega(t)=varphi ‘(t)=left(frac<pi><32>t^2right)’=frac<pi><32>cdot 2t=frac<pi><16>t) (рад/с)
Через 48 секунд (omega(48)=frac<pi><16>cdot 48=3pi) рад/с – полтора оборота в секунду.
Ответ: (3pi) рад/с

Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо (Q(t)=1,7t+at^2+bt^3) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.

Теплоемкость: (C(t)=Q'(t)=1,7cdot 1+acdot 2t+bcdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2)
По условию: begin C(100)=1,7+2acdot 100+3bcdot 100^2-1,71\ 200a+30000b=0,01 end Кроме того: begin Q(50)=1,7cdot 50+acdot 50^2+bcdot 50^3=85,025\ 2500a+125000b=0,025 end Получаем линейную систему: begin begin 200a+30000b=0,01 |:2\ 2500a+125000b=0,025 |:25 end Rightarrow begin 100a+15000b=0,005\ 100a+5000b=0,001 end \ 15000b-5000b=0,005-0,001\ 10000b=0,004\ b=4cdot 10^<-3>cdot 10^<-4>=4cdot 10^<-7> left(frac<Дж>right)\ a=frac<0,001-5000b><100>=frac<10^<-3>-5cdot 10^3cdot 4cdot 10^<-7>><100>=frac<10^<-3>-2cdot 10^<-3>><100>=-frac<10^<-3>><100>\ a=-10^<-5> left(frac<Дж>right) end Ответ: (a=-10^<-5>frac<Дж>; b=4cdot 10^<-7>frac<Дж>)

Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью (v=2) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.

Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: begin y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\ y(t)=sqrt <25-4t^2>end

Время (tgeq 0) имеет ограничение сверху (25-4t^2geq 0Rightarrow t^2leq frac<25><4>Rightarrow 0leq tleq 2,5 (с))
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: begin u_y(t)=y'(t)=left(sqrt<25-4t^2>right)’=frac<1><2sqrt<25-4t^2>>cdot (25-4t^2)’=frac<-8t><2sqrt<25-4t^2>>\ u_y(t)=-frac<4t><sqrt<25-4t^2>> end Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты (y(t)) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: begin u(t)=|u_y(t)|=frac<4t><sqrt<25-4t^2>> end 1) ОДЗ: (0leq tleq 2,5)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы begin lim_left(frac<4t><sqrt<25-4t^2>>right)=frac05=0\ lim_left(frac<4t><sqrt<25-4t^2>>right)=frac<10><0>=+infty end При подходе к правой границе (t=2,5) слева функция стремится к (+infty).
В точке (t=2,5) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.

6) Пересечение с осями
В начале координат: (t=0, u=0)

7) График

Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см 2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см 2 .

Длина первой стороны в зависимости от времени: (a(t)=a_0+1cdot t) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: (b(t)=b_0-0,5cdot t).
Площадь в начальный момент: (S_0=a_0 b_0=17 (см^2))
Площадь в произвольный момент t: begin S(t)=a(t)cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 end По условию при (t=45 мин=frac34 ч): begin Sleft(frac34right)=17+(-0,5a_0+b_0)cdotfrac34-0,5cdotleft(frac34right)^2=20\ (-0,5a_0+b_0)cdotfrac34=20-17+frac<9><32>=3+frac<9><32>\ (-0,5a_0+b_0)=frac43left(3+frac<9><32>right)=4+frac38=4frac38 end Получаем: begin S(t)=17+4frac38t-0,5t^2 end Скорость изменения площади: begin S'(t)=0+4frac38cdot 1-0,5cdot 2t=4frac38-t end Через 45 мин: begin S’left(frac34right)=4frac38-frac34=3+frac<11><8>-frac34=3+frac<11-6><8>=3frac58=3,625 (см^2/ч) end Ответ: 3,625 см 2 /ч

Физический смысл производной в задании 6

Иногда в задаче 6 из ЕГЭ по математике вместо всеми любимых графиков функции или производной дается просто уравнение расстояния от точки до начала координат. Что делать в этом случае? Как по расстоянию найти скорость или ускорение.

На самом деле все просто. Скорость — это производная от расстояния, а ускорение — это производная скорости (или, что то же самое, вторая производная от расстояния). В этом коротком видео вы убедитесь, что такие задачи решаются ничуть не сложнее «классических» заданий 6.

Сегодня мы разберем две задачи на физический смысл производных из ЕГЭ по математике. Эти задания встречаются в части Bи существенно отличаются от тех, что большинство учеников привыкло видеть на пробниках и экзаменах. Все дело в том, что они требуют понимать физический смысл производной функции. В данных задачах речь пойдет о функциях, выражающих расстояния.

