Как найти промежуток задачи коши

Цель
работы –
научиться решать задачу Коши методом
ломаных Эйлера и методом последовательных
приближений.

Продолжительность
работы –
2 часа.

Оборудование,
приборы, инструментарий –
работа выполняется в компьютерном
классе с использованием пакета MatLab.

Порядок выполнения

1. Упражнения
   выполняются параллельно с изучением
   теоретического материала.

2. После выполнения
   каждого упражнения результаты заносятся
   в отчёт.

3. При выполнении
   упражнений в случае появления сообщения
   об ошибке рекомендуется сначала
   самостоятельно выяснить, чем оно
   вызвано, и исправить команду; если
   многократные попытки устранить ошибку
   не привели к успеху, то проконсультироваться
   с преподавателем.

4. Дома доделать
   упражнения из раздела «Краткие
   теоретические сведения и практические
   упражнения», которые Вы не успели
   выполнить во время аудиторного занятия.

5. После выполнения
   упражнений выполнить дополнительные
   упражнения для самостоятельной работы
   и ответить на контрольные вопросы и
   (см. ниже).

6. Подготовить отчёт,
   в который
   включить
   упражнения
   из раздела «Краткие теоретические
   сведения и практические упражнения»
   и упражнения для самостоятельной
   работы. Отчёт представить в виде
   документа Microsoft
   Word,
   имя файла (пример): mp_10_Ivanov_P_01_s_1
   (факультет_группа_Фамилия
   студента_Инициал_номер лабораторной,
   семестр). Отчет должен содержать по
   каждому выполненному упражнению: №
   упражнения, текст упражнения; команды,
   скопированные из командного окна, с
   комментариями к ним и результаты их
   выполнения, включая построенные графики;
   тексты М-сценариев и М-функций; выводы.

Краткие теоретические сведения и практические упражнения

В этой лабораторной
работе мы рассмотрим некоторые
приближенные методы решения задачи
Коши, состоящей в отыскании решения
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего заданному начальному
условию.

Задачу приближенного решения задачи Коши будем понимать как задачу построения на заданном отрезке функции, которая «близка» к решению задачи Коши с заданной точностьюв том смысле, что().

1. Метод ломаных Эйлера.

Пусть требуется
найти решение
дифференциального уравнения,
удовлетворяющее условию.
Решение будем искать на отрезке,.

Разобьем отрезок
точкаминачастей,,
…,,
где,.
Заменим график функциина отрезкеотрезком прямой с угловым коэффициентом,
проходящей через точку.
Уравнение этой прямой имеет вид,
ее ордината в точкеравна.
При небольшой длине отрезка.

Далее заменим
график функции
на участкеотрезком прямой с угловым коэффициентом,
проходящей через точку.
Уравнение этой прямой имеет вид,
ее ордината в точкеравна.
При небольшой длине отрезка.

Рис. 1

Действуя аналогично, после
шагов будем иметь числа

,

,

……………………………

.

Соединив точки с
координатами
,,,
…,,
получим ломаную, которую называют
ломаной Эйлера (рис. 1). Естественно
ожидать, что,,
…,и ломаная Эйлера с достаточно короткими
звеньями на отрезкеблизка к графику искомого решения.

Подытожим.

Метод ломаных Эйлера – метод приближенного решения задачи Коши ,. Он состоит в замене точного решениязадачи Коши функцией, графически представленной ломаной Эйлера. Чтобы построить ломаную Эйлера на отрезке , удобно делить отрезокнаравных частей длиной. Тогда координаты вершин ломаной определяются формулами , ().

Можно показать,
что если функция
задана на открытом выпуклом множестве,
содержащем точку,
имеет непрерывные частные производные
по всем переменным, ограниченные на,
и точки,не выходят за пределы множества,
топри.
Иными словами с ростомломаные Эйлера неограниченно приближаются
к искомому решению.

Остается открытым
вопрос, каким должен быть шаг
,
который достаточно применить в алгоритме
метода ломаных Эйлера, чтобы выдержать
заданную точность.
Вообще говоря, получены теоретические
оценки точности приближенного решения
метода Эйлера. В частности показано,
что при уменьшениипогрешность схемы уменьшается линейно
по.
Однако обсуждение этого вопроса выходит
за рамки нашей лабораторной работы.

На практике для
оценки точности пользуются следующим
правилом. Вычисляют координаты вершин
ломаных с
извеньями. Находят максимум разности
между ординатами этих ломаных в общих
узлах сетки (при одинаковых значениях
абсцисс). Если его значение оказывается
меньшим заданной точности,
то вычисления заканчивают и за
приближенное решение принимают ломаную
сзвеньями. В противном случае число
отрезков разбиения удваивают и т.д.

Упражнение 1.

Найти приближенное
решение уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию,
на отрезке()
методом ломаных Эйлера с заданной
точностью.

Порядок выполнения
упражнения:

1.
Для отыскания приближенного решения
создайте М-функцию.

