Как найти производные функции высших порядков - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Производная

является также функцией от

и называется производной первого
порядка.

Если
функция

дифференцируема, то ее производная
называется производной второго порядка
и обозначается

.
Итак,

.

Производная
от производной второго порядка, если
она существует, называется производной
третьего порядка и обозначается

.
Итак,

.

Производной
n–го
порядка называется производная от
производной (n–1)
порядка:

Производные
порядка выше первого называются
производными
высших порядков.

Примеры.

1)
Найти производную 3-го порядка для
функции

.

Имеем:

;

;

2)
Найти производную

-го
порядка для функции

.

Имеем:

;

;

;

;

.
Таким образом,

.

§14. Дифференциал функции

14.1. Понятие дифференциала функции

Пусть
функция

имеет в точке

отличную от нуля производную

.
Тогда, по теореме о связи функции, ее
предела и бесконечно малой функции,
можно записать

,
где

при

,
или

.

Таким
образом, приращение функции представляет
собой сумму двух слагаемых

и

,
которые являются бесконечно малыми при

.
При этом первое слагаемое есть бесконечно
малая функция одного порядка с

,
а второе слагаемое есть бесконечно
малая функция более высокого порядка,
чем

.
Поэтому первое слагаемое

называют главной частью приращения
функции.

Дифференциалом
функции

в точке

называется главная часть приращения
функции, равная произведению производной
функции на приращение аргумента и
обозначается

,
т.е.

.

Рассмотрим
функцию у=х.
В этом случае

,
то есть
.

Таким образом,
дифференциал функции равен произведению
производной этой функции на дифференциал
независимой переменной, т.е.

Тогда,
согласно данной формуле, производную
функции можно записать, как отношение
ее дифференциалов:

.

Отметим,
что дифференциал обладает инвариантностью
формы, то
есть та же формула применяется и для
вычисления дифференциала от сложной
функции:

если

,
то

.

14.2. Основные теоремы о дифференциалах

Теорема
14.1.
Дифференциал
суммы, произведения и частного двух
дифференцируемых функций определяются
следующими формулами:

Теорема
14.2.
Дифференциал
сложной функции равен произведению
производной этой функции по промежуточному
аргументу на дифференциал этого
промежуточного аргумента.

Это свойство
дифференциала называют инвариантностью
(неизменностью) формы первого дифференциала.

Пример.
Функция

является сложной. Здесь

,
где

.
Тогда

.

14.3. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Для
функции

приращение функции

состоит из двух слагаемых, одно из
которых является бесконечно малой
более высокого порядка чем

,
что дает нам право им пренебречь:

,
т.е.

или

.

Данные формулы
используются для приближенных вычислений.

Пример.
Вычислить
приближенно

.

Рассмотрим
функцию

.
По формуле

имеем:

,
т.е.

.
Так как

,
то при

и

,
получаем:

.

§15. Исследование функций при помощи производных

15.1. Правило Лопиталя

Для вычисления
пределов часто используют следующую
теорему.

Теорема
15.1.
(правило
Лопиталя).

Пусть
функции

и

дифференцируемы в некоторой окрестности
точки

(за исключением может быть самой точки),

и

(или

),
причем

в некоторой окрестности точки х₀,
тогда

Так,
неопределенности вида

или

приводятся к неопределенностям вида

с помощью алгебраических преобразований.
Неопределенности вида

с помощью логарифмирования сводятся к
неопределенности вида

.
В некоторых случаях для решения задачи
требуется неоднократное применение
правила Лопиталя.

Примеры.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Содержание:

Механический смысл второй производной
Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в каждой точке
$x$ своей области определения, то ее производная
$f^{prime}(x)$ есть функция от
$x$. Функция
$y=f^{prime}(x)$, в свою очередь, может иметь производную, которую
называют производной второго порядка функции $y=f(x)$ (или второй
производной) и обозначают символом $f^{prime prime}(x)$. Таким образом

$f^{prime prime}(x)=frac{mathrm{d}^{2} y}{mathrm{d} x^{2}}=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f^{prime}(x)-f^{prime}left(x_{0}right)}{x-x_{0}}=left(f^{prime}(x)right)^{prime}$

Пример

Задание. Найти вторую производную функции $y(x)=x ln (2 x+3)$

Решение. Для начала найдем первую производную:

$y^{prime}(x)=(x ln (2 x+3))^{prime}=(x)^{prime} cdot ln (2 x+3)+x cdot(ln (2 x+3))^{prime}=$

