Как найти производную степени дроби - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как считать производную степенной функции

3 февраля 2015

Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

Что такое производная?

Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=fleft( x right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $fleft( {{x}_{1}} right)$.

Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $fleft( {{x}_{2}} right)$.

Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
прямая $AB$ пересекает $AC$ под $alpha $,
следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $alpha $.

Что мы можем сказать об $text{ }!!alpha!!text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

[tg=frac{BC}{AC}]

Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

[AC={{x}_{2}}-{{x}_{1}}]

Точно также и $BC$:

[BC=fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)]

Другими словами, мы можем записать следующее:

[operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }=frac{fleft( {{x}_{2}} right)-fleft( {{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}]

Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $fleft( {{x}_{2}} right)$.

Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $text{ }!!alpha!!text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $text{ }!!alpha!!text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:

[{f}’left( {{x}_{1}} right)=operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }]

Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке.

Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $beta $.

[{f}’left( {{x}_{2}} right)=tgtext{ }!!beta!!text{ }]

В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

Производная степенной функции

К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}’=ncdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

[begin{align}& y={{x}^{2}} \& {y}’=2cdot {{x}^{2-1}}=2x \end{align}]

А вот другой вариант:

[begin{align}& y={{x}^{1}} \& {y}’={{left( x right)}^{prime }}=1cdot {{x}^{0}}=1cdot 1=1 \& {{left( x right)}^{prime }}=1 \end{align}]

Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

[fleft( x right)={{x}^{6}}]

Итак, мы получаем:

[{{left( {{x}^{6}} right)}^{prime }}=6cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}]

Теперь решим второе выражение:

[begin{align}& fleft( x right)={{x}^{100}} \& {{left( {{x}^{100}} right)}^{prime }}=100cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} \end{align}]

Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

[{{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’]

Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

[{{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’]

Пример:

[{{left( {{x}^{2}}+x right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left( x right)}^{prime }}=2x+1]

Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

[{{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’]

Пример:

[{{left( 3{{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}]

Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

[{{left( c right)}^{prime }}=0]

Пример решения:

[{{left( 1001 right)}^{prime }}={{left( frac{1}{1000} right)}^{prime }}=0]

Еще раз ключевые моменты:

Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’$;
По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’$;
Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{left( ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}’$;
Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{left( c right)}^{prime }}=0$.

Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

[y={{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7]

Записываем:

[begin{align}& {{left( {{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{5}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{7}’= \& =5{{x}^{4}}-3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x \end{align}]

В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.

Переходим ко второй функции:

[fleft( x right)=3{{x}^{2}}-2x+2]

Записываем решение:

[begin{align}& {{left( 3{{x}^{2}}-2x+2 right)}^{prime }}={{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}-{{left( 2x right)}^{prime }}+{2}’= \& =3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}-2{x}’+0=3cdot 2x-2cdot 1=6x-2 \end{align}]

Вот мы и нашли ответ.

Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

[y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5]

Решаем:

[begin{align}& {{left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5 right)}^{prime }}={{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left( frac{1}{2}x right)}^{prime }}-{5}’= \& =2{{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}-3{{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+frac{1}{2}cdot {x}’=2cdot 3{{x}^{2}}-3cdot 2x+frac{1}{2}cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+frac{1}{2} \end{align}]

Ответ мы нашли.

Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

[y=6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5,{{x}_{0}}=-1]

Итак, считаем:

[begin{align}& {{left( 6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 right)}^{prime }}={{left( 6{{x}^{7}} right)}^{prime }}-{{left( 14{{x}^{3}} right)}^{prime }}+{{left( 4x right)}^{prime }}+{5}’= \& =6cdot 7cdot {{x}^{6}}-14cdot 3{{x}^{2}}+4cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 \end{align}]

Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

[{y}’left( -1 right)=42cdot 1-42cdot 1+4=4]

Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

[begin{align}& sqrt{x}={{x}^{frac{1}{2}}} \& {{left( sqrt{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2}cdot {{x}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{x}}=frac{1}{2sqrt{x}} \end{align}]

Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

[y=sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x}]

Записываем решение:

[begin{align}& left( sqrt{x}+sqrt[3]{x}+sqrt[4]{x} right)={{left( sqrt{x} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }} \& {{left( sqrt{x} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{x}} \& {{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot {{x}^{-frac{2}{3}}}=frac{1}{3}cdot frac{1}{sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \& {{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}{{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4}cdot frac{1}{sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \end{align}]

Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

[{y}’=frac{1}{2sqrt{x}}+frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

Вот такое сложное решение.

Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

[y={{x}^{3}}sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt[3]{x}]

Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}sqrt[3]{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}}cdot {{x}^{frac{2}{3}}} right)}^{prime }}= \& ={{left( {{x}^{3+frac{2}{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{11}{3}}} right)}^{prime }}=frac{11}{3}cdot {{x}^{frac{8}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2frac{2}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}} \& {{left( {{x}^{7}}cdot sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{7}}cdot {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{7frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=7frac{1}{3}cdot {{x}^{6frac{1}{3}}}=frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt[3]{x} \end{align}]

Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

[{y}’=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt[3]{{{x}^{2}}}+frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt[3]{x}]

Мы нашли ответ.

Производная дроби через степенную функцию

Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]

С другой стороны мы знаем, что выражение вида $frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,

[left( frac{1}{{{x}^{n}}} right)’={{left( {{x}^{-n}} right)}^{prime }}=-ncdot {{x}^{-n-1}}=-frac{n}{{{x}^{n+1}}}]

Пример:

[{{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}=left( {{x}^{-1}} right)=-1cdot {{x}^{-2}}=-frac{1}{{{x}^{2}}}]

Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

Итак, первая функция:

[fleft( x right)=frac{1}{{{x}^{2}}}]

Считаем:

[{{left( frac{1}{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{-2}} right)}^{prime }}=-2cdot {{x}^{-3}}=-frac{2}{{{x}^{3}}}]

Первый пример решен, переходим ко второму:

[y=frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}}]

Решаем:

[begin{align}& {{left( frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} right)}^{prime }}= \& ={{left( frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}-{{left( frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+{{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( 3{{x}^{4}} right)}^{prime }} \& {{left( frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}{{left( frac{1}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot {{left( {{x}^{-4}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot left( -4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{-7}{{{x}^{5}}} \& {{left( frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left( {{x}^{-3}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot left( -3 right)cdot {{x}^{-4}}=frac{-2}{{{x}^{4}}} \& {{left( frac{5}{2}{{x}^{2}} right)}^{prime }}=frac{5}{2}cdot 2x=5x \& {{left( 2{{x}^{3}} right)}^{prime }}=2cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} \& {{left( 3{{x}^{4}} right)}^{prime }}=3cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} \end{align}]…

Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

[{y}’=-frac{7}{{{x}^{5}}}+frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}]

Мы получили ответ.

Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $fleft( x right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $fleft( x right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $fleft( x right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

Сложные задачи с производными

В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

[y={{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt[3]{x}]

Считаем:

[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+left( sqrt[3]{x} right) \& {{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{x}^{2}} \& {{left( frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{-3}} right)}^{prime }}=-3cdot {{x}^{-4}}=-frac{3}{{{x}^{4}}} \& {{left( sqrt[3]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot frac{1}{{{x}^{frac{2}{3}}}}=frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \end{align}]

Производная функции равна:

[{y}’=3{{x}^{2}}-frac{3}{{{x}^{4}}}+frac{1}{3sqrt[3]{{{x}^{2}}}}]

Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

[y=-frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt[4]{x}+frac{4}{xsqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

Во втором примере действуем аналогично:

[{{left( -frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt[4]{x}+frac{4}{xsqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( -frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}+{{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}+{{left( frac{4}{xcdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}]

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

[begin{align}& {{left( -frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=-2cdot {{left( {{x}^{-4}} right)}^{prime }}=-2cdot left( -4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{8}{{{x}^{5}}} \& {{left( sqrt[4]{x} right)}^{prime }}={{left( {{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}cdot {{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \& {{left( frac{4}{xcdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{4}{xcdot {{x}^{frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}={{left( frac{4}{{{x}^{1frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}=4cdot {{left( {{x}^{-1frac{3}{4}}} right)}^{prime }}= \& =4cdot left( -1frac{3}{4} right)cdot {{x}^{-2frac{3}{4}}}=4cdot left( -frac{7}{4} right)cdot frac{1}{{{x}^{2frac{3}{4}}}}=frac{-7}{{{x}^{2}}cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}} \end{align}]

Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

[{y}’=frac{8}{{{x}^{5}}}+frac{1}{4sqrt[4]{{{x}^{3}}}}-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt[4]{{{x}^{3}}}}]

И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные.

