Как найти промежуток на тригонометрической окружности

Отбор корней с помощью тригонометрического круга

В заданиях, где требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, принадлежащие определенному числовому промежутку, можно использовать тригокруг. Этот метод отбора корней является наиболее распространенным. Его плюсы заключаются в том, что это визуальный метод, т. е. отбор корней происходит наглядно, но у этого есть и свои недостатки – углов бесконечное множество, из которых только 360° можно визуализировать на тригокруге, поэтому может возникнуть путаница с количеством оборотов по нему.

«ОБОРОТЫ» ПО ТРИГОКРУГУ И СООТВЕТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ УГЛЫ:

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ТРИГОКРУГА

1. Отмечаем получившийся угол на тригокруге. Это будет серия ответов – бесконечное количество углов, визуально находящееся на тригокруге в одной точке.

2. Отмечаем нужную дугу, т. е. обозначаем указанный промежуток, в котором нужно отобрать корни.

3. Определяем корни, попадающие в эту дугу.

4. Находим искомые углы учитывая обороты – прибавляем соответствующее количество периодов к отмеченному на окружности углу.

Пример:

Даны корни уравнения:

(x_{1} = frac{pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})

(x_{2} = frac{2pi}{3} + 2pi n, nmathbb{in Z})

Найдите корни, принадлежащие отрезку (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack).

1. Каждый из этих корней включает в себя бесконечное количество углов. Отметим эти серии ответов на тригокруге:

1. При этом мы знаем, что нужные корни должны находиться на промежутке (leftlbrack – pi, frac{3pi}{2} rightrbrack). Этот промежуток занимает больше, чем один оборот. Обозначим его так:

1. Так как промежуток занимает больше одного круга, каждая серия ответов так или иначе попадет в этот него.

2. Теперь определим, на каком обороте серии ответов попадут именно в этот промежуток. Если мы будем идти по тригокругу от (- pi) до (frac{3pi}{2}), то попадем в точки с сериями ответов по одному разу – в первом обороте после нуля. Тогда получим следующие углы:

Запишем ответ.

Ответ: (frac{pi}{3});( frac{2pi}{3}).

Важно! Чтобы решение было обоснованным, очень важно отметить всё на круге: и точки, и углы, и промежуток.

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

• Через градусы
• Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

• Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
• Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
•  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
•  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
• Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

• ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
• ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

• ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
• ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

• ( y=sin alpha )
• ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

• Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
• Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
•  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
• Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

• Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
• Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

• ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
• ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
• ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

• Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
• Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

• ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
• ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
• ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
• ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

Всероссийский конкурс для школьных педагогов на лучшую образовательную статью «Просто о сложном»

Автор Лисицына Елена Федоровна.

учитель математики

МБОУ «Гимназия№11»

г. Бийска Алтайского кр.

Методы отбора корней в тригонометрических уравнениях

или

Ох уж эта тригонометрия!

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку – это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен в течение уже более 10лет. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Необходимо также знать тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения еще целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике. Постоянно работая в 10-11 классах, я регулярно сталкивалась с определенными проблемами при работе с вышеуказанным разделом тригонометрии: долго не могла установить баланс между доступностью изложения материала и достаточностью обоснований развернутого решения этой категории заданий. В моей практике были случаи, когда вполне успевающие по математике учащиеся начинали испытывать неуверенность и просто страх при решении тригонометрических уравнений с отбором корней, будь то принадлежность корней области допустимых значений переменной или указанному в задании промежутку. В результате целенаправленной многолетней работы в этом направлении у меня сложилась определенная методика работы с данным разделом, которая оказалась довольно успешной, что подтверждает следующая таблица результатов выполнения учащимися задания №13 профильного ЕГЭ по математике с 2015 по 2021 г.г. ( в % от общего количества учеников 11-х классов гимназии, сдающих профильный ЕГЭ по математике)

В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрического круга или числовой прямой. Тригонометрический круг более удобен, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого превосходит полный оборот или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

Моя практика показала, что чаще всего можно обойтись применением тригонометрического круга при отборе корней , а в случае, если промежуток превышает по длине полный оборот- алгебраическим способом. При этом, безусловно, следует познакомить учащихся и с остальными способами. Таким образом, работа над данным разделом разделилась у меня на следующие этапы:

1)Знакомство с устройством тригонометрического круга и отработка умений находить числа и промежутки на нем в ходе выполнения следующих упражнений:

2)Отработка навыков работы с тригонометрическим кругом при решении простейших тригонометрических уравнений с отбором корней , которая предполагает выполнение большого количества упражнений по типу приведенных ниже:

3)Отбор корней в одном и том же уравнении разными способами, чтобы учащиеся имели возможность выбора в соответствии со своими предпочтениями, например

Например,
а) Решить уравнение cos2x=sin(π/2+x).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [–7π/2; –2π].

Решим пункт а)Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(π/2+x) = cos(x);cos2x = cosx ;
cos2x – cosx = 0; cosx(cosx – 1) = 0, т.е.

Решим пункт б).

I . Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [–7π/2; –2π], находим целые значения для n.
–7π/2 ≤ π/2 + πn ≤ –2π;

Сразу делим все на π или умножаем на 1/ π
–7/2 ≤ 1/2 + n ≤ –2;
–7/2 – 1/2 ≤ n ≤ –2 – 1/2 ;
–4 ≤ n ≤ –5/2.
Целые n в этом промежутке это: n=–4 n= –3.

