Как найти производную сложной степенной функции

Содержание:

• 1-ый способ
• 2-ой способ
• 3-ий способ

Рассмотрим способы нахождения ее производной.

1-ый способ

Применяя формулу:

$$left(u(x)^{v(x)}right)^{prime}=v(x) cdot u(x)^{v(x)-1} cdot u^{prime}(x)+u(x)^{v(x)} cdot ln u(x) cdot v^{prime}(x)$$

То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

$$left(u(x)^{v(x)}right)^{prime}=u(x)^{v(x)} cdot ln u(x) cdot v^{prime}(x)+v(x) cdot u(x)^{v(x)-1} cdot u^{prime}(x)$$

2-ой способ

С помощью логарифмического дифференцирования:

$$begin{array}{c}
y(x)=u(x)^{v(x)} \
ln y(x)=ln u(x)^{v(x)} \
ln y(x)=v(x) cdot ln u(x) \
(ln y(x))^{prime}=(v(x) cdot ln u(x))^{prime} \
frac{y^{prime}(x)}{y(x)}=v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime} Rightarrow \
Rightarrow y^{prime}(x)=y(x)left[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]= \
=u(x)^{v(x)}left[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]
end{array}$$

3-ий способ

Представим функцию $y(x)=u(x)^{v(x)}$ в следующем виде
(используются свойства логарифмов):

$$y(x)=u(x)^{v(x)}=e^{ln u(x)^{w(x)}}=e^{v(x) ln u(x)}$$

Тогда

$$begin{array}{c}
y^{prime}(x)=left(e^{v(x) ln u(x)}right)^{prime}=e^{v(x) ln u(x)} cdot(v(x) ln u(x))^{prime}= \
=e^{v(x) ln u(x)} cdotleft[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]= \
=u(x)^{v(x)} cdotleft[v^{prime}(x) cdot ln u(x)+v(x) cdot(ln u(x))^{prime}right]
end{array}$$

Читать дальше: основные теоремы дифференциального исчисления.

В данной публикации мы рассмотрим, чему равна производная степенной функций (в т.ч. сложной), а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула производной степенной функции

Для функции f(x) = x ⁿ, где n – действительное число, справедливо следующее выражение:

f ‘(x) = (x ⁿ)‘ = nx ^n-1

Т.е. производная степенной функции равняется произведению показателя степени на основание в степени, уменьшенной на единицу.

n – может быть как положительным, так и отрицательным числом (в т.ч. дробным):

Производная сложной степенной функции

В сложной функции вместо x представлено более сложное выражение. Производная такой функции определяется по формуле:

(y ⁿ)‘ = ny ^n-1 ⋅ y ‘

Примеры задач

Задание 1:
Вычислите производную функцию f(x) = x³/5.

Решение:
Согласно правилам дифференцирования константу в виде дроби можно вынести за знак производной:

Применив формулу производной, рассмотренную выше, получаем:

Задание 2:
Найдите производную функции f(x) = x² + √x – 6.

Решение:
Первоначальный вид производной функции:
f ‘(x) = (x² + √x – 6)‘.

С учетом правила дифференцирования суммы получаем:
f ‘(x) = (x²)‘ + (√x)‘ – (6)‘.

Остается только вычислить производные по отдельности:

(x²)‘ = 2x^2-1 = 2x

(-6)‘ = 0 (производная константы равна нулю)

Таким образом получаем:

Как считать производную степенной функции

3 февраля 2015

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=fleft( x right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $fleft( {{x}_{1}} right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $fleft( {{x}_{2}} right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $alpha $,
3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $alpha $.

Что мы можем сказать об $text{ }!!alpha!!text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

[tg=frac{BC}{AC}]

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

[AC={{x}_{2}}-{{x}_{1}}]

Точно также и $BC$:

[BC=fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)]

Другими словами, мы можем записать следующее:

[operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }=frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $fleft( {{x}_{2}} right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $text{ }!!alpha!!text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

 

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $text{ }!!alpha!!text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

[{f}’left( {{x}_{1}} right)=operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке. 

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $beta $.

