Как найти промежутки возрастания с помощью производной

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Правильными будут следующие утверждения.

  • Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
  • Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
  • Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения нужно решить неравенства Применение производной к исследованию функции с примерами решения или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.    

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Уравнение Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет корни Применение производной к исследованию функции с примерами решения Это — критические точки. Область определения данной функции — множество Применение производной к исследованию функции с примерами решения — они разбивают на три промежутка: Применение производной к исследованию функции с примерами решения (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Следовательно, данная функция на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает, а на Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках  Применение производной к исследованию функции с примерами решения на Применение производной к исследованию функции с примерами решения — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Они всю область определения функции разбивают на интервалы: Применение производной к исследованию функции с примерами решения (рис. 73). Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Следовательно, функция убывает на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения Поскольку в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример:

Найдите критические точки функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения 

Решение:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдем произвольную функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения При любом значении Применение производной к исследованию функции с примерами решения выражение Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример:

Установите, на каком промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдём производную функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдём критические точки функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них. 

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения а убывает на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Способ 2. Решим неравенство Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ответ. Возрастает, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения является дифференцируемой, Применение производной к исследованию функции с примерами решения её производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную Применение производной к исследованию функции с примерами решения Это производная второго порядка, или вторая производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Например, найти производную 2-го порядка функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решенияозначает найти производную этой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения и полученную функцию продифференцировать: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решения называется выпуклой на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решения называется вогнутой на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решениявыпуклая на данном интервале; если вторая производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияположительная Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая вогнутая на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения могут быть только точки, в которых вторая производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть Применение производной к исследованию функции с примерами решения — критическая точка второго рода функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения Если при переходе через точку Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения меняет знак, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решенияявляется точкой перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

  1. найти область определения функции;
  2. найти критические точки второго рода;
  3. определить знак второй производной на образованных интервалах. Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая выпуклая; если Применение производной к исследованию функции с примерами решения — кривая вогнутая;
  4. если производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения меняет знак при переходе через точку Применение производной к исследованию функции с примерами решения то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

1) Область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Найдём вторую производную: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решенияКритические точки второго рода: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Других критических точек нет.

3)    Разбиваем область определения на интервалы Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому кривая вогнутая.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому кривая выпуклая.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения — кривая вогнутая.

Следовательно, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Напомним, что прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения будет вертикальной асимптотой кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения если при Применение производной к исследованию функции с примерами решения (справа или слева) значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Уравнение наклонной асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому Применение производной к исследованию функции с примерами решенияуравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом Применение производной к исследованию функции с примерами решения следует понимать и Применение производной к исследованию функции с примерами решения При этом указанные пределы могут быть разными при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

а) Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения то прямые Применение производной к исследованию функции с примерами решения — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения то прямые Применение производной к исследованию функции с примерами решения — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Будем искать наклонные асимптоты:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) если Применение производной к исследованию функции с примерами решения (проверьте самостоятельно), отсюда Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если для любых Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения из некоторого промежутка области определения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения выполняется условие Применение производной к исследованию функции с примерами решения то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если для любых Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения из некоторого промежутка области определения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения выполняется условие Применение производной к исследованию функции с примерами решения на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения положительна, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Так как Применение производной к исследованию функции с примерами решения то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график “поднимается “, т. е. функция возрастает. Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график “спускается”, т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция Применение производной к исследованию функции с примерами решениянепрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

На интервалах Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция Применение производной к исследованию функции с примерами решениявозрастает.

На интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения на промежутке удовлетворяющем неравенству Применение производной к исследованию функции с примерами решения т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения разбивают область определения функции на три интервала: Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из таблицы и непрерывности функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения видно, что данная функция возрастает на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения и убывает на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения Из графика так же видно, что задания решение верно.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

График производной Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения расположен выше оси Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения график производной расположен ниже оси Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит Применение производной к исследованию функции с примерами решения Так как функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения непрерывна, то на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения она возрастает, а на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

b) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения или Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

а) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной положительный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит,

функция возрастает. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной отрицательный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция убывает, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения значение функции равно 5.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

b) При Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной положительный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция возрастает. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной отрицательный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция убывает, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения значение функции равно 0.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1. Для значений Применение производной к исследованию функции с примерами решения равных Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Применение производной к исследованию функции с примерами решенияЭти точки являются критическими точками функции.