Если $S=xleft( t right)$, то $v$ мы можем посчитать следующим образом:

Точно так же мы можем посчитать и ускорение:

Эти три формулы – все, что вам потребуется для решения таких примеров на физический смысл производной. Просто запомните, что $v$ — это производная от расстояния, а ускорение — это производная от скорости.

Давайте посмотрим, как это работает при решении реальных задач.

Пример № 1

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите скорость точки (в м/с) в момент времени $t=2c$.

Это означает, что у нас есть функция, задающая расстояние, а нужно посчитать скорость в момент времени $t=2c$. Другими словами, нам нужно найти $v$, т.е.

Вот и все, что нам нужно было выяснить из условия: во-первых, как выглядит функция, а во-вторых, что от нас требуется найти.

Давайте решать. В первую очередь, посчитаем производную:

Нам требуется найти производную в точке 2. Давайте подставим:

Вот и все, мы нашли окончательный ответ. Итого, скорость нашей материальной точки в момент времени $t=2c$ составит 9 м/с.

Пример № 2

Материальная точка движется по закону:

где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени ее скорость была равна 3 м/с?

Взгляните, в прошлый раз от нас требовалось найти $v$ в момент времени 2 с, а в этот раз от нас требуется найти тот самый момент, когда эта скорость будет равна 3 м/с. Можно сказать, что нам известно конечное значение, а по этому конечному значению нам требуется найти исходное.

В первую очередь, вновь ищем производную:

От нас просят найти, в какой момент времени скорость будет равна 3 м/с. Составляем и решаем уравнение, чтобы найти физический смысл производной:

Полученное число означает, что в момент времени 4 с $v$ материальной точки, движущейся по выше описанному закону, как раз и будет равна 3 м/с.

Ключевые моменты

В заключении давайте еще раз пробежимся по самому главному моменту сегодняшней задачи, а именно, по правилу преобразования расстояние в скорость и ускорение. Итак, если нам в задаче прямо описан закон, прямо указывающий расстояние от материальной точки до точки отсчета, то через эту формулу мы можем найти любую мгновенную скорость (это просто производная). И более того, мы можем найти еще и ускорение. Ускорение, в свою очередь, равно производной от скорости, т.е. второй производной от расстояния. Такие задачи встречаются довольно редко, поэтому сегодня мы их не разбирали. Но если вы увидите в условии слово «ускорение», пусть оно вас не пугает, достаточно просто найти еще одну производную.

Надеюсь, этот урок поможет вам подготовиться к ЕГЭ по математике.

Решение задач с использованием производной

··· Решение задач: примеры, методы, приёмы ···

А.Н.ДОЛГУШИН,
МОУ СОШ № 23 с УИОП,
г. Воскресенск, Московская обл.

Решение задач с использованием производной

В рамках авторского профильного курса «Практикум решения физических задач»,
11-й класс.
Базовый уровень

Знать физику – значит уметь решать задачи.

Основными целями и задачами факультативного курса «Практикум решения физических задач» являются: знакомство учащихся с основными типами физических задач: расчётными, качественными, графическими, исторического содержания, технического содержания, межпредметного характера, комбинированными, задачами-оценками; формирование знаний, умений и навыков решения физических задач, в том числе повышенной сложности; ознакомление с разными способами решения физических задач: логическим, математическим (арифметическим, алгебраическим, графическим, геометрическим) и экспериментальным; разбор типовых заданий на вступительных экзаменах в технические вузы (МЭИ, МГТУ им. Н.Э.Баумана).

Подборка задач соответствует основным темам школьного курса физики, где можно использовать элемент математического анализа – производную:

– «Кинематика»: если изменение координаты задано уравнением вида x = x(t), то производная первого порядка от координаты по времени есть скорость, т.е. (t) = x‘(t), а производная второго порядка от координаты по времени, или производная первого порядка от скорости по времени, есть ускорение, т.е. a(t) = x“(t) = ‘ (t);

– «Импульс»: при определении импульса по формуле p = m он определяется по скорости тела как производной от координаты по времени.