[{f}’left( {{x}_{2}} right)=tgtext{ }!!beta!!text{ }]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}’=ncdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

[begin{align}& y={{x}^{2}} \& {y}’=2cdot {{x}^{2-1}}=2x \end{align}]

А вот другой вариант:

[begin{align}& y={{x}^{1}} \& {y}’={{left( x right)}^{prime }}=1cdot {{x}^{0}}=1cdot 1=1 \& {{left( x right)}^{prime }}=1 \end{align}]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

[fleft( x right)={{x}^{6}}]

Итак, мы получаем:

[{{left( {{x}^{6}} right)}^{prime }}=6cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}]

Теперь решим второе выражение:

[begin{align}& fleft( x right)={{x}^{100}} \& {{left( {{x}^{100}} right)}^{prime }}=100cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \end{align}]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

[{{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

[{{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’]

Пример:

[{{left( {{x}^{2}}+x right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left( x right)}^{prime }}=2x+1]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

[{{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’]

Пример:

[{{left( 3{{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

[{{left( c right)}^{prime }}=0]

Пример решения:

[{{left( 1001 right)}^{prime }}={{left( frac{1}{1000} right)}^{prime }}=0]

Еще раз ключевые моменты:

1. Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’$;
2. По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’$;
3. Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’$;
4. Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{left( c right)}^{prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

[y={{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7]

Записываем:

[begin{align}& {{left( {{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{5}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{7}’= \& =5{{x}^{4}}-3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \end{align}]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

[fleft( x right)=3{{x}^{2}}-2x+2]

Записываем решение:

[begin{align}& {{left( 3{{x}^{2}}-2x+2 right)}^{prime }}={{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}-{{left( 2x right)}^{prime }}+{2}’= \& =3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}-2{x}’+0=3cdot 2x-2cdot 1=6x-2 \end{align}]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5]

Решаем:

[begin{align}& {{left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5 right)}^{prime }}={{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left( frac{1}{2}x right)}^{prime }}-{5}’= \& =2{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}-3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+frac{1}{2}cdot {x}’=2cdot 3{{x}^{2}}-3cdot 2x+frac{1}{2}cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+frac{1}{2} \end{align}]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

[y=6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5,{{x}_{0}}=-1]

Итак, считаем:

[begin{align}& {{left( 6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 right)}^{prime }}={{left( 6{{x}^{7}} right)}^{prime }}-{{left( 14{{x}^{3}} right)}^{prime }}+{{left( 4x right)}^{prime }}+{5}’= \& =6cdot 7cdot {{x}^{6}}-14cdot 3{{x}^{2}}+4cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \end{align}]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

[{y}’left( -1 right)=42cdot 1-42cdot 1+4=4]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

[begin{align}& sqrt{x}={{x}^{frac{1}{2}}} \& {{left( sqrt{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2}cdot {{x}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{x}}=frac{1}{2sqrt{x}} \end{align}]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

[y=sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x}]

Записываем решение:

[begin{align}& left( sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x} right)={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }} \& {{left( sqrt{x} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{x}} \& {{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot {{x}^{-frac{2}{3}}}=frac{1}{3}cdot frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \& {{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}{{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4}cdot frac{1}{sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \end{align}]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

[{y}’=frac{1}{2sqrt{x}}+frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

[y={{x}^{3}}sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt[3]{x}]

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}}cdot {{x}^{frac{2}{3}}} right)}^{prime }}= \& ={{left( {{x}^{3+frac{2}{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{11}{3}}} right)}^{prime }}=frac{11}{3}cdot {{x}^{frac{8}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2frac{2}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}} \& {{left( {{x}^{7}}cdot sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{7}}cdot {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{7frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=7frac{1}{3}cdot {{x}^{6frac{1}{3}}}=frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt[3]{x} \end{align}]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

[{y}’=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}}+frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt[3]{x}]

Мы нашли ответ.

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

[left( frac{1}{{{x}^{n}}} right)’={{left( {{x}^{-n}} right)}^{prime }}=-ncdot {{x}^{-n-1}}=-frac{n}{{{x}^{n+1}}}]

Пример:

[{{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}=left( {{x}^{-1}} right)=-1cdot {{x}^{-2}}=-frac{1}{{{x}^{2}}}]

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

[fleft( x right)=frac{1}{{{x}^{2}}}]

Считаем:

[{{left( frac{1}{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{-2}} right)}^{prime }}=-2cdot {{x}^{-3}}=-frac{2}{{{x}^{3}}}]

Первый пример решен, переходим ко второму:

[y=frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}]

Решаем:

