Как найти простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Определение[править | править код]

Идеал в кольце называется простым, если факторкольцо A/I по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если и из следует ain I или , то являет собой простой идеал.

Связанные понятия[править | править код]

Множество всех простых идеалов кольца образует спектр кольца .
В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства[править | править код]

Доказательство

Пусть — простой идеал, содержащий . Если элемент принадлежит радикалу , то некоторая его степень принадлежит идеалу , поэтому не может принадлежать дополнению к , так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит , то содержит и все его степени). Значит, принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал .
Обратно: пусть не принадлежит радикалу . Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с . Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий и не содержащий ни одну из степеней элемента . Следовательно, не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал .

Примеры[править | править код]

Некоммутативный случай[править | править код]

Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом (не обязательно коммутативного) кольца называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента таковы, что , то или ain I , или .

Литература[править | править код]

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, especially in commutative algebra, certain prime ideals called minimal prime ideals play an important role in understanding rings and modules. The notion of height and Krull’s principal ideal theorem use minimal primes.

Definition[edit]

A prime ideal P is said to be a minimal prime ideal over an ideal I if it is minimal among all prime ideals containing I. (Note: if I is a prime ideal, then I is the only minimal prime over it.) A prime ideal is said to be a minimal prime ideal if it is a minimal prime ideal over the zero ideal.

A minimal prime ideal over an ideal I in a Noetherian ring R is precisely a minimal associated prime (also called isolated prime) of R/I ; this follows for instance from the primary decomposition of I.

Examples[edit]

In a commutative artinian ring, every maximal ideal is a minimal prime ideal.
In an integral domain, the only minimal prime ideal is the zero ideal.
In the ring Z of integers, the minimal prime ideals over a nonzero principal ideal (n) are the principal ideals (p), where p is a prime divisor of n. The only minimal prime ideal over the zero ideal is the zero ideal itself. Similar statements hold for any principal ideal domain.
If I is a p-primary ideal (for example, a symbolic power of p), then p is the unique minimal prime ideal over I.
The ideals and are the minimal prime ideals in since they are the extension of prime ideals for the morphism , contain the zero ideal (which is not prime since , but, neither nor are contained in the zero ideal) and are not contained in any other prime ideal.
In the minimal primes over the ideal ${displaystyle ((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})}$ are the ideals ${displaystyle (x^{3}-y^{3}-z^{3})}$ and ${displaystyle (x^{5}+y^{5}+z^{5})}$ .
Let ${displaystyle A=mathbb {C} [x,y]/(x^{3}y,xy^{3})}$ and the images of x, y in A. Then and are the minimal prime ideals of A (and there are no others). Let be the set of zero-divisors in A. Then is in D (since it kills nonzero ${displaystyle {overline {x}}^{2}{overline {y}}-{overline {x}}{overline {y}}^{2}}$ ) while neither in nor ; so .

Properties[edit]

All rings are assumed to be commutative and unital.

Every proper ideal I in a ring has at least one minimal prime ideal above it. The proof of this fact uses Zorn’s lemma.^[1] Any maximal ideal containing I is prime, and such ideals exist, so the set of prime ideals containing I is non-empty. The intersection of a decreasing chain of prime ideals is prime. Therefore, the set of prime ideals containing I has a minimal element, which is a minimal prime over I.
Emmy Noether showed that in a Noetherian ring, there are only finitely many minimal prime ideals over any given ideal.^[2]^[3] The fact remains true if “Noetherian” is replaced by the ascending chain conditions on radical ideals.
The radical of any proper ideal I coincides with the intersection of the minimal prime ideals over I. This follows from the fact that every prime ideal contains a minimal prime ideal.
The set of zero divisors of a given ring contains the union of the minimal prime ideals.^[4]
Krull’s principal ideal theorem says that, in a Noetherian ring, each minimal prime over a principal ideal has height at most one.
Each proper ideal I of a Noetherian ring contains a product of the possibly repeated minimal prime ideals over it (Proof: ${displaystyle {sqrt {I}}=bigcap _{i}^{r}{mathfrak {p}}_{i}}$ is the intersection of the minimal prime ideals over I. For some n, ${displaystyle {sqrt {I}}^{n}subset I}$ and so I contains ${displaystyle prod _{1}^{r}{mathfrak {p}}_{i}^{n}}$ .)
A prime ideal in a ring R is a unique minimal prime over an ideal I if and only if , and such an I is -primary if is maximal. This gives a local criterion for a minimal prime: a prime ideal is a minimal prime over I if and only if ${displaystyle IR_{mathfrak {p}}}$ is a ${displaystyle {mathfrak {p}}R_{mathfrak {p}}}$ -primary ideal. When R is a Noetherian ring, is a minimal prime over I if and only if ${displaystyle R_{mathfrak {p}}/IR_{mathfrak {p}}}$ is an Artinian ring (i.e., ${displaystyle {mathfrak {p}}R_{mathfrak {p}}}$ is nilpotent module I). The pre-image of ${displaystyle IR_{mathfrak {p}}}$ under ${displaystyle Rto R_{mathfrak {p}}}$ is a primary ideal of called the -primary component of I.
When is Noetherian local, with max. ideal , is minimal over if and only if there exists a number such that ${displaystyle P^{m}subseteq I}$ .