В качестве входных
аргументов функции используйте: заданную
в символьном виде функцию
;
ее символьные аргументы,;
координаты начальной точки,;
координатыиконцов отрезка, на котором ищется
решение; начальное число отрезков
разбиения,
точность.

В качестве выходных
аргументов функции используйте: массивы
координат вершин ломаной Эйлера и число
отрезков разбиения
,
понадобившихся для построения
приближенного решения с заданной
точностью.

Код M-функции
должен включать:

а) Последовательное
вычисление координат вершин ломаной
Эйлера для числа отрезков разбиения
,,и т.д. до тех пор, пока не будет достигнута
точность(правило, по которому оценивается
точность, изложено перед упр. 1).

б) Построение в
графическом окне figure
1 в одной системе координат трех ломаных
Эйлера с числом звеньев, равным
,и(полученных в результате первой, второй
и последней итерации); ломаные должны
быть изображены разными цветами.

2.
Для тестирования М-функции из п.1
используйте решение уравнения
с начальным условиемна отрезкес точностью.
Вначале найдите «вручную» точное
решение. Тестирование оформите в видеscriptа.

Код scriptа
должен включать:

а) Задание входных
аргументов М-функции из п.1, вызов
М-функции, отыскание приближенного
решения с заданной точностью.

б) Оценку реальной
точности приближения: вычисление
максимального отклонения в узлах сетки
найденного приближенного решения от
полученного аналитически точного
решения.

в) Построение в
графическом окне figure
2 в одной системе координат двух графиков:
приближенного и точного решения.

Соседние файлы в папке M1_prmaML2_231300.62

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается.
Тем не менее задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли решение задачи Коши?
2. Если решение существует, то какова область его существования?
3. Является ли решение единственным?
4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений . Точка задаёт начальные условия.

Различные постановки задачи Коши[править | править код]

• ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной

• ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

Теоремы о разрешимости задачи Коши для ОДУ[править | править код]

Пусть в области рассматривается задача Коши:

где . Пусть правая часть является непрерывной функцией в . В этих предположениях имеет место теорема Пеано, устанавливающая локальную разрешимость задачи Коши:
Пусть a>0 и b>0 таковы, что замкнутый прямоугольник

принадлежит области D, тогда на отрезке , где , , существует решение задачи Коши.

Указанный отрезок называется отрезком Пеано. Заметим, что, локальный характер теоремы Пеано не зависит от гладкости правой части. Например, для и для решение существует лишь на интервале . Также отметим, что без дополнительных предположений относительно гладкости правой части нельзя гарантировать единственность решения задачи Коши. Например, для возможно более одного решения.

Чтобы сформулировать теорему о единственности решения задачи Коши, необходимо наложить дополнительные ограничения на правую часть. Будем говорить, что функция f(x, y) удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, если существует постоянная L такая, что

для всех .

Пусть правая часть f(x, y) дополнительно удовлетворяет условию Липшица на D относительно y, тогда задача Коши не может иметь в D более одного решения.

Также отметим, что хотя эта теорема имеет глобальный характер, тем не менее она не устанавливает существование глобального решения.

Для существования глобального решения необходимо наложить условия на рост правой части по y: пусть функция f удовлетворяет условию

где A>0 — константа не зависящая ни от x, ни от y, тогда задача Коши имеет решение в D. В частности, из этой теоремы следует, что задача Коши для линейных уравнений (с непрерывными по x коэффициентами) имеет глобальное решение.

Теоремы о разрешимости задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных[править | править код]

Пусть поставлена задача Коши:

,

где S – начальная гиперповерхность, , – n-мерные векторы. Тогда условие локальной разрешимости этой задачи Коши можно сформулировать следующим образом:

Решение задачи Коши в окрестности точки ∈ S существует и единственно, если проходящая через точку характеристика трансверсальна поверхности S^[1]

Теорема о непрерывной зависимости от параметра задачи Коши[править | править код]

Рассмотрим следующую задачу Коши, правая часть которой зависит от параметра μ

Наложим на функцию в правой части следующие требования

1. функция определена и непрерывна в , а следовательно
2. функция удовлетворяет условию Липшица в

При таких условиях на правую часть классическое решение задачи существует, единственно и непрерывно зависит от параметра при , где

См. также[править | править код]

• Обыкновенное дифференциальное уравнение
• Особое решение
• Краевая задача
• Метод Эйлера
• Метод Рунге — Кутты
• Теорема Пеано

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005. — ISBN 5-9221-0277-X.
• Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мир, 1972.

Принцип и понятие

Под задачей Коши для дифференциального уравнения понимают выражение вида: y’ = f (x, y) с начальным условием, соответствующим равенству: y (x0) = y0. По сути, это обозначает, что необходимо найти такое решение уравнения, которое проходит через заданную точку игрек и икс нулевое. Решением задачи называется функция, заданная на указанном интервале в окрестности точки икс нулевое, то есть: x Є (x0 — q, x0 + q).

Для проведения анализа функции должны выполняться следующие критерии:

• y (x0) = y0;
• y’ = f (x, y (x));
• V x Є (x0 — q, x0 + q).

