Математика
6 класс
Урок № 6
Прямая и обратная пропорциональность
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
- Краткая запись условия задачи.
- Составление и решение пропорций по условию задачи.
Тезаурус
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Прямая пропорциональность
Пусть ручка стоит пять рублей, составим таблицу для нахождения стоимости от одной до семи ручек.
Из таблицы видно, что пять ручек стоят в пять раз больше, чем одна ручка. Говорят, что стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.
Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству купленных ручек.
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.
Задача.
Цена двух ручек 10 руб. Сколько нужно заплатить за пятнадцать таких же ручек?
Решение.
Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству ручек.
Запишем кратко условие задачи:
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член пропорции:
Ответ: 15 ручек стоят 75 рублей.
Обратная пропорциональность
На 600 рублей хотят купить несколько одинаковых коробок конфет. Зависимость количества купленных коробок конфет от цены одной коробки задана в таблице:
С увеличением цены за одну коробку в несколько раз количество коробок конфет, которые можно купить, уменьшается во столько же раз.
Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Задача.
Грузовая машина, двигаясь со скоростью 60 километров в час, доезжает от одного города до другого за 3 часа. За сколько часов это же расстояние преодолеет легковой автомобиль, если его скорость 90 километров в час?
Решение.
При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.
Запишем кратко условие задачи:
Ответ: легковой автомобиль преодолеет расстояние между городами за 2 часа.
Свойство прямо пропорциональных величин.
Отношение прямо пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.
Величину этого отношения называют коэффициентом прямой пропорциональности.
5 – коэффициент прямой пропорциональности.
Свойство обратно пропорциональных величин: произведение обратно пропорциональных величин всегда остаётся неизменным.
100 руб. · 6 коробок = 200 руб. · 3 коробки = 600 руб. · 1 коробку = 600
60 км/ч · 3 ч = 90 · 2 ч = 180
Задача.
Между двумя городами расстояние равно 32 км. На карте отрезок между ними равен 2 см. Найдите масштаб карты.
Решение.
Расстояние на местности и отрезок на карте – прямо пропорциональная зависимость.
Обозначим х см на местности отрезок в 1 см на карте.
Разбор заданий тренировочного модуля
№ 1. Единичный выбор.
Для решения задачи нужно понять какая происходит зависимость между величинами. Зависимость между массой и объёмом прямо пропорциональная. Составим пропорцию и найдём её неизвестный член.
Ответ: 60 г.
№ 2. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в текст.
Решение.
Зависимость между расходом угля и периодом, на который этого угля хватит, – обратно пропорциональная. То есть чем больше мы сжигаем угля в день, тем на меньшее количество дней нам этого угля хватит.
Обратная пропорциональность:
Прямая и обратная пропорциональность
- Прямая пропорциональность
- Формула прямой пропорциональности
- Обратная пропорциональность
- Формула обратной пропорциональности
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
следовательно,
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
следовательно,
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
следовательно,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.
Определение пропорции:
Связь между четырьмя алгебраическими выражениями А, В, С и D, имеющая вид
называется пропорцией.
(Равенство теряет смысл и перестает быть пропорцией как при В = О, так и при D = 0. Оно теряет смысл и перестает быть пропорцией и тогда, когда В и D равны нулю одновременно.)
Примеры пропорции:
В пропорции величины А и D называются крайними, а В и С средними членами. Далее выражение 
называется первым отношением, а 
вторым; А и С называются предыдущими членами этих отношений, а В и D —последующими.
Главное свойство пропорции
Умножив левую и правую части пропорции
на произведение bd, получим ad = be, т. е. во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.
Составление пропорции по данному равенству двух произведений
Пусть pq = ху. Разделив левую и правую части этого равенства на qx, получим
Этот результат можно сформулировать следующим образом.
Если произведение двух чисел равно произведению двух других, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию, беря множители одного произведения за крайние, а множители другого произведения за средние члены пропорции. (При этом дополнительно требуется, чтобы оба последующих члена пропорции не оказались равными нулю.)