$=1 cdot ln (2 x+3)+x cdot frac{1}{2 x+3} cdot(2 x+3)^{prime}=ln (2 x+3)+$

$+frac{x}{2 x+3} cdotleft[(2 x)^{prime}+(3)^{prime}right]=ln (2 x+3)+frac{x}{2 x+3} cdotleft[2 cdot(x)^{prime}+0right]=$

$=ln (2 x+3)+frac{x}{2 x+3} cdot 2 cdot 1=ln (2 x+3)+frac{2 x}{2 x+3}$

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

$y^{prime prime}(x)=left(y^{prime}(x)right)^{prime}=left(ln (2 x+3)+frac{2 x}{2 x+3}right)^{prime}=$

$=(ln (2 x+3))^{prime}+left(frac{2 x}{2 x+3}right)^{prime}=$

$=frac{1}{2 x+3} cdot(2 x+3)^{prime}+frac{(2 x)^{prime} cdot(2 x+3)-2 x cdot(2 x+3)^{prime}}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{1}{2 x+3}left[(2 x)^{prime}+(3)^{prime}right]+frac{2(x)^{prime} cdot(2 x+3)-2 x cdotleft[(2 x)^{prime}+(3)^{prime}right]}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{1}{2 x+3}left[2 cdot(x)^{prime}+0right]+frac{2 cdot 1 cdot(2 x+3)-2 x cdotleft[2 cdot(x)^{prime}+0right]}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{1}{2 x+3} cdot 2 cdot 1+frac{2(2 x+3)-2 x cdot 2 cdot 1}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{2}{2 x+3}+frac{4 x+6-4 x}{(2 x+3)^{2}}=frac{2}{2 x+3}+frac{6}{(2 x+3)^{2}}=$

$=frac{2(2 x+3)+6}{(2 x+3)^{2}}=frac{4 x+6+6}{(2 x+3)^{2}}=frac{4 x+12}{(2 x+3)^{2}}=frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$

Ответ. $y^{prime prime}(x)=frac{4(x+3)}{(2 x+3)^{2}}$

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная
$n$-го порядка функции
$f(x)$ есть первая производная от производной
$(n-1)$-го порядка этой функции:

$f^{(n)}(x)=frac{mathrm{d}^{n} y}{mathrm{d} x^{n}}=left(f^{(n-1)}(x)right)^{prime}$

Замечание

Число $n$, указывающее порядок производной, заключается в скобки.

Механический смысл второй производной

Теорема

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения $s=f(t)$,
то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

$a(t)=s^{prime prime}(t)$

Замечание

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

$a(t)=v^{prime}(t)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Материальная точка движется по закону
$s(t)=2 t^{3}+3 t$, где
$s$ измеряется в метрах, а
$t$ – в секундах. Найти значение
$t$, при котором ускорение точки равно 12.

Решение. Найдем ускорение материальной точки:

$a(t)=s^{prime prime}(t)=left(2 t^{3}+3 tright)^{prime prime}=left(left(2 t^{3}+3 tright)^{prime}right)^{prime}=left(left(2 t^{3}right)^{prime}+(3 t)^{prime}right)^{prime}=$

$=left(2 cdot 3 t^{2}+3 cdot 1right)^{prime}=left(6 t^{2}+3right)^{prime}=left(6 t^{2}right)^{prime}+(3)^{prime}=$

$=6 cdotleft(t^{2}right)^{prime}+0=6 cdot 2 t=12 t$

Искомое время $t$ найдем из уравнения:

$a(t)=12 Rightarrow 12 t=12 Rightarrow t=1 mathrm{c}$

Ответ. $t=1 c$

Вычисления производной любого порядка, формула Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение
формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница:

$(u v)^{(n)}=u^{(n)} v+C_{n}^{1} u^{(n-1)} v^{prime}+C_{n}^{2} u^{(n-2)} v^{prime prime}+ldots+C_{n}^{n-1} u^{prime} v^{(n-1)}+u v^{(n)}$

где $C_{n}^{k}=frac{n !}{k !(n-k) !}$,
$n !=1 cdot 2 cdot ldots cdot n$ – факториал
натурального числа
$n$.

