Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции
С помощью онлайн-калькулятора можно найти точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции с оформлением решения в Word. Является ли функция двух переменных f(x1,x2) выпуклой решается с помощью матрицы Гессе.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке (a; b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x), характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) < 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x), в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)
- Найти вторую производную f’’(x).
- Найти критические точки II рода функции y=f(x), т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
- Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
- Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример 1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x2–x3.
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x2, f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0. x=2.
f(2) = 6*22 – 23 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2); точка перегиба (2;16).
Пример 2. Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x3-6x2+2x-1
Пример 3. Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x3-6x2+12x+4
Содержание:
- Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
- Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).
График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).
Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Теорема
(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)
Пусть функция $y=f(x)$ определена на интервале
$(a ; b)$ и имеет непрерывную, не равную нулю в точке
$x_{0} in(a ; b)$ вторую производную. Тогда, если
$f^{prime prime}(x)>0$ всюду на интервале
$(a ; b)$, то функция имеет вогнутость на этом интервале,
если $f^{prime prime}(x) lt 0$, то функция имеет выпуклость.
Определение
Точкой перегиба графика функции $y=f(x)$
называется точка $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Теорема
(О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция $y=f(x)$ имеет перегиб в точке
$Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$, то
$f^{prime prime}left(x_{1}right)=0$ или не существует.
Теорема
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
- первая производная $f^{prime}(x)$
непрерывна в окрестности точки $x_{1}$; - вторая производная $f^{prime prime}(x)=0$ или не существует в точке $x_{1}$;
- $f^{prime prime}(x)$ при переходе через точку $x_{1}$ меняет свой знак,
тогда в точке $Mleft(x_{1} ; fleft(x_{1}right)right)$ функция $y=f(x)$ имеет перегиб.
Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость
- Найти вторую производную функции.
- Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
- Исследовать знак производной слева и справа от каждой найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости и точках перегиба.
Пример
Задание. Найти интервалы выпуклости/вогнутости функции
$y=frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1$
Решение. Найдем вторую производную заданной функции:
$y^{prime prime}=left(frac{x^{3}}{6}-x^{2}+3 x+1right)^{prime prime}=left(frac{x^{2}}{2}-2 x+3right)^{prime}=x-2$
Находим точки, в которых вторая производная равна нулю, для этого решаем уравнение
$y^{prime prime}(x)=0$:
$y^{prime prime}(x)=x-2=0 Rightarrow x=2$
Исследуем знак второй производной слева и справа от полученной точки:
Так как на промежутке $(-infty ; 2)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x) lt 0$, то на этом промежутке функция
$y(x)$ выпукла; в силу того, что на промежутке
$(2 ;+infty)$ вторая производная
$y^{prime prime}(x)>0$ – функция вогнута. Так как при переходе через
точку $x=2$ вторая производная сменила знак, то
эта точка является точкой перегиба графика функции.
Ответ. Точка $x=2$ – точка перегиба графика функции.
На промежутке $(-infty ; 2)$ функция выпукла, на промежутке
$(2 ;+infty)$ функция вогнута.
Читать дальше: асимптоты графика функции.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
График функции
называется выпуклым в интервале
,
если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис.3).
График функции
называется вогнутым в интервале
,
если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис. 4).
Достаточное
условие выпуклости (вогнутости).Пусть
функция
имеет вторую производную на интервале
.
Тогда, если
на этом интервале, то функция выпукла,
если
,
то график функции вогнутый на этом
интервале.
Точка графика
непрерывной функции
,
отделяющая его части выпуклости и
вогнутости, называетсяточкой перегиба(рис. 5).
Необходимое
условие точки перегиба. Если
– точка перегиба функции
,
то в этой точке вторая производная
функции либо равна нулю (
),
либо не существует.
Точки, в которых
вторая производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими
точками 2 –го рода.
Точки перегиба
следует искать среди критических точек
2- го рода.
Первое достаточное
условие точки перегиба. Пусть функция
имеет первую производную в точке
и вторую производную в некоторой
окрестности этой точки (кроме, быть
может самой точки). Тогда если при
переходе через точку
вторая производная меняет знак, то
– точка перегиба.
Второе достаточное
условие точки перегиба.Пусть в точке
функция
имеет производные до третьего порядка
включительно. Тогда если
,
а
,
то
– точка перегиба этой функции.