[begin{align}& {{left( frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} right)}^{prime }}= \& ={{left( frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}-{{left( frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+{{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{4}} right)}^{prime }} \& {{left( frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}{{left( frac{1}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot {{left( {{x}^{-4}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot left( -4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{-7}{{{x}^{5}}} \& {{left( frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left( {{x}^{-3}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot left( -3 right)cdot {{x}^{-4}}=frac{-2}{{{x}^{4}}} \& {{left( frac{5}{2}{{x}^{2}} right)}^{prime }}=frac{5}{2}cdot 2x=5x \& {{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}=2cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \& {{left( 3{{x}^{4}} right)}^{prime }}=3cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \end{align}]…

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

[{y}’=-frac{7}{{{x}^{5}}}+frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $fleft( x right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $fleft( x right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $fleft( x right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

[y={{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt[3]{x}]

Считаем:

[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+left( sqrt[3]{x} right) \& {{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{x}^{2}} \& {{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{-3}} right)}^{prime }}=-3cdot {{x}^{-4}}=-frac{3}{{{x}^{4}}} \& {{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot frac{1}{{{x}^{frac{2}{3}}}}=frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \end{align}]

Производная функции равна:

[{y}’=3{{x}^{2}}-frac{3}{{{x}^{4}}}+frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}}]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

[y=-frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt[4]{x}+frac{4}{xsqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

Во втором примере действуем аналогично:

[{{left( -frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt[4]{x}+frac{4}{xsqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( -frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}+{{left( frac{4}{xcdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

[begin{align}& {{left( -frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=-2cdot {{left( {{x}^{-4}} right)}^{prime }}=-2cdot left( -4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{8}{{{x}^{5}}} \& {{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}cdot {{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \& {{left( frac{4}{xcdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{4}{xcdot {{x}^{frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{4}{{{x}^{1frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}=4cdot {{left( {{x}^{-1frac{3}{4}}} right)}^{prime }}= \& =4cdot left( -1frac{3}{4} right)cdot {{x}^{-2frac{3}{4}}}=4cdot left( -frac{7}{4} right)cdot frac{1}{{{x}^{2frac{3}{4}}}}=frac{-7}{{{x}^{2}}cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \end{align}]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

[{y}’=frac{8}{{{x}^{5}}}+frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}}-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные. 

Смотрите также:

1. Производная произведения и частного
2. Правила вычисления производных
3. Теорема Виета
4. Преобразование уравнений
5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y=sin x-(2-3)·arctgxx57x10-17×3+x-11, то ее нельзя считать сложной в отличие от y=sin2 x.

Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.

Основные определения

Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g(x) = lnx – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f(g(x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f, являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g(x)=x2+2x-3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f(g(x))=(x2+2x-3)4.

Очевидно, что g(x) может быть сложной. Из примера y=sin2x+1×3-5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y=f(f1(f2(x))). Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f1 – функция, располагаемая под квадратным корнем, f2(x)=2x+1×3-5 – дробная рациональная функция.

Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))).

Примеры

При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g(x).

Формула для производной y=f(f1(f2(f3(…(fn(x)))))) запишется как y’=f'(f1(f2(f3(…(fn(x))))))·f1′(f2(f3(…(fn(x)))))··f2′(f3(…(fn(x))))·…·fn'(x)

Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.

Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.

Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.

По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.

Содержание:

Производные показательной и логарифмической функций:

Объяснение и обоснование

Чтобы обосновать формулы производных показательных и логарифмических функций, используем без доказательства свойство функции

При а > 0 по основному логарифмическому тождеству имеем

Тогда по правилу нахождения производной сложной функции:

По полученной формуле мы можем найти значение производной показательной функции для любого значения Следовательно, показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, а значит, и непрерывна в каждой точке своей области определения (при всех действительных значениях ).

Для логарифмической функции сначала найдем производную функции (принимая без доказательства существование ее производной). Область определения этой функции — то есть

При по основному логарифмическому тождеству имеем Это равенство означает, что при функции совпадают (это одна и та же функция, заданная на множестве а значит, совпадают и их производные. Используя для левой части равенства правило нахождения производной сложной функции, получаем: то есть Отсюда

Поскольку то

Следовательно,

– постоянная).

Замечание. Формула была обоснована только для целых значений Докажем, что она выполняется при любых действительных значениях

*Напомним , что — иррациональное число, первые знаки которого следующие:

Если — любое нецелое число, то функция определена только при Тогда поосновному логарифмическому тождеству По правилу вычисления производной сложной функции получаем:

Следовательно, далее формулой можно пользоваться при любых действительных значениях (в этом случае только при тех значениях при которых определена ее правая часть).