Перестановка членов пропорции
Пусть ad = be и числа а, b, с, d — все отличны от нуля. Разделив левую и правую части равенства ad = bc первый раз на bd, второй на ab, третий на ас и четвертый на cd, получим соответственно четыре пропорции:
Поменяв местами отношения в этих равенствах, получим еще четыре пропорции:
Этот результат показывает, что в пропорции можно менять местами средние и крайние члены и ставить оба крайних члена на места средних, а оба средних на места крайних.
Производные пропорции
1. Прибавив к левой и правой частям пропорции 
по единице, получим
или
т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к своему последующему, как сумма членов второго отношения — к своему последующему.
2. Вычтя из левой и правой частей пропорции по единице, получим:
или
т. е. во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к своему последующему, как разность членов второго отношения — к своему последующему.
3. Разделив левую часть равенства
на левую часть равенства и правую на правую, получим:
т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к своему предыдущему, как сумма членов второго отношения — к своему предыдущему.
4. Разделив левую часть равенства 
на левую часть равенства и правую на правую, получим:
т. е. во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к своему предыдущему, как разность членов второго отношения —к своему предыдущему.
5. Разделив левую часть равенства на левую часть равенства и правую на правую, получим:
т. е. во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения — к их разности.
Из пропорции мы вывели пять производных пропорций. Однако надо иметь в виду, что из пропорции можно было бы получить сколько угодно производных пропорций.
Например, умножив обе части пропорции на число а, получим 
. Прибавив к левой и правой частям последнего равенства число 
, будем иметь, что
или
т. е. получим новую производную пропорцию.
Определение неизвестного члена пропорции
Пусть в пропорции 
числа а, с, d известны, a х изображает число неизвестное. Тогда по свойству пропорции cx = ad, откуда 
, т. е. неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный средний. Аналогично определяется и неизвестный крайний член.
Примеры:
1. Найти неизвестное число х из пропорции 
, где а, b и с числа известные.
Составим производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения так относится к своему последующему члену, как сумма членов второго отношения к своему последующему:
т. е.
откуда
2. Найти неизвестное х из пропорции 
Составим производную пропорцию по правилу: сумма членов первого отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения к их разности, т. е.
или
отсюда
Ряд равных отношений
Иногда бывает удобно вместо различных букв употреблять для обозначения чисел одну и ту же букву, снабженную дополнительными значками — индексами. Например 
Эти обозначения читаются так: икс нулевое, икс первое, икс второе, икс третье, … , икс энное.
Основное свойство ряда равных отношений
Пусть имеется ряд равных отношений:
Обозначим общее значение всех этих отношений буквой k. Тогда
Отсюда
Складывая левые и правые части этих равенств, получим:
или
или
т.е.
Итак, доказано следующее:
если несколько отношений равны друг другу, то отношение суммы их предыдущих членов к сумме последующих равно каждому из этих отношений.
Пример:
Пусть длины 
сторон одного многоугольника (рис. 53) пропорциональны длинам 
сторон другого многоугольника, т. е.
По свойству ряда равных отношений получим:
или
где Р и Q периметры многоугольников.
Прямая пропорциональность
Сначала рассмотрим несколько примеров.
Пример:
Пусть буква х обозначает в годах возраст сына, а буква у — возраст отца и пусть в данный момент сыну один год, а отцу 25 лет.
Составим таблицу значений х и соответствующих им значений буквы у. В третьей строке этой таблицы выпишем значения отношения 
:
В этом примере отношение (отношение возраста отца к возрасту сына) не остается неизменным. Оно с течением времени убывает.
Пример:
Пусть буква х обозначает в сантиметрах длину стороны квадрата, а буква у — площадь квадрата в квадратных сантиметрах.
Составим таблицу, подобную предыдущей.
Отношение и здесь не остается неизменным. Оно возрастает при возрастании х.
Пример:
Пусть буква х обозначает в кубических сантиметрах объем ртути при температуре 0°, а буква у — вес этой ртути в граммах. Известно, что 1 куб. см ртути при температуре 0° весит 13,6 г.
Опять составим таблицу значений х, у и .
Этот третий пример существенно отличается от двух предыдущих. Здесь отношение сохраняет неизменное значение.