-
Асимптоты.
П
рямая
линияmназываетсяасимптотойграфика функции
,
если расстояниеdот
точкиM, лежащей на
этом графике, до прямойmстремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по графику от начала
координат в бесконечность (Рис. 6 а),
б), в)).
б
в
а
Асимптоты бывают
трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные
(рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).
Прямая
называетсявертикальной асимптотойграфика функции
,
если хотя бы один из односторонних
пределов
и
равен бесконечности.
Обычно вертикальными
асимптотами являются прямые в точках
разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания
вертикальных асимптот определяют точки
бесконечного
разрыва
функции. Тогда уравнение вертикальных
асимптот
.
Вертикальные асимптоты могут быть и на
границе области определения функции.
Например, как у функции
.
Прямая
называется
наклонной асимптотойграфика
функции
при
(при
),
если
(соответственно,
).
Уравнение наклонной
асимптоты к графику функции
ищем
виде
,
где
(*)
и
(**)
Если хотя бы один
из пределов (*) и (**) не существует или
равен бесконечности, то кривая
наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты
графика функции
при
и
могут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (*) и (**) следует отдельно
рассматривать случай, когда
и когда
.
Частным случаем
наклонной асимптоты (при
)
являетсягоризонтальная асимптота.
Прямая
является горизонтальной асимптотой
графика функции
при
(при
)
тогда и только тогда, когда
(соответственно,
).
-
Общая
схема исследования функции и построение
графиков функций.
При построении
графика данной функции
целесообразно пользоваться следующей
схемой:
-
найти
область определения функции; -
исследовать
функцию на четность, нечетность и
периодичность; -
найти
точки пересечения графика с осями
координат (если это возможно); -
найти
интервалы знакопостоянства функции
(промежутки, на которых
и); -
найти
асимптоты; -
найти
интервалы возрастания и убывания,
экстремумы функции; -
найти
интервалы выпуклости и вогнутости,
точки перегиба; -
построить
график функции.
и
);
Приведенная схема
исследования не является обязательной.
В более простых случаях достаточно
выполнить лишь несколько операций,
например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым
вычислить несколько дополнительных
точек.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Елена Борисовна Калюжная
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Выпуклая и вогнутая функция
При исследовании заданной функции и построении ее графика встречаются понятия выпуклая и вогнутая функция.
Если функция $y=f(x)$ является дифференцируемой, тогда необходимо рассмотреть следующие определения.
Определение 1
Функция $y=f(x)$ называется выпуклой вниз на некотором интервале, если все точки графика этой функции расположены не ниже касательной, которая проведена к нему в любой точке рассматриваемого интервала.
Функция $y=f(x)$ называется выпуклой вверх на некотором интервале, если все точки графика этой функции расположены не выше касательной, которая проведена к нему в любой точке рассматриваемого интервала.
Схематическое изображение графиков выпуклой вниз (вогнутая функция) и выпуклой вверх (выпуклая) функций показано на рис.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Рисунок 1. Графики выпуклой и вогнутой функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости графика заданной функции необходимо использовать следующие теоремы.
Теорема 2
Если $f”(x)>0$ для любой точки из рассматриваемого интервала, то график заданной функции на данном интервале направлен выпуклостью вниз.
«Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба» 👇
Пример 1
Найти промежутки выпуклости и вогнутости функции $y=x^{5} $:
Решение:
Первая производная: $y’=5x^{4} $; вторая производная: $y”=20x^{3} $.
Исследуя знак второй производной кривой, получаем, что $f”(x)0, , forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.$, ,
Правило дождя
Для облегчения запоминания данных теорем можно использовать так называемое «правило дождя» (см. рис.).
Рисунок 2. Правило дождя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
«Правило дождя»:
- если $f”(x)$
- если $f”(x)>0$ (знак «+» соответствует киванию головы вверх-вниз, т.е. «да»), то лужа образуется, а значит, дождь падает во впадину (выпуклость вниз).
Отметим, что график может быть выпуклым или вогнутым на всей области определения заданной функции, а может только на отдельных промежутках. В таких случаях промежутки выпуклости и вогнутости сменяют друг друга.