– «Механические колебания»: энергетический подход (метод производной) позволяет вывести дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие процессы в математическом и пружинном маятниках, затем получить формулы для периодов колебаний, а также рассчитать период колебаний сложных колебательных систем;

– «Термодинамика»: использование производной позволяет решать задачи на нахождение экстремальных значений параметров в циклах идеального газа;

– «Электромагнитная индукция»: производная от магнитного потока по времени, взятая с противоположным знаком (по правилу Ленца), позволяет определить мгновенное значение ЭДС, индуцируемой в замкнутом проводящем контуре: _i = –Ф‘ (t);

– «Постоянный ток»: производная позволяет определить величину внешнего сопротивления в цепи постоянного тока, при которой полезная мощность принимает максимальное значение;

– «Электромагнитные колебания»: энергетический подход (метод производной) позволяет вывести дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее процессы в идеальном колебательном контуре, а затем получить формулу Томсона;

– «Цепи переменного тока»: производная позволяет установить разность фаз между колебаниями электрического заряда на обкладках конденсатора и силы тока в цепи с ёмкостным сопротивлением;

– «Геометрическая оптика»: используя принцип Ферма, можно вывести закон преломления света.

Рассмотрим некоторые задачи.

Кинематика. Закон сохранения энергии

• [1]. Движение материальной точки описывается уравнениями: x = 10 cos 3t, y =10 sin 3t. [x] = см, [y] = см, [] = c –1 . Определите скорость, ускорение и траекторию точки.

– Скорость: 2 = _x 2 + _y 2 . Используя механический смысл производной, после преобразований получаем = 30 см/с.

– Ускорение: a 2 = a_x 2 + a_y 2 . Используя механический смысл производной, после преобразований получаем a = 90 см/с 2 .

– Траектория: уравнение траектории движущейся точки определяется зависимостью: y = f(x), т.е. позволяет исключить переменную t. Целесообразно обе части исходных уравнений движения материальной точки возвести в квадрат, а затем сложить. Используя основное тригонометрическое тождество cos 2 + sin 2 = 1, после преобразований получаем x 2 + y 2 = 100, что соответствует уравнению окружности радиусом 10 см с центром в точке с координатами (0; 0).

• [2]. Небольшое тело соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин высотой h. При какой высоте h тело пролетит наибольшее расстояние s по горизонтали? Чему равно это расстояние?

Связываем нулевой уровень с поверхностью Земли, используем закон сохранения механической энергии: mgH = mgh + m 2 /2. С момента отрыва тела от трамплина используем кинематические уравнения движения тела, брошенного горизонтально:

h = gt 2 /2 – по вертикали;

= s/t – по горизонтали, т.к. g_x = 0.

Время падения по вертикали совпадает со временем движения тела по горизонтали. В итоге получаем выражение для скорости в момент отрыва тела от трамплина: – которое подставляем в выражение для закона сохранения энергии. После преобразования получаем зависимость

Далее исследуем полученную зависимость, находим производную по переменной h и приравниваем её к нулю (s‘_h = 0):

т.е. расстояние s будет наибольшим при h = H/2, когда производная обращается в нуль: 4H – 8h = 0.

Подставляя полученное выражение для высоты трамплина h = H/2 в формулу для s, получаем s = H.

Импульс

• [3]. Движение материальной точки в единицах СИ описывается уравнением x = 5 – 8t + 4t 2 . Приняв массу точки равной 2 кг, найдите её импульс через 2 с и через 4 с от начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Уравнение скорости с учётом механического смысла производной имеет вид: = –8 + 8t. Тогда импульс через 2 с от начала отсчёта времени: p₂ = 16 кг · м/с, а импульс через 4 с: p₄ = 48 кг · м/с.

Сила, которая вызывает это изменение импульса, определяется с учётом второго закона Ньютона в импульсной форме: F = (p₄ – p₂)/t, где t = 2 с. Численно получаем: F = 16 Н.

Механические колебания

• [1]. Материальная точка массой m движется вдоль оси X по закону x = A sint, где A, – некоторые постоянные, t – время. Определите модуль изменения импульса материальной точки с момента времени t = t₁ до момента времени t = t₂.

По механическому смыслу производной скорость определяется выражением: =Acost. Тогда модуль изменения импульса определяется выражением:

p = mA|cost₂ – cost₁|.

• [ЕГЭ]. Тело, подвешенное на пружине, совершает свободные гармонические колебания частотой . С какой частотой происходит изменение кинетической энергии тела?

Пусть координата тела изменяется по закону x = x₀sint. Используя механический смысл производной, находим закон изменения скорости: = x‘ = x₀cost. Тогда кинетическая энергия тела W_k = m 2 /2 = (mx₀ 2 2 cos 2 t)/2. С учётом тригонометрического тождества cos 2 t = (1 +
+ cos2t)/2, получаем:

W_k = mx₀ 2 2 (1 + cos2t)/4,

следовательно, изменение кинетической энергии колеблющегося тела происходит с частотой 2.