Значит, корни, принадлежащие этому промежутку, будут следующие:

х= π/2 + π(–4) = –7π/2; х=π/2 + π(–3) = –5π/2.
Аналогично решаем еще два неравенства:
–7π/2 ≤ π/4 + 2πk ≤ –2π;
–15/8 ≤ k ≤ –9/8.
Получили, что целых k в этом промежутке нет.
–7π/2 ≤ –π/4 + 2πm ≤ –2π;
–13/8 ≤ m ≤ –7/8.
Получили одно целое n в этом промежутке, m =–1. Значит, отобранный корень на этом промежутке имеет вид: х= –π/4 + 2π·(–1) = –9π/4.
Ответ: –7π/2, –5π/2, –9π/4.

II. Отбор корней с помощью тригонометрической окружности.

Чтобы использовать этот способ надо понимать, как работать с окружностью. Так как функции синус, косинус, тангенс и котангенс периодичны, то окружность, можно обходить бесконечное число раз.

«Обойдем» окружность один раз против часовой стрелки (положительное направление, т.е. значения будут положительные)

«Обойдем» окружность два раза против часовой стрелки (положительное направление т.е. значения будут положительные)

«Обойдем» 1 раз по часовой стрелки (отрицательное направление, т.е. значения будут отрицательные)

Вернемся к вопросу об отборе корней на промежутке

[–7π/2; –2π].
Чтобы попасть к числам –7π/2 и –2π надо «обойти» окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = π/2 + πn. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где–то в этом промежутке? Предположим n= –2, получаем х=π/2 – 2π = –3π/2, очевидно, это не входит в наш промежуток. Значит, берем меньше n=–3, то х= π/2 – 3π = –5π/2, это подходит. Попробуем еще n=–4, то х=π/2 – 4π = –7π/2, также подходит.
Рассуждая аналогично для х=π/4 + 2πk, k ∈ Z и х=–π/4 + 2πm, m ∈ Z находим еще один корень x=–9π/4.

После того, как отбор корней произвели разными способами, прошу проанализировать преимущества каждого из них, получились, в частности такие итоги: первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для понимания, но нужно уметь решать простейшие неравенства. Если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью, то отбор корней по второму методу будет гораздо быстрее. Плюс экономия времени на экзамене.

4)Проведение смотра знаний по данной теме в форме математической игры «Своя игра»

(идея заимствована здесь https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/okh-uzh-eta-trighonomietriia )

5)Рассмотрение реальных работ участников ЕГЭ прошлых лет, оцененных экспертами, с целью нахождения ошибок при выполнении отбора корней в тригонометрических уравнениях, например оценка эксперта-1 балл. Почему не засчитано решение п.б)?

Вывод: отбор корней нельзя назвать обоснованным, так как перебор остановлен на корне принадлежащем отрезку.

Вывод: при отборе корней отсутствует решение и ошибочно указано число, которое не является корнем тригонометрического уравнения.

В заключение отмечу, что поскольку задание № 13 (или №12 в модели профильного ЕГЭ 2022 года) является самым простым из заданий с развернутым решением, то целенаправленная работа над ним дает возможность большему числу выпускников успешно справиться с ним и получить высокий результат на экзамене.

Список используемых ресурсов:

1. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 10 класс. Учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях, Издательство Мнемозина, 13-е изд. стереотипное, 2006. – 336с.

2. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. Тригонометрия, М. : МЦНМО, 2003.-7-16 с.

3. Захарова, И. Г. Информационные технологии в образовании: учебное пособие для студ. пед. учеб. заведений/ И. Г. Захарова,– М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 192 с.

4. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ)//Математика в школе.№3, С.18-27.

5. А.Н. Колмагорова Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. – 384 с.

6. Королев С.В. Тригонометрия на экзамене по математике, изд. Экзамен, 2006. – 254 с.

7. Марасанов А.Н. О методологическом подходе в обучении тригонометрии/ Н.И. Попов, А.Н. Марасанов// Знание и понимание. Умение. -2008. – №4. – 139-141 с.

8. Марасанов А.Н. Тригонометрия: учебное пособие, 2-е изд., испр и доп. (Н.И. Попов, А.Н. Марасанов.-Йошкар-Ола; Мар. гос. Ун-т, 2009.-114с.)

9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Тригонометрия. 10 класс, М. : Просвещение, 2008. – 61 с.

10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень). – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.:ил.

11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень), – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.:ил. 69

12. Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.//Математика. Приложение к газете «Первое сентября» №17, 2006г.

13. Просветов Г.И. Тригонометрия. Задачи и решения, Альфа-Пресс, 2010. – 72 с.

14. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.

15. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений//Математика в школе. 2004. №1. С.24-26.

16. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях//Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.

17. https://ppt-online.org/491236

18. Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов Российской Федерации по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2022 года. МАТЕМАТИКА. Федеральный институт педагогических измерений, 2022

19. https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/okh-uzh-eta-trighonomietriia

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x = cosx

sqrt(2)cos^2x – cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx – 1) = 0

cosx = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx – 1 = 0

cosx = 1/sqrt(2)

cosx = sqrt(2)/2

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 – 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 – 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 – 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 – 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 – 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Просмотры: 156886 |
Статью добавил: slava191 |
Категория: математика