Определение:
Две величины у и х называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если при всех их возможных изменениях отношение остается равным одному и тому же числу и если при х = 0 значение у также равно нулю.
Значит, вес ртути и объем ртути при постоянной температура являются величинами пропорциональными.
Возраст отца и возраст сына не пропорциональны.
Также не пропорциональны сторона квадрата и его площадь.
Пусть изменяющиеся величины у и х пропорциональны. Тогда отношение будет равно некоторому постоянному числу.
Обозначая это постоянное число буквой k, получим:
или
Следовательно, если величины у и х пропорциональны и отношение равно k, то у выражается в зависимости от х формулой
Число k называется коэффициентом пропорциональности (величины у по отношению к величине х).
Теперь докажем обратное положение. Пусть
где k — постоянное число.
Отсюда следует, что при х = 0 и у = 0 и что А это и означает, что величины у и х пропорциональны.
Из того что следует, что 
, или что 
Отсюда можно сделать следующий вывод:
Если коэффициентом пропорциональности величины у по отношению к величине х служит постоянное число k, то коэффициентом пропорциональности величины х по отношению к величине у будет служить число 
.
Приведем еще один пример пропорциональных величин. Путь s, пройденный при равномерном движении, пропорционален. времени t, т. е.
Здесь постоянное число v есть коэффициент пропорциональности величины s по отношению к величине t (v есть скорость равномерного движения).
Сделаем еще два замечания.
Замечание:
Если имеется два ряда чисел:
и
и если
то числа одного из этих рядов называются пропорциональными числам другого ряда.
Замечание:
Если имеются только два постоянных числа а и b, то бессмысленно говорить о них, что они пропорциональны или не пропорциональны.
В этом случае можно интересоваться либо характером этих чисел, либо их разностью, либо их отношением и т. д.
В заключение решим две простые задачи на пропорциональные величины.
Задача:
На карте в масштабе 
расстояние между двумя пунктами равно 42,5 см. Определить, чему равно это расстояние на карте в масштабе 
Решение:
Длина на карте прямо пропорциональна масштабу. Поэтому.
Задача:
С помощью непосредственного измерения установили, что при повышении температуры рельса на 24°С его длина увеличивается на 1,5 мм. Требуется вычислениями определить изменение длины рельса при понижении его температуры на 40°С. (Считать изменение длины рельса величиной, прямо пропорциональной изменению температуры.)
Решение:
Обозначив искомое изменение (в мм) буквой х, получим:
откуда
т. е. при понижении температуры рельса на 40°С его длина сократится на 2,5 мм.
Обратная пропорциональность
Сначала приведем примеры.
1. Рассмотрим изменяющийся прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием, имеющий неизменный объем, равный 3600 куб. см (рис. 54).
Пусть буква х обозначает в сантиметрах изменяющуюся сторону основания, а буква у — изменяющуюся высоту параллелепипеда.
Рассматривая таблицу:
легко видеть, что произведение ху не остается неизменным при постоянстве объема.
2. Рассмотрим изменяющийся прямоугольник, имеющий неизменную площадь, равную 100 кв. см.
Пусть буква х обозначает одно изменяющееся измерение (например, длину прямоугольника), а буква у — другое изменяющееся измерение (ширину). Пусть х и у выражены в сантиметрах.
Так как произведение измерений прямоугольника равно его площади, то величины х и у при всех своих возможных изменениях будут давать в своем произведении число 100, т. е. произведение изменяющихся величин х и у будет оставаться неизменным.
Существенное отличие второго примера от первого заключается в том, что в нем произведение ху остается неизменным, в то время как в первом оно изменяется.
Определение:
Две величины х и у называются обратно пропорциональными, если при всех их возможных изменениях произведение ху остается равным одному и тому же числу.
Обозначая это число буквой k, получим
или
Следовательно, если величины х и у обратно пропорциональны, то величина у выражается через величину х по формуле следующего вида:
Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Длина прямоугольника и ширина прямоугольника при заранее заданной площади прямоугольника являются величинами обратно пропорциональными. Коэффициентом обратной пропорциональности служит как раз эта площадь.