2. В точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения – критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума(Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения) производная функции равна нулю, а в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения непрерывна на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

  1. Применение производной к исследованию функции с примерами решения слева от точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения положительна, а справа – отрицательна, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой максимума.
  2. Применение производной к исследованию функции с примерами решения слева от Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна, а справа – положительна, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой минимума
  3. Применение производной к исследованию функции с примерами решения с каждой стороны от точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет одинаковые знаки, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на отрезке Применение производной к исследованию функции с примерами решения записываются как Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №5

Для функцииПрименение производной к исследованию функции с примерами решения определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3. Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервалах, выбрав пробные точки:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решениямаксимум

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решения минимум

4. Используя полученные для функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на отрезке Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как Применение производной к исследованию функции с примерами решения то критические точки можно найти из уравнения Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Критическая точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не принадлежит данному отрезку Применение производной к исследованию функции с примерами решения и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения и на концах отрезка.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №7

Найдите экстремумы функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Производная функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Проверим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Используя полученную для функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №8

Найдите экстремумы функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение Применение производной к исследованию функции с примерами решения или найти точки, в которых производная не существует. В точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не имеет конечной производной. Однако точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения принадлежит области определения. Значит, точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Определим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №9

По графику функции производной Применение производной к исследованию функции с примерами решения схематично изобразите график самой функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю, а при Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна, значит, на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция убывающая. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения Соответствующий график представлен на рисунке.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Построение графиков функции с помощью производной

Функция – многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

  • Определите точки пересечения с осями координат.
  • Найдите критические точки.
  • Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
  • Найдите максимумы и минимумы.
  • Постройте график.

Пример:

Постройте график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1) Точки пересечения с осями координат :

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю): Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

значит, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения расположены на графике.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

  • Найдите область определения.
  • Найдите асимптоты (если они есть).
  • Определите точки пересечения с осями координат.
  • Найдите критические точки.
  • Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
  • Постройте график.

Пример:

Постройте график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1) Область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

условии Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения т. е. график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения бесконечно приближается к прямой Применение производной к исследованию функции с примерами решения В этом случае прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения является наклонной асимптотой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения Вообще, если степень многочлена Применение производной к исследованию функции с примерами решения на 1 единицу больше степени многочлена Применение производной к исследованию функции с примерами решениято рациональная функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

4) Критические точки:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не определена, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту Применение производной к исследованию функции с примерами решения и наклонную асимптоту Применение производной к исследованию функции с примерами решения Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Обратите внимание! В области, близкой к точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения график функции ведет себя как парабола Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума – наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Применение производной к исследованию функции с примерами решения Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Применение производной к исследованию функции с примерами решенияВычислим площадь поверхности коробки. Она равна Применение производной к исследованию функции с примерами решения и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Тогда выразим Применение производной к исследованию функции с примерами решения подставим в формулу Применение производной к исследованию функции с примерами решения Зависимость объема коробки от переменной Применение производной к исследованию функции с примерами решения можно выразить следующим образом:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Теперь найдем область определения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения

или Применение производной к исследованию функции с примерами решенияЗначит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдем максимальное значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для этого используем производную первого порядка:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем, что Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Однако. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является Применение производной к исследованию функции с примерами решения

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция

Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Построив при помощи графкалькулятора график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения также можно увидеть, что при Применение производной к исследованию функции с примерами решения объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

зависимость функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения от переменной Применение производной к исследованию функции с примерами решения будет

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдем критические точки функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Сравнивая значения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при Применение производной к исследованию функции с примерами решения (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр Применение производной к исследованию функции с примерами решения и выразите искомую величину функцией Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 Применение производной к исследованию функции с примерами решения которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 Применение производной к исследованию функции с примерами решения которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Применение производной к исследованию функции с примерами решения Эти данные дают нам возможность найти зависимость между Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении Применение производной к исследованию функции с примерами решения где Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Критическая точка функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Подставим значение Применение производной к исследованию функции с примерами решения в формулу для высоты Применение производной к исследованию функции с примерами решения получим Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

  • Приложения производной
  • Производные высших порядков
  • Дифференциал функции
  • Дифференцируемые функции
  • Касательная к графику функции и производная
  • Предел и непрерывность функции
  • Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  • Предел функции на бесконечности

7. Взаимосвязь функции и ее производной


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Связь производной с возрастанием/убыванием функции

(blacktriangleright) Если производная положительна на промежутке ((a;b)), то функция на нем строго возрастает. (f'(x)>0
Longrightarrow f(x) uparrow)

Если производная отрицательна на промежутке ((a;b)), то функция на нем строго убывает. (f'(x)<0 Longrightarrow f(x) downarrow)

Заметим, что обратные утверждения неверны. То есть если функция строго возрастает на каком-то промежутке, то из этого не следует, что на всем этом промежутке ее производная будет положительной. Например:

функция (f(x)=x^3) на отрезке ([-1;1]) строго возрастает, но ее производная не положительна всюду: в точке (x=0) ее производная (f'(0)=0) (т.к. (f'(x)=3x^2)).

(blacktriangleright) Если функция не убывает (возрастает и/или константа) на промежутке ((a;b)), то на этом промежутке ее производная неотрицательна ((geq 0)). Верно и обратное утверждение.