• [2]. Брусок подвешен за края к потолку на двух одинаковых пружинах жёсткостью k каждая и притянут к полу пружиной жёсткостью 2k. Масса бруска m. Определите период колебаний бруска.

Важно отметить, что сила тяжести, действующая на брусок, постоянна, поэтому на период колебаний не влияет. Для доказательства рассмотрим груз, подвешенный на вертикальной пружине. В положении равновесия справедливо равенство: mg = kx₀. В процессе колебаний, для произвольного момента времени (например, при дополнительном растяжении на величину x) второй закон Ньютона в скалярной форме имеет вид: –k(x₀ + x) + mg = mx“.

После преобразований получаем уравнение, в котором исключена сила тяжести: –kx = mx“. Далее приходим к дифференциальному уравнению второго порядка, описывающему колебания пружинного маятника с вертикальной пружиной:

Полученный результат показывает, что постоянная сила тяжести не влияет на период колебаний.

С учётом закона сохранения механической энергии в любой момент времени W_k + W_упр = const, т.е.

Далее находим производную от обеих частей:

Термодинамика. Газовые законы

• [4]. Состояния идеального газа в количестве = 1 моль в ходе некоторого процесса изображаются точками, лежащими на отрезке прямой AB: V_A = 0, p_A = p₀; V_B = V₀, p_B = 0. Найдите зависимость температуры газа от объёма и определите максимальную температуру газа в ходе такого процесса.

В соответствии с графиком составляем уравнение прямой: y = –kx + b, где y = p, x = V, b = p₀;

Заменяя переменные, получаем:

Зная уравнения Клапейрона–Менделеева pV = RT, находим зависимость температуры идеального газа от объёма:

Находим производную и приравниваем её нулю:

Решая последнее уравнение, получаем, что температура максимальна при V = V₀/2. Подставляя это значение в выражение для температуры, после преобразований получаем

Электромагнитная индукция

• [2]. Проводящий контур площадью S = 400 см 2 , в который включён конденсатор ёмкостью C = 10 мкФ, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Магнитная индукция возрастает по закону
B = (2 + 5t)10 –2 Тл, где t – время в секундах. Определите энергию электрического поля конденсатора. Укажите, какая обкладка конденсатора заряжается положительно.

Изменение магнитной индукции приводит к появлению в цепи электрического тока (между обкладками конденсатора – диэлектрик), конденсатор начнёт заряжаться, следовательно, между его обкладками возникнет электрическое поле энергией W = CU 2 /2 = C_i 2 /2, где
_i = –Ф_t‘ = –(BScos)_t‘ – ЭДС, наводимая между обкладками конденсатора. Площадь контура постоянна, = B^n = 0° (по условию),
cos 0° = 1, поэтому:

_i = –S · B_t‘ = –4 · 10 –2 · 5 · 10 –2 = –2 · 10 –3 (В).

Подставляя найденное значение в выражение для энергии электрического поля заряженного конденсатора, получаем W = 20 · 10 –12 Дж.

Чтобы определить, какая из обкладок конденсатора зарядится положительно, используем правило Ленца: т.к., по условию задачи, величина магнитной индукции увеличивается, то вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля B направлен противоположно вектору магнитной индукции магнитного поля B_i наведённого в контуре тока. Зная направление B_i и правило правой руки (правого винта), определяем направление индукционного тока: против часовой стрелки. Поскольку за направление электрического тока принимают упорядоченное движение положительно заряженных частиц, то приходим к выводу, что нижняя обкладка конденсатора заряжается положительно.

• [5]. Рамка площадью S = 100 см 2 расположена перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого изменяется по закону B = ct 3 – at 2 , где c = 1 Тл/с 2 , t – время в секундах, a = 3 Тл/с 3 . Сопротивление рамки R = 10 –2 Ом. В какой момент времени индукционный ток максимален? Чему он равен?

Найдём зависимость индукционного тока от времени: I_i = _i/R, где _i = –Ф_t‘ = –(BScos)_t‘ = –SB_t‘ = –S(ct 3 – at 2 )_t‘ = –S(3ct 2 – 2at), т.е.
I_i = –S(3ct 2 – 2at)/R.

Исследуем полученную зависимость, т.е. найдём производную и приравняем её нулю:

При индукционный ток принимает максимальное значение:

Находим числовые значения: t = 1 с, I_{i max} = 3 А.

• [3]. В цепи, представленной на рисунке, L₁ = 0,02 Гн, L₂ = 0,01 Гн. Силы токов изменяются во времени по законам: I₁ = 0,2 + 10t, I₂ = 0,1 + 10t. Найдите сопротивление R. Величины токов заданы в СИ.

