Как найти производную всех порядков - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Производные различных порядков

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Производные различных порядков — производные первого и высших порядков.

Дифференцируя производную первого порядка f`(x) мы получим производную от производной — производную второго порядка.

Определение

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка, а производная n-го порядка называется производной от производной n-1го порядка.

Производная второго порядка обозначается y” или f”(x). Таким образом, дифференцируя функцию, n-раз получим производную вида f n(x).

Формула дифференцирования второго порядка

Формула дифференцирования второго порядка имеет вид:

[f”(x)=frac{d^{2} y}{dx^{2} } =mathop{lim }limits_{xto x0} frac{f'(x)-f'(x_{0} )}{x-x_{0} } =left(f'(x)right){{‘} } ]

Производная n-го порядка равна нулю, если степень меньше порядка производной. Например, пятая производная функции y = 5×2 равна нулю

Таблица производных высших порядков

Пример 1

Найдем производную первого порядка сложной функции по формуле произведения:

[left[f(x)cdot g(x)right]{{‘} } =f(x)’cdot g(x)+f(x)cdot g(x)’]

[y’=left[xcdot ln (2x+1)right]{{‘} } =x’cdot ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =1cdot ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =]

[y’=ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =ln (2x+1)+xcdot frac{1}{2x+1} cdot (2x+1)’=]

[=ln (2x+1)+2xcdot frac{1}{2x+1} =ln (2x+1)+frac{2x}{2x+1} ]

Найдем производную второго порядка для выражения

[y”=left(ln (2x+1)+frac{2x}{2x+1} right){{‘} } =ln (2x+1)’+left(frac{2x}{2x+1} right){{‘} } =frac{1}{2x+1} cdot (2x+1)’+frac{2x’cdot (2x+1)-2xcdot (2x+1)’}{left(2x+1right)^{2} } =]

[y”=frac{2}{2x+1} +frac{2(2x+1)-2xcdot 2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2}{2x+1} +frac{2((2x+1)-2x)}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2}{2x+1} +frac{2}{left(2x+1right)^{2} } =]

Упростим выражение

[y”=frac{2left(2x+1right)}{left(2x+1right)^{2} } +frac{2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2left(2x+1right)+2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{4x+4}{left(2x+1right)^{2} } ]

«Производные различных порядков» 👇

Пример 2

Найти производную четвертого порядка

[y=x^{5} -x^{4} +3x^{3} ]

Решение.

Найдем производную первого порядка

[y’=left(x^{5} -x^{4} +3x^{3} right){{‘} } =5x^{4} -4x^{3} +3cdot 3x^{2} =5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} ]

Найдем производную второго порядка

[y”=left(5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} right){{‘} } =20x^{3} -12x^{2} +18x]

Найдем производную третьего порядка

[y”’=left(20x^{3} -12x^{2} +18xright){{‘} } =60x^{2} -24x+18]

Найдем производную четвертого порядка

[y””=left(60x^{2} -24x+18right){{‘} } =120x-24]

Пример 3

Найти производную четвертого порядка функции

[y=frac{x^{2} +5x^{3} }{18} ]

Решение: Самая большая степень составного неизвестного равна 3, что меньше степени производной, а значит производная четвертого порядка равна 0.

Пример 4

Найти производную 13 порядка функции

[y=sin x]

Решение.

Найдем производную первого порядка

[y’=sin’x=cos x=sin (x+frac{pi }{2} )]

Найдем производную второго порядка

[y”=cos’x=-sin x=sin (x+2frac{pi }{2} )]

Найдем производную третьего порядка

[y”’=-sin’x=-cos x=sin (x+3frac{pi }{2} )]

Найдем производную четвертого порядка

[y^{(4)} =-cos x’=sin x=sin (x+4frac{pi }{2} )]

Таким образом:

[y^{(n)} =sin (x+frac{ncdot pi }{2} ),nin N]

Найдем производную 13 порядка:

[y^{(13)} =sin (x+frac{13cdot pi }{2} )=cos x]

Пример 5

Вычислить производную четвертой степени функции $x^{8}$

Решение.

Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка

[left(x^{p} right)^{(n)} =p(p-1)(p-2)…(p-n+1)x^{p-n} ]

где p = 8, n = 4

[left(x^{8} right)^{(4)} =8(8-1)(8-2)(8-4+1)x^{8-4} =8cdot 7cdot 6cdot 5cdot x^{4} =1680x^{4} ]

[left(x^{8} right)^{(4)} =1680x^{4} ]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2022

Источник

Под понятием производные различных порядков обычно понимаются производные первого или высших порядков.

Дифференцирование производной первого порядка [F^{prime}(x)] позволит вычислить производную от производной — именуемую производной второго порядка. Далее назовем определение производной.

Производная производной второго порядка именуется производной третьего порядка, в этой связи производная n-го
порядка определяется как производная от производной n-1го порядка.

Производная функции второго порядка обозначается записью [y^{prime prime}] или [F^{prime prime}(x)]. Дифференцировка функции [n] раз приводит к получению производной вида [f n(x)].

Дифференцирование второго порядка

Производные в математике всегда находятся по определенной формуле. Итак, формула дифференцирования второго порядка записывается следующим образом:

[f^{prime prime}(x)=frac{d^{2} y}{d x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}}=frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}]

В случае, если степень меньше, чем порядок производной, производная n-го порядка будет равна нулю.

Таблица с формулами производных высших порядков

Формулы для нахождения производных высших порядков наиболее удобно представить в виде таблицы формул производных:

Функция	Формула нахождения
[left(x^{p}right)^{(n)}]	[left(x^{p}right)^{(n)}=p(p-1)(p-1) ldots(p-n+1) x^{p-n}]
[left(a^{k x+b}right)^{(n)}]	[left(a^{k x+b}right)^{(n)}=k^{n} a^{k x+b} 1 n^{n} a]
[left(e^{k x+b}right)^{(n)}]	[left(e^{k x+b}right)^{(n)}=k^{n} e^{k x+b}]
[(sin a x)^{(n)}]	[(sin a x)^{(n)}=a^{n} sin left(a x+frac{п n}{2}right)]
[(cos a x)^{(n)}]	[(sin a x)^{(n)}=a^{n} cos left(a x+frac{п n}{2}right)]
[left((a x+b)^{p}right)^{n}]	[left((a x+b)^{p}right)^{n}=a^{n} p(p-1)(p-2) ldots(p-n+1)(a x+b)^{n-1}]
[left(log _{a}\|x\|right)^{(n)}]	[left(log _{a}\|x\|right)^{(n)}=frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n} ln a}]
[(ln \|x\|)^{n}]	[left(log _{a}\|x\|right)^{(n)}=frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{x^{n}}]
[(a u(x)+beta gamma(x))^{n}]	[(a u(x)+beta gamma(x))^{n}=a u^{n}(x)+beta^{n} gamma(x)]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Примеры нахождения производных

Примеры

Пример 1

Как найти производную первого порядка функции по формуле произведения:

[|f(x) cdot g(x)|^{prime}=f(x)^{prime} cdot g(x)+f(x) cdot g(x)^{prime}\y^{prime}=[x cdot ln (2
x+1)]^{prime}=x^{prime} cdot ln (2 x+1)+x cdot(ln (2 x+1))^{prime}\=1 cdot ln (2 x+1)+x cdot(ln
(2 x+1))^{prime}=y^{prime}\=ln (2 x+1)+x cdot(ln (2 x+1))^{prime}\=ln (2 x+1)+x frac{1}{2 x+1}
cdot(2 x+1)^{prime}=ln (2 x+1)+2 x cdot frac{1}{2 x+1}\=ln (2 x+1)+frac{2 x}{2 x+1}]

Как найти производную второго порядка в данном выражении:

[y^{prime prime}=left(ln (2 x+1)+frac{2 x}{2 x+1}right)^{prime}=ln (2 x+1)^{prime}+left(frac{2
x}{2 x+1}right)^{prime}\=left(frac{1}{2 x+1}right) cdot(2 x+1)^{prime}+frac{2 x^{prime} cdot(2
x+1)-2 x cdot(2 x+1)^{prime}}{(2 x+1)^{2}}\=y^{prime prime}=frac{2}{2 x+1}+frac{2(2 x+1)-2 x cdot
2}{(2 x+1)^{2}}=frac{2}{2 x+1}+frac{2((2 x+1)-2 x)}{(2 x+1)^{2}}\=frac{2}{2 x+1}+frac{2}{(2
x+1)^{2}}]