Equidimensional ring[edit]

For a minimal prime ideal in a local ring , in general, it need not be the case that , the Krull dimension of .

A Noetherian local ring is said to be equidimensional if for each minimal prime ideal , . For example, a local Noetherian integral domain and a local Cohen–Macaulay ring are equidimensional.

See also equidimensional scheme and quasi-unmixed ring.

Notes[edit]

^ Kaplansky 1974, p. 6
^ Kaplansky 1974, p. 59
^ Eisenbud 1995, p. 47
^ Kaplansky 1974, p. 57

References[edit]

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings, University of Chicago Press, MR 0345945

Further reading[edit]

http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E
http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P

Источник

Пусть некоторый идеал (или, более общо, модуль) в кольце о. Если а — элемент из то можно записать, что в этом случае говорят, что а делится на идеал Если все элементы некоторого идеала (или модуля) а делятся на то (следуя Дедекинду) говорят, что а делится на Это означает не что иное, как то, что идеал а является подмножеством идеала Обозначение:

Идеал а называют кратным или, как теперь часто говорят, подидеалом идеала Точно так же называется делителем или надидеалом идеала а. Если, кроме того, то называют собственным делителем идеала собственным кратным идеала

В случае главных идеалов коммутативного кольца с единицей сравнение означает не что иное, как равенство и понятие делимости в смысле теории идеалов переходит в обычное понятие делимости элементов.

Начиная с этого места, все рассматриваемые кольца будут считаться коммутативными.

Под простым идеалом кольца о подразумевается такой идеал кольцо классов вычетов которого является целостным, т. е. не содержит делителей нуля,

Если по-прежнему классы вычетов обозначать надстрочной чертой, то для простого идеала сказанное означает:

из должно следовать

Или, что то же самое, из

должно следовать

для произвольных из о. Словами: произведение двух элементов должно делиться на идеал только тогда, когда на делится один из сомножителей.

Очевидно, что единичный идеал всегда простой, потому что предположение вообще не может быть выполнено. Нулевой идеал является простым тогда и только тогда, когда кольцо о — целостное.

Другими примерами простых идеалов могут служить главные идеалы кольца целых чисел порожденные простыми числами, о чем будет сказано ниже.

Идеал кольца называется максимальным или не имеющим делителей, если он не содержится ни в каком другом идеале из о, кроме самого с; другими словами, — если у него нет других собственных делителей, кроме единичного идеала . Так, например, названные выше простые главные идеалы максимальны.

Каждый отличный от о максимальный идеал в кольце с единицей является простым и кольцо классов вычетов является полем. Наоборот, если поле, то максимальный идеал.

Доказательство. Требуется решить в кольце классов вычетов уравнение при Пусть произвольно. Идеал и элемент а вместе порождают некоторый идеал, который является делителем идеала и притом собственным делителем, потому что он содержит а. Следовательно, этот идеал равен о. Поэтому произвольный элемент кольца о можно представить в виде

С помощью гомоморфизма из о в кольцо классов вычетов получается равенство

чем и решается уравнение

Таким образом, кольцо классов вычетов является полем. Так как в поле нет делителей нуля, идеал является простым.

Наоборот, если – поле и собственный делитель идеала , а — элемент из , не принадлежащий то сравнение

Источник

Задумывались ли вы когда-нибудь, почему идеал считается недостижимым? Но если это так, то зачем к нему стремиться? Лев Николаевич называл идеал путеводной звездой, указывающей твердое направление в будущее.

Практика показывает, что тот, кто хочет достичь идеала, обычно заканчивает разочарованием.