Следует отметить, что решение Коши включает в себя и сам интервал икс нулевое плюс минус кью, фактически q-окрестность. Это обозначает, что одна и та же функция, задаваемая одной формулой, но рассматриваемая на разных интервалах, представляет два разных нахождения задачи Коши. Отсюда возникает вопрос, при каких же ответах существует решение Коши, а также когда оно будет единственным.

Существует теорема, гарантирующая единственность какого-то решения задачи. На самом деле возможность аналитического подхода Коши требует лишь главного условия, при котором функция f будет непрерывной в какой-то окрестности точки x0, y0. Но для доказательства единственности этого недостаточно. Для нормального случая необходимо следующее:

1. Функция f (x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0, y0).
2. Существует такая константа C, что для любых точек икс и игрек выполняется неравенство: |f (x, y) — f (x2, y2)| ⩽ C |y1 — y2|.

По игреку функция должна иметь обыкновенный рост, то есть не убыстряющийся (локальный подъём не превышать линейный). Если эти два условия выполняются, то решение Коши существует и оно будет единственным. Это значит, что тогда у точки икс нулевое найдётся такая окрестность, в которой существует решение и к тому же оно будет единственным.

А это обозначает, что любая другая функция в этой окрестности, удовлетворяющая уравнениям начальных условий, совпадает с той, существование которой утверждается. При этом на практике проверка условия на самом деле вещь не очень сложная, особенно если функция f (y) имеет в окрестности ограниченную производную.

Алгоритм нахождения

Пусть имеется функция у’ = 2 * √ |y| и условие что y (0) = 0. Необходимо её исследовать. Тут можно заметить, что в этом случае функция зависит только от игрека и условию не удовлетворяет. В окрестностях точки с координатами (0, 0) она не удовлетворяет условию, так как любая окрестность захватывает ноль, а у корня квадратного по игреку будет бесконечная производная.

Это приводит не к единственности получения результатов. Так, у уравнения есть два решения: y1 тождественный нулю; y2 равняется x2. Согласно условию, игрек стоит по модулю, точнее, можно сказать, что для отрицательных значений икс будет меньше ноля, а положительных — больше.

Главный же вопрос заключается в продолжаемости анализа. Доказывается возможность простым построением решения с использованием специальных условий. В итоге должна быть найдена окрестность в точке x0. То есть берётся уравнение и точка с начальными координатами, затем выясняется, что в окрестности выполнены условия теоремы и строится решение.

Затем исследуется другая точка и изучается структура её окрестности. Например, обнаруживается, что условия существования единственности выполняются. Согласно теореме, тогда можно будет строить решение, где в качестве начальной точки будет взята любая координата. Другими словами, получается более широкое решение. Поэтому возникает вопрос, насколько можно приблизить точность ответа. Практические примеры показывают, что иногда можно двигаться до бесконечности, а в некоторых случаях сделать не более трёх шагов.

Если есть два уравнения y’ = f (x, y); y (x0) = y0 имеющие два решения: y1 (x), x Є I1 (эX), y2 (x), x єI2 (єX0). Тогда можно утверждать, что игрек два будет продолжением решения y1 (x) если в I2 входит I1, а y2 (x) равняется y1 (x) для любого икс из интервала I1. Следует учесть, что в этом определении в качестве областей функции всегда рассматривается интервал.

В изучении исследуются и матричные функциональные системы, состоящие из нескольких переменных A (z 1, z 2, …, zn). При этом z являются вещественными, а элементы матрицы могут быть как вещественными, так и комплексными. Исходя из этого даётся определение того, что функция, описываемая матрицей, непрерывна тогда, когда все элементы непрерывны в точке или на некотором множестве.

При определении используют численные и векторные функции от аргумента: y = (x), где y — это столбец от набора игреков, а икс со штрихом — от набора иксов. Таким образом, обобщённым решением будет такое действие, которое не будет иметь нетривиального продолжения, то есть вторые интервалы содержать первые.

Примеры задач

На практических занятиях по высшей математике студентам предлагается для понимания курса выполнить ряд практических заданий. Существует типовой набор задач, научившись решать которые учащийся досконально разберётся в теме. Вот некоторые из них.

Первый пример. Имеется уравнение y’ = (2y / x lnx) + 1/x, для которого установлено начальное условие y (e) = 0. Необходимо найти решение, проходящее через точку e. Перед тем как приступить непосредственно к решению, необходимо отметить, что функция f (x, y) определённа всюду, за исключением прямых x = 0 и x = 1. Отсюда следует, что краевое решение не может быть вычислено на интервале от нуля до единицы.

В этом примере должен содержаться интервал, имеющий координату точки e по иксу. Он не может включать значения меньше единицы, так как необходимо, чтобы выполнялось заданное условием уравнение, которое в точке x = 1 теряет смысл, ведь в ней функция неопределённа. Установив это, можно переходить к анализу уравнения.

Заданное равенство является линейным — неоднородным уравнением первого порядка. Для решения нужно сначала рассмотреть левое соотношение: y’ = 2y / x * lnx. Добавив константу, уравнение можно переписать как y = c * e. Теперь необходимо взять интеграл исходя из первообразной формулы: ∫ 2 dx / (x *lnx).