Опираясь на полученный результат, обоснуем также формулу

которую можно использовать при тех значениях при которых определена ее правая часть.

Если — четное число, то ОДЗ правой части формулы (1): Но при этом условии

Если — нечетное число, то ОДЗ правой части формулы (1) задается условием: При остается справедливым равенство (2). При учтем, что а также то, что при нечетном число 1 – будет четным (поэтому ). Тогда

Следовательно, и для нечетного при всех формула (1) также выполняется.

В последнем случае такие громоздкие преобразования пришлось вы- 1 полнить вследствие того, что при выражение не определено, а выражение существует, поскольку

Примеры решения задач

Пример №1

Найдите производную функции:

Решение:

Комментарий:

Последовательно определяем, от какого выражения берется производная (ориентируясь на результат последнего действия). В задании 1 сначала берется производная суммы: Затем для каждого из слагаемых используется правило вычисления производной сложной функции: берется производная от и умножается на Полученный результат желательно упростить по формуле: В задании 2 сначала берется производная частного: а для производной знаменателя используется правило вычисления производной сложной функции (производная умножается на ).

Пример №2

Найдите уравнение касательной к графику функции точке

Решение:

Если то Тогда Подставляя эти значения в уравнение касательной получаем: То есть — искомое уравнение касательной.

Комментарий:

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде записывается так: Чтобы записать это уравнение для данной функции, необходимо найти производную и значение . Д ля выполнения соответствующих вычислений удобно обозначить данную функцию через а для нахождения ее производной воспользоваться формулой производной произведения:

Пример №3

1) Постройте график функции 2) Найдите наибольшее значение параметра , при котором уравнениеимеет единственный корень.

Комментарий:

Для выполнения задания 1 исследуем функцию по общей схеме и по результатам исследования строим ее график. При исследовании функции на четность и нечетность можно воспользоваться тем, что учетной или нечетной функции в область определения входят точки Следовательно, для таких функций область определения должна быть симметричной относительно точки 0. Если же это условие не выполняется, то функция не может быть ни четной, ни нечетной. Для лучшего представления о виде графика целесообразно уточнить поведение функции на концах области определения При справа (при ) значение

Тогда (рис. 18.2). Но при мы не можем выполнить такую оценку (получаем неопределенность вида В таком случае поведение функции при можно уточнить с помощью дополнительных точек.

При выполнении задания 2 целесообразно использовать графическую иллюстрацию решения. Это можно сделать двумя способами:

Решение:

1) Исследуем функцию

1. Область определения:

2. Функция ни четная, ни нечетная, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0. 3. Точки пересечения графика с осями координат. График не пересекает ось На оси то есть Тогда при получаем: — абсцисса точки пересечения графика с осью 4. Производная и критические точки.

Производная существует на всей области определения функции (то есть при ), следовательно, функция непрерывна на всей области определения. Тогда Отсюда при получаем следовательно, — критическая точка.

5. Отмечаем критические точки на области определения функции и находим знак в каждом из полученных промежутков (рис. 18.1).

Составляем таблицу, в которой отмечаем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

6. Найдем координаты еще нескольких точек графика функции:

Заметим, что при справа ()) значение Действительно,

7. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рис. 18.2).

I способ решения задания 2

Область допустимых значений данного уравнения задается неравенством Но тогда и данное уравнение на его ОДЗ равносильно уравнению Решим последнее уравнение графически. Для этого построим график функции (см. задание 1) и график функции (18.3). Как видим, уравнение имеет единственный корень только при и при (при уравнение имеет два корня, а при – уравнение не имеет корней). Следовательно, наибольшее значение параметра , при котором уравнение имеет единственный корень, — это

II способ решения задания 2

Рассмотрим графическую иллюстрацию (рис. 18.4) решения данного уравнения

Функция возрастающая и принимает все значения от График функции — прямая, проходящая через начало координат. При прямая пересекает график функции только в одной точке (прямая 1 на рис. 18.4). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень (действительно, функция возрастающая, а функция убывающая, поэтому уравнение (1) может иметь только один корень).

При уравнение (1) имеет вид и также имеет единственный корень

При прямая может касаться графика функции (прямая 2 на рис. 18.4). Тогда уравнение (1) будет иметь единственный корень. Также прямая может проходить в первой четверти ниже касательной (прямая 3 на рис. 18.4).

