Утверждение.
(Свойство равнобедренной трапеции).
Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180º.
Дано: ABCD — трапеция,
AD ∥ BC
Доказать:
∠A+∠C=180º, ∠B+∠D=180º
Доказательство:
∠B=∠C (как углы при основании равнобедренной трапеции).
∠A+∠B=180º(как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).
Следовательно, ∠A+∠B=∠A+∠C= 180º.
Аналогично, ∠B+∠D=∠C+∠D=180º.
Что и требовалось доказать.
Таким образом, и углы, прилежащие к боковой стороне, и противолежащие углы равнобедренной трапеции в сумме дают дают одинаковую величину — 180º.
Трапеция — четырёхугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
При этом трапеция обладает всеми свойствами четырехугольника. Поэтому запоминать надо свойства, которые характерны для трапеции.
Определения для трапеции:
Параллельные стороны называются основаниями трапеции (BC и AD), непараллельные – боковыми сторонами (AB и CD).
Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.
Средняя линия трапеции — отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции (на рис. MN). Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: MN=(AD+BC)/2
M – середина AB, N – середина CD,
AD||BC, MN||AD, MN||BC,
Равнобедренная (равнобокая) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны (AB=CD).
В равнобедренной трапеции:
— углы при основании равны,
— проекции боковых сторон на основание равны: AE=FD,
— диагонали равны.
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Свойства углов трапеции
- Свойства углов четырехугольника
- Сумма углов трапеции равна 360°
- Сумма внешних углов трапеции , взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
- Каждый угол трапеции всегда меньше суммы трёх остальных углов.
- Свойства углов трапеции
1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°: ∠A+∠B=180°, ∠C+∠D=180°
2. Каждая диагональ трапеции образует с её основаниями равные углы.
3. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: AB=BE.
4. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.
Свойства сторон трапеции
- Свойства сторон трапеции (как у четырехугольника)
- Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
- Сумма диагоналей меньше его периметра.
- Диагонали трапеции (как у четырехугольника)
- Диагонали пересекаются в одной точке.
- Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
- Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
- Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
При пересечении диагоналей трапеции и продолжений её боковых сторон образуются подобные треугольники, прилежащие к основаниям. 
Трапеция и окружность
В трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон (a+b=c+d). Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.
Радиус вписанной окружности: 
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной. Центр описанной около трапеции окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон.
AB=CD ⇒ ∠ABC=∠DCB, ∠BAD=∠CDA;
AB=CD ⇒ AC=BD;
AB=CD ⇒ ABCD вписанная
Основные формулы:
Периметр трапеции равен сумме длин всех его сторон:
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
1. Половине произведения суммы её оснований на высоту трапеции.
2. Половине произведения её диагоналей на синус угла между ними.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции: 
Расшифровка:
a,b — основания,
c,d — боковые стороны (с – боковые стороны в случае, если трапеция равнобокая),
d1, d2 –диагонали,
P-периметр,
S-площадь,
h -высота, проведенная к противоположной стороне
Свойства трапеции
Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ) и ( displaystyle angle 3+angle 4=180{}^circ ))
Почему так?
Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.
Вот и получается, что ( displaystyle angle 1) и ( displaystyle angle 2) – внутренние односторонние углы при параллельных ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) и секущей ( displaystyle AB).
Поэтому ( displaystyle angle 1+angle 2=180{}^circ ).
И точно так же ( displaystyle angle 3) и ( displaystyle angle 4) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC), но секущая теперь – ( displaystyle CD).
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
Снова порассуждаем об углах:
Опять ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) – параллельные, а диагональ ( displaystyle AC) – секущая. Поэтому ( displaystyle angle 1=angle 2).
А теперь рассмотрим сразу 2 диагонали и 4 угла:
( displaystyle angle 1=angle 2)
( displaystyle angle 3=angle 4)
Что из этого может следовать?
Очень важный факт:
Треугольники ( displaystyle BOC) и ( displaystyle AOD) – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: ( displaystyle K=frac{a}{b}).
Как найти угол в трапеции
Трапеция – это плоский четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.
Инструкция
Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции. Пусть известны углы ∠BAD и ∠CDA, найдем углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.
В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC – y. Сумма углов любого треугольника равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° – 2x. В то же время из свойств трапеции: y + x + α = 180° и следовательно 180° – 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы нашли два угла трапеции: ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° – 2α.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° – 2α.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