Упростим полученное решение:

[y^{prime prime}=frac{2(2 x+1)}{(2 x+1)^{2}}+frac{2}{(2 x+1)^{2}}=frac{2(2 x+1)+2}{(2 x+1)^{2}}=frac{4
x+4}{(2 x+1)^{2}}]

Пример 2

Задача на нахождение производной различных порядков на примере производной четвертого порядка:
[y=x^{5}-x^{4}+3 x^{3}]

Решение:

[y^{prime}=left(x^{5}-x^{4}+3 x^{3}right)^{prime}=5 x^{4}-4 x^{3}+3 cdot 3 x^{2}=5 x^{4}-4 x^{3}+9
x^{2}\y^{prime prime}=left(5 x^{4}-4 x^{3}+9 x^{2}right)^{prime}=20 x^{3}-12 x^{2}+18 x\y^{prime
prime prime}=left(20 x^{3}-12 x^{2}+18 xright)^{prime}=60 x^{2}-24 x+18\y^{4}=left(60 x^{2}-24
x+18right)^{prime}=120 x-24]

Пример 3

Нахождение производной различных порядков от функций на следующем частном примере:

[y=frac{x^{2}+5 x^{3}}{18}]

Ответ: решение не является сложным и не потребует онлайн-калькулятора. Наибольшая степень одной из переменных
равна 3, что меньше степени производной. Следовательно, производная четвертого порядка равна 0.

Пример 4

Необходимо найти производную 13 порядка для [y=sin x]

Решение: найдем производную первого порядка (и затем 2-4 порядков)

[y^{prime}=sin ^{prime} x=cos x=sin left(x+frac{pi}{2}right)\y^{prime prime}=cos ^{prime}
x=-sin x=sin left(x+2 frac{pi}{2}right)\y^{prime prime prime}=-sin ^{prime} x=-cos x=sin
left(x+3 frac{pi}{2}right)\y^{(4)}=-cos ^{prime} x=sin x=sin left(x+4 frac{pi}{2}right)]

Следовательно:

[y^{(n)} sin left(x+frac{n cdot pi}{2}right), n in N]

Итоговый результат:

[y^{(13)}=sin left(x+frac{13 cdot pi}{2}right)=cos x]

Пример 5

Подсчитайте производную четвертой степени функции [x^{8}]

Решение:

Используем формулу нахождения производной высшего порядка

[left(x^{p}right)^{(n)}=p(p-1)(p-1) ldots(p-n+1) x^{p-n}]

Учтем, что p=8, n=4

[left(x^{8}right)^{(4)}=8(8-1)(8-2)(8-4+1) x^{8-4}=8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 cdot x^{4}=1680 x^{4}\left(x^{8}right)^{(4)}=1680 x^{4}]

Пример 6

Подсчитайте производную функции [y=2^{x}-operatorname{arctg} x].

Решение:

[y^{prime}=left(2^{x}-operatorname{arctg} xright)^{prime}=left(2^{x}right)^{prime}-(operatorname{arctg} x)^{prime}]

Используем формулы для обратной и тригонометрической функции [y^{prime}=2^{x} ln 2-frac{1}{1+x^{2}}]

Ответ: [y^{prime}=2^{x} ln 2-frac{1}{1+x^{2}}]

Источник

Содержание:

Механический смысл второй производной
Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке
$x$ своей области определения, то ее производная
$f^{prime}(x)$ есть функция от
$x$. Функция
$y=f^{prime}(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую
называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй
производной) и обозначают символом $f^{prime prime}(x)$. Таким образом

$f^{prime prime}(x)=frac{mathrm{d}^{2} y}{mathrm{d} x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}$

Пример

Задание. Найти вторую производную функции $y(x)=x ln (2 x+3)$

Решение. Для начала найдем первую производную:

$y^{prime}(x)=(x ln (2 x+3))^{prime}=(x)^{prime} cdot ln (2 x+3)+x cdot(ln (2 x+3))^{prime}=$

