Что такое возрастание функции
В начале прочитаем определение возрастания функции.
Запомните!
Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 »
выполняется неравенство
« y( x2 ) > y( x1 )».
Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.
По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.
Разбор примера
Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?
Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».
y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.
Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.
Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.
Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».
x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4
Для второй точки возьмем « x = 1 ».
x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5
Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на
координатной плоскости
и проведем через них прямую.
Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).
Как определить по графику, что функция возрастает
По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.
На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.
В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».
У первой точки « (·)A »
координаты:
x1 = 0 ; y1 = − 4
У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ; y2 = 5
На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x2 > x1 )»
растет
« y ↑ ( y2 > y1 ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».
Как по формуле доказать, что функция возрастает
Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».
По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?
Запомните!
Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.
По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Но как нам найти значения функции
« y( x1 )» и
«y( x2 ) »?
Для нахождения « y( x1 )» и
«y( x2 ) »
достаточно подставить « x1 » и
« x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».
y( x1 ) = 9x1 − 4
y( x2 ) = 9x2 − 4
Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Подставим в неравенство
« y( x2 ) >
y( x1 ) » полученные формулы
« y( x1 ) = 9x1 − 4» и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .
y( x2 ) > y( x1 )
9x2 − 4 > 9x1 − 4
Упростим полученное
неравенство.
9x2 − 9x1 > − 4 + 4
9x2 − 9x1 > 0
Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.
9(x2 − x1) > 0
Разделим левую и правую часть на «9».
При делении нуля на любое число получается ноль.
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x2 > x1».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.
В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».
Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.
Разбор примера
Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1
По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Вместо « y( x1 )» и
«y( x2 ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.
y( x2 ) > y( x1 )
13x2 − 1 > 13x1 − 1
13x2 − 13x1 > 1 − 1
13(x2 − x1) > 0 |: 13
>
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Что такое убывание функции
Запомните!
Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 »
выполняется неравенство « y( x2 ) < y( x1 )».
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Как по графику понять, что функция убывает
Разбор примера
Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x
По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.
Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.
Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».
x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1
(·) А (0; 1)
x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2
(·) B (1; −2)
Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».
На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.
Как по формуле доказать, что функция убывает
Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».
По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?
Запомните!
Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых
« x2 > x1 » выполняется
« y( x2 ) < y( x1 ) ».
Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Подставим « y( x1 )» и
«y( x2 ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.
y( x2 ) < y( x1 )
1 − 3x2 < 1 − 3x1
3x1 − 3x2 < 1 − 1
3(x1 − x2) < 0 | :3
<
x1 − x2 < 0
−x2 < −x1
Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.
−x2 < −x1 | · (−1)
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Как по графику функции определить
возрастание и убывание
Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.
Разбор примера
На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).
Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.
Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.
Ответ:
- функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5 - функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5
Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.
Ответ:
- функция убывает на промежутках
x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5] - функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]
При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей
Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.
Разбор примера
При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?
Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x1 » и « x2 ».
y( x2 ) < y( x1 )
mx2 − m − 3 + 2x2 < mx1 − m − 3 + 2x1
Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.
mx2 − m − 3 + 2x2 − mx1
+ m
+ 3
− 2x1
< 0
Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.
mx2 − mx1
− m + m − 3 + 3 + 2x2 − 2x1
< 0
mx2 − mx1 + 2x2 − 2x1
< 0
Вынесем общие множители за скобки.
m( x2 − x1) + 2(x2 − x1)
< 0
Теперь
вынесем общий множитель
« ( x2 − x1 ) ».
( x2 − x1) (m + 2)
< 0
Вспомним обязательное условие убывания функции.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ».
Перенесем все в левую часть.
x2 > x1
x2 − x1 > 0
По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x2 − x1) (m + 2)
» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.
| + | · | − | < 0 |
| (x2 − x1) | · | (m + 2) | < 0 |
Решим полученное неравенство.
m + 2 < 0
m < −2
Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №15. Возрастание и убывание функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Нахождение промежутков монотонности функции,
2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,
3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции
Глоссарий по теме
Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)
- Найти D(f)
- Найти f‘(x).
- Определить, при каких значениях хf‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) <f(x2)
2. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) >f(x2)
Теоремы
- Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
- Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Определите промежутки монотонности функции
у = -3х3 + 4х2 + х – 10.
Решение
1.Найдем область определения функции.
D(y) = 
2.Найдем производную функции.
y’ = (x – 1)(-9x – 1)
3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).
Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.
Так как на интервале 
производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.
Так как на интервале 
производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.
Так как на интервале 
производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.
Так как в точках 
функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.
Следовательно, функция возрастает на 
; функция убывает на 
и на 
.
Ответ: Функция возрастает на 
Функция убывает на 
и на 
.
№2. Определите промежутки монотонности функции
у = х5–5х4 +5х3 – 4.