(blacktriangleright) Если функция не возрастает (убывает и/или константа) на промежутке ((a;b)), то на этом промежутке ее производная неположительна ((leq 0)). Верно и обратное утверждение.

(blacktriangleright) В точках излома (на рисунке это точки (A) и (B)) производной не существует.

Заметим, что на промежутке ((4;+infty)) производная (f'(x)=0), т.к. на этом промежутке функция является константой ((f(x)=10)).

Пример: найдите количество точек, в которых производная равна нулю, если на рисунке дан график функции:

Производная равна нулю в точках (A,B,D), а в точке (C) она не существует, т.к. это точка излома.


Задание
1

#722

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-0,5; 4,3)). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции положительна.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) существует, (f'(x_0) > 0) равносильно тому, что (f(x)) возрастает в (x_0).

На интервале ((-0,5; 4,3)) целыми являются точки (0), (1), (2), (3), (4). Среди этих точек (f(x)) возрастает только в (1), (2) и (4). Таким образом, производная функции (y = f(x)) положительна в (3) целых точках.

Ответ: 3


Задание
2

#723

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-0,5; 4,3)). Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, (f'(x_0) < 0) равносильно тому, что (f(x)) убывает в (x_0).

На интервале ((-0,5; 4,3)) целыми являются точки (0), (1), (2), (3), (4). Среди этих точек (f(x)) убывает только в (0), (2) и (3). Таким образом, производная функции (y = f(x)) отрицательна в (3) целых точках.

Ответ: 3


Задание
3

#724

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-0,5; 4,1)). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, (f'(x_0) < 0) равносильно тому, что (f(x)) убывает в (x_0).

На интервале ((-0,5; 4,1)) целыми являются точки (0), (1), (2), (3), (4). Среди этих точек (f(x)) убывает только в (2) и (4). Таким образом, производная функции (y = f(x)) отрицательна в (2) целых точках.

Ответ: 2


Задание
4

#725

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-0,6; 4,8)). Найдите промежутки возрастания функции (y = f(x)). В ответе укажите произведение целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) возрастает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0) > 0).

На интервале ((-0,6; 4,8)) целыми являются точки (0), (1), (2), (3), (4). Среди этих точек (f'(x)) положительна только в (1) и (3). Таким образом, произведение целых точек, в которых функция возрастает, равно (3cdot 1 = 3).

Ответ: 3


Задание
5

#726

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-1,5; 4,5)). Найдите промежутки возрастания функци (y = f(x)). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) возрастает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0) > 0).

На интервале ((-1,5; 4,5)) целыми являются точки (-1), (0), (1), (2), (3), (4). Среди этих точек (f'(x)) положительна только в (-1), (0) и (1). Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна (-1 + 0 + 1 = 0).

Ответ: 0


Задание
6

#727

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-1,5; 4,5)). Найдите промежутки убывания функции (y = f(x)). В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) убывает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0) < 0).

На интервале ((-1,5; 4,5)) целыми являются точки (-1), (0), (1), (2), (3), (4). Среди этих точек (f'(x)) отрицательна только в (-1), (0), (1) и (2). Таким образом, количество целых точек, в которых функция убывает, равно (4).

Ответ: 4


Задание
7

#728

Уровень задания: Равен ЕГЭ

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)), определенной на интервале ((-1,5; 4,6)). Найдите промежутки убывания функции (y = f(x)). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Для функции (f(x)), у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) убывает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0) < 0).

По рисунку видно, что (f'(x)) отрицательна на промежутках (-1 < x < 2) и (3 < x < 4), тогда (y = f(x)) убывает на промежутках (-1 < x < 2) и (3 < x < 4), из которых наибольшую длину, равную (3), имеет промежуток ((-1; 2)).

Ответ: 3

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» – здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

УСТАЛ? Просто отдохни

Интервалы возрастания и убывания функции

С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

Исследование функции с помощью производной

Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).

Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной

  1. Найти производную функции f′(x).
  2. Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
  4. Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
  5. Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.

Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x (-∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x) + 0 0 +
f(x) возрастает max убывает min возрастает

f(0) = 03 – 3*02 = 0

f(2) = 23 – 3*22 = -4

Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);

точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной

  1. Найти производную f′(x).
  2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
  3. Найти вторую производную f″(x).
  4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
  5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f”(x) ≥ 0 при всех х [a, b].

Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.

Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x – 3.

Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.

Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.

Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.

Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Была в сети 29.01.2022 15:18

Рухлядко Валентина Васильевна

учитель математики

65 лет

рейтинг4 104
место8 694

Местоположение

Россия, Брянская область, город Трубчевск

30.11.2019 13:54

Нажмите, чтобы узнать подробности

В памятке представлен алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции с использованием производной функции

Просмотр содержимого документа

«Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции у= f(x) с использованием производной функции»

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Похожие файлы

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Добавить комментарий