Тогда уравнение (1) будет иметь два корня. Если же прямая будет проходить в первой четверти выше касательной (прямая 4 на рис. 18.4), то уравнение(1) не будет иметь корней.

Выясним, когда прямая будет касательной к графику функции Пусть точка касания имеет абсциссу Учитывая геометрический смысл производной, получаем, что (значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной через точку ). Поскольку Тогда из равенства имеем Отсюда Тогда уп = In -. С другой стороны, поскольку точка касания лежит на касательной то ее координаты удовлетворяют и уравнению касательной. Получаем Тогда следовательно, Таким образом, данное уравнение будет иметь единственный корень только при и при . Тогда наибольшее значение параметра , при котором уравнение имеет единственный корень, — это

Пример №4

Докажите, что при всех действительных значениях выполняется неравенство

Решение:

Рассмотрим функцию

Область определения:

Производная существует на всей области определения. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой:

— критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 18.5).

Как видим, непрерывная функция имеет на интервале только одну критическую точку, — точку минимума, в которой функция принимает наименьшее значение на этом интервале. Тогда при всех действительных значениях значения то есть Следовательно, при всех действительных значениях .

Комментарий:

Используем производную для доказательства данного неравенства. Для этого исследуем функцию которая является разностью левой и правой частей неравенства. При всех действительных значениях эта функция не является ни возрастающей, ни убывающей, поэтому рассуждения, приведенные при решении предыдущих задач, нельзя использовать. Тогда в результате исследования попробуем найти наибольшее или наименьшее значение функции на всей числовой прямой. Для этого можно использовать свойство: если непрерывная функция имеет на заданном интервале только одну точку экстремума и это точка минимума, то на этом интервале функция принимает свое наименьшее значение в точке . Далее воспользуемся тем, что когда в точке функция принимает наименьшее значение на заданном интервале, то для всех значений из этого интервала (если необходимо, то можно также уточнить, что знак равенства достигается только в точке ).

При доказательстве числовых неравенств или для сравнения двух чисел часто бывает удобно перейти к более общему функциональному неравенству

Пример №5

Сравните числа

Комментарий:

Чтобы составить план решения, можно рассуждать следующим образом. Мы не знаем, какое из данных чисел больше: или , поэтому в ходе анализа поставим между ними знак «». Этот знак неравенства, направленный вниз острым концом, свидетельствует о том, что мы не знаем, в какую сторону его следует направить. Будем выполнять преобразование неравенства до тех пор, пока не выясним, какое число больше.

Затем заменим знак «» соответствующим знаком неравенства: «» или «», которое и запишем в решении. (В ходе анализа, если необходимо поменять знак неравенства, знак «» меняем на знак «», а в записи решения в соответствующем месте меняем знак неравенства.) При анализе запись вида также будем называть неравенством (но, конечно, не в решении). Рассмотрим неравенство Это неравенство с положительными членами (), следовательно, обе его части можно прологарифмировать. Поскольку функция является возрастающей, то после логарифмирования обеих частей по основанию знак неравенства не изменится, и мы получим неравенство то есть неравенство Так как то после деления обеих частей последнего неравенства на знак неравенства не изменится, и мы получим неравенство Замечаем, что в левой и правой частях этого неравенства стоят значения одной и той же функции Исследуем эту функцию с помощью производной на возрастание и убывание.

Далее, учитывая, что сравним полученные выражения, а затем и данные выражения (выполняя все те преобразования, что и в ходе анализа, только в обратном порядке).

Решение:

Рассмотрим функцию Ее область определения: Производная существует на всей области определения. Выясним, когда Тогда на области определения получаем равносильное уравнение то есть — критическая точка. Отмечаем критическую точку на области определения функции и определяем знаки производной и поведение функции в каждом из полученных промежутков (рис. 18.6).

