Как найти производную все правила

Правила вычисления производных

7 апреля 2011

• Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x
² + (2x + 3) · e

^x
· sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название	Функция	Производная
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	f(x) = x n	n · x n − 1
Синус	f(x) = sin x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	− sin x (минус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos2 x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
Натуральный логарифм	f(x) = ln x	1/x
Произвольный логарифм	f(x) = log a x	1/(x · ln a)
Показательная функция	f(x) = e x	e x (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2x
³)’ = 2 · (x
³)’ = 2 · 3x
² = 6x
².

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x
² + sin x; g(x) = x
⁴ + 2x
² − 3.

Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x
² + sin x)’ = (x
²)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x
⁴ + 2x
² − 3)’ = (x
⁴ + 2x
² + (−3))’ = (x
⁴)’ + (2x
²)’ + (−3)’ = 4x
³ + 4x + 0 = 4x · (x
² + 1).

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x
² + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike“>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x
³ · cos x; g(x) = (x
² + 7x − 7) · e

^x
.

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x
³ · cos x)’ = (x
³)’ · cos x + x
³ · (cos x)’ = 3x
² · cos x + x
³ · (− sin x) = x
² · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x
² + 7x − 7) · e

^x
)’ = (x
² + 7x − 7)’ · e

^x
+ (x
² + 7x − 7) · (e

^x
)’ = (2x + 7) · e

^x
+ (x
² + 7x − 7) · e

^x
= e

^x
· (2x + 7 + x
² + 7x −7) = (x
² + 9x) · e

^x
= x(x + 9) · e

^x
.

Ответ:
f ’(x) = x
² · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e

^x
.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g
²? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Ответ:

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x
² + ln x. Получится f(x) = sin (x
² + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f(x) = e
^{2x + 3}; g(x) = sin (x
² + ln x)

Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e

^x
. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e

^t
. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e

^t
)’ · t ’ = e

^t
· t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = e

^t
· t ’ = e
^{2x + 3} · (2x + 3)’ = e
^{2x + 3} · 2 = 2 · e
^{2x + 3}

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x
² + ln x = t. Имеем:

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x
² + ln x. Тогда:

g ’(x) = cos (x
² + ln x) · (x
² + ln x)’ = cos (x
² + ln x) · (2x + 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x) = 2 · e
^{2x + 3};
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x
² + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(x

ⁿ
)’ = n · x

^{n − 1}

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x
^0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f(x) = (x
² + 8x − 7)^0,5.

Теперь делаем замену: пусть x
² + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t
^0,5)’ · t ’ = 0,5 · t
^−0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x
² + 8x − 7. Имеем:

f ’(x) = 0,5 · (x
² + 8x − 7)^−0,5 · (x
² + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x
² + 8x − 7)^−0,5.

Наконец, возвращаемся к корням:

Ответ:

Смотрите также:

1. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
2. Уравнение касательной к графику функции
3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
5. Задача B2: лекарство и таблетки
6. Задача B4 про шерсть и свитер

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Таблица производных, правила нахождения производных

• Таблица производных основных функций
• Основные правила нахождения производной
• Правило дифференцирования сложной функции
• Логарифмическая производная
• Производная обратной функции
• Производная функции, заданной параметрически
• Производная неявной функции

Таблица производных основных функций

---

Основные правила нахождения производной

---

Если

 – постоянная и

,

 – функции, имеющие производные, то

1) Производная от постоянного числа равна нулю. 

2) Производная от переменной равна единице

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

3) Производная суммы равна сумме производных

Пример 1

Найдем производную функции

4) Производная произведения постоянной на
некоторую функцию равна произведению этой постоянной на производную от заданной
функции.

Пример 2

Найдем производную функции

5) Производная
произведения функций

Пример 3

Найдем производную функции

6) Производная
частного:

Пример 4

Найдем производную функции

Правило дифференцирования сложной функции

---

или в других обозначениях:

Пример 5

Найдем производную функции 

Пример 6

Найдем производную функции

Логарифмическая производная

---

Логарифмической производной функции

 называется производная от логарифма этой
функции, то есть:

Применение предварительного логарифмирования функции иногда
упрощает нахождение ее производной.

Пример 7

Найдем производную функции 

Прологарифмируем заданную
функцию:

Искомая производная:

Производная обратной функции

---

Если для функции

 производная

,
то производная обратной функции

 есть

или в других обозначениях:

Пример 8

Найдем производную

,
если

Имеем:

Следовательно:

Производная функции, заданной параметрически

---

Если зависимость функции

 и аргумента

 задана посредством параметра

то

или в других обозначениях:

Пример 9

Найдем производную функции 

Воспользуемся формулой:

Производная неявной функции

Если зависимость между

 и

 задана в неявной форме

    (*)

то для нахождения производной

 в простейших случаях достаточно:

1) вычислить производную по

 от левой части равенства (*), считая

 функцией от

;

2) приравнять эту производную к нулю, то есть положить:

3) решить полученное уравнение относительно

.