После того как будет найдена постоянная, через общий интегральный метод с учётом условия определения функции, уравнение в окрестности точки e будет иметь решение вида: y = ln2x — lnx. Из полученного выражения можно сделать вывод, что функция будет определена для всех положительных иксов, но рассматривать её необходимо от единицы до плюс бесконечности. Это и будет максимальное непродолжаемое решение задачи: xЄ (1, + ∞).

Второй пример. Пусть имеется функция y’ = y / (1+x²) с начальным условием: y = y (0). В задании нужно будет рассмотреть дифференциальную кривую уравнения, проходящего через точку y0. Нужно заметить, что функция f (x, y) в любой ограниченной области двумерной плоскости удовлетворяет условию регулярности для теоремы существования единственности. В задаче спрашивается, каким должен быть y0, если предел максимального решения при иксе, стремящемся к плюс бесконечности, равняется единице.

Учитывая, что в этой постановке заложено, чтобы решение было определённо до плюс бесконечности и то, что уравнение является однородно линейным, по общей формуле особое решение будет иметь вид: y = c * e^arctgx. Игрек нулевое не может равняться нулю, ведь в ином случае решением уравнения будет тождественный ноль и заданное условие выполняться не будет. В итоге получится, что y = y0 * e^arctgx. Это решение и является подходящей функцией для любого интервала.

Операционный метод

Решение задачи Коши (примеров) целесообразно выполнять экономичным методом интегрирования линейных выражений, содержащих постоянные коэффициенты. Суть способа сводится к решению алгебраических равенств или неравенств. Алгоритм исследования заключается в следующих действиях:

1. Функции Y (p) и F (p) обозначают как изображения для y (x) и f (x).
2. Используя главные преобразования Лапласа, обрабатывая изображения, получают (pn (Yp) — p^{n -1} y 0 — …- yn -1) + a 1 (p^{n -1} y (p) — p^{n -2} y 0 — … — yn -2) + … + anY (p) = F (p) или, A (p)Y (p)+B (p) = F (p), причём A (p) и B (p) являются многочленами.
3. Найденное решение y (p) = (F (p) — B (p)) / A (p) и будет искомым y (x) для искомого y (p).

Например, пусть необходимо решить уравнение вида: x” + 4x = sin (2t), при x (0) = 1, x'(0) = -2. Классическим методом находить ответ довольно трудоёмко, поэтому имеет смысл для заданного уравнения использовать операционное исчисление. Для начала следует ввести замену Lx = x. Затем к обеим частям равенства применить преобразование Лапласа: Lx ” + L 4 x = L * sin (2 t). Отсюда: Lx = x, Lx ” = p ² x — px (0) — x'(0). Функция Лапласа используется для преобразования вещественной переменной в выражение с комплексной переменной и наоборот. Это и позволяет использовать её при решениях дифференциальных уравнений и систем.

На следующем этапе нужно подставить исходные данные в равенство: Lx” = p²x — p + 2. Далее, следует выполнить преобразование и выразить неизвестную функцию. В итоге должно получиться выражение: X = (p ³ — 2 p ² — 4 p — 6) / (p ² + 4)². Теперь можно найти оригинал изображений: x = L-1 {(p3 — 2p2 + 4p — 6) / (p2+4)2)} = cos (2t) — sin (2t) + (sin (2t) — 2tcos (2t))/8.

Использование онлайн-калькулятора

Часто решение задач по рассматриваемой теме связано с большими трудозатратами. Это касается времени и повышенного внимания. На практике не всегда получается правильно применить алгоритм и избежать ошибок. Поэтому имеет смысл для сложных заданий использовать онлайн-калькулятор. Решения на задачу Коши с его помощью доступны любому заинтересованному, имеющему доступ к интернету и устройство, поддерживающее работу веб-обозревателя.

В интернете существует довольно большое количество различных математических онлайн-решителей. В своём большинстве они бесплатны и ориентированы на работу даже с людьми, совершенно не разбирающимися в тематике. Поэтому они привлекательны не только как инструмент, предоставляющий быстрый и правильный ответ на поставленную задачу, но и как обучающие программы.

Всё дело в том, что на страницах сервисов, предлагающих такого рода услуги, содержится вся необходимая теоретическая информация. Кроме этого, они предлагают к рассмотрению типовые примеры с подробным объяснением решения. Из онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатный доступ к своим услугам в русском сегменте интернета, можно отметить следующие:

1. Math.semestr.
2. Allcalc.
3. Kontrolnaya-rabota.
4. Matematikam.
5. Primat.

Приведённые сервисы помогают без труда найти студентам решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого в предлагаемую форму необходимо записать дифуравнение и через запятую начальные данные. Затем просто нажать интерактивную кнопку «Решить» и через некоторое время на экране дисплея отобразится ответ.