Я считаю, что главная причина недостижимости идеала – это то, что у многих людей он находится… в прошлом.

Часто мы идеализируем свое прошлое. В этом случае все, что нам не хочется вспоминать, мы забываем. А все, что вызывает в нас удовольствие, мы идеализируем. Например, мы идеализируем молодость, когда она ушла. Пока ты молодой, молодость не ценишь.

Если послушать некоторых родителей, рассказывающих детям о своей юности, то можно подумать, что они были святыми. Они призывают детей равняться на себя, но забывают один факт: их юность была в идеальном прошлом, а дети живут в реальном настоящем, в котором совсем другие условия.

Тот, кто привык идеализировать свое прошлое, хочет, чтобы и в настоящем, и в будущем было так же. Такие люди очень требовательны к другим, так как к себе им предъявлять требований не нужно, ведь они и так достигли идеала пусть только в прошлом, и пусть только в своем воображении.

С другой стороны, есть люди, которые постоянно анализируют свое прошлое и считают, что если бы им дали возможность прожить его снова, они бы его улучшили. Такие люди всегда чем-то недовольны и изводят себя попытками достичь идеала. Это стремление заложено в их головы слишком большой требовательностью к ним в детском возрасте.

Я считаю, что и те, и другие увязли в своем прошлом, так как они привязали себя к его оцениванию. Но оценивать ситуацию, или себя и других в ней, нельзя – ведь мы не обладаем всей полнотой информации, чтобы судить. Начав судить мы создаем некое идеальное клише, “прокрустово ложе”, на которое примеряем все что с нами происходит и все, что может произойти. Таким образом мы начинаем предвзято относится ко всему, даже не предполагая, что это может принести нам совсем не те следствия, какие мы ожидаем.

Будущее, пусть и не идеальное, может построить человек, примирившийся со своим прошлым и отпустивший его. А значит он примет и настоящее, и у него хватит смелости принять будущее, каким бы оно ни было.

Будущее лежит в области неизвестного, поэтому для его построения нужно мужество.

Идеальным будет это будущее, или нет – оценят другие, возможно потомки.

Страх сделать что-то не идеально приведет человека к бездействию. Повышенная требовательность к ребенку приводит его, когда он вырастает, к постоянному страху сделать что-то не так, а значит этот страх будет подавлять его инициативу.

Каждый знает, что начинать что-то новое всегда трудно прежде всего из-за того, что не знаешь точно что из этого получится.

У меня есть примета, если начинаю новое дело и “первый блин получается комом”, то в будущем все сложится удачно, так как первая неудача вскрывает многие подводные камни и учит их обходить. Хуже, когда все начинается гладко, тогда жди подвоха в самый неожиданный момент.

Мастерство в любом деле приходит со временем, но есть поговорка: “и на старуху бывает проруха” – она означает, что даже мастер своего дела может ошибиться. Значит нельзя расслабляться и быть абсолютно уверенным в своем результате, даже если уже достиг мастерства. Кроме того, нужно быть снисходительным к ошибкам других – ведь мы сами можем однажды оказаться на их месте, даже если сейчас у нас все идеально, или почти идеально.

Возьмем произведения искусства. В каждом присутствует почерк мастера, который придает творению своеобразие. И даже копии, сделанные одним человеком, не будут абсолютно одинаковы и идеальны, они будут зависеть от состояния автора. На состояние мастера будут влиять различные условия, начиная от состояния здоровья, окружающей обстановки и кончая влиянием планет.

Также и восприятие произведения искусства зависит от нашего состояния. То, что у одного будет вызывать восторг, у другого вызовет полное равнодушие.

Так что же такое идеал и нужно ли к нему стремиться, если каждый понимает его по-своему? То, что для одного идеал, для другого может быть совсем не идеально и даже отвратительно.

Слово “идеал” произошло от слова идея– мысль. Мысль материальна и энергия сильной мысли космического масштаба может превышать энергию ядерного взрыва, просто эта энергия реализуется постепенно, поэтому ее силу мы не осознаем.

Идеал – это Высший Образ, который человек себе выбирает. Если этот образ будет недостаточно высок, человека ждут разочарования в жизни. Создание конкретного идеала – это создание идола, кумира.

Например, человек на основе жестких установок в детстве создал себе конкретный идеальный образ, которому должен соответствовать сам или его ребенок, или его супруг, или все вместе – если это образ идеальной семьи. Любое отклонение от этого идеального образа будет вызывать страдания и попытку его исправить. Такой человек со временем превратится в деспота для своих близких и для себя самого, но идеала он не достигнет, а скорее наоборот, он разрушит как себя, так и свою семью и будет разочарован.

