Формат:
Кратко
Подробно
В столбик
Онлайн калькулятор раскладывает число в произведение простых множителей.
Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому можно легко
разложить на множители даже большие числа.
Что такое разложение числа на множители?
Любое натуральное число можно представить в виде
произведения простых чисел. Это представление называется разложением
числа на простые множители.
Натуральное число называется делителем целого числа если для подходящего целого числа верно
равенство . В этом случае говорят, что делится на или что число кратно
числу .
Простым числом называют натуральное число , делящееся только на себя и на единицу. Составным
числом называют число, имеющее больше двух различных делителей (любое натуральное число не равное
имеет как минимум два делителя: и ). Например, числа – простые, а числа – составные.
Основная теорема арифметики. Любое натуральное число большее единицы, можно
разложить в произведение простых чисел, причём это разложение единственно с точностью до порядка следования
сомножителей.
Как разложить число на множители?
В школе на уроках математики разложение числа на множители обычно записывают столбиком в две колонки. Делается это
так: в левую колонку выписываем исходное число, затем
- Берём самое маленькое простое число — 2 и по признакам
делимости или обычным делением проверяем, делится ли исходное число на 2. - Если делится, то в правую колонку выписываем 2. Далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую
колонку под исходным числом. - Если не делится, то берём следующее простое число — 3.
Повторяем эти шаги, при этом работаем уже с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение
заканчивается, когда в левой колонке будет записано число 1.
Чтобы лучше понять алгоритм, разберём несколько примеров.
Пример. Разложить на множители число 84.
Решение. Записываем число 84 в левую колонку:
Берём первое простое число — два и проверяем, делится ли 84 на 2. Так как 84 оканчивается на 4, а 4 делится на 2,
то и 84 делится на 2 по признаку делимости. Записываем 2 в
правую колонку. 84:2 = 42, число 42 записываем в левую колонку. Получили вот что:
Теперь работаем уже с числом 42. Число 42 делится на 2, поэтому записываем 2 в правую колонку, 42:2 = 21, число
21 записываем в левую колонку.
Число 21 на 2 не делится, поэтому проверяем его делимость на следующее простое число — 3. Число 21 делится на 3,
21:3 = 7. Записали 3 в правую колонку, 7 — в левую. Получили
Число 7 — простое число, поэтому в правой колонке записываем 7, в левую пишем 1. В итоге получили:
Всё, число разложено!
В результате в правой колонке оказались записаны все простые множители числа 84. То есть 84=2∙2∙3∙7.
Онлайн калькулятор для разложения числа на множители
Программа раскладывает числа на множители методом
перебора делителей. Для вычислений используется длинная арифметика, поэтому раскладывать можно даже большие
числа. Однако если число простое или имеет большие простые делители, разложение его на множители занимает
продолжительное время.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. То есть любое число есть результат произведения его множителей. Умение раскладывать числа на множители – один из основных математических навыков, который необходим не только в математике, но и в других науках.
-
1
Запишите целое число. Это число, не являющееся обыкновенной или десятичной дробью.
- Рассмотрим число 12.
-
2
Найти два числа, которые при перемножении дадут данное число. Любое целое число можно записать в виде произведения двух других чисел. Даже простое число можно записать как произведение 1 и самого числа.
- В нашем примере у числа 12 есть несколько множителей: 12*1; 6*2; 3*4. Таким образом, вы можем заявить, что множителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим пару множителей 6 и 2.
- Четные числа легко разложить на множители, так как множителем любого четного числа является 2. 4 = 2*2, 26 = 13*2 и т.д.
-
3
Если возможно, разложите на множители найденные множители. Когда вы нашли все множители числа, определите, можно ли разложить их на множители.
- В нашем примере мы разложили 12 на 2*6. Обратите внимание, что 6 можно разложить на множители: 3*2 = 6. Таким образом, вы можете заявить, что 12 = 2*(3*2).
-
4
Если множителями являются простые числа, то дальше можете не продолжать. Простые числа – это числа, которые делятся только на себя или на 1. Например, 2, 3, 5, 7, 11, 13 или 17 – простые числа.
- В нашем примере вы разложили 12 на 2*(2*3). 2, 2, 3 – это простые числа. Их можно разложить на множители, например, 2=2*1 и 3=3*1, но это не имеет смысла (по крайней мере в большинстве задач).
-
5
Отрицательные числа раскладываются на множители аналогичным образом. Единственным отличием является необходимость учесть знаки множителей, чтобы при их перемножении получить отрицательное число.
- Например, разложим на множители число -60.