Функция убывает на интервале а так как она непрерывна на всей области определения, то убывает и на промежутке Поскольку то то есть Умножив обе части этого неравенства на положительное число (знак неравенства не меняется), получаем неравенство Тогда Так как функция возрастающая

Ответ:

Пример №6

Решите уравнение

Комментарий:

Если попытаться применить к данному уравнению схему решения показательных уравнений (см. с. 178), то удается реализовать только первый ее пункт — избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. А привести все степени к одному основанию (с удобными показателями) или к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение, или перенести все члены в одну сторону и разложить полученное выражение на множители — не удается. Попробуем применить свойства соответствующих функций. Но и на этом пути нам не удается использовать конечность ОДЗ (она бесконечна), оценку значений левой и правой частей уравнения (они обе в пределах от ). Также не получается использовать теоремы о корнях уравнений (в обеих частях данного уравнения стоят возрастающие функции). Тогда попробуем подобрать корни этого уравнения и доказать, что других корней оно не имеет (удобно предварительно привести уравнение к виду ). Последовательно подставляя выясняем, что то есть уравнение имеет три корня. Чтобы убедиться, что других корней нет, достаточно доказать, что у функции не больше трех промежутков возрастания или убывания; а учитывая непрерывность на всей числовой прямой, для этого достаточно доказать, что у нее не больше двух критических точек, то есть уравнение имеет не больше двух корней. Рассматривая теперь уравнение мы после его преобразования можем провести аналогичные рассуждения, но уже для двух корней (как это было сделано в примере на с. 139). Выполняя преобразования уравнения , учтем, что все его члены имеют одинаковую степень — (то есть оно является однородным относительно трех функций от переменной , а именно: ). Делением обеих частей уравнения на степень с основанием 2, 3 или 4 удается уменьшить количество выражений с переменной на одно.

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению то есть,

Обозначим Так как

то уравнение имеет три корня: 0, 1, 3. Докажем, что других корней уравнение (1) не имеет. Для этого достаточно доказать, что у функции есть не больше трех промежутков возрастания или убывания, а учитывая непрерывность функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что функция имеет не больше двух критических точек. Область определения:

Производная существует при всех значениях . Следовательно, критическим и точкам и могут быть только те значения , при которых Получаем уравнение

Поскольку то после деления обеих частей последнего уравнения на получаем равносильное уравнение

Чтобы доказать, что уравнение (2) имеет не больше двух корней, достаточно доказать, что функция стоящая в левой части уравнения, имеет не больше двух промежутков возрастания или убывания. Учитывая непрерывность этой функции на всей числовой прямой, достаточно доказать, что она имеет только одну критическую точку. Действительно, существует при всех значениях . Следовательно, критическими точками могут быть только те значения , при которых Получаем однородное уравнение

Поскольку то после деления обеих частей уравнения на это выражение получаем равносильное уравнение Отсюда . Учитывая, что получаем: Следовательно, последнее уравнение имеет единственный корень. Тогда функция имеет единственную критическую точку, поэтому уравнение (2) имеет не больше двух корней. Это означает, что функция имеет не больше двух критических точек. Тогда уравнение (1) (а значит, и данное уравнение) имеет не больше трех корней. Но три корня данного уравнения мы уже знаем: 0, 1, 3, следовательно, других корней данное уравнение не имеет. Ответ: 0, 1, 3.

• Заказать решение задач по высшей математике

Производные показательной и логарифмической функций – формулы и доказательство

Докажем следующие формулы производных:

1. Пусть дана функция  Зафиксируем произвольное значение  её аргумента и дадим ему приращение  Тогда приращение функции

Следовательно,

Если  Это следует из того, что угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке  равен 1 рис. 22. В математическом анализе доказывают следующее утверждение: если  

Если значение  зафиксировано, то когда  значение  не меняется. Следовательно, если  Это и означает, что функция  дифференцируема в каждой точке  и

2.Как известно, при каждом  выполняется равенство  Поэтому

По теореме о производной сложной функции

Итак, формула 2 доказана.

3.    Если 

А по теореме о производной сложной функции 

Следовательно,  отсюда 

4. При каждом  по формуле перехода

Следовательно,

По доказанным формулам можно находить производные любых показательных или логарифмических функций, а значит, и исследовать эти функции.

Обратите внимание! Если функция содержит логарифм сложного выражения, то прежде чем находить её производную, целесообразно это выражение прологарифмировать.

Пример №7

Найдите производную функции 

Решение:

 

Теперь можно вывести формулу производной степенной функции  — произвольное действительное число. Если  Поэтому

Итак, формула  доказанная ранее только для натурального показателя степени  верна и для любого действительного  и положительного 

 Формулу для нахождения производной логарифмической функции можно вывести иначе, используя тот факт, что функция  обратная к функции 

Выясним, как связаны между собой производные взаимно обратных функций.

