Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске разберемся, что нужно знать из 7 класса для легкого вычисления углов в параллелограмме и трапеции.
Как вы знаете, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат – это все параллелограммы. Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Значит для вычисления углов в параллелограмме и трапеции нам нужно вспомнить теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.
1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Теперь применим это знание для решения задач из ОГЭ.
Задача №1
Для решения, воспользуемся свойством односторонних углов.
Для задания такого типа, можно мысленно продолжить стороны, у вас получится пересечение двух параллельных прямых секущей. Поэтому в данном случае воспользуемся тем, что сумма односторонних углов равна 180 градусов. Больший угол параллелограмма равен 180-61=119
Внимание!!! Будьте внимательны, в задании такого типа может быть написано, что нужно найти меньший угол. Меньший угол – это острый, больший угол – это тупой.
Точно также решается задача №2 с трапецией.
Меньший угол – это острый угол. Значит 180-131=49
Задача №3
Для решения такого типа задачи, нужно найти целый больший угол параллелограмма, он равен 70+35=105.
Найдем меньший угол параллелограмма – он острый, равен 180-105=75
2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Для этой теоремы подходят следующие задачи:
Задача №4
Решение:
Угол 1 и угол 2 накрест лежащие, значит они раны. Так как АЕ биссектриса, то угол 2 равен углу 3. Значит угол А равен 33+33=66
Задача №5
Решение:
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны. Значит нам достаточно найти чему равен угол А, тогда мы найдем угол ADC.
Так как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны, то угол А равен 50+30=80, значит угол ADC равен 80
В следующем выпуске, поговорим о том, как найти углы в параллелограмме, где используются другие свойства и теоремы, такие как свойство равнобедренного треугольника, сумма углов треугольника, свойство диагоналей ромба.
Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.
Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).
Противоположные углы параллелограмма равны.
Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет о его противолежащих углах.
Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.
Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.
В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.
Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.
Задача 1.
Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠B на 40º больше ∠A.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Имеем уравнение:
х+х+40=180
2х=180-40
2х=140
х=70
Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.
∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.
Задача 2.
Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠A:∠B=2:3.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Составим уравнение и решим его:
2k+3k=180
5k=180
k=36
Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.
∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.
Задача 3.
Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.
Дано: ABCD — параллелограмм,
∠A+∠C=150º.
Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.
Решение:
∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).
∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.
∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).
Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.
Как найти углы параллелограмма
Параллелограммом называют четырехугольник противолежащие стороны которого попарно параллельны. Также параллелограмм обладает такими свойствами, как противоположные стороны равны, противоположные углы равны, сумма всех углов равна 360 градусов.
Вам понадобится
- Знания по геометрии.
Инструкция
Предположим дан один из углов параллелограмма и равен A. Найдем значения остальных трех. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Значит угол, лежащий напротив данного равен данному и его значение равно А.
Найдем оставшиеся два угла. Так как сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов, а противоположные углы между собой равны, то получается, что угол, принадлежащий одной стороне с данным, равен (360 – 2А)/2. Ну или после преобразования получим 180 – А. Таким образом в параллелограмме два угла равны А, а два других угла равны 180 – А.
Обратите внимание
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Полученные значения углов можно легко проверить. Для этого сложите их и, если сумма равна 360, все посчитано верно.
Полезный совет
Прямоугольник и ромб являются частным случаем параллелограмма, поэтому все свойства и методы вычисления углов применимы и к ним.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Углы параллелограмма
Угол
Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны друг другу. Два угла, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме составляют 180°. Если известен один угол параллелограмма, несложно найти смежный с ним угол путем вычитания из 180° величину известного угла.
α = 180°-β
Таким образом, мы нашли значения всех углов, т.к. известно, что противолежащие углы параллелограмма равны.
Отрезок, проведенный из двух противоположных вершин параллелограмма, является его диагональю. Если заданы стороны и диагональ, можно определить углы параллелограмма. Диагональ делит параллелограмм на два одинаковых треугольника. Основанием треугольника является диагональ, боковыми сторонами — смежные стороны параллелограмма. Для определения угла используем теорему косинусов, по которой квадрат стороны треугольника (в нашем треугольнике это диагональ) равен сумме квадратов двух его сторон, образующих искомый угол, плюс удвоенное произведение этих сторон на косинус угла. Отсюда, косинус искомого угла равен сумме квадратов смежных сторон (а, b) минус квадрат третей стороны треугольника (в нашем случае — диагонали), противолежащей искомому углу, и все это деленное на удвоенное произведение смежных сторон:
d2 = a2 + b2 + 2ab cos (α)
cos (α) = (a2 + b2 — d2) / 2ab
,
где а, b — стороны параллелограмма, d — диагональ.
Воспользовавшись таблицей косинусов находим величину искомого угла. После чего находим смежный с ним угол.
Рассчитать углы параллелограмма зная стороны и диагональ
3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Параллелограмм и его свойства
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).
Свойства параллелограмма:
(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;
(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).
Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:
(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;
(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;
(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;
(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.
Задание
1
#1783
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 – 32 = 18).
Ответ: 18
Задание
2
#1784
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).
Ответ: 1,25
Задание
3
#273
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).
Ответ: 2
Задание
4
#1785
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} – 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).
Ответ: 135
Задание
5
#1686
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).
По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 – BD^2 = 25 – 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).
Ответ: 12
Задание
6
#1685
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = 8), (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).
(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} – P_{triangle AOB} = AD – AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).
Ответ: 12
Задание
7
#3617
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]
Ответ: 6
Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.
Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.
Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.
УСТАЛ? Просто отдохни