Смотрите также:

Производная произведения и частного
Правила вычисления производных
Теорема Виета
Преобразование уравнений
Тест по методу интервалов для строгих неравенств
Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант

Источник

Производная степени встречается в большинстве примеров на дифференцирование. Само правило нахождения производной степени простое. При дифференцировании степени с натуральным показателем проблем, как правило, не возникает. А вот найти производную степени с отрицательным или дробным показателями несколько сложнее. Легче всего понять, как найти производную степени, на примерах.

Открываем таблицу производных и правила дифференцирования.

Основная формула, по которой может быть найдена производная любой степени —

$[({x^n})' = n{x^{n - 1}}]$

Примеры. Найти производную степени:

$[1)y = {x^6}, Rightarrow y' = ({x^6})' = 6{x^5}]$

$[2)y = {x^{17}}, Rightarrow y' = ({x^{17}})' = 17{x^{16}}.]$

Поскольку при дифференцировании число выносится за знак производной, то множитель, стоящий перед степенью, при нахождении производной просто переписываем:

$[3)y = 5{x^{100}}, Rightarrow y' = (5{x^{100}})' = 5 cdot 100{x^{99}} = 500{x^{99}}]$

$[4)y = frac{4}{9}{x^{20}}, Rightarrow y' = (frac{4}{9}{x^{20}})' = frac{4}{9} cdot 20{x^{19}} = frac{{80}}{9}{x^{19}}.]$

Нахождение производной степени, стоящей в знаменателе дроби, немного сложнее. Прежде чем воспользоваться основной формулой, степень поднимаем из числителя в знаменатель. Получившуюся в результате вычислений степень с отрицательным показателем снова преобразовываем.

$[5)y = frac{1}{{{x^{14}}}} = {x^{ - 14}}, Rightarrow y' = {({x^{ - 14}})^prime } = - 14cdot{x^{ - 14 - 1}} = ]$

$[ = - 14{x^{ - 15}} = - frac{{14}}{{{x^{15}}}};]$

$[6)y = frac{{10}}{{{x^{21}}}} = 10{x^{ - 21}}, Rightarrow y' = {(10{x^{ - 21}})^prime } = ]$

$[ = 10cdot( - 21{x^{ - 21 - 1}}) = - 210{x^{ - 22}} = - frac{{210}}{{{x^{22}}}};]$

$[7)y = frac{2}{{3{x^{40}}}} = frac{2}{3}{x^{ - 40}},y' = (frac{2}{3}{x^{ - 40}})' = frac{2}{3} cdot ( - 40{x^{ - 40 - 1}}) = ]$

$[ = - frac{{80}}{3}{x^{ - 41}} = - frac{{80}}{{3{x^{41}}}}.]$

Производная степени используется и для дифференцирования корней. Предварительно корень приводится к степени, а в найденной производной снова возвращаемся к корню.

Например,

$[8)y = sqrt[9]{{{x^5}}} = {x^{frac{5}{9}}}, Rightarrow y' = ({x^{frac{5}{9}}})' = frac{5}{9}{x^{frac{5}{9} - 1}} = ]$

$[ = frac{5}{9}{x^{ - frac{4}{9}}} = frac{5}{{9{x^{frac{4}{9}}}}} = frac{5}{{9sqrt[9]{{{x^4}}}}};]$

$[9)y = 5sqrt[{10}]{{{x^3}}} = 5 cdot {x^{frac{3}{{10}}}}, Rightarrow y' = (5 cdot {x^{frac{3}{{10}}}})' = 5 cdot frac{3}{{10}} cdot {x^{frac{3}{{10}} - 1}} = ]$

$[ = frac{3}{2}{x^{ - frac{7}{{10}}}} = frac{3}{{2{x^{frac{7}{{10}}}}}} = frac{3}{{2sqrt[{10}]{{{x^7}}}}};]$

$[10)y = 6sqrt[3]{x} = 6 cdot {x^{frac{1}{3}}}, Rightarrow y' = (6 cdot {x^{frac{1}{3}}})' = 6 cdot frac{1}{3} cdot {x^{frac{1}{3} - 1}} = ]$

$[ = 2{x^{ - frac{2}{3}}} = frac{2}{{{x^{frac{2}{3}}}}} = frac{2}{{sqrt[3]{{{x^2}}}}}.]$

Если корень в знаменателе, сначала преобразовываем его в степень, затем — поднимаем наверх с отрицательным показателем, а далее — как обычно, производная степени.