Сторона основания прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и высота параллелепипеда при заранее заданном объеме не являются величинами обратно пропорциональными.
Задача:
Зал освещается m лампами по а свечей каждая. Сколькими лампами в b свечей можно получить ту же освещенность зала?
Число ламп и число свечей каждой лампы при данной освещенности зала являются величинами обратно пропорциональными. Поэтому, обозначая число ламп в b свечей буквой x, получим
откуда
Пропорциональное деление
Задача:
Число А разделить на n слагаемых прямо пропорционально числам 
Обозначим искомые слагаемые буквами 
Тогда по условию задачи
Пользуясь свойством ряда равных отношений, получим
Но
Поэтому
Задача:
Число А разделить на n слагаемых обратно пропорционально числам
Обозначим искомые слагаемые буквами Тогда согласно условию задачи
или
По свойству ряда равных отношений получим
Но
Поэтому
Пропорции и пропорциональная зависимость
- Отношением числа а к числу b называется частное
, а называется предыдущим, b — последующим членом отношения. - Пропорцией называется равенство, каждая часть которого является отношением двух чисел. В пропорции
, а называется предыдущим, b — последующим членом отношения. 
члены а и d называются крайними, а b и с средними.
При изложении свойств пропорции будем считать, что ни один из членов пропорции не равен нулю.
Пример:
отношение числа 7 к числу 2. Предыдущий член здесь 7, последующей 2.
Пример:
пропорция. Крайние члены здесь 10 и 2, средние— 4 и 5.
Главное свойство пропорции
Теорема:
Во всякой пропорции произведение крайних
членов равно произведению средних.
Доказательство:
Дана пропорция
Умножим обе части равенства (1) на bd, получим
Теорема доказана.
Теорема:
Если произведение двух чисел
равно произведению двух других чисел, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию^ крайними членами которой являются сомножители одного из двух произведений, а средними—сомножители другого.
При этом предполагается, что ни один из сомножителей не равен нулю.
Доказательство:
Пусть
a, b, с, d все отличны от нуля. Разделим обе части равенства на bd, получим
Теорема доказана.
Пример:
— пропорция. Произведение крайних ее членов равно 20, произведение средних ее членов также равно 20.
Пример:
8 • 9 = 3 • 24 — равенство двух произведений.
Разделим обе части этого равенства на 9 • 24, получим пропорцию
Определение неизвестного члена пропорции
Теорема:
Средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний. Крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний.
Пусть
Покажем, что
На основании теоремы 1 имеем
Разделим обе части равенства (4) на с, получим равенство (2). Разделим обе части равенства (4) на d, получим равенство (3). Теорема доказана.
Пример:
Найти х, если 
Решение:
Пример:
Найти х, если 
Решение:
Перестановка членов пропорции
Теорема:
Во всякой пропорции можно переставить
средние члени, переставить крайние члени, переставить и средние члени и крайние, средние поставить на место крайних, а крайние на место средних.
Иными словами, если
то
(переставлены средние члены),
(в (1) переставлены крайние члены),
(в (1) переставлены и средние и крайние члены),
(средние поставлены на место крайних, крайние — на место средних).
Доказательство:
В пропорций (1)
Разделим обе части равенства (6) на cd, получим равенство (2). Точно так же, разделив обе части равенства (6) на аb, а затем на ас, получим равенства (3) и (4). Равенство (5) получается из равенства (4) посредством перестановки отношений. Теорема доказана.
Следствие:
Переставим отношения в равенствах (I), (2), (3), получим еще три пропорции
Таким образом, всякую пропорцию посредством перестановки ее членов можно представить в восьми различных видах.
Производные пропорции
Теорема:
1) Во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к последующему члену этого отношения, как сумма членов второго отношения относится к своему последующему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к последующему члену этого отношения, как разность членов второго отношения относится к своему последующему.
Иными словами, если
то
Доказательство:
Прибавим к каждой части равенства (1)
по 1, получим равенство (2). Вычтем из каждой части равенства (1) по 1, получим равенство (3). Теорема доказана.
