Загрузить PDF
Загрузить PDF
Линейная интерполяция (или просто интерполяция)[1]
— процесс нахождения промежуточных значений величины по ее известным значениям. Многие люди могут провести интерполяцию, полагаясь исключительно на интуицию, но в этой статье описан формализованный математический подход к проведению интерполяции.
Шаги
-
1
Определите величину, для которой вы хотите найти соответствующее значение. Интерполяция может быть проведена для вычисления логарифмов или тригонометрических функций или для вычисления соответствующего объема или давления газа при данной температуре.[2]
Научные калькуляторы в значительной степени заменили логарифмические и тригонометрические таблицы; поэтому в качестве примера проведения интерполяции мы вычислим давление газа при температуре, значение которой не указано в справочных таблицах (или на графиках).- В уравнении, которое мы выведем, «x» будет обозначать известную величину, а «у» — неизвестную величину (интерполированное значение). При построении графика эти значения откладываются соответственно их обозначениям — величина «x» — по оси X, величина «у» — по оси Y.
- В нашем примере под «x» будет подразумеваться температура газа, равная 37 °С.
-
2
В таблице или на графике найдите ближайшие значения, расположенные ниже и выше значения «x». В нашей справочной таблице не приведено давление газа при 37 °С, но приведены значения давления при 30 °С и при 40 °С. Давление газа при температуре 30 °С = 3 кПа, а давление газа при 40 °С = 5 кПа.
- Так как мы обозначили температуру в 37 °С как «x», то теперь обозначим температуру в 30 °С как x1, а температуру в 40 °С как x2.
- Так как мы обозначили неизвестное (интерполированное) давление газа как «у», то теперь обозначим давление в 3 кПа (при 30 °С) как у1, а давление в 5 кПа (при 40 °С) как у2.
- Так как мы обозначили температуру в 37 °С как «x», то теперь обозначим температуру в 30 °С как x1, а температуру в 40 °С как x2.
-
3
Найдем интерполированное значение. Уравнение для нахождения интерполированного значения можно записать в виде y = y1 + ((x – x1)/(x2 – x1) * (y2 – y1))[3]
- Подставим значения x, x1, x2 и получим: (37 – 30)/(40 – 30) = 7/10 = 0,7.
- Подставим значения у1, у2 и получим: (5 – 3) = 2.
- Умножив 0,7 на 2, получим 1,4. Сложим 1,4 и у1: 1,4 + 3 = 4,4 кПа. Проверим ответ: найденное значение 4,4 кПа лежит между 3 кПа (при 30 °С) и 5 кПа (при 40 °С), а так как 37 °С ближе к 40 °С, чем к 30 °С, то и окончательный результат (4,4 кПа) должен быть ближе к 5 кПа, чем к 3 кПа.
Реклама
- Подставим значения x, x1, x2 и получим: (37 – 30)/(40 – 30) = 7/10 = 0,7.
Советы
- Если вы умеете работать с графиками, вы можете сделать грубую интерполяцию, отложив известное значение по оси X и найдя соответствующее значение на оси Y.[4]
В приведенном выше примере можно построить график, на котором по оси X откладывается температура (в десятках градусов), а по оси Y — давление (в единицах кПа). На этом графике вы можете нанести точку 37 градусов, а затем найти точку на оси Y, соответствующую этой точке (она будет лежать между точками 4 и 5 кПа). Приведенное выше уравнение просто формализует процесс мышления и обеспечивает получение точного значения. - В отличие от интерполяции, экстраполяция позволяет вычислить приблизительные значения величины вне диапазона значений, приведенных в таблицах или отображенных на графиках.[5]
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 98 219 раз.
Была ли эта статья полезной?
Инструкция
Суть линейной интерполяции можно описать следующим допущением: в промежутке между известными соседними табличными значениями аргумента xi и xj рассматриваемую функцию y=f(x) можно приближенно считать линейной. Иными словами, на этом промежутке значение функции изменяется пропорционально изменению аргумента.
Более наглядно данное допущение можно отобразить в графическом виде в декартовой системе координат. Рассматриваемый отрезок функции уi и уj представляется непрерывной прямой с известными координатами. При поиске промежуточного значения функции Y, неизвестный аргумент Х находится между соседних значений хi и xj. Таким образом, можно записать следующие неравенства хi
Выразите записанные условия в виде пропорции следующего вида: (yj – yi)/(хj – хi) = (Y – yi)/(Х – хi). Здесь yj и хj – конечные значения, yi, хi – начальные значения отрезка, Y и Х – искомые промежуточные значения.
Как видно из пропорции при заданном приращении аргумента Х – хi легко найти соответствующее изменение функции Y – yi. Выразите приращение: Y – yi = ((yj – yi)/(хj – хi))*(Х – хi).
Таким образом, промежуточные значения функции можно определить, зная лишь приращение, на которое произошло изменение аргумента. Вычислите разности yj – yi и хj – хi при заданном шаге аргумента Х – хi. Подставляя полученные значения в формулу приращения, найдите показатель изменения функции.
Найдите промежуточное значение Y. Для этого к полученному значению приращения прибавьте начальный показатель функции уi на рассматриваемом отрезке. Аналогичным образом находится любое промежуточное значение с заданным шагом приращения.