Например,

$[11)y = frac{1}{{sqrt[8]{{{x^5}}}}} = frac{1}{{{x^{frac{5}{8}}}}} = {x^{ - frac{5}{8}}}, Rightarrow y' = ({x^{ - frac{5}{8}}})' = ]$

$[ = - frac{5}{8} cdot {x^{ - frac{5}{8} - 1}} = - frac{5}{8} cdot {x^{ - frac{{13}}{8}}} = - frac{5}{{8{x^{frac{{13}}{8}}}}} = - frac{5}{{8sqrt[8]{{{x^{13}}}}}};]$

$[12)y = frac{4}{{sqrt[6]{{{x^5}}}}} = 4 cdot {x^{ - frac{5}{6}}}, Rightarrow y' = (4 cdot {x^{ - frac{5}{6}}})' = ]$

$[ = 4 cdot ( - frac{5}{6}{x^{ - frac{5}{6} - 1}}) = - frac{{10}}{3}{x^{ - frac{{11}}{6}}} = - frac{{10}}{{3{x^{frac{{11}}{6}}}}} = - frac{{10}}{{3sqrt[6]{{{x^{11}}}}}};]$

$[13)y = frac{1}{{5sqrt[{11}]{{{x^2}}}}} = frac{1}{5}{x^{ - frac{2}{{11}}}}, Rightarrow y' = (frac{1}{5}{x^{ - frac{2}{{11}}}})' = ]$

$[ = frac{1}{5} cdot ( - frac{2}{{11}}){x^{ - frac{2}{{11}} - 1}} = - frac{2}{{55}}{x^{ - frac{{13}}{{11}}}} = - frac{2}{{55{x^{frac{{13}}{{11}}}}}} = - frac{2}{{55sqrt[{11}]{{{x^{13}}}}}};]$

$[14)y = frac{3}{{5sqrt[7]{{{x^4}}}}} = frac{3}{5}{x^{ - frac{4}{7}}}, Rightarrow y' = (frac{3}{5}{x^{ - frac{4}{7}}})' = ]$

$[ = frac{3}{5} cdot ( - frac{4}{7}{x^{ - frac{4}{7} - 1}}) = - frac{{12}}{{35}}{x^{ - frac{{11}}{7}}} = - frac{{12}}{{35{x^{frac{{11}}{7}}}}} = - frac{{12}}{{35sqrt[7]{{{x^{11}}}}}}.]$

Примеры для самопроверки. Найти производную степени:

$[1)y = 5{x^{12}};2)y = frac{3}{{{x^8}}};3)y = 5sqrt[{12}]{{{x^7}}};4)y = frac{3}{{sqrt[{16}]{{{x^5}}}}}.]$

Показать решение

Источник

Ответы Mail.ru

Образование

ВУЗы, Колледжи

Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование

Вопросы – лидеры.

Помогите инженеры решить данную задачу. Срочно

1 ставка

Начертить фигуру в компасе

1 ставка

Написать уравнение кристаллохимической реакции образования
точечных дефектов

1 ставка

Как найти величину флуктуации сигнала на входе приемника если известно что

1 ставка

Помогите с математикой
Найдите сумму членов ряда

1 ставка

Лидеры категории

Лена-пена

Искусственный Интеллект

М.И.

Искусственный Интеллект

Y.Nine

Искусственный Интеллект

Dmitriy
•••

Kate

Ученик

(222),
закрыт

7 лет назад

Лучший ответ

Танатофоб

Высший разум

(246108)

10 лет назад

(27^1/3) – это константа и производная от неё 0,а вообще такие производные определяются по общему правилу: (а^х) ‘ = ха^х-1.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Источник

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция – это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция – квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция – это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) – изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) – разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

Рис.1. График произвольной функции

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) – это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) – абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Источник

Формула производной от дроби, примеры

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Формула производной от дроби

Раздел о производных является отдельным самостоятельным разделом в математическом анализе. Условимся, что читателю известно понятия предела, производной, дифференциала, а также ряд свойств производной.

В данной статье рассмотрим одно из свойств производной, а именно формулу производной от дроби. Приведём эту формулу. Пусть функция $v(x)$ имеет производную в точке $x$ и $v(x)neq0$, тогда:

$(frac{u}{v})’=frac{u’v-uv’}{v^2}.$

Напомним формулы производных элементарных функций:

Рисунок 1. Формулы производных элементарных функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Примеры

Решим примеры. Преобразования, позволяющие применить другие свойства производной, мы применять не будем. В решениях будем использовать только формулу производной от дроби.

По условию даются функции. Нужно найти производные.

Пример 1