Пример 2
Найти промежутки выпуклости/вогнутости графика заданной функции $y=x^{3} $.:
Решение:
$y’=3x^{2} $; вторая производная: $y”=6x$.
Изобразим на числовой оси (см. рис.).
Рисунок 3. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Получаем, что $f”(x)$0, , forall x>0$. Следовательно, график направлен выпуклостью вверх при $x$0$.
Определение 2
Точка перегиба – это такая точка графика выпуклой функции, которая разделяет промежутки выпуклости/вогнутости графика.
В примере 1 $x=0$ является точкой перегиба, так как при переходе через эту точку меняется поведение графика функции (в частности, с выпуклости на вогнутость).
Необходимое условие точки перегиба: В точке перегиба $(x_{0} ;y_{0} )$ вторая производная либо равна нулю, либо не существует.
Достаточное условие точки перегиба:
- $f'(x_{0} )$ непрерывна в окрестности заданной точки;
- $f”(x_{0} )=0$ или не существует в заданной точке;
- $f”(x)$ меняет знак на противоположный при переходе через заданную точку.
Учитывая все выше сказанное, составим алгоритм исследования выпуклости и вогнутости функции:
- нахождение первой производной $f'(x)$ заданной функции;
- нахождение второй производной $f”(x)$ заданной функции;
- определение точек, в которых $f”(x)$ равна нулю или не существует;
- исследование знака $f”(x)$ с помощью числовой прямой;
- определение промежутков выпуклости и вогнутости графика заданной функции;
- нахождение интервалов выпуклости и точки перегиба функции, если они существуют.
Пример 3
Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=4x^{2} -3$.
Решение:
Первая производная: $y’=8x$; вторая производная: $y”=8$.
Изобразим на числовой оси (см. рис.).
Рисунок 4. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Получаем, что $f”(x)>0, , forall xin D_{y} $. Следовательно, график направлен выпуклостью вниз при любом $x$. Точек перегиба нет.
Пример 4
Найти точки перегиба графика заданной функции: $y=frac{3}{x^{2} -1} $.
Решение:
Первая производная: $y’=frac{0cdot (x^{2} -1)-3cdot 2x}{(x^{2} -1)^{2} } =-frac{6x}{(x^{2} -1)^{2} } $.
Вторая производная: $y”=-frac{6cdot (x^{2} -1)^{2} -6xcdot 2xcdot 2cdot (x^{2} -1)}{(x^{2} -1)^{4} } =-6cdot frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } $.
Вторая производная не существует при $x=pm 1$.
[begin{array}{l} {y”=0:-6cdot frac{x^{2} -1-4x}{(x^{2} -1)^{3} } =0Rightarrow x^{2} -4x-1=0} \ {x^{2} -4x-1=0} \ {D=16+4=20} \ {x_{1} =frac{4-sqrt{20} }{2} =2-sqrt{5} ;x_{2} =frac{4+sqrt{20} }{2} =2+sqrt{5} } end{array}]
Изобразим на числовой оси (см. рис.).
Рисунок 5. Изображение на числовой оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Получаем, что:
- $f”(x)>0, , forall xin (-1;2-sqrt{5} ]bigcup (1;2+sqrt{5} ]$,
- $f”(x)
Следовательно, график направлен выпуклостью вверх на промежутках $(-infty ;-1)$, $[2-sqrt{5} ;1)$ и $(1;+infty )$, вниз на промежутках – $(-1;2-sqrt{5} ]$ и $(1;2+sqrt{5} ]$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Исследование функции не обходится без установки интервалов выпуклости и вогнутости, причем их могут разделять как точки перегиба, так и критические точки второго рода. Все зависит от ряда правил которые Вам придется запомнить из приведенного теоретического материала.
Кривая
называется выпуклой на интервале 
если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат ниже произвольной ее касательной на этом интервале.
И наоборот, кривая 
называется вогнутой на интервале если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат выше произвольной ее касательной на этом интервале.
Точкой перегиба называется такая точка кривой которая отделяет ее выпуклую часть от вогнутой.
На рисунке выше кривая выпуклая на интервале 
и вогнута на 
, в точке 
– функция имеет перегиб.
Выпуклость и вогнутость кривой, которая является графиком функции 
характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором интервале она меньше нуля 
то кривая выпуклая на этом интервале, а если больше
то кривая вогнута на этом интервале.