В. Бабенко, “Содом и Гоморра”

Есть легенда о праведном Лоте, чью семью Бог спас из города, предназначенного к уничтожению в огне. Одно условие было необходимо выполнить – не оборачиваться, но жена Лота обернулась. Зачем? Скорее всего, она имела предвзятое суждение о том, что должно было произойти с городом, и обернулась, чтобы убедиться в своей правоте. Это привело ее к окаменению.

Предположим, что она увидела то, что ожидала, например, что ненавистный город сгорел – ведь она была праведной женщиной, а разрушенный город погряз в грехе, – то она бы испытала чувство злорадной радости, что спастись удалось только ей. Чувство злорадной радости никогда не возможно удовлетворить, так как оно основано на гневе, а гнев заставляет страдать душу. Как только радость от чужого горя проходит, гнев снова захлестывает душу.

Возможно, она увидела не то, что ожидала. Город остался цел и невредим, и жители благополучно продолжали в нем жить. Тогда она, скорее всего, испытала гнев праведный оттого, что Бог ее заставил покинуть город, а грешники в нем продолжают жить и радоваться жизни. Название “гнев праведный” придумали праведники, которые ждут кары божьей на головы тех, кого они ненавидят за их грехи. Это чувство ненасытно так же, как и злорадная радость.

Самый ужасный бич человечества есть самоуничтожение во имя своей явленной самости. Человек, утверждающий, что служа своему Идеалу, он уничтожает все другие, несовпадающие с этим путем, есть разрушитель основ эволюции. Космос требует выражения всего сущего, и на духовном плане не может произойти уравнения. Все высшие Учения имеют в основе своей тот же Источник и не будут уничтожать то, что служит пищею духовною. Истинно, требующий уравнения всех основ, всех Учений, превращает каждую великую основу в прах. Весы не очень колеблются между безбожием и ханжеством. Так на пути к Миру Огненному запомним, кто рушит основы строительства.

(Мир Огненный, ч. 3, 387)

В любом случае, жена Лота задолго до ухода из города создала себе идею, которая превратилась в идеальный образ наказания для грешников, к которому Бог должен стремиться. Она начала контролировать Бога задолго до того, как превратилась в камень. Достигнув желаемого, или разочаровавшись в увиденном, она испытала чувство, которое не должна была испытывать. Чувство гнева, как и чувство злорадной радости приводят к зависанию.

Чувство гнева возникает, когда человек пытается контролировать то, что не может контролировать, так как не имеет для этого достаточно знаний.

Боги правят миром, и они создают идеи, по которым мир должен развиваться. Если человек, не имеющий уровня божественного сознания, пытается создавать идеальные образы мира, и если его образы не совпадают с божественными планами, он неминуемо будет уничтожен обратным ударом более мощной энергии, заложенной в божественной мысли.

Идеал не должен быть привязан к конкретным образам, он должен быть выше всего. Это должна быть всеобъемлющая идея, которая вмещает в себя счастье многих.

Например, человек, решивший создать идеальную семью, должен понять, что в идеальной семье все счастливы. А это может быть только в том случае, если каждый член семьи сможет реализовать себя так, как он сам это видит. Тут не может быть никаких жестких ограничений, делящих людей на праведников и грешников. Только дружеская беседа, понимание потребностей каждого, радость от успехов и предостережение, но не запрет, если кажется, что что-то делается не так, как подсказывает жизненный опыт. Ведь наш опыт – это наш опыт, а у другого должен быть свой опыт жизни.

Конечно, в этой семье будут страдания, но каждый страдающий будет понимать, что он сам причина своих страданий, так как никто не давил на него при принятии решений. А если так, то и выход из страданий будет в накоплении опыта. И в конце жизни у каждого члена семьи будет шанс сказать, что он счастливо прожил свою жизнь.

Такое отношение может быть только между любящими людьми. Значит идеалом в идеальной семье, да и в идеальном мире, который был заложен Богом, должна быть Любовь. А это вполне достижимо, хотя Любовь и безгранична. Значит нет предела совершенствованию.

Источник

проверено. надо примеры. надо критерий

Предложение 1. Идеал $rho$ кольца $A$ прост тогда и только тогда, когда факторкольцо $A/rho$ — область целостности.