Теорема. Если функция  обратима (строго монотонная) на интервале  и имеет отличную от нуля производную  в произвольной точке этого интервала, тогда существует обратная функция  которая также имеет производную  причём:

Обоснуем эти формулы, используя геометрический смысл производной. 

Пусть   — взаимно обратные функции. Тогда они задают одну и ту же кривую (рис. 69). Если касательная к этой кривой в точке  образует с осью  угол  а с осью  угол  то 
Поскольку  Из этого соотношения следует, что 
Строгое доказательство этой теоремы рассматривается в университетском курсе математического анализа.

Применим формулу  для дифференцирования функции  обратной к функции  

Получим: 

Пример №8

Найдите производную функции:

Решение:

 

Пример №9

Запишите уравнение касательной к графику функции  если точка касания имеет ординату 

Решение:

Найдём абсциссу точки касания:  отсюда 

Найдём производную функции  и её значение в точке 

Уравнение касательной запишем в виде  или  отсюда 

Пример №10

Найдите производную функции 

Решение:

Заданная функция является суммой степенной и показательной функций. Для нахождения её производной воспользуемся соответствующими формулами: 

Определение производной показательной и логарифмической функций

Существует ли функция, производная которой равна самой функции? Ответить на этот вопрос легко. Например, функция, которая является нулевой константой, обладает этим свойством.

А можно ли указать такую функцию определенную на отличную от нулевой константы, чтобы для любого ? Ответ на этот вопрос неочевиден.

Оказывается, что среди показательных функций существует единственная функция такая, что для всех . Для этой функции число, которое является

основанием степени, обозначают буквой , а сама функция имеет вид Следовательно,

Установлено, что число — иррациональное. Его можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби:

Функцию называют экспонентой.

Отметим одну особенность графика экспоненты.

Имеем:

Следовательно, касательная к графику экспоненты в точке с абсциссой, равной нулю, имеет угловой коэффициент, равный 1. То есть эта касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс (рис. 23.1).

Выведем формулу для нахождения производной показательной функции

Имеем: Тогда

Пользуясь правилом вычисления производной сложной функции, запишем:

Логарифм по основанию называют натуральным логарифмом и обозначают то есть Тогда при можно записать:

Эта формула показывает, что между значением производной показательной функции и соответствующим значением самой функции существует прямая пропорциональная зависимость. Коэффициент пропорциональности равен

В пункте 20 мы определили, что логарифмическая функция является дифференцируемой. Найдем формулу для вычисления производной логарифмической функции.

Для любого выполняется равенство Тогда функции и представляют собой одну и ту же функцию. Поэтому для любого выполняется равенство то есть

Левая часть этого равенства равна 1. В правой части получаем: Тогда Отсюда

Имеем:

Следовательно,

Пример №11

Найдите производную функции:

Решение:

1) Применяя теорему о производной произведения двух функций, получаем:

2) Имеем:

3) Используя теорему о производной сложной функции, запишем:

4) Имеем:

5) Применив теорему о производной сложной функции, получаем:

6) Имеем:

Пример №12

Составьте уравнение касательной к графику функции если эта касательная параллельна прямой

Решение:

Поскольку угловой коэффициент прямой равен 4, то угловой коэффициент искомой касательной Найдем абсциссу точки касания. Имеем: Поскольку то Отсюда

Тогда искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Ответ: у = 4х + 1.

Пример №13

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

Решение:

1) Имеем:

Исследовав знак производной функции (рис. 23.2), получаем, что функция возрастает на промежутке убывает на промежутке

2) Имеем:

Исследуем знак на

Имеем: при Отсюда Аналогично находим, что при

Получаем, что функция возрастает на промежутке убывает на промежутке (рис. 23.3).

3) Имеем:

Тогда при или Следовательно, данная функция имеет две критические точки: и Исследовав знак производной функции на (рис. 23.4), приходим к выводу, что функция возрастает на промежутках убывает на промежутке

Пример №14

Докажите, что: 1) показательная функция является выпуклой вниз; 2) при логарифмическая функция является выпуклой вверх, а при выпуклой вниз.

Решение:

1) Имеем:

Поскольку для всех то показательная функция является выпуклой вниз.

2) Запишем:

Если то Поэтому для всех Следовательно, при логарифмическая функция является выпуклой вверх.

При аналогично доказываем, что и логарифмическая функция является выпуклой вниз.