Как найти производную в скобках в квадрате

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция – это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

• $$ln(3x^4);$$
  Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
• $$cos(ln(x));$$
  Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
• $$e^{2x^2+3};$$
  Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
• $$(sin(x))^3;$$
  Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция – это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция – квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция – это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) – изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) – разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) – это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) – абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.

Обозначается это таким образом: f(g(x)). Имеем, что функция g(x) считается аргументом f(g(x)).

Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида

(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)

Найти производную сложной функции вида y=(2x+1)2.

Решение

По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x)=2x+1 считается линейной функцией.

Применим формулу производной для сложной функции и запишем:

f'(g(x))=((g(x))2)’=2·(g(x))2-1=2·g(x)=2·(2x+1);g'(x)=(2x+1)’=(2x)’+1’=2·x’+0=2·1·x1-1=2⇒(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=2·(2x+1)·2=8x+4

Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:

y=(2x+1)2=4×2+4x+1

Отсюда имеем, что

y’=(4×2+4x+1)’=(4×2)’+(4x)’+1’=4·(x2)’+4·(x)’+0==4·2·x2-1+4·1·x1-1=8x+4

Результаты совпали.

Следует найти производные сложных функций вида y=sin2x и y=sin x2.

Решение

Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g(x) – функцией синуса. Тогда получим, что

y’=(sin2x)’=2·sin2-1x·(sin x)’=2·sin x·cos x

Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g(x)=x2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как

y’=(sin x2)’=cos(x2)·(x2)’=cos(x2)·2·x2-1=2·x·cos(x2)

Найти производную функции y=sin(ln3 arctg(2x)).

Решение

Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y=f(f1(f2(f3(f4(x))))) обозначим, где f, f1, f2, f3, f4(x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.

Из формулы определения сложной функции имеем, что

y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)

Получаем, что следует найти

1. f'(f1(f2(f3(f4(x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f'(f1(f2(f3(f4(x)))))=cos(ln3 arctg(2x)).
2. f1′(f2(f3(f4(x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f1′(f2(f3(f4(x))))=3·ln3-1arctg(2x)=3·ln2arctg(2x).
3. f2′(f3(f4(x))) в качестве производной логарифмической, тогда f2′(f3(f4(x)))=1arctg(2x).
4. f3′(f4(x)) в качестве производной арктангенса, тогда f3′(f4(x))=11+(2x)2=11+4×2.
5. При нахождении производной f4(x)=2x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1, тогда f4′(x)=(2x)’=2·x’=2·1·x1-1=2.

Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что

y’=f'(f1(f2(f3(f4(x)))))·f1′(f2(f3(f4(x))))··f2′(f3(f4(x)))·f3′(f4(x))·f4′(x)==cos(ln3 arctg(2x))·3·ln2 arctg(2x)·1arctg(2x)·11+4×2·2==6·cos(ln3 arctg(2x))·ln2 arctg(2x)arctg(2x)·(1+4×2)

Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y=tg2x+3tgx+1, тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g(x)=tgx, f(g)=g2+3g+1. Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:

f'(g(x))=(g2(x)+3g(x)+1)’=(g2(x))’+(3g(x))’+1’==2·g2-1(x)+3·g'(x)+0=2g(x)+3·1·g1-1(x)==2g(x)+3=2tgx+3;g'(x)=(tgx)’=1cos2x⇒y’=(f(g(x)))’=f'(g(x))·g'(x)=(2tgx+3)·1cos2x=2tgx+3cos2x

Функция вида y=tgx2+3tgx+1 не считается сложной, так как имеет сумму tgx2, 3tgx и 1. Однако, tgx2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g(x)=x2 и f, являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что

y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+(3tgx)’+1’==(tgx2)’+3·(tgx)’+0=(tgx2)’+3cos2x

Переходим к нахождению производной сложной функции (tgx2)’:

f'(g(x))=(tg(g(x)))’=1cos2g(x)=1cos2(x2)g'(x)=(x2)’=2·x2-1=2x⇒(tgx2)’=f'(g(x))·g'(x)=2xcos2(x2)

Получаем, что y’=(tgx2+3tgx+1)’=(tgx2)’+3cos2x=2xcos2(x2)+3cos2x

Для примера рассмотрим сложную функцию вида y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2x·(x2+1)

Данная функция может быть представлена в виде y=f(g(x)), где значение f является функцией логарифма по основанию 3, а g(x) считается суммой двух функций вида h(x)=x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33 и k(x)=ln2x·(x2+1). Очевидно, что y=f(h(x)+k(x)).

Рассмотрим функцию h(x). Это отношение l(x)=x2+3cos3(2x+1)+7 к m(x)=ex2+33

Имеем, что l(x)=x2+3cos2(2x+1)+7=n(x)+p(x) является суммой двух функций n(x)=x2+7 и p(x)=3cos3(2x+1), где p(x)=3·p1(p2(p3(x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3, а p1 – функцией возведения в куб, p2 функцией косинуса, p3(x)=2x+1 – линейной функцией.

Получили, что m(x)=ex2+33=q(x)+r(x) является суммой двух функций q(x)=ex2 и r(x)=33, где q(x)=q1(q2(x)) – сложная функция, q1 – функция с экспонентой, q2(x)=x2 – степенная функция.

Отсюда видно, что h(x)=l(x)m(x)=n(x)+p(x)q(x)+r(x)=n(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))+r(x)

При переходе к выражению вида k(x)=ln2x·(x2+1)=s(x)·t(x) видно, что функция представлена в виде сложной s(x)=ln2x=s1(s2(x)) с целой рациональной t(x)=x2+1, где s1 является функцией возведения в квадрат, а s2(x)=ln x – логарифмической с основанием е.

Отсюда следует, что выражение примет вид k(x)=s(x)·t(x)=s1(s2(x))·t(x).

Тогда получим, что

y=log3x2+3cos3(2x+1)+7ex2+33+ln2 x·(x2+1)==fn(x)+3·p1(p2(p3(x)))q1(q2(x))=r(x)+s1(s2(x))·t(x)

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта