Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
оксана николаевна кузнецова
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Экстремумы функции
Определение 1
Точки $x_0$ называются точками экстремума функции, если они являются точками максимума и минимума для функции $f(x)$.
Определение 2
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)le f(x_0)$.
Определение 3
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)ge f(x_0)$.
Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.
Определение 4
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ – внутренняя точка области определения;
2) $f’left(x_0right)=0$ или не существует.
Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.
Теорема 1
Необходимое условие экстремума
Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо $f’left(x_0right)=0$, либо производная в точке $x_0$ не существует.
Теорема 2
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $left(a,x_0right) и (x_0,b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f’left(xright)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f’left(xright)
2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f’left(xright)0$, то точка $x_0$ – точка минимума для данной функции.
3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f’left(xright) >0$ или производная $f’left(xright)
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.
Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2).
Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
«Возрастание и убывание функций, экстремумы» 👇
Правило исследования функции на экстремум
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f'(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f’left(xright)=0$;
4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.
Возрастание и убывание функции
Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.
Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1
Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2in X$ при $x_1f(x_2)$.
Исследование функции на возрастание и убывание
Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.
Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f'(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f’left(xright)=0$;
4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где $f’left(xright)0$ функция возрастает.
Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов
Пример 1
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$
Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.
1) Область определения – все действительные числа;
2) $f’left(xright)=6x^2-30x+36$;
3) $f’left(xright)=0$;
[6x^2-30x+36=0] [x^2-5x+6=0] [x=3, x=2]
4) $f'(x)$ существует во всех точках области определения;
5) Координатная прямая:
Рисунок 3.
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом промежутке:
[f’left(xright) >0, при left(-infty ,2right) (3,+infty )] [f’left(xright)7) Изобразим все на одном рисунке:
Рисунок 4.
Получаем:
Функция возрастает, при $left(-infty ,2right) (3,+infty )$, функция убывает, при $left(2,3right)$.
Точка $x=2$ – точка максимума, точка $x=3$ – точка минимума.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при 
Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке 
возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке 
Точка 
называется точкой локального максимума (минимума) функции 
если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство 
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции 
то либо 
не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть 
– критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку 
меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция 
имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную 
в самой точке . Если 
то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же 
то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке 
функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка 
.
Пример:
Найти экстремумы функции 
Решение:
Так как 
то критические точки функции 
и 
Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку 
производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.
Пример:
Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение:
Обозначим стороны площадки через 
Площадь площадки равна 
Пусть у – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому 
(длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). 
откуда 
Поскольку 
– единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При 
значит, в точке 
функция S имеет максимум. Значение функции 
Поскольку S непрерывна на 
и ее значения на концах 
равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.
Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.
Пример:
Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью 
Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение:
Площадь полной поверхности цилиндра равна 
Мы знаем объем цилиндра 
Значит, 
Находим производную этой функции:
следовательно, 
Экстремумы функции
Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки 
называется любой промежуток, для которого 
является внутренней точкой.
Точка 
называется точкой минимума (максимума) функции 
если для всех 
из некоторой окрестности точки 
выполняется неравенство 
Точки минимума и максимума обозначают 
соответственно.
Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: 
Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.
Например, для функции 
точка 
является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: 
Для функции 
точка 
является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: 
Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: 
— точки максимума; 
и 
— точки минимума.
Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.
Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
— её критическая точка, 
Тогда: точка 
при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.
Действительно, если производная функции 
отрицательная, то при переходе через точку 
возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае 
— точка максимума. Если же при переходе через точку 
убывание функции изменяется на возрастание, то 
— точка минимума (рис. 80).
Если же производная функции в точке 
равна нулю, а слева и справа от 
производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то 
не является точкой экстремума.
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №552
Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции 
Решение:
Критические точки функции: 
При переходе через точку 
производная меняет знаке 
поэтому 
—точка максимума. При переходе через точку 
производная меняет знак с 
поэтому 
— точка минимума (рис. 82).
Ответ. 
Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.
Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:
- найти область определения функции;
- исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
- найти точки пересечения графика функции с осями координат;
- исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
- найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
- найти асимптоты графика функции;
- построить график функции.
Пример №553
Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение:
Область определения функции — все действительные числа, кроме 
Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.
Уравнение 
не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось 
Ось 
он пересекает в точке с ординатой 
Критические точки: 
Составим и заполним таблицу.
На промежутках 
функция возрастает, на промежутках 
функция убывает. 
— точка максимума, 
—точка минимума, 
Область значений функции: 
График функции имеет вертикальную асимптоту 
так как 
График этой функции изображён на рисунке 83.
Пример №554
Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке 
А чётная функция?
Решение:
Нечётная функция не может. Если в окрестности точки 
функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки 
Чётная функция может. Например, функция 
Пример №555
Существуют ли такие числа 
при которых имеет экстремум функция 
Решение:
При любых действительных значениях 
В каждой точке 
производная данной функции неотрицательная. Функция 
возрастает на 
поэтому не может иметь экстремумов.
Ответ. Не существуют.
Пример №556
Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение. 
2) Функция — нечётная, поскольку 
Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке 
3) если 
— график пересекает оси координат только в точке 
4) Найдём производную функции:
Очевидно, что 
для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков 
и не имеет максимумов и минимумов.
Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:
График функции имеет вертикальные асимптоты 
и 
(Убедитесь самостоятельно.)
График функции изображён на рисунке 84.
- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- Скалярное произведение и его свойства
- Векторное и смешанное произведения векторов
- Преобразования декартовой системы координат
- Определитель матрицы
- Критерий совместности Кронекера-Капелли
- Формулы Крамера
- Матричный метод
Определение
возрастающей функции.
Функция y=f(x) возрастает
на интервале X,
если для любых 
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции.
Определение
убывающей функции.
Функция y=f(x) убывает
на интервале X,
если для любых 
и 
выполняется
неравенство 
.
Другими словами – большему значению
аргумента соответствует меньшее значение
функции.
ЗАМЕЧАНИЕ:
если функция определена и непрерывна
в концах интервала возрастания или
убывания (a;b),
то есть при x=a и x=b,
то эти точки включаются в промежуток
возрастания или убывания. Это не
противоречит определениям возрастающей
и убывающей функции на промежутке X.
К
примеру, из свойств основных элементарных
функций мы знаем, что y=sinx определена
и непрерывна для всех действительных
значений аргумента. Поэтому, из возрастания
функции синуса на интервале 
мы
можем утверждать о возрастании на
отрезке 
.
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку 
называют точкой
максимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство 
.
Значение функции в точке максимума
называютмаксимумом
функции и
обозначают 
.
Точку 
называют точкой
минимума функции y=f(x),
если для всех x из
ее окрестности справедливо неравенство 
.
Значение функции в точке минимума
называютминимумом
функции и
обозначают 
.
Под
окрестностью точки 
понимают
интервал 
,
где 
–
достаточно малое положительное число.
Точки
минимума и максимума называют точками
экстремума,
а значения функции, соответствующие
точкам экстремума, называют экстремумами
функции.
Не
путайте экстремумы функции с наибольшим
и наименьшим значением функции.
На
первом рисунке наибольшее значение
функции на отрезке [a;b] достигается
в точке максимума и равно максимуму
функции, а на втором рисунке – наибольшее
значение функции достигается в точке x=b,
которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На
основании достаточных условий (признаков)
возрастания и убывания функции находятся
промежутки возрастания и убывания
функции.
Вот
формулировки признаков возрастания и
убывания функции на интервале:
-
если
производная функции y=f(x) положительна
для любого x из
интервала X,
то функция возрастает на X; -
если
производная функции y=f(x) отрицательна
для любого x из
интервала X,
то функция убывает на X.
Таким
образом, чтобы определить промежутки
возрастания и убывания функции необходимо:
-
найти
область определения функции; -
найти
производную функции; -
решить
неравенства
и 
на
области определения; -
к
полученным промежуткам добавить
граничные точки, в которых функция
определена и непрерывна.
и 
на
Рассмотрим
пример нахождения промежутков возрастания
и убывания функции для разъяснения
алгоритма.
Пример.
Найти
промежутки возрастания и убывания
функции 
.
Решение.
Первым
шагом является нахождение
обрасти определения функции. В нашем
примере выражение в знаменателе не
должно обращаться в ноль, следовательно, 
.
Переходим
к нахождению производной функции:
Для
определения промежутков возрастания
и убывания функции по достаточному
признаку решаем неравенства 
и 
на
области определения. Воспользуемся
обобщением метода интервалов. Единственным
действительным корнем числителя
является x
= 2,
а знаменатель обращается в ноль при x=0.
Эти точки разбивают область определения
на интервалы, в которых производная
функции сохраняет знак. Отметим эти
точки на числовой прямой. Плюсами и
минусами условно обозначим интервалы,
на которых производная положительна
или отрицательна. Стрелочки снизу
схематично показывают возрастание или
убывание функции на соответствующем
интервале.
Таким
образом, 
и 
.
В
точке x=2 функция
определена и непрерывна, поэтому ее
следует добавить и к промежутку
возрастания и к промежутку убывания. В
точке x=0 функция
не определена, поэтому эту точку не
включаем в искомые интервалы.
Приводим
график функции для сопоставления с ним
полученных результатов.
Ответ:
функция
возрастает при 
,
убывает на интервале (0;2].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
