Как найти производную тангенса в кубе

Что такое производная тангенса

Производная тангенса рассчитывается, как отношение единицы к квадрату косинуса аналогичного аргумента.

Формула для данного определения будет записана, таким образом:

((tg x)’ = frac{1}{cos^2 x})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Вывод данной закономерности достаточно просто представить, зная смысл тригонометрического уравнения следующего порядка:

(tg x = frac{sin x}{cos x})

Производные геометрических определений синуса и косинуса соответствуют значениям:

((sin x)’ = cos x)

((cos x)’ = -sin x)

Исходя из правила производной дроби, можно определить, что:

((tg x)’ = bigg (frac{sin x}{cos x} bigg )’ = frac{(sin x)’ cdot cos x – sin x cdot (cos x)’}{cos^2 x})

Следует принять во внимание тождество:

(sin^2 x + cos^2 x = 1)

Далее можно упростить числитель с учетом вышеуказанного уравнения:

(frac{cos x cdot cos x – sin x cdot (-sin x)}{cos^2 x} = frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x} = frac{1}{cos^2 x})

Таким образом, записано доказательство определения.

Производная от тангенса в квадрате

Сформулируем выражение производной тангенса угла, обратного котангенсу:

(tan ^{2}(x))

Выполним замену:

(u=tan (x))

Исходя из составного правила, применим: (u ^{2}) получим (2u) 

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

(frac{d}{dx}tan (x))

Вычислим производную:

(frac{d}{dx}tan (x)=frac{1}{cos^2 (x)})

(frac{2 tan (x)}{cos^2( x)} (sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)))

Можно упростить полученное выражение и записать ответ:

(frac{2 tan (x)}{cos^2( x)})

Производная от тангенса в кубе

Запишем выражение:

(tan ^{3}(x))

Первая производная степени будет записана таким образом:

((3tan ^{2}(x)+3) tan ^{2}(x))

Выполним замену:

(u=tan(x))

Исходя из правила, применим: (u ^{3}) получим (3u^{2})

Действие, обратное возведению числа в степень, является извлечением корня.

Далее, руководствуясь правилами, выполним умножение на выражение:

(frac{d}{dx}tan (x))

Плюс нужно переписать функции, чтобы выполнить дифференцирование:

(tan (x)=frac{sin (x)}{cos(x)})

Согласно правилу производной частного:

(frac{d}{dx}frac{f(x)}{g(x)}=frac{-f(x)frac{d}{dx}g(x)+g(x)frac{d}{dx}f(x)}{g^{2}(x)})

Учитывая, что:

(f(x)= sin (x))

(g(x)= cos(x))

С целью определения (frac{d}{dx} f(x)) необходимо записать, что производная синуса равна косинусу:

(frac{d}{dx} sin (x)= cos(x))

Найти (frac{d}{dx} g(x)) можно, если вспомнить, что производная косинуса является отрицательным синусом:

(frac{d}{dx} cos(x) = -sin (x))

Далее следует использовать правило производной деления:

(frac{sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x)}{cos^{2}(x)})

С помощью применения последовательности правил можно записать уравнение:

(frac{3(sin ^{2}(x)+cos ^{2}(x))tan ^{2}(x)}{cos^{2}(x)})

После упрощения получим ответ:

(frac{3tan ^{2}(x)}{cos^{2}(x)})

Примеры решения задач по теме «Производная тангенса»

Необходимо определить производную тангенса этой функции.

Решение:

Учитывая, что по определению производная тангенса представляет собой единицу, деленную на косинус в квадрате одного и того же аргумента. В связи с тем, что в условии записана сложная функция, следует дополнительно выполнить умножение на производную аргумента тангенса. В результате получим выражение:(y’ = (tg 2x)’ = frac{1}{cos 2x} cdot (2x)’ = frac{1}{cos 2x} cdot 2 = frac{2}{cos 2x}

).

Ответ: (y’ = frac{2}{cos 2x})

Решение:

Тангенс в данном случае представляет собой степенную функцию. Исходя из этого условия, следует взять производную по правилу:

((x^p)’ = px^{p-1})

Далее можно умножить выражение на производную тангенса:(y’ = (tg^2 x)’ = 2tg x cdot (tg x)’ =2tg x cdot frac{1}{cos^2 x} = 2frac{tg x}{cos^2 x} = 2 frac{sinx}{cos^3 x}

).

Ответ: (y’ = 2frac{sin x}{cos^3 x})

Serg

Высший разум

(170536)


10 лет назад

Производная сложной функции вида у = t^3, где t = tgx.
=3tg^2x * 1/cos^2x=3tg^2x/cos^2x

Вы открыли страницу вопроса Найти производную тангенса в кубе?. Он относится к категории
Алгебра. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 – 11 классов.
Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие
ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ,
можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Алгебра,
воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других
пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя
ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Решение

   2    /         2   
tan (x)*3 + 3*tan (x)/

  /       2    /         2          
6*1 + tan (x)/*1 + 2*tan (x)/*tan(x)

                /             2                                      
  /       2    |/       2            4           2    /       2   |
6*1 + tan (x)/*\1 + tan (x)/  + 2*tan (x) + 7*tan (x)*1 + tan (x)//