Пример

Задание. Найти $y^{(4)}(x)$, если
$y(x)=e^{4 x} sin 3 x$

Решение. Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций
$u(x)=e^{4 x}$,
$v(x)=sin 3 x$, то для нахождения производной четвертого
порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

$y^{(4)}(x)=left(e^{4 x}right)^{(4)} cdot sin 3 x+C_{4}^{1}left(e^{4 x}right)^{(3)} cdot(sin 3 x)^{prime}+$

$+C_{4}^{2}left(e^{4 x}right)^{prime prime} cdot(sin 3 x)^{prime prime}+C_{4}^{3}left(e^{4 x}right)^{prime} cdot(sin 3 x)^{(3)}+e^{4 x}(sin 3 x)^{(4)}$

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

$C_{4}^{1}=frac{4 !}{1 ! cdot(4-1) !}=frac{4 !}{3 !}=frac{3 ! cdot 4}{3 !}=4$

$C_{4}^{2}=frac{4 !}{2 ! cdot(4-2) !}=frac{4 !}{2 ! cdot 2 !}=frac{2 ! cdot 3 cdot 4}{2 ! cdot 2 !}=frac{3 cdot 4}{2}=6$

$C_{4}^{3}=frac{4 !}{3 ! cdot(4-3) !}=frac{4 !}{3 !}=frac{3 ! cdot 4}{3 !}=4$

2) Найдем производные от функции $u(x)$:

$u(x)=e^{4 x}, u^{prime}(x)=left(e^{4 x}right)^{prime}=e^{4 x} cdot(4 x)^{prime}=e^{4 x} cdot 4 cdot(x)^{prime}=4 e^{4 x}$

$u^{prime prime}(x)=left(u^{prime}(x)right)^{prime}=left(4 e^{4 x}right)^{prime}=4 cdotleft(e^{4 x}right)^{prime}=16 e^{4 x}$

$u^{prime prime prime}(x)=left(u^{prime prime}(x)right)^{prime}=left(16 e^{4 x}right)^{prime}=64 e^{4 x}$

$u^{(4)}(x)=left(u^{prime prime prime}(x)right)^{prime}=left(64 e^{4 x}right)^{prime}=256 e^{4 x}$

3) Найдем производные от функции $v(x)$:

$v(x)=sin 3 x, v^{prime}(x)=(sin 3 x)^{prime}=cos 3 x cdot(3 x)^{prime}=3 cos 3 x$

$v^{prime prime}(x)=left(v^{prime}(x)right)^{prime}=(3 cos 3 x)^{prime}=3 cdot(cos 3 x)^{prime}=$

$=3 cdot(-sin 3 x) cdot(3 x)^{prime}=-9 sin 3 x$

$v^{prime prime prime}(x)=left(v^{prime prime}(x)right)^{prime}=-27 cos 3 x, v^{(4)}(x)=left(v^{prime prime prime}(x)right)^{prime}=81 sin 3 x$

Тогда

$y^{(4)}(x)=256 e^{4 x} cdot sin 3 x+4 cdot 64 e^{4 x} cdot 3 cos 3 x+$

$+6 cdot 16 e^{4 x} cdot(-9 sin 3 x)+4 cdot 4 e^{4 x} cdot(-27 cos 3 x)+e^{4 x} 81 sin 3 x=$

$=e^{4 x}(336 cos 3 x-527 sin 3 x)$

Ответ. $y^{(4)}(x)=e^{4 x}(336 cos 3 x-527 sin 3 x)$

Читать дальше: таблица производных высших порядков.

Источник

Содержание:

Производные высших порядков
Производные высших порядков с примерами
Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

Производные высших порядков

Производная функции у = f (x) является также функцией: у’= f’ (x).

Эта функция также может иметь производную. Эта новая производная называется второй производной функции у = f (x) или производной функции f (x) второго порядка и обозначается или .
Производная второй производной, то есть функции называется третьей производной или производной третьего порядка и обозначается символом или . Так можно ввести производные четвертого, пятого и вообще n-го порядка, которые обозначают .

Пример 1. Найти производную четвертого порядка функции .

Решение. Имеем:

Пример 2. Найти производные n-го порядка от функций
а) y = e^x, б) y = sin x, в) y = cos x.
Решение.
а)
б)

и по индукции
в) аналогично находим

Производные высших порядков с примерами

Пусть функция имеет производную во всех точках некоторой окрестности точки Если функция в свою очередь имеет в точке производную то она называется второй производной функции в точке и обозначается или Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем

Аналогично определяются и производные более высоких порядков

где для удобства считается, что

Примеры:

1. Если то вообще, В частности, если то

2. Если Заметив, что получим

Вообще,

Аналогично,

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Теорема 1. Если функции имеют в точке производные порядка то любая их линейная комбинация и их произведение имеют в точке производные порядка причем

Все производные в формулах (11.5) и (11.6) берутся в точке биномиальные коэффициенты.