Решение:
y‘ =
- Функция возрастает на
; функция убывает на .
; функция убывает на 
.Ответ: Функция возрастает на 
;
функция убывает на 
.
Краткое описание документа:
“Возрастание и убывание функции”
Цели урока:
1. Научить находить промежутки монотонности.
2. Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).
3. Формирование интереса к предмету.
Ход урока
Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применениик исследованию функций. Фронтальная работа
А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”
1. Что называют функцией?
2. Как называется переменная Х?
3. Как называется переменная Y?
4. Что называется областью определения функции?
5. Что называется множеством значения функции?
6. Какая функция называется чётной?
7. Какая функция называется нечётной?
8. Что можно сказать о графике чётной функции?
9. Что можно сказать о графике нечётной функции?
10. Какая функция называется возрастающей?
11. Какая функция называется убывающей?
12. Какая функция называется периодической?
Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?
– Графический.
– Как построить график?
– По точкам.
Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? (Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками.)
А что если требуется построить график функции или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками?
Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:
Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.
Откройте тетради, запишите число, классная работа.
Цель урока: узнать, как связан график функции с графиком ее производной, и научиться решать задачи двух видов:
1. По графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;
2. По схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции.
Подобные задания отсутствуют в наших учебниках, но встречаются в тестах единого государственного экзамена (часть А и В).
Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции – определение промежутков монотонности
Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.
Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции.
Признаки возрастания и убывания функции:
Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f'(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает
.
Порядок нахождения промежутков монотонности:
Найти область определения функции.
1. Найти первую производную функции.
2. решать самой на доске
Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Найти промежутки монотонности функций:
1)
а) область определения ,
б) найдем первую производную:,
в)найдем критические точки: ; , и
3. Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.
указать на точки экстремума
Рассмотрим несколько примеровисследования функции на возрастание и убывание.
Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с “+” на “-“, а для минимума с “-” на “+”. Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет
1. Найти Д(f).
2. Найти f'(x).
3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов
6. Применить признаки.
7. Записать ответ.
. Закрепление нового материала.
Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.
а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9;
б) у = 3 х² — 5х + 4.
Двое работают у доски.
а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40
б) у = х4 – 2 х³
3.Итог урока
Домашнее задание: тест (дифференцированный)
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
Как найти промежутки возрастания и убывания функции
Определение промежутков возрастания и убывания функции – это один из основных аспектов исследования поведения функции наряду с нахождением точек экстремумов, в которых происходит перелом от убывания к возрастанию и наоборот.
Инструкция
Функция y = F(x) является возрастающей на определенном интервале, если для любых точек x1 F(x2), где x1 всегда > x2 для любых точек на интервале.
Существуют достаточные признаки возрастания и убывания функции, которые вытекают из результата вычисления производной. Если производная функции положительна для любой точки интервала, то функция возрастает, если отрицательна – убывает.
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти область ее определения, вычислить производную, решить неравенства вида F’(x) > 0 и F’(x)
Рассмотрим пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции для y = (3·x² + 2·x – 4)/x².
Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому точка 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x – 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x – 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x – 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 – x)/x³.
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 – x)/x³
4. Левая часть неравенства имеет один действительный корень х = 4 и обращается в бесконечность при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток возрастания функции, и в промежуток убывания, а точка 0 не включается никуда.
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞) и убывает при x (0; 2].
Рассмотрим пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции для y = (3·x² + 2·x – 4)/x².
Решение.
1. Найдем область определения функции. Очевидно, что выражение, стоящее в знаменателе, должно всегда быть отличным от нуля. Поэтому точка 0 исключается из области определения: функция определена при x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).
2. Вычислим производную функции:
y’(x) = ((3·x² + 2·x – 4)’ ·x² – (3·x² + 2·x – 4) · (x²)’)/x^4 = ((6·x + 2) ·x² – (3·x² + 2·x – 4) ·2·x)/x^4 = (6·x³ + 2·x² – 6·x³ – 4·x² + 8·x)/x^4 = (8·x – 2·x²)/x^4 = 2· (4 – x)/x³.
3. Решим неравенства y’ > 0 и y’ 0;
(4 – x)/x³
4. Левая часть неравенства имеет один действительный корень х = 4 и обращается в бесконечность при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток возрастания функции, и в промежуток убывания, а точка 0 не включается никуда.
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞) и убывает при x (0; 2].
4. Левая часть неравенства имеет один действительный корень х = 4 и обращается в бесконечность при x = 0. Поэтому значение x = 4 включается и в промежуток возрастания функции, и в промежуток убывания, а точка 0 не включается никуда.
Итак, искомая функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞; 0) ∪ [2; +∞) и убывает при x (0; 2].
Источники:
- как найти на функции промежутки убывания
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
