Как найти промежуток содержащий корень

3.1. Отделение корней нелинейного уравнения

Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.

На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.

В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни. Задача отделения вещественных корней решается Аналитическими и Графическими методами.

Аналитические методы основаны на функциональном анализе.

Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида

Pn(x) = an x n + an-1xn-1 +. +a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)

Верхняя граница положительных действительных корней определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):

, (3.3)

Где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;

B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.

Нижнюю границу положительных действительных корней можно определить из вспомогательного уравнения

(3.4)

Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R1, то

= (3.5)

Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале

≤x+≤.

Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.

и .

≤x–≤ = =.

Рассмотрим пример отделения корней с использованием этого аналитического метода.

Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.

3×8 – 5×7 – 6×3 – x – 9 = 0

K = 1 B = |– 9| an = 3

= 4

9×8 + x7 + 6×5 + 5x – 3 = 0

k = 8 B = 3 an = 9

Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x+ ≤ 4

3×8 + 5×7 + 6×3 + x – 9 = 0

=

9×8 – x7 – 6×5 – 5x – 3 = 0

K = 1 B = 6 an = 9

Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x– ≤ –0,6

Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.

Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.

На практике получил большее распространение Графический метод приближённой оценки вещественных корней. Для этих целей строится график функции по вычисленным её значениям.

Графически корни можно отделить 2-мя способами:

1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.На графике 3 корня.

Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).

2. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.

На графике 2 корня.

Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).

Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.

Для отделения вещественных корней можно использовать ЭВМ. Алгоритм отделения корней основан на факте Изменения знака функции в окрестности корня. Действительно, если корень вещественный, то график функции пересекает ось абсцисс, а знак функции изменяется на противоположный.

Рассмотрим Схему алгоритма отделения корней нелинейного уравнения на заданном отрезке в области определения функции.

Алгоритм позволяет определить приближённые значения всех действительных корней на отрезке [a, b]. Введя незначительные изменения в алгоритм, его можно использовать для определения приближённого значения максимального или минимального корня.

Приращение неизвестного Δx не следует выбирать слишком большим, чтобы не «проскочить» два корня.

Недостаток метода – использование большого количества машинного времени.

Метод интервалов, решение неравенств

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

• графический метод;
• метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

1. D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
2. D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
3. D 2 + bx + c.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.

Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком 2 + 4x – 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).

Определим знак трехчлена x 2 + 4x – 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:

• 2 2 + 4 * 2 – 5 = 4 + 8 – 5 = 7.

7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.

Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:

• 0 2 + 4 * 0 – 5 = 0 + 0 – 5 = -5.

Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.

Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:

• (-6) 2 + 4 * (-6) – 5 = 36 – 24 – 5 = 7.

Следовательно, искомый знак — плюс.

Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

если a 2 – 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

• Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
• Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
• Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 – 5x + 6 ≥ 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители.

Неравенство примет вид:

Проанализируем два сомножителя:

Первый: х – 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х – 3 > 0.

Второй: х – 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

Вывод: знак произведения (х – 3) * (х – 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Построим чертеж.

Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

• (25 – 3) (25 – 2) = 22*23 = 506 > 0

Вывод: при х > 3 верно неравенство (х – 3) * (х – 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

Исходное неравенство: (х – 3) * (х – 2) ≥ 0.

Если (х – 3) * (х – 2) > 0:

Если (х – 3) (х – 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Приближенное нахождение корней уравнения

Задание 2 . 1) Выбрав стартовую точку с координатами x01=0.5 и xo2=0.4, примените метод Ньютона–Рафсона, и с точностью e=0.000001 найдите минимум целевой функции:
Скачать решение
2) Выбрав ту же стартовую точку, примените метод наискорейшего спуска, и вновь найдите минимум целевой функции с точностью e=0.0001.

