Как найти промежутки возрастания убывания функции определение

Что такое возрастание функции

В начале прочитаем определение возрастания функции.

Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.

По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.

Разбор примера

Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?

Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».

y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.

Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.

Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.

Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».

x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4

Для второй точки возьмем « x = 1 ».

x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5

Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на

координатной плоскости
и проведем через них прямую.

Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).

Как определить по графику, что функция возрастает

По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.

На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.

В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».

У первой точки « (·)A »
координаты:
x₁ = 0 ;   y₁ = − 4

У второй точки « (·)B » координаты:
x₂ = 1 ;   y₂ = 5

На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x₂ > x₁ )»
растет
« y ↑ ( y₂ > y₁ ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».

Как по формуле доказать, что функция возрастает

Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».

По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?

Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.

По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x₂ > x₁ » увеличивается значение функции
« y( x₂ ) > y( x₁ ) ».

Но как нам найти значения функции
« y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »?

Для нахождения « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) »

достаточно подставить « x₁ » и
« x₂ » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».

y( x₁ ) = 9x₁ − 4
y( x₂ ) = 9x₂ − 4

Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Подставим в неравенство
« y( x₂ ) >
y( x₁ ) » полученные формулы

« y( x₁ ) = 9x₁ − 4» и
« y( x₂ ) = 9x₂ − 4 » .

y( x₂ ) > y( x₁ )
9x₂ − 4 > 9x₁ − 4

Упростим полученное
неравенство.

9x₂ − 9x₁ > − 4 + 4
9x₂ − 9x₁ > 0

Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.

9(x₂ − x₁) > 0

Разделим левую и правую часть на «9».

При делении нуля на любое число получается ноль.

x₂ − x₁ > 0
x₂ > x₁

Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x₂ > x₁».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.

В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».

---

Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.

Разбор примера

Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1

По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.

x2 > x1 y( x2 ) > y( x1 )

Обязательное условие возрастания функции

Вместо « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.

Что и требовалось доказать.

Что такое убывание функции

Как по графику понять, что функция убывает

Разбор примера

Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x

По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.

Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.

Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».

Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».

На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.

Как по формуле доказать, что функция убывает

Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».

По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?

Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Подставим « y( x₁ )» и
«y( x₂ ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.

Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.

−x₂ < −x₁ | · (−1)

x₂ > x₁

Что и требовалось доказать.

Как по графику функции определить
возрастание и убывание

Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.

Разбор примера

На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).

Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.

Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.

Ответ:

• функция убывает при
     x ≤ −2;     0 ≤ x ≤ 3,5
• функция возрастает при
      −2 ≤ x ≤ 0 ;     x ≥ 3,5

Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.

Ответ:

• функция убывает на промежутках    
  x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5]
• функция возрастает на промежутках     x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]

При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей

Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.

Разбор примера

При каких значениях « m » функция

« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?

Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x₁ » и « x₂ ».

Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.

mx₂ − m − 3 + 2x₂ − mx₁
+ m
+ 3
− 2x₁
< 0

Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.

mx₂ − mx₁
− m + m − 3 + 3 + 2x₂ − 2x₁

< 0

mx₂ − mx₁ + 2x₂ − 2x₁

< 0

Вынесем общие множители за скобки.

m( x₂ − x₁) + 2(x₂ − x₁)

< 0

Теперь
вынесем общий множитель

« ( x₂ − x₁ ) ».

( x₂ − x₁) (m + 2)

< 0

Вспомним обязательное условие убывания функции.

x2 > x1 y( x2 ) < y( x1 )

Обязательное условие убывания функции

Преобразуем исходное условие убывания функции « x₂ > x₁ ».
Перенесем все в левую часть.

x₂ > x₁

x₂ − x₁ > 0

По условию убывания функции
« x₂ − x₁ > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x₂ − x₁) (m + 2)

» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.

+	·	−	< 0
(x2 − x1)	·	(m + 2)	< 0

Решим полученное неравенство.

m + 2 < 0
m < −2

Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №15. Возрастание и убывание функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение промежутков монотонности функции,

2) Определение алгоритма нахождения промежутков возрастания и убывания функции,

3) Решение задачи на нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Глоссарий по теме

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Найти D(f)
2. Найти f‘(x).
3. Определить, при каких значениях хf‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁< х₂ следует неравенство f(x₁) <f(x₂)

2. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х₁ и х₂ из этого промежутка из неравенства х₁< х₂ следует неравенство f(x₁) >f(x₂)

Теоремы

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежутки монотонности функции

у = -3х³ + 4х² + х – 10.

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) =

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на и на .

Ответ: Функция возрастает на

Функция убывает на и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х⁵–5х⁴ +5х³ – 4.

Решение:

1. 
2. 

y‘ =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .

Определение
возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых и выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.

Определение
убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает
на интервале X,
если для любых и выполняется
неравенство .
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.

ЗАМЕЧАНИЕ:
если функция определена и непрерывна
в концах интервала возрастания или
убывания (a;b),
то есть при x=a и x=b,
то эти точки включаются в промежуток
возрастания или убывания. Это не
противоречит определениям возрастающей
и убывающей функции на промежутке X.

К
примеру, из свойств основных элементарных
функций мы знаем, что y=sinx определена
и непрерывна для всех действительных
значений аргумента. Поэтому, из возрастания
функции синуса на интервале мы
можем утверждать о возрастании на
отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой
максимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство .
Значение функции в точке максимума
называютмаксимумом
функции и
обозначают .

Точку называют точкой
минимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство .
Значение функции в точке минимума
называютминимумом
функции и
обозначают .

Под
окрестностью точки понимают
интервал ,
где –
достаточно малое положительное число.

Точки
минимума и максимума называют точками
экстремума,
а значения функции, соответствующие
точкам экстремума, называют экстремумами
функции.

Не
путайте экстремумы функции с наибольшим
и наименьшим значением функции.

На
первом рисунке наибольшее значение
функции на отрезке [a;b] достигается
в точке максимума и равно максимуму
функции, а на втором рисунке – наибольшее
значение функции достигается в точке x=b,
которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На
основании достаточных условий (признаков)
возрастания и убывания функции находятся
промежутки возрастания и убывания
функции.

Вот
формулировки признаков возрастания и
убывания функции на интервале:

• если
  производная функции y=f(x) положительна
  для любого x из
  интервала X,
  то функция возрастает на X;

• если
  производная функции y=f(x) отрицательна
  для любого x из
  интервала X,
  то функция убывает на X.

Таким
образом, чтобы определить промежутки
возрастания и убывания функции необходимо:

• найти
  область определения функции;

• найти
  производную функции;

• решить
  неравенства и на
  области определения;

• к
  полученным промежуткам добавить
  граничные точки, в которых функция
  определена и непрерывна.

Рассмотрим
пример нахождения промежутков возрастания
и убывания функции для разъяснения
алгоритма.

Пример.

Найти
промежутки возрастания и убывания
функции .

Решение.

Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции. В нашем
примере выражение в знаменателе не
должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим
к нахождению производной функции:

Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства и на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2,
а знаменатель обращается в ноль при x=0.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.

Таким
образом, и .

В
точке x=2 функция
определена и непрерывна, поэтому ее
следует добавить и к промежутку
возрастания и к промежутку убывания. В
точке x=0 функция
не определена, поэтому эту точку не
включаем в искомые интервалы.

Приводим
график функции для сопоставления с ним
полученных результатов.

Ответ:

функция
возрастает при ,
убывает на интервале (0;2].

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #