Производная по определению (через предел). Примеры решений
Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статье о смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,
рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.
Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная
функции 
в точке 
определяется формулой:
Напоминаю обозначения и термины: 
называют приращением аргумента;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
Очевидно, что 
является «динамической» переменной, 
– константой и результат вычисления предела 
– числом (иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью).
В качестве точки 
можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение 
, принадлежащее области определения функции 
, в котором существует производная.
! Примечание: оговорка «в котором существует производная» – в общем случае существенна! Так, например, точка 
хоть и входит в область определения функции 
, но производной
там не существует. Поэтому формула
не применима в точке 
,
и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
Таким образом, после замены 
, получаем вторую рабочую формулу:
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение 
. Результатом вычисления предела
является производная функция 
.
Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
–Найти производную в точке, используя определение производной.
–Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность), а во втором –
функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
Как найти производную по определению?
Составить отношение 
и вычислить предел 
.
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу
. Кажется волшебством, но в
действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
Пример 1
Найти производную функции 
, пользуясь определением производной
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: 
.
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку 
, принадлежащую области определения функции 
, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение 
(разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение 
:
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
Итак, 
.
Поскольку в качестве 
можно выбрать ЛЮБУЮ точку 
интервала
, то, осуществив замену 
, получаем:
Ответ: по определению производной: 
Готово.
В который раз порадуемся логарифмам:
Пример 2
Найти производную функции 
, пользуясь определением производной
Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от
подстрочного индекса и вместо буквы 
использовать букву 
.
Рассмотрим произвольную точку 
, принадлежащую области определения функции 
(интервалу 
), и зададим в ней приращение 
. А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может
возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: 
– античная статуя, а 
– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости 
закомментирую пошагово:
(1)Используем свойство логарифма 
.
(2)В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3)В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы
воспользоваться замечательным пределом 
, при этом в качестве бесконечно малой величины выступает 
.
Ответ: по определению производной: 
Или сокращённо: 
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример 3
Найти производную 
по определению
В данном случае составленное приращение 
сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Пример 4
Найти производную 
по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу 
. Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены
формулой 
.
Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5
Найти производную функции 
, используя определение производной
Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку 
, принадлежащую 
, и зададим в ней приращение аргумента 
. Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение 
. Берём точку 
(число) и находим в ней значение функции: 
, то есть в функцию
вместо «икса» следует подставить 
. Теперь берём
|
тоже вполне конкретное число |
и так же подставляем его в |
|
|
функцию |
вместо «икса»: |
|
|
. Записываем разность |
||
|
, при этом |
необходимо полностью взять в |
|
|
скобки. |
Составленное приращение функции 
бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы 
, раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге: 
Поскольку в качестве 
можно выбрать любое действительное число, то проведём замену 
и получим 
.
Ответ: 
по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил
дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Пример 6
Найти производную функции 
по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю №2: Пример 7
Пользуясь определением, найти производную функции
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:
Решение: рассмотрим произвольную точку 
, принадлежащую 
, зададим в ней приращение аргумента 
и составим приращение
функции:
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
.
(2)Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3)Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4)В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом
указываем, что слагаемое 
.
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел 
. Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ: 
по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в
сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пример 8
Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Пример 9
Найти производную функции 
в точке 
, пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:
Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле 
вместо 
рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке 
приращение 
и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов 
и в который раз сведём решение к первому
замечательному пределу:
Ответ: 
по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить 
на 
или просто 
в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10 Используя определение, найти производную функции 
в точке 
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Пример 11
Будет ли дифференцируема функция 
в точке 
?
Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке 
, но будет ли она там дифференцируема?
Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
1)Находим левостороннюю производную в данной точке: 
.
2)Находим правостороннюю производную в данной точке: 
.
3)Если односторонние производные конечны и совпадают:
, то функция 
дифференцируема в точке 
и
геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной).
Если получены два разных значения: 
(одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке 
.
Если же обе односторонние производные равны бесконечности
(пусть даже разных знаков), то функция 
не
дифференцируема в точке 
, но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали).
! Примечание: таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!
Всё очень просто!
1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: 
, а слева от точки 
расположена парабола 
, поэтому приращение функции равно:
И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:
2) Справа от точки 
находится график прямой 
и приращение аргумента положительно: 
. Таким образом, приращение функции:
Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:
3) Односторонние производные конечны и различны: 
Ответ: функция не дифференцируема в точке 
.
Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля 
в точке 
, о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс 
обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке 
. Кривой, да дифференцируемый на 
! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы:
Пример 3: Решение: рассмотрим некоторую точку 
, принадлежащую области определения функции 
. Зададим в
данной точке приращение 
и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке 
:
Так как в качестве 
можно выбрать любую точку 
области определения функции 
, то 
и 
Ответ: 
по определению производной
Пример 4: Решение: рассмотрим произвольную точку 
, принадлежащую 
, и зададим в ней приращение 
. Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Используем замечательный предел 
Ответ: 
по определению
Пример 6: Решение: рассмотрим некоторую точку 
, принадлежащую 
, и зададим в ней приращение аргумента 
. Тогда соответствующее приращение функции:
Вычислим производную:
Таким образом: 
Поскольку в качестве 
можно выбрать любое действительное
число, то 
и 
Ответ: 
по определению.
Пример 8: Решение: рассмотрим произвольную точку 
, принадлежащую 
, зададим в ней приращение 
и составим приращение функции:
Найдём производную:
Используем тригонометрическую формулу
и первый замечательный
предел:
Ответ: 
по определению
Пример 10: Решение: Зададим приращение 
в точке 
. Тогда приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Ответ: 
по определению производной в точке
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.
Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:
Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:
Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Пример:
Решение:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Если вы ничего не смыслите в том, что такое производная и какими методами можно её вычислить, то совершенно невозможно решать примеры по математике или задачи по физике. Ведь такое понятие, как производная, является одним из самых важных в математическом анализе.
В этой статье мы расскажем вам, что является производной, какой она имеет геометрический и физический смысл. В общем, мы с вами попытаемся понять производную.
Геометрический и физический смысл производной
Задаём функцию f(x) в интервале (a, b). А точки x и x0 этому интервалу принадлежат. Если изменится x, то и функция тоже изменится. Изменением аргумента является разность его значений x-x0. Записывается эта разность, как дельта икс и имеет название: приращение аргумента. Разность значений функций в двух точках называется приращением или изменением функции. Так каково определение производной?
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Можно записать ещё следующим образом:
Встаёт вопрос, для чего нужно находить такой предел? Вот и ответ:
Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Ещё в школе нас учили тому, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени (t). Вычисляем среднюю скорость за какой-то временной промежуток:
Для того чтобы нам узнать какова скорость движения в момент t0, необходимо вычислить предел:
Сейчас мы разберем один пример, который продемонстрирует вам применение производной на практике. Допустим, тело движется по закону:
Нам необходимо рассчитать скорость в момент времени t=2c. Вычисляем производную:
Правила нахождения производных
Дифференцирование – это процесс нахождения производной. А дифференцируемая функция – это функция, которая имеет производную в данной точке.
Каким образом нам найти саму производную? Нам необходимо составить отношения приращения функции и аргумента, а после вычислить предел при условии стремящегося к нулю приращения аргумента. Но практика показывает, что такой путь вычисления является очень долгим. Всё, что нам необходимо, уже посчитано. И специально для вас, мы подготовили таблицу с производными элементарных функций.
После таблицы мы рассмотрим правила по вычисления производных. Коснёмся мы и вычисления производных сложных функций. Подробно разберём всё на примерах.
Правило первое: выносим константу
Вынести константы можно за знак производной. Причём делать это необходимо! Когда вы решаете примеры по математике, то всегда помните правило – если есть возможность упростить выражение, то делайте это.
Для примера вычислил с вами производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равняется сумме производных этих функций. Это касается и производной разности функций.
Сейчас мы с вами на практике рассмотрим пример доказательства этой теоремы.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
По следующей формуле мы сможем вычислить производную произведения двух дифференцируемых функций:
К примеру: необходимо найти производную функции:
Решение:
Необходимо сказать о том, каким образом вычисляются производные сложных функций.
Производная сложной функции равняется произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В примере, который указан выше, мы можем встретить выражение:
В этом примере промежуточным аргументом является 8x в пятой степени. Чтобы нам вычислить производную данного выражения, то для начала необходимо высчитать производную внешней функции по промежуточному аргументу, а после необходимо умножить на производную непосредственно сам промежуточный аргумент по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Ниже приведена формула для того, чтобы определить производную от частного двух функций:
Пример:
Решение:
В данной статье мы попытались рассказать о производных для тех, кто совершенно не знаком с этой темой. Когда вы будете решать примеры, то будьте очень внимательны, ведь в них часто можно встретить ловушки. Эта тема не так уж и проста, какой кажется на первый взгляд.
Вы можете обратиться в наш студенческий сервис по любым вопросам. Мы с удовольствием поможем решить для вас задачи любой сложности. А занимались вы раньше вычислением производных или нет, не имеет никакого значения. Мы помогаем всем!