Пример №1 . Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
Решение.
sin(x+3.14/3)-x/2=0. Скачать

Пример №2 . Определить и найти действительные корни с точностью до 0,001: а) x 4 – 2x – 1 = 0 – методами: 1) деления отрезка пополам; 2) касательных. б) 2log(x) – (x-2) 2 = 0 – методами: 1) хорд; 2) итераций.
Решение.
Найдем корни уравнения:
x 4 -2•x-1 = 0

Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /₂ n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:
(b_n – a_n)/2 1 /₂(a_n+b_n).
Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-1;2] разобьем на 10 подынтервалов.
h₁ = -1 + 1*(2-(-1))/10 = -0.7
h₂ = -1 + (1+1)*(2-(-1))/10 = -0.4
Поскольку F(-0.7)*F(-0.4) 0, то a=-0.55
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-0.55 -0.4)/2 = -0.48
F(c) = 0.000907
F(x) = 0.19
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.48
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-0.48 -0.4)/2 = -0.44
F(c) = -0.0884
F(x) = 0.000907
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=1.25
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (1.25 + 1.4)/2 = 1.33
F(c) = -0.57
F(x) = -1.06
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.33
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (1.33 + 1.4)/2 = 1.36
F(c) = -0.28
F(x) = -0.57
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.36
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (1.36 + 1.4)/2 = 1.38
F(c) = -0.12
F(x) = -0.28
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.38
Остальные расчеты сведем в таблицу.

N	c	a	b	f(c)	f(x)
1	1.25	1.1	1.4	-1.06	-1.06
2	1.33	1.25	1.4	-0.57	-0.57
3	1.36	1.33	1.4	-0.28	-0.28
4	1.38	1.36	1.4	-0.12	-0.12
5	1.39	1.38	1.4	-0.0415	-0.0415
6	1.4	1.39	1.4	-0.000217	-0.000217
7	1.4	1.4	1.4	-0.000217	0.0206
8	1.4	1.4	1.4	-0.000217	0.0102
9	1.4	1.4	1.4	-0.000217	0.00498

Ответ:
x = 1.4; F(x) = 0.00498
Количество итераций, N = 9
Параметр сходимости.
α = (1.4 – 1.4)/9 = 6.5E-5

Посмотрите как можно быстро решить задачу.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/metod-intervalov-reshenie-neravenstv

http://math.semestr.ru/optim/examples_korni.php

[/spoiler]

На этой странице вы узнаете

• Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
• Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
• Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет. 

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0. 

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки. 

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками. 

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками. 

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x² + 8x — 33 > 0. 

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x² + 8x — 33 = 0. 

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x² + 8x — 33. Получаем: 

(-12)² + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞). 

Пример 2. Решить неравенство (frac{2х^2 + 22х — 204}{(х-3)(х+5)} ≤ 0). 

1. Находим нули функции. 

Нули числителя: 2х² + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17. 

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5. 

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток. 

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

(frac{2(-20)^2 + 22(-20) — 204}{(-20 -3)(-20 +5)} = frac{2 * 400 — 440 — 204}{(-23) * (-15)} = 156345. )

Следовательно, промежуток положительный. 

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

Пример 3. Решить неравенство (frac{1}{х^2} ≥ frac{1}{х+2})

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х² ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2. 

2. Теперь перенесем все части неравенства влево: 

(frac{1}{х^2} — frac{1}{х+2} ≥ 0). 

Приведем к общему знаменателю:

 (frac{х + 2 — х^2}{х^2 (х + 2)} ≥ 0). 

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х² в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1. 

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. 

Получаем:

(frac{х^2 — х — 2}{х^2 (х + 2)} ≤ 0). 

Теперь найдем нули функции. 

Нули числителя: х² — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2. 

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2. 

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми. 

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь: 

(frac{(-3)^2 — (-3) — 2}{(-3)^2 ((-3) + 2)} = frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = frac{10}{-9})

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х² четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ

Отделение корней
уравнений

1. Пусть дано уравнение

.
(1)

Точным
корнем уравнения (1) на конечном или
бесконечном отрезке

для непрерывной функции

назовем такое значение
,
при котором
.
Так как уравнение может быть достаточно
сложным, редко удается найти его точные
корни, и задача состоит в том, чтобы
найти его приближенные корни и оценить
степень их точности.