$=1 cdot ln (2 x+3)+x cdot frac{1}{2 x+3} cdot(2 x+3)^{prime}=ln (2 x+3)+$

$+frac{x}{2 x+3} cdotleft[(2 x)^{prime}+(3)^{prime}right]=ln (2 x+3)+frac{x}{2 x+3} cdotleft[2 cdot(x)^{prime}+0right]=$

$=ln (2 x+3)+frac{x}{2 x+3} cdot 2 cdot 1=ln (2 x+3)+frac{2 x}{2 x+3}$

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

$y^{prime prime}(x)=left(y^{prime}(x)right)^{prime}=left(ln (2 x+3)+frac{2 x}{2 x+3}right)^{prime}=$

$=(ln (2 x+3))^{prime}+left(frac{2 x}{2 x+3}right)^{prime}=$

$=frac{1}{2 x+3} cdot(2 x+3)^{prime}+frac{(2 x)^{prime} cdot(2 x+3)-2 x cdot(2 x+3)^{prime}}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{1}{2 x+3}left[(2 x)^{prime}+(3)^{prime}right]+frac{2(x)^{prime} cdot(2 x+3)-2 x cdotleft[(2 x)^{prime}+(3)^{prime}right]}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{1}{2 x+3}left[2 cdot(x)^{prime}+0right]+frac{2 cdot 1 cdot(2 x+3)-2 x cdotleft[2 cdot(x)^{prime}+0right]}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{1}{2 x+3} cdot 2 cdot 1+frac{2(2 x+3)-2 x cdot 2 cdot 1}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{2}{2 x+3}+frac{4 x+6-4 x}{(2 x+3)^{2}}=frac{2}{2 x+3}+frac{6}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{2(2 x+3)+6}{(2 x+3)^{2}}=frac{4 x+6+6}{(2 x+3)^{2}}=frac{4 x+12}{(2 x+3)^{2}}=frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$

Ответ. $y^{prime prime}(x)=frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная
$n$-го порядка функции
$f(x)$ есть первая производная от производной
$(n-1)$-го порядка этой функции:

$f^{(n)}(x)=frac{mathrm{d}^{n} y}{mathrm{d} x^{n}}=left(f^{(n-1)}(x)right)^{prime}$

Замечание

Число $n$, указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Механический смысл второй производной

Теорема

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения $s=f(t)$,
то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

$a(t)=s^{prime prime}(t)$

Замечание

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

$a(t)=v^{prime}(t)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Материальная точка движется по закону
$s(t)=2 t^{3}+3 t$, где
$s$ измеряется в метрах, а
$t$ – в секундах. Найти значение
$t$, при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

$a(t)=s^{prime prime}(t)=left(2 t^{3}+3 tright)^{prime prime}=left(left(2 t^{3}+3 tright)^{prime}right)^{prime}=left(left(2 t^{3}right)^{prime}+(3 t)^{prime}right)^{prime}=$

$=left(2 cdot 3 t^{2}+3 cdot 1right)^{prime}=left(6 t^{2}+3right)^{prime}=left(6 t^{2}right)^{prime}+(3)^{prime}=$

$=6 cdotleft(t^{2}right)^{prime}+0=6 cdot 2 t=12 t$

Искомое время $t$ найдем из уравнения:

$a(t)=12 Rightarrow 12 t=12 Rightarrow t=1 mathrm{c}$

Ответ. $t=1 c$

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение
формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

$(u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{prime}+C_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{prime prime}+ldots+C_{n}^{n-1} u^{prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)}$

где $C_{n}^{k}=frac{n !}{k !(n-k) !}$,
$n !=1 cdot 2 cdot ldots cdot n$ – факториал
натурального числа
$n$.