Теорема:
1) Во всякой пропорции сумма членов первого отношения так относится к предыдущему члену этого отношения, как сумма членов второго отношения относится к своему предыдущему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения так относится к предыдущему члену этого отношения, как разность членов второго отношения относится к своему предыдущему.
Иными словами, если
то
Доказательство:
Разделим равенство (2) почленно на
равенство (1), т. е., левую часть равенства (2) разделим на левую часть равенства (1), а правую часть равенства (2) на правую часть равенства (1). Получим равенство (4). Разделив равенство (3) почленно на равенство (1), получим равенство 5). Теорема доказана.
Теорема:
Во всякой пропорции сумма членов первого
отношения так относится к их разности, как сумма членов второго отношения относится к их разности, если только эти разности отличны от нуля.
Иными словами, если
то
Доказательство:
Разделив почленно равенство (4) на
равенство (5), получим равенство (6).
Ряд равных отношений
Теорема:
Если даны несколько равных отношений* то
сумма всех предыдущих членов отношений относится к сумме всех последующих как любой из предыдущих к своему последующему.
Доказательство:
Пусть имеется несколько равных отношений
Обозначим результат деления 
на 
буквой q. Так как все отношения ряда (1) равны между собой, каждое из них также равно q. Таким образом,
Отсюда
Сложив почленно все равенства (2), имеем
откуда
Теорема доказана.
Задача:
Дано, что
Доказать, что при любых 
отличных от нуля,
Решение:
Умножим каждый, член первого отношения на 
получим пропорцию
Точно так же
Значит,
На основании теоремы 8 имеем
Задача:
Решить уравнение 
Решение:
Пользуясь теоремой 7 § 5, имеем
Пропорциональная зависимость
Мы много раз составляли уравнения, выражающие зависимость между величинами, и могли наблюдать, что. зависимости эти бывают весьма разнообразны.
При решении многих задач мы встречаемся с двумя величинами, зависимость между которыми такова, что при изменении этих величин их отношение остается неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными, а зависимость между ними — пропорциональной зависимостью.
Для примера приведем несколько задач, в которых мы встретимся с величинами, находящимися в пропорциональной зависимости.
Задача:
Скорость течения реки 3 км в час. Плот за t часов прошел вниз по реке S км. Составить уравнение, выражающее зависимость между S и t.
Ответ. S = 3t.
Задача:
С каждого гектара собрано 30 ц ржи и, таким образом, с k га собрано А ц. Составить уравнение, выражающее зависимость между А и k.
Ответ. А = 30k
Задача:
Основание прямоугольника 2 см, высота h см, площадь Q 
. Составить уравнение, выражающее зависимость между Q и h.
Ответ. Q = 2h.
Задача:
1 м материи стоит 20 руб. За m м этой материи
уплатили N pyб. Составить уравнение, выражающее зависимость между N и m.
Ответ. N=20m.
Мы рассмотрели четыре задачи, которые по своему содержанию относятся к различным областям практической деятельности. Нетрудно убедиться, что в каждой из этих задач мы действительно имеем дело с прямо пропорциональными величинами.
Так, в первой задаче отношение расстояния (в kм), пройденного плотом, к времени (в часах), в течение которого плот находился в пути, всегда одно и то же и равно 3. Поэтому расстояние, которое проходит плот вниз по реке, пропорционально времени, в течение которого плот находится в пути, при условии, что скорость течения реки повсюду одна и та же.
Точно так же во второй задаче количество ржи, собранной с нескольких гектаров, пропорционально количеству ржи, собранной с одного гектара, при условии, что с каждого гектара собрано по одному и тому же количеству ржи и т. д.
Заметим, что уравнения, к которым мы пришли в рассмотренных задачах, имеют один и тот же вид. В этих уравнениях одна, из величин равна произведению некоторого числового множителя на другую величину. Этот множитель называется коэффициентом пропорциональности. В первой задаче коэффициент
пропорциональности равен 3, во второй задаче он равен 30, в третьей задаче он равен 2, в четвертой задаче он равен 20.