Пример 10

Найдем производную  функции   

Вычисляем производную от
левой части равенства:

Решаем уравнение
относительно

:

Искомая производная:

Таблица производных в алгебре нужна для решения целого ряда различных прикладных задач. Поскольку смысл производной иначе интерпретируется как “скорость изменения”, то, каждый раз, беря производную, мы находим величину на ступеньку более “быструю”, чем та, от которой мы берем производную. Например, беря производную от y(x) по x, мы фактически находим скорость изменения координаты y в зависимости от изменения координаты x, а беря производную от скорости изменения координаты y в зависимости от координаты x, мы находим ускорение.

Что такое производная функции

Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени – это скорость. Потому что скорость – это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости – ничто иное как ускорение, так как ускорение – это величина, характеризующая быстроту изменения скорости.
Поскольку производная находится по формуле: , то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей – нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	.
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С – постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Производная логарифмической функции по основанию a
3	Производная по x в степени n
4	Производная квадратного корня
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса
8	Производная косинуса
9	Производная тангенса
10	Производная котангенса
11	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
13	Производная арктангенса
14	Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По формуле 3 “производная по x в степени n” (у нас в степени 2).

По правилам дифференцирования 3 и 4.

По первому правилу дифференцирования “производная постоянной равна нулю”

Итак, получим: .

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

   

   

   

   

Ответ:

   

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

   

   

Ответ:

   

Пример 5

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

То есть мы имеем функцию вида .

Возьмем производную этой функции:

   

   

Ответ:

   

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела – это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

   

   

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Если вы ничего не смыслите в том, что такое производная и какими методами можно её вычислить, то совершенно невозможно решать примеры по математике или задачи по физике. Ведь такое понятие, как производная, является одним из самых важных в математическом анализе.

В этой статье мы расскажем вам, что является производной, какой она имеет геометрический и физический смысл. В общем, мы с вами попытаемся понять производную.

Геометрический и физический смысл производной

Задаём функцию f(x) в интервале (a, b). А точки x и x0 этому интервалу принадлежат. Если изменится x, то и функция тоже изменится. Изменением аргумента является разность его значений x-x0. Записывается эта разность, как дельта икс и имеет название: приращение аргумента. Разность значений функций в двух точках называется приращением или изменением функции. Так каково определение производной?

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Можно записать ещё следующим образом:

Встаёт вопрос, для чего нужно находить такой предел? Вот и ответ:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Ещё в школе нас учили тому, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени (t). Вычисляем среднюю скорость за какой-то временной промежуток:

Для того чтобы нам узнать какова скорость движения в момент t0, необходимо вычислить предел:

Сейчас мы разберем один пример, который продемонстрирует вам применение производной на практике. Допустим, тело движется по закону:

Нам необходимо рассчитать скорость в момент времени t=2c. Вычисляем производную:

Правила нахождения производных

Дифференцирование – это процесс нахождения производной. А дифференцируемая функция – это функция, которая имеет производную в данной точке.

Каким образом нам найти саму производную? Нам необходимо составить отношения приращения функции и аргумента, а после вычислить предел при условии стремящегося к нулю приращения аргумента. Но практика показывает, что такой путь вычисления является очень долгим. Всё, что нам необходимо, уже посчитано. И специально для вас, мы подготовили таблицу с производными элементарных функций.

После таблицы мы рассмотрим правила по вычисления производных. Коснёмся мы и вычисления производных сложных функций. Подробно разберём всё на примерах.

Правило первое: выносим константу

Вынести константы можно за знак производной. Причём делать это необходимо! Когда вы решаете примеры по математике, то всегда помните правило – если есть возможность упростить выражение, то делайте это.

Для примера вычислил с вами производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равняется сумме производных этих функций. Это касается и производной разности функций.

Сейчас мы с вами на практике рассмотрим пример доказательства этой теоремы.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

По следующей формуле мы сможем вычислить производную произведения двух дифференцируемых функций:

К примеру: необходимо найти производную функции:

Решение:

Необходимо сказать о том, каким образом вычисляются производные сложных функций.

Производная сложной функции равняется произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В примере, который указан выше, мы можем встретить выражение:

В этом примере промежуточным аргументом является 8x в пятой степени. Чтобы нам вычислить производную данного выражения, то для начала необходимо высчитать производную внешней функции по промежуточному аргументу, а после необходимо умножить на производную непосредственно сам промежуточный аргумент по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Ниже приведена формула для того, чтобы определить производную от частного двух функций:

Пример:

Решение:

В данной статье мы попытались рассказать о производных для тех, кто совершенно не знаком с этой темой. Когда вы будете решать примеры, то будьте очень внимательны, ведь в них часто можно встретить ловушки. Эта тема не так уж и проста, какой кажется на первый взгляд.

Вы можете обратиться в наш студенческий сервис по любым вопросам. Мы с удовольствием поможем решить для вас задачи любой сложности. А занимались вы раньше вычислением производных или нет, не имеет никакого значения. Мы помогаем всем!