Для правильной записи уравнения существуют подсказки, так что разобраться, как работает сайт, сможет пользователь даже со слабой компьютерной подготовкой. Кроме этого, некоторые сервисы предлагают не просто ответ, а и пошаговое решение, к которому даётся комментарий. Решив несколько заданий, учащийся сможет разобраться в алгоритме и вычислять уравнения уже самостоятельно.

Следует отметить, что предложенные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи, например, вычисляя устойчивость математических моделей. Они также востребованы в инженерии и научных исследованиях, связанных с анализом функций. Для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить математические онлайн-сервисы.

Численные методы решения задачи Коши

Основные понятия и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную [math]x[/math], неизвестную функцию [math]y(x)[/math] этой независимой переменной и ее производные [math]y'(x),y”(x),ldots,y^{(n)}(x)colon[/math]

[math]F bigl(x,y(x), y'(x),ldots,y^{(n)}(x)bigr)=0,qquad mathsf{(6.1)}[/math]

где [math]F(x,y, y’,ldots,y^{(n)})[/math] — функция указанных аргументов, заданная в некоторой области их изменения.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Если в соотношении (6.1) функция [math]F[/math] такова, что его можно представить в виде

[math]y^{(n)}= f bigl(x,y(x),ldots,y^{(n-1)}(x)bigr),qquad mathsf{(6.2)}[/math]

то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением л-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Уравнение называется линейным, если функция [math]f[/math] линейна относительно искомой функции и ее производных, т.е. если уравнение может быть записано в виде

где [math]a_n(x),a_{n-1}(x),ldots,a_0(x),f(x)[/math] — известные в общем случае нелинейные функции от [math]x[/math].

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция [math]y(x)[/math], непрерывная на некотором интервале [math](a,b)[/math] вместе со своими производными до [math](n-1)[/math] порядка включительно, имеющая производную [math]y^{(n)}(x)[/math] и такая, что подстановка [math]y(x)[/math] в уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Одной из важнейших задач в теории и приложениях дифференциальных уравнений является задана Коши (начальная задана), в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для уравнения (6.2) она записывается следующим образом:

где [math]x_0in (a,b),~ y_0,y’_0,ldots,y_0^{(n-1)}[/math] — заданные числа.

Теорема 6.1 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.4)). Пусть выполнены следующие условия:

а) функция [math]f(x,y,ldots,y^{(n-1)})[/math] определена и непрерывна в некоторой замкнутой области [math]overline{D}[/math], а также имеет в [math]overline{D}[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y,y’,ldots,y^{(n-1)}[/math];

б) точка [math](x_0,y_0,y’_0,ldots,y_0^{(n-1)})[/math] лежит внутри области [math]overline{D}[/math].

Тогда решение задачи Коши (6.4) существует и единственно.

Общим решением дифференциального уравнения л-го порядка в области [math]Gsubset overline{D}[/math] ([math]overline{D}[/math] — область, в которой выполнены условия теоремы 6.1) называется функция [math]y=y(x,C_1,ldots,C_n)[/math], зависящая от [math]n[/math] произвольных постоянных, и такая, что при подстановке в уравнение она обращает его в тождество при любых значениях [math]C_1,ldots,C_n[/math]. Геометрически общее решение в области [math]G[/math] представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых, полностью покрывающих всю область.

Общим интегралом дифференциального уравнения называется соотношение вида [math]varphi(x,y,C_1,ldots,C_n)=0[/math], неявно определяющее общее решение.

При конкретных значениях [math]C_1,ldots,C_n[/math], включая [math]pminfty[/math], из общего решения выделяется частное решение, а общий интефал становится частным интегралом. В каждой точке [math](x,y)[/math] частного решения или частного интефала выполняются условия теоремы 6.1.

Наряду с проблемой решения дифференциальных уравнений л-го порядка на практике возникает проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих независимую переменную [math]x[/math], неизвестные функции [math]y_1(x),ldots, y_n(x)[/math] и их производные [math]y’_1(x),ldots, y’_n(x)[/math].

В случае, если уравнения разрешимы относительно производных, систему можно записать в нормальной форме Коши (где [math]f_i(x,y_1,ldots,y_n),~ i=overline{1,n}[/math] — известные функции):

Решением системы (6.5) называется совокупность [math]n[/math] функций [math]y_1(x),ldots, y_n(x)[/math], непрерывных на некотором интервале (д,6), такая, что подстановка этих функций в (6.5) обращает все уравнения в тождества.

Задача Коши для системы (6.5) состоит в нахождении решения системы, удовлетворяющего начальным условиям (где [math]y_{1,0},y_{2,0},ldots,y_{n,0}[/math] — известные числа):

В векторной форме задача Коши (6.5),(6.6) имеет вид

где [math]Y=(y_1,ldots,y_n)^T,~ F(x,Y)= bigl(f_1(x,Y),ldots, f_n(x,Y)bigr)^T,~ Y_0= bigl(y_{1,0},ldots, y_{n,0}bigr)^T[/math].