- -60 = -10*6
- -60 = (-5*2)*6
- -60 = (-5*2)*(3*2)
- -60 = -5*2*3*2. Обратите внимание, что при разложении на множители отрицательного числа количество отрицательных множителей должно быть нечетным. Например, вы можете разложить число -60 и так: -5*2*-3*-2.
Реклама
- Например, разложим на множители число -60.
-
1
Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.
- Разложим на множители число 6552.
-
2
Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).
- В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой – 3276.
-
3
Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).
- В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой – 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой – 819.
-
4
Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.
- В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой – 273.
- При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.
-
5
Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).
- Продолжим вычисления в нашем примере:
- Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой – 91.
- Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой – 13.
- Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой – 1. Ваши вычисления закончены.
- Продолжим вычисления в нашем примере:
-
6
В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 24, а не как 2*2*2*2.
- В нашем примере 6552 = 23× 32 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).
Реклама
Советы
- Также важным является понятие простого числа – это число, которое имеет только два множителя: 1 и само себя. 3 – простое число, потому что его простые множители 1 и 3. С другой стороны, 4 имеет 2 в качестве простого множителя. Число, которое не является простым, называется составным . (1 – число, которое считается ни простым, ни составным – это особый случай.)
- Наименьшие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.
- Поймите, что одно число является множителем другого, большего числа, если оно “делит его полностью”, то есть без остатка. Например, 6 является множителем 24, потому что 24 ÷ 6 = 4 (без остатка). С другой стороны , 6 не является множителем 25.
- Если цифры в числе при их сложении делятся на 3 , то 3 является множителем этого числа. (819 = 8 +1 +9 = 18, 1 +8 = 9. Три – множитель девяти, так что 3 является множителем и 819.)
- Помните, что мы рассматривали только “натуральные числа” – 1, 2, 3, 4, 5 … Мы не рассматривали отрицательные числа или дроби, которые могут быть описаны в других статьях.
- Некоторые числа могут быть разложены более быстрыми способами, но этот метод работает каждый раз и, как дополнительный бонус, в ответе дает простые множители в порядке их возрастания.
Реклама
Предупреждения
- Не делайте лишней работы. После того, как вы убрали неподходящий множитель, вы не должны рассматривать его далее. После того, как мы решили, что 2 не является множителем 819, нам не надо рассматривать 2 дальше в процессе вычисления.
Реклама
Что вам понадобится
- Бумага
- Карандаш и ластик
- Калькулятор (по желанию)
Об этой статье
Эту страницу просматривали 71 129 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как разложить число на простые множители?
МатематикаАлгебраУравнения
Анонимный вопрос
12 августа 2018 · 120,5 K
Главный редактор издания «Популярный университет», научный журналист, химик · 28 авг 2018 · popuni.ru
Очень просто:
1) Сначала нужно убедиться, что раскладываемое число делится не только на 1 и на само себя. В противном случае это будет простое число, которое само же и является своим множителем.
2) После того, как мы поняли, что число делится не только на 1 и на само себя, нужно разделить его на самое маленькое простое число, которое является его делителем. Например, если взять число 12, то самым маленьким простым числом для него будет 2. Смотрим остаток их деления: 12/2=6. Продолжаем те же действия, но уже с цифрой 6 – для 6 наименьшим простым числом будет тоже 2: 6/2=3. Продолжать такие действия нужно, пока в конце мы не получим простое число (в нашем случае – 3). Таким образом, разложение будет выглядеть так: 12=2*2*3.
67,2 K
Спасибо вы мне очень помогли
Комментировать ответ…Комментировать…
ЕГЭ и поступление в вуз – новости и законы. Веду ютуб-канал и паблик в ВК · 31 янв 2019 ·
Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.
Например, 15=5*3, 30=5*3*2 и т.п
Простые числа приведены ниже: Читать далее
11,4 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Учитель математики в средней школе И ВУЗе. Не учу жизни, учу решать задачи. Готовлю к ОГЭ… · 10 авг 2019
Сначала четко представляем, что числа бывают простые (те, которые делятся только на себя и на 1. Числа 5, 11, 13 и т.д.) и составные ( они делятся и на другие числа кроме самого себя и 1. Допустим число 15 делится ещё на 5 и на 3).