Пример

Задание. Найти $y^{(4)}(x)$, если
$y(x)=e^{4 x} sin 3 x$

Решение. Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций
$u(x)=e^{4 x}$,
$v(x)=sin 3 x$, то для нахождения производной четвертого
порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

$y^{(4)}(x)=left(e^{4 x}right)^{(4)} cdot sin 3 x+C_{4}^{1}left(e^{4 x}right)^{(3)} cdot(sin 3 x)^{prime}+$

$+C_{4}^{2}left(e^{4 x}right)^{prime prime} cdot(sin 3 x)^{prime prime}+C_{4}^{3}left(e^{4 x}right)^{prime} cdot(sin 3 x)^{(3)}+e^{4 x}(sin 3 x)^{(4)}$

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

$C_{4}^{1}=frac{4 !}{1 ! cdot(4-1) !}=frac{4 !}{3 !}=frac{3 ! cdot 4}{3 !}=4$

$C_{4}^{2}=frac{4 !}{2 ! cdot(4-2) !}=frac{4 !}{2 ! cdot 2 !}=frac{2 ! cdot 3 cdot 4}{2 ! cdot 2 !}=frac{3 cdot 4}{2}=6$

$C_{4}^{3}=frac{4 !}{3 ! cdot(4-3) !}=frac{4 !}{3 !}=frac{3 ! cdot 4}{3 !}=4$

2) Найдем производные от функции $u(x)$:

$u(x)=e^{4 x}, u^{prime}(x)=left(e^{4 x}right)^{prime}=e^{4 x} cdot(4 x)^{prime}=e^{4 x} cdot 4 cdot(x)^{prime}=4 e^{4 x}$

$u^{prime prime}(x)=left(u^{prime}(x)right)^{prime}=left(4 e^{4 x}right)^{prime}=4 cdotleft(e^{4 x}right)^{prime}=16 e^{4 x}$

$u^{prime prime prime}(x)=left(u^{prime prime}(x)right)^{prime}=left(16 e^{4 x}right)^{prime}=64 e^{4 x}$

$u^{(4)}(x)=left(u^{prime prime prime}(x)right)^{prime}=left(64 e^{4 x}right)^{prime}=256 e^{4 x}$

3) Найдем производные от функции $v(x)$:

$v(x)=sin 3 x, v^{prime}(x)=(sin 3 x)^{prime}=cos 3 x cdot(3 x)^{prime}=3 cos 3 x$

$v^{prime prime}(x)=left(v^{prime}(x)right)^{prime}=(3 cos 3 x)^{prime}=3 cdot(cos 3 x)^{prime}=$

$=3 cdot(-sin 3 x) cdot(3 x)^{prime}=-9 sin 3 x$

$v^{prime prime prime}(x)=left(v^{prime prime}(x)right)^{prime}=-27 cos 3 x, v^{(4)}(x)=left(v^{prime prime prime}(x)right)^{prime}=81 sin 3 x$

Тогда

$y^{(4)}(x)=256 e^{4 x} cdot sin 3 x+4 cdot 64 e^{4 x} cdot 3 cos 3 x+$

$+6 cdot 16 e^{4 x} cdot(-9 sin 3 x)+4 cdot 4 e^{4 x} cdot(-27 cos 3 x)+e^{4 x} 81 sin 3 x=$

$=e^{4 x}(336 cos 3 x-527 sin 3 x)$

Ответ. $y^{(4)}(x)=e^{4 x}(336 cos 3 x-527 sin 3 x)$

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Источник

Производные высших порядков

Пусть
функция

в области D
имеет конечную производную
,
которая в свою очередь также является
функцией от переменной х
в этой же области. Производная
называется
производной
первого порядка.
Если существует производная от производной
первого порядка, то она называется
производной
второго порядка или
второй
производной
от функции
и
обозначается
или
.
Производная от производной второго
порядка называется производной
третьего порядка
или третьей
производной
и обозначается
или
и
т.д. Производные, начиная со второго
порядка и выше, называются производными
высших порядков.

Пример
13.
Найти производную четвёртого порядка
функции
.

Решение.
;

;

Экстремум функции

При
исследовании функции приходится
определять характер её поведения. Для
этого можно использовать средства
дифференциального исчисления.

Пусть
функция

дифференцируема в интервале (a,b).
Тогда справедливы следующие утверждения:

если
производная

в интервале (a,b)
положительна, то функция
в
этом интервале возрастает;
если
производная

в интервале (a,b)
отрицательна, то функция
в
этом интервале убывает.

Эти
утверждения являются достаточными
условиями возрастания и убывания
(монотонности) функции.