Таким образом, пропорциональная зависимость между величинами всегда выражается уравнением y = kx, где k — коэффициент пропорциональности. Известно, что зависимость между двумя величинами может быть наглядно представлена таблицей, а затем и графиком.
Для примера представим таблицей зависимость, выражаемую уравнением S = 3/ (первая задача):
Построим график зависимости S = 3t (рис. 19). Обратим внимание на следующие обстоятельства:
- Отношение чисел, находящихся в одном столбце таблицы, повсюду одно и то же и равно коэффициенту пропорциональности:
и т. д. (для первого столбца это отношение не имеет смысла; так как на нуль делить нельзя).
2, График представляет собой луч, выходящий из начала координат (при t= 0, S = 0). (Доказательство этого утверждения здесь провести нельзя, так как для этого требуются некоторые сведения из геометрии.)
То же самое можно наблюдать и при графическом представлении любой другой пропорциональной зависимости между двумя величинами.
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Как понять какая пропорциональность?
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Обратная пропорциональность. Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Какой формулой задается обратная пропорциональность?
Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида: y = k x , где — независимая переменная, — не равное нулю число.
Какое название получил коэффициент пропорциональности?
Коэффициент пропорциональности получил название постоянной Планка, и она равна: h = 6,63 ∙ 10-34 Дж∙с. После открытия Планка начала развиваться самая современная и глубокая физическая теория – квантовая физика.
Что такое прямо пропорциональные величины?
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Пример: такие величины, как скорость объекта и пройденное им расстояние являются прямо пропорциональными.
Какие величины называют прямо пропорциональными?
Вспомним, какие величины называют прямо пропорциональными. Две переменные величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.
Как определить коэффициент пропорциональности k?
y = kx, где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности. Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Как составить график прямой пропорциональности?
Алгоритм построения графика прямой пропорциональности
- Выбрать произвольное значение аргумента
- Вычислить соответствующее значение функции
- Отметить на координатной плоскости точку
- Провести прямую через начало координат (0;0) и точку
Как найти коэффициент пропорциональности химия?
Запишите отношение. Если размер меньшей фигуры увеличивается до размера большей фигуры, используйте отношение: коэффициент пропорциональности = (сторона большей фигуры)/(сторона меньшей фигуры).
Как найти коэффициент?
Числовой множитель в произведении, где есть хотя бы одна буква, называется коэффициентом. Если чисел несколько, нужно их перемножить, упростить выражение и таким образом будет получен коэффициент.
Как найти прямо пропорциональные величины?
y = kx, где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности. Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Как найти прямо пропорциональную величину?
Прямую пропорциональность можно задать формулой. Формулу y=kx, где y и x — переменные величины, а k — коэффициент, является постоянной величиной, называют формулой прямой пропорциональности.
Что называют коэффициентом обратной пропорциональности?
График обратно пропорциональной зависимости Одно из них, как правило, у, называется функцией и зависит от х, то есть аргумента. к – постоянная величина, которая называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Чему равен коэффициент пропорциональности G?
Коэффициент пропорциональности G в этом уравнении называется гравитационной постоянной. Численно она равна модулю силы тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны другого такого же тела, находящегося от него на единичном расстоянии.
Как правильно построить график функции?
Итак, алгоритм по шагам:
- Представьте, как выглядит ваш график.
- Составьте таблицу точек, принадлежащих графику:
- Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки из таблицы.
- Если нужно, найдите еще несколько точек и нанесите их на координатную плоскость.
- Постройте график
Что представляет собой график обратной пропорциональности?
Графиком обратной пропорциональности y=kx y = k x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Этот график называется гиперболой. Гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается, т.
Чему равен коэффициент пропорции?
Коэффициент пропорциональности (линейный коэффициент пропорциональности) равен отношению двух соответствующих сторон подобных фигур. Подобные фигуры – это фигуры одинаковой формы, но разных размеров. Коэффициент пропорциональности используется для решения основных геометрических задач.
Как определить числовой коэффициент?
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения. Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.