Если стоит задача в определении аргумента X по заданным значениям функции y=f(x), проводится обратная линейная интерполяция. Ее суть заключается в отыскании значения X с помощью той же пропорции, только теперь в качестве известного параметра выступает приращение функции Y – уi. С помощью аналогичных преобразований находится неизвестное промежуточное значение аргумента Х = ((yj – yi)/(хj – хi))/(Y – уi) + хi.
Выразите записанные условия в виде пропорции следующего вида: (yj – yi)/(хj – хi) = (Y – yi)/(Х – хi). Здесь yj и хj – конечные значения, yi, хi – начальные значения отрезка, Y и Х – искомые промежуточные значения.
Как видно из пропорции при заданном приращении аргумента Х – хi легко найти соответствующее изменение функции Y – yi. Выразите приращение: Y – yi = ((yj – yi)/(хj – хi))*(Х – хi).
Таким образом, промежуточные значения функции можно определить, зная лишь приращение, на которое произошло изменение аргумента. Вычислите разности yj – yi и хj – хi при заданном шаге аргумента Х – хi. Подставляя полученные значения в формулу приращения, найдите показатель изменения функции.
Найдите промежуточное значение Y. Для этого к полученному значению приращения прибавьте начальный показатель функции уi на рассматриваемом отрезке. Аналогичным образом находится любое промежуточное значение с заданным шагом приращения.
Если стоит задача в определении аргумента X по заданным значениям функции y=f(x), проводится обратная линейная интерполяция. Ее суть заключается в отыскании значения X с помощью той же пропорции, только теперь в качестве известного параметра выступает приращение функции Y – уi. С помощью аналогичных преобразований находится неизвестное промежуточное значение аргумента Х = ((yj – yi)/(хj – хi))/(Y – уi) + хi.
Обычно вопрос стоит так:
Найдите 1 (2, 3) рациональных числа между дробями, например, 2/7 и 1/3.
Нужно сделать вот что.
1) Привести их к общему знаменателю.
2/7 = 6/21; 1/3 = 7/21.
2) Смотрим на числители. Они идут подряд: 6 и 7. Между ними целых чисел нет.
3) Умножаем числители и знаменатели обеих дробей на какое-нибудь число, например, на 5.
6/21 = 30/105; 7/21 = 35/105.
Теперь между числами 30 и 35 появился промежуток.
4) Можно писать решение:
Между 2/7 и 1/3 есть числа 31/105; 32/105; 33/105=11/35; 34/105.
5) Выбираете, сколько чисел вам надо, и пишете ответ.
Если после 1) пункта получатся числа, между которыми сразу есть промежуток, например, 5/21 и 8/21, то 2) пункт можно пропустить.
Евгений ФёдоровГений (57858)
4 года назад
Я забанен на БВ, очевидно, по просьбе автора задачи про бильярд. Ответ мой был удалён.
Там считают, что я “зачищаю конкурентов””
Повторите то, что я писал. Или дайте это своим ответом, в своей редакции.
“При n = 1, m = 3
(193n + 44)² + (93m + 37)² = 395².
Это даёт 2-ю лузу.”
Спасибо.
Это глава из книги Билла Джелена Гуру Excel расширяют горизонты: делайте невозможное с Microsoft Excel.
Задача: некоторые инженерные проблемы проектирования требуют использования таблиц для вычисления значений параметров. Поскольку таблицы являются дискретными, дизайнер использует линейную интерполяцию для получения промежуточного значения параметра. Таблица (рис. 1) включает высоту над землей (управляющий параметр) и скорость ветра (рассчитываемый параметр). Например, если надо найти скорость ветра, соответствующую высоте 47 метров, то следует применить формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.
Рис. 1. Высота над землей (управляющий параметр) и скорость ветра (рассчитываемый параметр)
Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel
Как быть, если существует два управляющих параметра? Можно ли выполнить вычисления с помощью одной формулы? В таблице (рис. 2) показаны значения давления ветра для различных высот и величин пролета конструкций. Требуется вычислить давление ветра на высоте 25 метров и величине пролета 300 метров.
Рис. 2. Исходная таблица для интерполяции по двум управляющим параметрам
Решение: проблему решаем путем расширения метода, используемого для случая с одним управляющим параметром. Выполните следующие действия.
Начните с таблицы, изображенной на рис. 2. Добавьте исходные ячейки для высоты и пролета в J1 и J2 соответственно (рис. 3).
Рис. 3. Формулы в ячейках J3:J17 объясняют работу мегаформулы
Для удобства использования формул определите имена (рис. 4).
Рис. 4. Определенные имена
Проследите за работой формулы последовательно переходя от ячейки J3 к ячейке J17.
Путем обратной последовательной подстановки соберите мегаформулу. Скопируйте текст формулы из ячейки J17 в J19. Замените в формуле ссылку на J15 на значение в ячейке J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. И так далее. Получится формула, состоящая из 984 символов, которую невозможно воспринять в таком виде. Вы можете посмотреть на нее в приложенном Excel-файле. Не уверен, что такого рода мегаформулы полезны в использовании.
Резюме: линейная интерполяция используется для получения промежуточного значения параметра, если табличные значения заданы только для границ диапазонов; предложен метод расчета по двум управляющим параметрам.
Как найти промежуточное число в сравнении дробей ?
На этой странице находится вопрос Как найти промежуточное число в сравнении дробей ?. Здесь же – ответы на него,
и похожие вопросы в категории Алгебра, которые можно найти с помощью
простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса
соответствует уровню подготовки учащихся 5 – 9 классов. В комментариях,
оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С
ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из
предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой
строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.