Теперь берём число и делим на самый маленький простой делитель (кроме 1). Получаем частное от деления, его опять делим и т.д., пока не… Читать далее
5,3 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Для того чтобы разложить число на простые множители нужно, для начала, поделить его на 2. Если число разделится на 2 без остатка, то 2 – это первый множитель. Далее полученный результат опять делим на 2, если число разделится на 2 без остатка, то второй множитель тоже 2. Если же при делении получается остаток, то пробуем делим на 3, 4, … n, до тех пор число не… Читать далее
3,0 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Давайте разложим 756 на простые множители. Оно делиться на 2, так как оно чётное. Имеем 756:2=378. Проведём вертикальную линию и слева от неё запишем делимое (756), а справа делитель- 2. Частное запишем под числом 756. Число 378 тоже делится на 2, так как оно чётное. При делении получили в частном 189. Число 189 не делится на 2, но делится на 3, так как сумма цифр… Читать далее
3,6 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Skysmart – онлайн-школа для учеников 1–11 классов и тех, кто только готовится к учебе
· 21 янв 2020 · skysmart.ru
Проверьте, не является ли ваше число простым — тогда оно делится только на себя и на единицу. Используйте базовые признаки делимости:
— четные числа делятся на 2;
— числа, сумма всех цифр которого делится на 3, тоже делится на 3.
— числа, где последняя цифра 5, делятся на 5, где 0 — на 5 и 2.
Если число большое, например 3209, лучше проверить его по списку простых… Читать далее
1,7 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Нужно сразу убедиться, что число не простое, а составное, то есь если это число не присутствует в списке простых чисел. Далее:
-
Проверяем на чётность, выбрав все числа 2.
-
В оставшемся числе смотрим признак деления на 3.
-
Проверяем признак деления на 5, 7, 11 до того момента, пока не останется какое-то простое число.
-
Записываем все множители.
3,3 K
в каком списке? ряд чисел бесконечен, не слышал про списки 20-значных чисел, например. Если число сколь-нибудь… Читать дальше
Комментировать ответ…Комментировать…
Всякое составное число можно разложить на простые множители .При любом способе получается одно и то же разложение .если не учитавать порядка записи множителей.
6,6 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Это изображение демонстрирует нахождение простых множителей числа 864. Сокращённый способ написания — 25 × 33
В теории чисел, простые множители (простые делители) положительного целого числа — это простые числа, которые делят это число нацело (без остатка)[1]. Выделить простые множители положительного целого числа означает перечислить эти простые множители вместе с их кратностями. Процесс определения простых множителей называется факторизацией целых чисел. Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число можно представить в виде единственного (с точностью до порядка следования) произведения простых множителей[2].
Чтобы сократить выражение, простые множители часто представляются в виде степеней простых чисел (кратностей). Например,
в котором множители 2, 3 и 5 имеют кратности 3, 2 и 1, соответственно.
Для простого множителя р числа n кратность числа p — это наибольший из показателей степени а, для которых ра делит n нацело.
Для положительного целого числа n, количество простых множителей n и сумма простых множителей n (без учёта кратности) — это примеры арифметических функций из n (аддитивных арифметических функций[fr][3]).
Полный квадрат[править | править код]
Квадрат числа имеет то свойство, что все его простые множители имеют чётные кратности. Например, число 144 (квадрат 12) имеет простые множители
В более понятной форме:
Поскольку каждый простой множитель присутствует здесь чётное число раз, исходное число можно представить в виде квадрата некоторого числа. Таким же образом, куб числа — это число, у которого кратности простых множителей делятся на три, и так далее.
Взаимно простые числа[править | править код]
Положительные целые числа, не имеющие общих простых множителей, называются взаимно простыми. Два целых числа a и b можно назвать взаимно простыми, если их наибольший общий делитель НОД(a, b) = 1. Если для двух целых чисел неизвестны их простые множители, то для определения того, являются ли они взаимно простыми, используется алгоритм Евклида; алгоритм выполняется за полиномиальное время по количеству цифр.
Целое число 1 является взаимно простым для любого положительного целого числа, включая само себя. Иными словами, число 1 не имеет простых множителей, оно — empty product. Это означает, что НОД(1, b) = 1 для любого b ≥ 1.
Криптографические приложения[править | править код]
Определение простых множителей числа — это пример задачи, которая часто используется для обеспечения криптографической защиты в системах шифрования[4]. Предполагается, что эта задача требует супер-полиномиального времени по количеству цифр. Это значит, что относительно легко сконструировать задачу, решение которой заняло бы больше времени, чем известный возраст Вселенной при текущем развитии компьютеров и с помощью современных алгоритмов.
Функции Омега[править | править код]
Функция ω(n) (омега) представляет собой число различных простых множителей n, в то время как функция Ω(n) (большая Омега) представляет собой число простых множителей n, пересчитанное с учётом кратности[2]. Если
тогда
Например, 24 = 23 × 31, Так что ω(24) = 2 и Ω(24) = 3 + 1 = 4.
- ω(n) для n = 1, 2, 3, … соответственно 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, … — последовательность A001221 в OEIS.
- Ω(n) для n = 1, 2, 3, … соответственно 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, … — последовательность A001222 в OEIS.
См. также[править | править код]
- Составное число
- Факторизация целых чисел — алгоритмическая проблема нахождения простых множителей заданного числа
- Делимость
- Таблица простых множителей
- Решето Эратосфена
- Теорема Эрдёша-Каца
- Криптографическая стойкость
Ссылки[править | править код]
- ↑ Jensen, Gary R. Arithmetic for Teachers: With Applications and Topics from Geometry (англ.). — American Mathematical Society, 2004.
- ↑ 1 2 Riesel, Hans (1994), Prime numbers and computer methods for factorization, Basel, Switzerland: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
- ↑ Melvyn B. Nathanson. Additive Number Theory: the Classical Bases (англ.). — Springer-Verlag, 1996. — Vol. 234. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94656-X.
- ↑ Menezes, Alfred; van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. Handbook of Applied Cryptography (неопр.). — CRC Press, 1996. — ISBN 0-8493-8523-7.
Разложить число на простые множители онлайн
Разложить число на простые множители значит представить это число в виде произведения простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел, если не учитывать порядка записей простых множителей.
Алгоритм разложения чисел на простые множители
Проводим вертикальную черту
Слева от черты пишем число
Справа от черты пишем простой делитель этого числа
Слева записываем число которое образовалось в результате деления
Продолжаем процесс пока слева не останется 1
Рассмотрим пример
Разложим число 36
Проводим черту, записываем 36 слева. Самым маленьким простым делителем числа 36 является 2. Делим 36/2 = 18. 18 записываем под числом 36. Далее повторяем. Самым маленьким делителем числа 18 является 2. Дилим 18/2 = 9. 9 записываем под числом 18. Опять повторяем. Самым маленьким простым множителем числа 9 является 3. Делим 9/3 получается 3. Тройку записываем под 9. Тройка это простое число у которого делить только 3 и 1. Записываем 3 напротив тройки. Делим 3/3 = 1. 1 записывам под 3. Разложение закончено.
Целое положительное число называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя.
Целое положительное число называется составным, если у него есть хоть один делитель, отличный от 1 и самого себя.
Таблица составных чисел
4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 14 | 15 | 16 | 18 |
20 | 21 | 22 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 30 | 32 |
33 | 34 | 35 | 36 | 38 | 39 | 40 | 42 | 44 | 45 |
46 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 54 | 55 | 56 | 57 |
58 | 60 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 68 | 69 | 70 |
72 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 80 | 81 | 82 | 84 |
85 | 86 | 87 | 88 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 |
96 | 98 | 99 | 100 | 102 | 104 | 105 | 106 | 108 | 110 |
111 | 112 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 | 121 |
122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 128 | 129 | 130 | 132 | 133 |
134 | 135 | 136 | 138 | 140 | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 |
146 | 147 | 148 | 150 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 158 |
159 | 160 | 161 | 162 | 164 | 165 | 166 | 168 | 169 | 170 |
171 | 172 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 180 | 182 | 183 |
184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 | 192 | 194 | 195 |
196 | 198 | 200 | 201 | 202 | 203 | 204 | 205 | 206 | 207 |
208 | 209 | 210 | 212 | 213 | 214 | 215 | 216 | 217 | 218 |
219 | 220 | 221 | 222 | 224 | 225 | 226 | 228 | 230 | 231 |
232 | 234 | 235 | 236 | 237 | 238 | 240 | 242 | 243 | 244 |
245 | 246 | 247 | 248 | 249 | 250 | 252 | 253 | 254 | 255 |
256 | 258 | 259 | 260 | 261 | 262 | 264 | 265 | 266 | 267 |
268 | 270 | 272 | 273 | 274 | 275 | 276 | 278 | 279 | 280 |
282 | 284 | 285 | 286 | 287 | 288 | 289 | 290 | 291 | 292 |
294 | 295 | 296 | 297 | 298 | 299 | 300 | 301 | 302 | 303 |
Таблица простых чисел до 1000
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 | 311 |
313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 |
461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 |
509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 |
571 | 577 | 587 | 593 | 599 | 601 | 607 | 613 |
617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 |
727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 |
773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 |
883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 |
947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Похожие калькуляторы