Символическая запись означает, что это выражение (см. среднюю часть формулы (11.6)) по своей структуре напоминает формулу бинома Ньютона

только вместо степеней берутся производные соответствующих порядков функций Формула (11.6) называется формулой Лейбница*).

Докажем формулы (11.5) и (11.6) методом математической индукции. В п. 10.5 формула (11.5) была доказана для

Пусть справедлива формула (11.5); покажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Формула (11.5) доказана; докажем формулу (11.6).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть справедлива формула (11.6) для производной порядка от произведения функций. Докажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка

Вспомнив, что (см. п. 2.4)

получим

Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

С помощью формулы производной сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять и производные высших порядков сложной функции. Пусть функция дважды дифференцируема в точке функция дважды дифференцируема в точке и имеет смысл сложная функция Вычислим вторую производную сложной функции (для простоты записи аргумент писать не будем):

Аналогично вычисляются и производные более высоких порядков. С помощью формул производных обратной функции (см. п. 10.6) и сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять производные высших порядков обратных функций. Вычислим, например, вторую производную. Пусть функция дважды дифференцируема в точке в ее окрестности непрерывна и строго монотонна, причем Тогда для второй производной имеем в точке

Рассмотрим теперь параметрическое задание функций. Пусть на некотором множестве задана пара функций

причем одна из них, например, строго монотонна на этом множестве и, следовательно, существует обратная функция

для которой является множеством значений.

Тогда функция называется параметрически заданной функцией (уравнениями (11.9)). Она определена на множестве значений функции

Если функции и дифференцируемы в точке функция непрерывна и строго монотонна в окрестности этой точки и то функция дифференцируема в точке причем

ибо

Аналогично вычисляются и производные высших порядков. Например, если функции (11.9) дважды дифференцируемы в точке и то

Выведенные здесь формулы не предназначены для запоминания. Достаточно усвоить метод их получения.

Лекции:

Логарифмы: примеры и решения
Производная и дифференциал
Правило Лопиталя: пример решения
Ряд тейлора примеры решения
Каноническое уравнение эллипса
Рациональные числа
Предел числовой последовательности
Пересекающиеся прямые
Найти оптимум функции
Метод неопределенных коэффициентов. Первая производная

Источник

Производные высших порядков

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Дифференцируя производную первого порядка $f'(x)$, мы получим производную от производной — производную второго порядка. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка, а производная $n$-го порядка называется производной от производной $n-1$-го порядка.

Производная второго порядка обозначается $y”$ или $f”(x)$. Таким образом, дифференцируя функцию $n$-раз, мы получим производную вида $f n(x)$.

Формула дифференцирования второго порядка имеет вид:

Производная n-го порядка равна нулю, если степень меньше порядка производной. Например, пятая производная функции $y = 5x^2$ равна нулю.

Пример 1

Найти вторую производную функции:

[y=xln (2x+1)]

Решение.

Найдем производную первого порядка сложной функции по формуле произведения:

[left[f(x)cdot g(x)right]{{‘} } =f(x)’cdot g(x)+f(x)cdot g(x)’]

[y’=left[xcdot ln (2x+1)right]{{‘} } =x’cdot ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =1cdot ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =]

[y’=ln (2x+1)+xcdot left(ln (2x+1)right){{‘} } =ln (2x+1)+xcdot frac{1}{2x+1} cdot (2x+1)’=]

[=ln (2x+1)+2xcdot frac{1}{2x+1} =ln (2x+1)+frac{2x}{2x+1} ]

Найдем производную второго порядка для выражения

[y”=left(ln (2x+1)+frac{2x}{2x+1} right){{‘} } =ln (2x+1)’+left(frac{2x}{2x+1} right){{‘} } =frac{1}{2x+1} cdot (2x+1)’+frac{2x’cdot (2x+1)-2xcdot (2x+1)’}{left(2x+1right)^{2} } =]

[y”=frac{2}{2x+1} +frac{2(2x+1)-2xcdot 2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2}{2x+1} +frac{2((2x+1)-2x)}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2}{2x+1} +frac{2}{left(2x+1right)^{2} } =]

Упростим выражение

[y”=frac{2left(2x+1right)}{left(2x+1right)^{2} } +frac{2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{2left(2x+1right)+2}{left(2x+1right)^{2} } =frac{4x+4}{left(2x+1right)^{2} } ]

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 2

Найти производную четвертого порядка

[y=x^{5} -x^{4} +3x^{3} ]

Решение.

Найдем производную первого порядка

[y’=left(x^{5} -x^{4} +3x^{3} right){{‘} } =5x^{4} -4x^{3} +3cdot 3x^{2} =5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} ]

Найдем производную второго порядка

[y”=left(5x^{4} -4x^{3} +9x^{2} right){{‘} } =20x^{3} -12x^{2} +18x]

Найдем производную третьего порядка

[y”’=left(20x^{3} -12x^{2} +18xright){{‘} } =60x^{2} -24x+18]

Найдем производную четвертого порядка

[y””=left(60x^{2} -24x+18right){{‘} } =120x-24]

Пример 3

Найти производную четвертого порядка функции

[y=frac{x^{2} +5x^{3} }{18} ]

Решение: Самая большая степень составного неизвестного равна 3, что меньше степени производной, а значит, производная четвертого порядка равна 0.

Пример 4

Найти производную 13-го порядка функции

[y=sin x]

Решение.

Найдем производную первого порядка

[y’=sin’x=cos x=sin (x+frac{pi }{2} )]

Найдем производную второго порядка

[y”=cos’x=-sin x=sin (x+2frac{pi }{2} )]

Найдем производную третьего порядка

[y”’=-sin’x=-cos x=sin (x+3frac{pi }{2} )]

Найдем производную четвертого порядка

[y^{(4)} =-cos x’=sin x=sin (x+4frac{pi }{2} )]

Таким образом:

[y^{(n)} =sin (x+frac{ncdot pi }{2} ),nin N]

Найдем производную 13-го порядка:

[y^{(13)} =sin (x+frac{13cdot pi }{2} )=cos x]

«Производные высших порядков» 👇

Пример 5

Найти производную n-порядка функции

[y=frac{x}{1-x} ]

Решение.

Найдем производную первого порядка

[y’=left(frac{x}{1-x} right){{‘} } =frac{x'(1-x)-x(1-x)’}{(1-x)^{2} } =frac{1-x+x}{(1-x)^{2} } =frac{1}{(1-x)^{2} } =frac{1!}{(1-x)^{1+1} } ]

Найдем производную второго порядка

[y”=left(frac{1}{(1-x)^{2} } right){{‘} } =left((1-x)^{-2} right){{‘} } =-2(1-x)^{-3} (1-x)’=-2(1-x)^{-3} cdot (-1)=frac{2}{(1-x)^{3} } =frac{2!}{(1-x)^{2+1} } ]

Найдем производную 3 порядка

[y”’=left(frac{2}{(1-x)^{3} } right){{‘} } =2left((1-x)^{-3} right){{‘} } =2cdot left(-3right)(1-x)^{-4} (1-x)’=-6cdot (1-x)^{-4} cdot (-1)=frac{1cdot 2cdot 3}{(1-x)^{4} } =frac{3!}{(1-x)^{3+1} } ]

Выведем формулу производной $n$-порядка

[y^{(n)} =frac{n!}{(1-x)^{n+1} } ]

Пример 6

Найти значение второй производной в точке 1

[y=e^{2x-1} ]

Решение.

Найдем производную первого порядка

[y’=left(e^{2x-1} right){{‘} } =e^{2x-1} cdot 2]

Найдем производную второго порядка

[y”=left(2cdot e^{2x-1} right){{‘} } =2cdot e^{2x-1} cdot 2=4e^{2x-1} ]

Найдем производную в точке 1

[y”=4e^{2x-1} =4e^{2cdot 1-1} =4e]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 11.12.2022

Источник

Производные высших порядков. Правила и примеры

Под производной высших порядков понимают дифференцирования функции более одного раза. Если производнуюповторно дифференцировать, то получим производную второго порядка, или вторую производную функции , и она обозначается

Производная третьего порядка будет иметь вид

Аналогично получают формулы для нахождения производных высших порядков. При нахождении производной порядке необходимо иметь производную порядка. Исключение составляют функции для которых можно заметить тенденцию изменения производных. Это степенные, некоторые тригонометрические и экспоненциальные функции:

В других случаях, для нахождения производных высших порядков от заданной функции нужно последовательно находить все ее производные низших порядков. Для практического усвоения материала рассмотрим примеры.

Пример 1.

Вычислить производные второго порядка