Пример
14.
Исследовать функцию

на монотонность.

Решение.
Функция определена на всём множестве
действительных чисел, т.е.
.
Найдём производную:
.
Функция возрастает, если
,
т.е.

или же
.
Решив это неравенство, получим, что
функция возрастает при
.
Функция убывает, если
,
т.е.

или
.
Решив последнее неравенство, получим,
что при

функция убывает. Таким образом, интервалами
монотонности функции являются
.

Особую
роль в исследовании функции играют
такие значения х,
которые отделяют интервалы возрастания
и убывания функции. В этих точках функция
меняет характер своего поведения.

Функция

имеет в точке

максимум,
если

есть наибольшее значение этой функции
в некоторой окрестности данной точки.
Функция

имеет в точке

минимум,
если

есть наименьшее значение этой функции
в некоторой окрестности данной точки.

Точки
максимума и минимума называются точками
экстремума,
а максимум и минимум называются
экстремумами
функции.

Если
в точке

функция

достигает экстремума, то её производная
в этой точке либо равна нулю, либо не
существует. Это утверждение является
необходимым
признаком (условием) экстремума.

Следует
иметь в виду, что необходимый признак
экстремума не является достаточным.
Это означает, что если в какой-то точке
производная функции равна нулю, то эта
точка не обязательно будет точкой
экстремума.

Точки,
в которых производная функции равна
нулю либо не существует, называются
критическими
(стационарными).

Пусть
функция

непрерывна в некоторой окрестности
точки

и всюду в этой окрестности имеет
производную, а в точке

производная либо равна нулю, либо не
существует. Тогда имеет место
первый достаточный признак (первое
достаточное условие) экстремума:

если
при переходе через точку

слева направо производная функции
меняет знак с «+» на «-», то в точке

функция имеет максимум;
если
при переходе через точку

слева направо производная функции
меняет знак с «-» на «+», то в точке

функция имеет минимум;
если
при переходе через точку

производная функции не меняет знак, то
в точке

функция экстремума не имеет.

При
исследовании функции на экстремум имеет
смысл придерживаться следующей схемы:

найти
область определения функции;
найти
производную функции и приравнять её
нулю;
решить
полученное уравнение

и найти критические точки;
в
области определения функции найти те
точки, в которых производная

либо равна нулю, либо не существует;
все
полученные точки расположить в порядке
возрастания и разбить область определения
этими точками на частичные интервалы,
в каждом из которых производная сохраняет
знак. Таким образом, частичные интервалы
являются интервалами монотонности
функции;
найти
знак производной в каждом из частичных
интервалов и по знаку производной
определить характер изменения функции
в каждом из этих интервалов: возрастает
или убывает;
по
изменению знака производной при переходе
через границы интервалов монотонности
определить точки экстремума;
вычислить
значения функции в точках экстремума.

Пример
15.
Найти экстремум функции
.

Решение.
Функция определена на всей числовой
прямой, т.е.
.
Найдём производную, приравняем её нулю
и решим полученное уравнение:
,
,
,
,
.
Точки

и

являются критическими. Разобьём область
определения функции критическими
точками на частичные интервалы, которые
являются интервалами монотонности
функции, и по знаку производной определим
характер изменения функции в каждом из
этих интервалов:

(0,4)

возрастает

max

убывает

-9

min

возрастает

;
;

.
По первому достаточному признаку
экстремума в точке х=0
функция имеет максимум, а в точке х=4
– минимум. При этом:
,
.
Таким образом, у=1
и

являются экстремумами функции.

Вопросы
для самоконтроля знаний

Что
называется функцией?
Какая
величина называется аргументом
(независимой переменной), а какая –
функцией (зависимой переменной)?
Что
называется областью определения функции
и областью значений функции?
Что
называется графиком функции?
Что
называется пределом функции