Теорема 6.2 (о существовании и единственности решения задачи Коши (6.5),(6.6)). Пусть выполнены следующие условия:

а) функции [math]f_i(x,y_1,ldots,y_n),~ i=overline{1,n}[/math], определены и непрерывны в некоторой замкнутой области [math]overline{D}[/math], а также имеют в [math]overline{D}[/math] ограниченные частные производные по переменным [math]y_1,ldots,y_n[/math];

б) точка [math](x_0,y_{1,0},y_{2,0},ldots,y_{n,0})[/math] лежит внутри области [math]overline{D}[/math].

Тогда решение задачи Коши (6.5),(6.6) существует и единственно.

Замечания.

1. Во многих практических приложениях независимая переменная обозначается через [math]t[/math] и имеет смысл времени, поэтому задача Коши называется начальной задачей.

2. Понятия общего и частного решений, общего и частного интегралов для уравнения первого порядка и систем совпадают по форме, если заменить функцию [math]y(x)[/math] на вектор-функцию [math]Y(x),~ f(x,y)[/math] на [math]F(x,Y)[/math], а [math]y_0[/math] — на [math]Y_0[/math].

Численные методы, рассматриваемые в данном разделе, пригодны для решения задач Коши, записанных в форме (6.5),(6.6). Чтобы решить задачу Коши (6.4) этими методами, ее необходимо привести к системе [math]n[/math] уравнений первого порядка, т.е. к виду (6.5),(6.6).

Обозначая [math]y_1(x)=y(x),~ y_2(x)= y'(x),~ldots,~ y_n(x)= y^{(n-1)}(x)[/math], получаем

Получим точное решение модельного примера, используемого далее для демонстрации применения различных численных методов.

Пример 6.1. Найти аналитическое решение задачи Коши [math]Ty’+y=1,~ y(0)=0[/math], где [math]T>0[/math] — известное число, называемое постоянной времени.

Решение

Пример 6.2. Записать дифференциальное уравнение второго порядка [math]2y”+y’+4y=6sin{x},~ y(0)=1,~ y'(0)=2[/math], в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши.

Решение

Численные и приближенно-аналитические методы решения задачи Коши в отличие от аналитических методов позволяют найти искомую функцию [math]y(x)[/math] лишь приближенно. Но при этом численные методы являются более универсальными, так как с их помощью можно приближенно решать многие из задач, точные решения которых аналитическими методами не могут быть найдены. Аналитическими методами в основном решаются только линейные задачи и некоторые типы нелинейных задач, в то время как для численных методов эти ограничения отсутствуют.

Чтобы упростить изложение и в силу того, что численные методы легко обобщаются на системы уравнений, в дальнейшем будем рассматривать решение задачи Коши для уравнения первого порядка

Численное решение задачи ищется в узлах сетки [math]Omega_n= {x_0,x_1,ldots,x_n}[/math], где [math]h_{i+1}=x_{i+1}-x_{i},~ i=overline{0,n-1}[/math] — расстояние между соседними узлами, называемое шагом интегрирования (параметром сетки). Если [math]h_{i+1}=h=text{const}[/math], сетка называется равномерной (регулярной), а если [math]h_{i+1}=text{var}[/math] — неравномерной (нерегулярной). В случае равномерной сетки узлы находятся по формуле [math]x_{i}= x_0+ih,~ i=overline{0,n}[/math], а в случае неравномерной (где [math]delta_{i+1}= frac{h_{i+1}}{h_{i}}[/math] — параметр нерегулярности):

[math]x_1=x_0+h_1,quad x_2=x_1+h_2=x_1+delta_2h_1,quad ldots,quad x_{i+1}=x_{i}+ delta_{i+1}h_{i},quadldots, quad x_n=x_{n-1}+delta_{n}h_{n-1}.[/math]

Решение находится в виде последовательности значений [math]widehat{y}_0,widehat{y}_1, widehat{y}_2,ldots, widehat{y}_n[/math], являющихся приближением значений [math]y_0,y(x_1),y(x_2),ldots,y(x_n)[/math] точного решения [math]y(x)[/math] в узлах сетки [math]Omega_{n}[/math] (рис. 6.1).

Сеточное представление [math]y(x_i),~i=overline{0,n}[/math], известной функции [math]y(x)[/math] (точного решения задачи Коши) называется проекцией [math]y(x)[/math] на сетку [math]Omega_n[/math].

---

Дискретные и непрерывно-дискретные методы

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений делятся на две группы:

– дискретные методы, позволяющие найти решение только в узлах сетки. Эти методы называются еще разностными методами или методами сеток;

– непрерывно-дискретные методы, основанные на использовании дискретных методов и сплайн-функций для восполнения численных результатов. Они позволяют найти непрерывные решения дифференциальных уравнений.

Дискретные методы (методы сеток) подразделяются на явные и неявные. Значение [math]widehat{y}_{i+1}[/math], на (i+1)-м шаге может определяться явно:

где [math]Phi(.)[/math] — некоторая функция, зависящая от конкретного метода (кроме последней рассчитанной точки [math](x_{i},widehat{y}_{i})[/math] могут использоваться еще [math](k-1)[/math] предыдущих точек), или неявно:

где искомая величина [math]widehat{y}_{i+1}[/math] входит одновременно и в левую, и в правую часть.