Одно из основных понятий курса математики в 6 классе – это прямая и обратная пропорциональность. Если некоторая величина (время, масса, цена) изменяется, и одновременно другая величина (расстояние, объем, затраты) тоже меняется, то величины находятся в зависимости между собой, то есть пропорциональны друг другу.
Взаимосвязь между величинами не всегда означает наличие пропорциональности. Так, высота дерева растет с его возрастом, но не во столько же раз. Составление пропорций помогает решить многие задачи как в математике, так и на практике.
Прямая пропорциональность
Если при изменении одного параметра другой изменяется таким же образом, то эти величины прямо пропорциональны друг другу. В этой пропорции увеличение расстояния вдвое означает увеличение времени также двукратно.
Например, при движении автомобиля с постоянной скоростью, время, затраченное на преодоление расстояния, будет прямо пропорционально этому расстоянию. То есть, если 50 км автомобиль проедет за 1 час, то 100 км с той же скоростью он преодолеет за 2 часа.
Функция прямой пропорциональности и ее график
Эта зависимость описывается следующей формулой:
y = k * x.
Здесь k и называется коэффициентом пропорциональности.
Графически функция изображается прямой, которая пройдет через начальную точку координат. Строят график следующим образом: находят одну точку, затем чертят прямую через эту точку и начало координат.
Пример построения
Нужно построить график у = 3х. Подставляем вместо х единицу, вычисляем y = 3, то есть находим координаты (1; 3). Отмечаем эту точку на координатной плоскости, проводим прямую линию через нее и точку (0; 0).
Вот так будет выглядеть график y = k * x при k > 0 (слева) и при k < 0 (справа).
Свойства функции прямой пропорциональности
Основные свойства следующие:
-
область определения, значений составляют все действительные числа;
-
является нечетной;
-
возрастает при всех значениях x, если k > 0;
-
если коэффициент со знаком «-», т. е. если k < 0, то убывает;
-
если k > 0, то прямая располагается в 1 – 3 координатных четвертях и образует острый угол с осью Х, если k < 0, то прямая находится во 2 – 4 четвертях и образует тупой угол с осью Х.
Обратная пропорциональность
Рост одного параметра ведет к уменьшению другого в такое же количество раз, и наоборот, при уменьшении одной величины другая увеличивается во столько же. Это значит, что они обратно пропорциональны друг другу.
Пример: трое рабочих выполнят порученную им работу за 2 часа, а 6 человек такое же задание осилят за 1 час. То есть двукратное увеличение числа работников привело к уменьшению затраченного времени вдвое. Конечно, если прочие факторы неизменны (производительность труда, условия работы).
Функция обратной пропорциональности и ее график
Функция задается формулой:
где k – любое действительное число, кроме 0.
График данной зависимости — это гипербола, ее ветви находятся в 1 и 3 четвертях системы координат при k > 0, или во 2 и 4, если коэффициент меньше 0. Ветви гиперболы симметричны относительно точки (0; 0).
Строят график так: нужно задать значения х, затем вычислить значения у, результаты оформить в виде таблицы. Верхняя строка таблицы заполняется значениями х, нижняя — y.
Пример построения
Нужно построить график функции y = 8/x.
Вот так выглядит таблица для данной функции:
Полученные точки отмечают на координатной плоскости, затем соединяют плавной линией. График будет выглядеть так:
Свойства функции обратной пропорциональности
Основные следующие:
-
области определения, значений функции D(y) – это все действительные числа, кроме 0, т. е. D(y):= x ≠ 0;
-
если коэффициент больше 0, функция является убывающей для всех x; если меньше 0, то y увеличивается для любых значений x;
-
оси координат 0х и 0у – это асимптоты по отношению к ветвям гиперболы, которые приближаются к ним, но не достигают их.
К составлению математических пропорций во многих случаях сводится решение самых разнообразных задач. Например, покупая 1 булочку по определенной цене, подсчитывают затраты на 4 булочки – получается в 4 раза больше.
Ускоряют шаг при ходьбе в 2 раза – достигнут цели вдвое быстрее. Вводят второго кассира в магазине – убывает очередь вдвое. Во всех этих случаях и им подобным применима теория о прямой и обратной пропорциональности.