при
?
Какая
функция называется бесконечно малой?
Как
формулируются свойства бесконечно
малых функции?
Какая
функция называется бесконечно большой?
Как
связаны между собой бесконечно малая
и бесконечно большая функции?
Как
формулируются правила вычисления
пределов?
Что
такое неопределённость при вычислении
предела и какие виды неопределённостей
бывают?
Как
записываются первый и второй замечательные
пределы?
Как
формулируется определение производной
данной функции?
Какие
символы употребляются для обозначения
производной?
В
чём заключается геометрический смысл
производной?
В
чём заключается механический смысл
производной?
В
чём заключается экономический смысл
производной?
Чему
равна производная постоянной величины
и производная от аргумента
?
Чему
равна производная суммы и разности
двух функций?
Чему
равна производная произведения и
частного двух функций?
Как
находится производная сложной функции?
Чему
равны производные функций
?
Чему
равны производные функций
?
Чему
равны производные функций
?
Что
называется производной второго порядка?
Как
формулируются признаки возрастания и
убывания функции в интервале?
Какие
точки (значения аргумента) называются
точками максимума и минимума функции?
Какие
точки (значения аргумента) называются
точками экстремума?
Как
формулируется необходимое условие
существования экстремума функции?
Какие
точки (значения аргумента) называются
критическими?
Как
находятся критические точки?
Как
формулируется первое достаточное
условие экстремума?
Какова
схема исследования функции на экстремум
с помощью первого достаточного условия?

Задания
для самостоятельной работы

Найти
частные значения функции:

а)
,
найти
;

б)
,
найти
;

в)
,
найти
;

г)

найти
.

2.
Найти области определения функций:

а)
;

б)
.

3.
Найти пределы функций:

а)
;
б)
;
в)
;

г)
;
д)
;
е)
.

Найти
производные функций:

а)
;
б)
;
в)
;

г)
;
д)
;
е)
;

ж)
;
з)
;
и)
.

Найти
интервалы монотонности функций:

а)
;
б)
.

6.
Исследовать функции на экстремум:

а)
;
б)
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Производные высших порядков
Производные высших порядков с примерами
Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

Производные высших порядков

Производная функции у = f (x) является также функцией: у’= f’ (x).

Эта функция также может иметь производную. Эта новая производная называется второй производной функции у = f (x) или производной функции f (x) второго порядка и обозначается или .
Производная второй производной, то есть функции называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается символом или . Так можно ввести производные четвертого, пятого и вообще n-го порядка, которые обозначают .

Пример 1. Найти производную четвертого порядка функции .

Решение. Имеем:

Пример 2. Найти производные n-го порядка от функций
а) y = e^x, б) y = sin x, в) y = cos x.
Решение.
а)
б)

и по индукции
в) аналогично находим

Производные высших порядков с примерами

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторой окрестности точки Если функция в свою очередь имеет в точке производную то она называется второй производной функции в точке и обозначается или Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем

Аналогично определяются и производные более высоких порядков

где для удобства считается, что

Примеры:

1. Если то вообще, В частности, если то

2. Если Заметив, что получим

Вообще,

Аналогично,

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Теорема 1. Если функции имеют в точке производные порядка то любая их линейная комбинация и их произведение имеют в точке производные порядка причем

Все производные в формулах (11.5) и (11.6) берутся в точке биномиальные коэффициенты.

Символическая запись означает, что это выражение (см. среднюю часть формулы (11.6)) по своей структуре напоминает формулу бинома Ньютона

только вместо степеней берутся производные соответствующих порядков функций Формула (11.6) называется формулой Лейбница*).

Докажем формулы (11.5) и (11.6) методом математической индукции. В п. 10.5 формула (11.5) была доказана для

Пусть справедлива формула (11.5); покажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Формула (11.5) доказана; докажем формулу (11.6).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть справедлива формула (11.6) для производной порядка от произведения функций. Докажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Вспомнив, что (см. п. 2.4)

получим

Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

С помощью формулы производной сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять и производные высших порядков сложной функции. Пусть функция дважды дифференцируема в точке функция дважды дифференцируема в точке и имеет смысл сложная функция Вычислим вторую производную сложной функции (для простоты записи аргумент писать не будем):

Аналогично вычисляются и производные более высоких порядков. С помощью формул производных обратной функции (см. п. 10.6) и сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять производные высших порядков обратных функций. Вычислим, например, вторую производную. Пусть функция дважды дифференцируема в точке в ее окрестности непрерывна и строго монотонна, причем Тогда для второй производной имеем в точке