Явные и неявные методы делятся также на одношаговые и многошаговые (k-шаговые). В одношаговых методах для расчета очередной точки [math](x_{i+1},widehat{y}_{i+1})[/math] требуется информация только о последней рассчитанной точке [math](x_{i},widehat{y}_{i})[/math]. В k-шаговых методах для нахождения точки [math]x_{i+1},widehat{y}_{i+1}[/math] требуется информация о [math]k[/math] предыдущих точках (рис. 6.2).

Формулы (6.10),(6.11) в общем случае представляют собой нелинейные уравнения относительно [math]widehat{y}_{i+1}[/math] и называются разностными схемами.

Численный алгоритм (метод) называется устойчивым, если численные результаты непрерывно зависят от входных данных и если погрешность остается ограниченной при заданных пределах изменения параметров численного алгоритма (шагов сетки, числа итераций и др.).

Сходимость приближенных методов является основной проблемой, от успешного преодоления которой зависит точность решения всей задачи. Численный алгоритм называется сходящимся, если при стремлении его параметров к определенным предельным значениям, например, при [math]hto0[/math] (или при [math]stoinfty[/math], где [math]s[/math] — число итераций), результаты стремятся к точному решению.

При известном точном решении некоторой модельной задачи сходимость может быть проверена следующим образом. Фиксируется некоторая точка [math]x>x_0[/math] и строится последовательность сеток [math]Omega_{n}[/math], таких, что [math]hto0,[/math] [math]x=x_{n}= x_{0}+nh[/math]. Здесь для простоты считаем, что все сетки, образующие указанную последовательность, являются равномерными. Тогда, если [math]|widehat{y}_{n}-y(x_{n})|to0[/math] при [math]hto0~ (ntoinfty)[/math], то метод является сходящимся в точке [math]x[/math]. Если метод сходится в каждой точке [math]xin[c,d]subset (a,b)[/math], то он сходящийся на [math][c,d][/math].

---

Локальная и глобальная ошибки

Локальной ошибкой численного метода на (i+1) -м шаге называется величина

[math]varepsilon_{i+1}(h)= widehat{y}_{i+1}-y(x_{i+1}),[/math]

где [math]y(x_{i+1})[/math] — значение точного решения при [math]x=x_{i+1}[/math], а [math]widehat{y}_{i+1}[/math] — приближенное решение, получаемое по формуле (6.10) или (6.11) при условии, что вместо приближенных значений [math]widehat{y}_{i}, widehat{y}_{i-1},ldots, widehat{y}_{i-k+1}[/math] используются значения, соответствующие точному решению, т.е. [math]y(x_{i}), y(x_{i-1}),ldots, y(x_{i-k-1})[/math].

Глобальной ошибкой называется величина [math]e_{n}(h)= widehat{y}_{n}-y(x_{n})[/math], где [math]widehat{y}_{n}[/math] — значение, получаемое по формулам (6.10) или (6.11) при [math]i=n-1[/math].

Глобальная ошибка определяется:

а) ошибками округления и ошибками арифметических действий, обусловленными числом разрядов компьютера и характером выполняемых операций для расчета значения искомой функции в очередной точке [math]x_{i+1}[/math];

б) методическими ошибками, определяемыми выбранным алгоритмом;

в) переходными ошибками, обусловленными тем, что при расчете значения р/+1 вместо точных значений [math]y(x_{i}), y(x_{i-1}),ldots, y(x_{i-k-1})[/math] берутся приближенные значения [math]widehat{y}_{i}, widehat{y}_{i-1},ldots, widehat{y}_{i-k+1}[/math], полученные на предыдущих шагах.

Локальные ошибки “переносятся” в точку [math]x_n[/math] и формируют глобальную ошибку.

Число [math]p[/math] называется порядком (точностью) численного метода, если его глобальная ошибка есть [math]O[/math] большое от [math]h^p[/math], то есть [math]e_n(h)= O(h^p)[/math].

На практике в качестве характеристики точности метода часто используется величина [math]varepsilon(h)= max_{i=0,1,ldots,n}bigl|widehat{y}_{i}-y(x_{i})bigr|[/math].

Рассмотрим введенные понятия более подробно на примере явных одношаговых методов, построенных для задачи (6.9). При этом формулу (6.10) представим в виде

[math]widehat{y}_{i+1}= widehat{y}_{i}+hcdot Psi(widehat{y}_{i},x_{i},h),[/math]

где [math]Psi(widehat{y}_{i},x_{i},h)[/math] — некоторая функция, определяемая конструкцией того или иного метода.

Обозначим [math]y(x,x_{i},widehat{y}_{i})[/math] — решение задачи Коши [math]u’=f(x,u),~ u(x_{i})= widehat{y}_{i}[/math]. Тогда локальная ошибка определяется выражением

[math]varepsilon_{i+1}(h)= widehat{y}_{i}+ hcdot Psi(widehat{y}_{i},x_{i},h)-y(x_{i+1}, x_{i}, widehat{y}_{i}).[/math]

Геометрическая интерпретация возникновения локальных и глобальной ошибок изображена на рис. 6.3.