При параллельном соединении участков цепи:

Геометрическая оптика

• [1]. На каком расстоянии d_min надо поместить предмет от собирающей линзы с фокусным расстоянием F, чтобы расстояние от предмета до его действительного изображения было наименьшим?

Выполним рисунок. Используем формулу тонкой линзы с учётом правила знаков: из которой выразим расстояние от оптического центра собирающей линзы до предмета:

Расстояние от предмета до его действительного изображения Исследуем последнее выражение, для чего найдём производную от s по d и приравняем её нулю:

Из равенства d 2 – 2dF = 0 следует d_min = 2F. При этом значении d расстояние от предмета до его действительного изображения будет наименьшим: s_min = 4 F.

1. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика. Сборник задач для поступающих в вузы: Изд. 5-е, доп. – М.: Демиург-Арт, 2001.

2. Славов А.В., Спивак В.С., Цуканов В.В. Сборник задач по физике: Учеб. пособие для довуз. подгот.: Под ред. А.В.Славова: Изд 7-е, испр. и доп. – М.: Издательство МЭИ, 2006.

3. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10–11 кл. – М.: Дрофа, 2006.

4. Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М. Сборник задач по физике для 10–11 классов с угл. изучением физики: Под ред. С.М.Козела. – М.: Вербум, 2003.

5. Турчина Н.В. Физика: 3800 задач для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, 2000.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.berdov.com/ege/derivative/fizicheskijj-smysl-proizvodnojj/

http://fiz.1sept.ru/article.php?ID=200801201

[/spoiler]

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

В чем заключается физический смысл производной

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Допустим, известна траектория движения некоторого тела, причём эта траектория является функцией времени. Тогда среднюю скорость движения тела можно узнать по формуле $v_{ср} = frac{s(t)}{t}$.

Замечание 1

Физический (или иначе его называют механическим) смысл производной состоит в том, что производная представляет собой мгновенную скорость движения некоторого тела по траектории $s(t)$ в момент времени $t$. То есть, в данном случае производная определяется от пути по времени.

$v= s’(t)$.

Если же найти производную от скорости, то можно будет также найти такую величину, как ускорение, которое является мгновенным изменением скорости в некоторый момент времени.

Разберём примеры решений с использованием физического смысла производной.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 1

Движение шарика можно описать по закону $S(t) = 3t^5 – 2t^4 + t^3 + 7$. Какова скорость этого шарика?

Решение:

Для решения задачи найдём производную от уравнения, описывающего путь:

$v(t)=S’(t) = (t^5 – 2t^4 – t^3 + 7 )’= 5 t^4 – 8t^3 – 3t^2$.

Ответ: скорость движения шарика описывается уравнением $v(t) = 5 t^4 – 8t^3 – 3t^2$.

Пример 2

Опишите, как выглядит закон изменения скорости из предыдущего примера.

Решение:

Мгновенное изменение скорости — это ускорение, оно является второй производной от уравнения пути. Соответственно, для того чтобы определить, чему оно равно, найдём производную от уже известного уравнения скорости:

$a(t)= v’(t) = (5 t^4 – 8t^3 – 3t^2)’ = 20 t^3 + 24 t^2 – 6t$.

Ускорение для шарика будет подчиняться закону $a(t) = 60 t^3 – 24 t^2 – 6t$.

Пример 3

Найдите, чему будет равно значение скорости для шарика в момент времени $t= 5 $ c.

Решение:

Для того чтобы узнать, чему будет равна скорость при $t=5$ с, подставим это число в полученную производную:

$v(5) = 15 t^4 – 8t^3 – 3t^2=5 cdot 5^4 – 8 cdot 5^3 – 3 cdot 5^2 = 3125 – 1000 – 75= 2050$ м/с.

Пример 4

Тело переместилось на 242 метра в некоторый момент времени, заданный в секундах, а его путь описывается уравнением $S(t) = 3t^2 – 1$. Узнайте, какова скорость данного тела на момент заданного пройденного расстояния.

Решение:

Для начала нужно найти время, за которое тело переместилось на заданное расстояние. Подставим для этого число $242$ в уравнение:

$3t^2 – 1 = 242$;

$3t^2 = 243$;

$t^2 = 81$;

$t = 9$.

Теперь в общем виде узнаем, как изменяется скорость, для этого найдём производную от пути по времени:

$v(t)=S’(t) = (3t^2 – 1)’ = 6 t$.

Подставим найденное время в уравнение для скорости:

$v(9) = 6 cdot 9 = 54$ м/с.

Ответ: 54 м/с.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 05.05.2023