Интервалы выпуклости и вогнутости могут отделяться друг от друга или точками где вторая производная равна нулю, или точками где вторая производная не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку 
вторая производная 
меняет знак, то график функции имеет точку перегиба 
.
ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
1) найти область определения функции;
2) найти критические точки II рода функции 
;
3) исследовать знак
в интервалах, на которые критические точки делят область определения функции 
. Если критическая точка 
разделяет интервалы где вторые производные 
разных знаков, то 
является абсциссой точки перегиба графика функции;
4) вычислить значения функции в точках перегиба.
—————————————————
Задача.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вмятины графиков функций. (Дубовик В.П., Юрик И.И. “Высшая математика. Сборник задач”)
І. (5.827)
1) Область определения вся действительная множество
2) Находим критические точки функции второго рода
Квадратное уравнение будет иметь следующие корни
Они разбивают область определения на следующие интервалы выпуклости или вогнутости
3) Исследуем знак производной подстановкой значений из интервалов
Из анализа знаков следует, что функция вогнута на интервалах 
и выпуклая при 
. Точки 
являются точками перегиба, поскольку вторая производная в них меняет знак.
4) Вычисляем значение функции
– точки перегиба.
Чтобы материал Вам хорошо воспринимался к этой задаче и последующих будут приведены графики функций с найденными критическими точками. Это поможет Вам легко представлять себе, как точки перегиба выглядят на графиках функций
———————————
ІІ. (5.831)
1) Область определения будет
.
2) Критические точки II рода: найдем вторую производную функции
Решим квадратное уравнение
Вторая производная 
существует на всей области определения.
3) Определяем знаки второй производной 
на промежутках где вторая производная отлична от нуля
Таким образом, получим два интервала выпуклости 
и один вогнутости графика функции 
4) Найдем значения функции в точках перегиба
-точки перегиба.
Часть графика функции с точками перегиба приведена ниже
———————————
ІІІ. (5.834)
1) Область определения является 
, так как корень кубический существует для отрицательных чисел.
2) Критические точки найдем из условия равенства нулю или несуществования второй производной функции
Вторая производная существует на всей области кроме точки 
.
3) Предыдущие исследования показали, что точка 
разбивает область определения на два интервала
и 
. Для установления, какой из них будет интервалом выпуклости а какой вогнутости, подставим точки справа и слева от критической во вторую производную.
Из этого следует, что на интервале 
кривая вогнута, а на 
– выпуклая. Исследуемая точка 
является точкой перегиба.
4) В точке перегиба функция принимает значение
– координаты точки перегиба. Интересующий график функции приведен ниже
———————————
IV. (5.835)
1) Область определения 
, поскольку экспонента определена для всех аргументов.
2) Вычисляем критические точки второго рода
Из условия равенства нулю второй производной получим
Найдена точка разбивает область определения на два интервала 
3) Исследуем знаки производной на найденных интервалах
На первом интервале
график функции выпуклый, а на 
вогнутый. Точка 
является абсциссой точки перегиба.
4) Находим ординату
– точка перегиба. График функции имеет вид
———————————
V. (5.845)
1) Областью определения является множество значений аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль
Получаем два интервала определения функции
2) Для отыскания критических точек дифференцируем функцию дважды
Вторая производная равна нулю при 
и не существует в точке 
.
3) Исследуя знаки производной на интервалах 
методом подстановки значений
получиим, что функция имеет один интервал где график функции выпуклый 
и два 
где он вогнутый.
4) В точке перегиба 
функция примет значение
а ее графики изображен ниже
————————————————–
Правила нахождения точек перегиба достаточно просты, нужно только хорошо уметь находить вторую производную. При нахождении интервалов довольно трудно привыкнуть, что функция выпуклая там где вторая производная отрицательная, и вогнута – при положительной второй производной. Для этого нужно решить немало задач и построить не менее графиков. Учитесь на приведенных примерах, решайте самостоятельно – это ускорит усвоение теоретического материала и позволит бить спокойнее остальных при решение контрольных, тестов, зачетов.
———————–
Посмотреть материалы:
- Исследования функции и построения графика
- Интервалы монотонности функции
- Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- Локальный экстремум функции. Примеры
- Асимптоты функции
- Область определения функции