Можно показать, что если локальная ошибка имеет порядок [math](p+1)[/math], то есть [math]varepsilon_{i+1}(h)= O(h^{p+1})[/math], то глобальная погрешность имеет на единицу меньший порядок, т.е. [math]e_{n}(h)= O(h^p)[/math].

Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости численных методов. Она проверяется на “тестовом примере”

где [math]mu[/math] — в общем случае комплексная константа. Дифференциальное уравнение в (6.12) является простейшим линейным уравнением, и для него можно получить значимые критерии устойчивости в явной форме.

---

Устойчивость методов решения задачи Коши

Метод называется устойчивым (ограниченно устойчивым), если существует такое число [math]h_{text{kr}}>0[/math], что при использовании метода для решения задачи (6.12), где [math]operatorname{Re}mu<0[/math], с шагом [math]0<h<h_{text{kr}}[/math] при [math]itoinfty[/math] глобальная ошибка ограничена. Величина [math]h_{text{kr}}[/math] называется критическим шагом. Если [math]h>h_{text{kr}}[/math], глобальная ошибка может неограниченно возрастать.

В ограниченно устойчивых методах при задании величины шага [math]h[/math] необходимо учитывать значение критического шага [math]h_{text{kr}}[/math]. Для сложных дифференциальных уравнений и систем нахождение [math]h_{text{kr}}[/math] является самостоятельной задачей, а свойство ограниченной устойчивости предупреждает вычислителя о возможных проблемах. Поэтому на практике становится актуальной задача конструирования таких методов, которые были бы устойчивы при любом значении шага, а его величина выбиралась бы только исходя из желаемой точности расчетов (при этом класс решаемых задач может быть ограничен).

Метод называется A-устойчивым, если при его применении с любым фиксированным положительным шагом [math]h[/math] все численные решения задачи (6.12) с комплексной константой [math]mu~(operatorname{Re}mu<0)[/math] стремятся к нулю при [math]itoinfty[/math].

Область A-устойчивости — совокупность значений [math]h[/math] и [math]mu[/math], удовлетворяющих условию [math]operatorname{Re}(hmu)<0[/math]. Она изображена на рис. 6.4,а. Выполнение свойства A-устойчивости является желательным, поскольку если решение задачи (6.12) асимптотически устойчиво (в силу условия [math]operatorname{Re}mu<0[/math] корень характеристического уравнения находится в левой полуплоскости), то погрешность численного решения стремится к нулю при любой величине шага [math]h>0[/math].

При исследовании устойчивости численного метода необходимо использовать соответствующую ему разностную схему для решения задачи (6.12) и привести ее к линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами:

[math]a_ny(i+n)+ a_{n-1}y(i+n-1)+ldots+a_0y(i)=g(i),quad i=0,1,2,ldots[/math]

Известно, что критерием устойчивости решения линейного разностного уравнения является требование расположения корней [math]lambda_{i}[/math] соответствующего характеристического уравнения [math]a_n lambda^n+ a_{n-1}lambda^{n-1}+ ldots+a_0=0[/math] внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат, т.е.

Замечания

1. Численные методы, которые можно представить в виде (где |[math]|alpha_0|+|beta_0|ne0,~ f_{i+1-j}= f(x_{i+1-j}, widehat{y}_{i+1-j})[/math] называются линейными k-шаговыми методами)

Обозначим [math]textstyle{rho(xi)= sumlimits_{j=0}^{k} alpha_{j}xi^{k-j},~ sigma(xi)= sumlimits_{j=0}^{k} beta_{j}xi^{k-j}}[/math]. Линейный многошаговый метод является устойчивым, если для фиксированного значения [math]hmu[/math] корни уравнения

лежат внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

2. Для ограниченно устойчивых методов важной задачей является нахождение величины критического шага [math]h_{text{kr}}[/math]. Если константа [math]mu[/math] в уравнении (6.12) действительная, то можно найти интервал устойчивости.

3. Существуют определения, смягчающие свойство A-устойчивости. Приведем одно из них. Метод называется A(α)-устойчивым, [math]alphain(0,pi!!not{phantom{|}},2)[/math], если при его применении все численные решения уравнения (6.12) с фиксированным положительным шагом [math]h[/math] стремятся к нулю при [math]itoinfty[/math] для всех [math]mu[/math], удовлетворяющих условию [math]|arg(-mu)|<alpha,~ |mu|ne0[/math], где [math]arg(-mu)[/math] — аргумент комплексного числа [math](-mu)[/math]. Область A(α)-устойчивости показана на рис. 6.4,5. Это условие применимо и для линейных систем с постоянными коэффициентами [math]y’=Ay[/math], где [math]A[/math] — матрица коэффициентов, имеющая собственные значения [math]lambda_{i},~ i=overline{1,n}[/math]. Геометрическая интерпретация изображена на рис. 6.4,в.

4. Можно показать, что явные линейные многошаговые методы не могут быть A-устойчивыми.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.