Процесс
решения трансцендентного уравнения
общего вида f(x)
= 0 проводится
в два этапа:

1.
Отделение корней, т.е. установление
возможно малых промежутков
,
в которых содержится один и только один
корень уравнения(1);

2.
Уточнение приближенных корней, т.е.
нахождение их с заданной точностью ε.

Теорема
1: Если
непрерывная функция

принимает значения противоположных
знаков на концах
,
т.е.
,
то внутри этого отрезка содержится, по
меньшей мере, один корень уравнения
,
т.е. найдется хотя бы одно число ξ, такое,
что
.

Корень

[

]заведомо
будет единственным, если производная

существует и сохраняет постоянный знак
внутри интервала
,
т.е.
(или

)
при
.

Аналитический
метод отделения корней

Процесс
отделения корней начинается с установления
знаков функции

в граничных точках

и

области ее существования. Затем
определяются знаки функции
в
ряде промежуточных точек
,
выбор которых учитывает особенности
функции
.
(Имеются в виду точки, где функция имеет
экстремум или разрыв) Если окажется,
что
,
то в силу теоремы в интервале

существует корень уравнения
.
Можно сузить полученные промежутки
методом простой подстановки значений
в уравнение.

Пример1.
Отделить корни уравнения

Найдем корни
производной

,

x₁=1
x₂=0.75
x₃=1

Составим таблицу.
В первой строке поместим в порядке
возрастания концы интервала и точки
экстремумов, во второй знаки функции в
этих точках.

х	-∞	-1	0.75	1	∞
Sign f(x)	+	–	–	–	+

Уравнение
имеет два корня.
,

.
Уменьшим промежутки, в которых находятся
корни:

х	-∞	-2	-1	0.75	1	2	∞
Sign f(x)	+	+	–	–	–	+	+

Следовательно,

,

.

1. Графический метод отделения корней

Действительные
корни уравнения f(x)=0
приближенно можно определить как
абсциссы точек пересечения графика
функции

с осью Ох. Если уравнение

не имеет близких между собой корней, то
этим способом корни легко определяются.
На практике часто удобно тождественно
преобразовать уравнение к виду
,
где

и
–
более простые функции, чем функция
.
Тогда, построив графики
и

,
искомые корни получаются как абсциссы
точек пересечения этих графиков.

Пример2.

Отделить
графически корни уравнения x·ln(x)-1=0.
Преобразуем его к виду 1/x=ln(x)
и построим графики.

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Найти интервал, на котором функция простая в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций	Korama01	4	129	25 окт 2019, 11:52
Для любителей искать математические ошибки в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике	WithLoveIn	5	401	26 окт 2020, 12:51
Буду искать другой форум в форуме Палата №6	Korvet	131	7155	27 апр 2015, 03:58
Когда искать ОДЗ(x) при решении логарифмических уравнений в форуме Алгебра	alekscooper	3	320	21 янв 2019, 20:54
Не получается решить задание, где искать решение уже не знаю в форуме Теория вероятностей	p985850	1	265	18 авг 2017, 20:55
Как инициализировать массив в котором не все значения даны в форуме Maple	SVD102	0	271	12 май 2016, 07:04
Найти p, при котором выполняется заданное соотношение в форуме Теория вероятностей	blueberry10	1	563	20 апр 2016, 14:44
Источник в котором описаны все математические закорючки в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике	izhadapter	2	458	08 апр 2017, 07:21
Найти значение аргумента при котором функция биективна в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	R136a1	11	280	19 окт 2021, 21:55
Найти значение аргумента при котором функция биективна в форуме Линейная и Абстрактная алгебра	R136a1	1	181	29 сен 2021, 21:14

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения